Programación lineal final
-
Upload
roberto-mendoza -
Category
Documents
-
view
227 -
download
0
Transcript of Programación lineal final
Programación lineal y método simplex aplicado para economía
Guillermo Pardo Arteaga A00889951
Bibiana Alejandra Miranda López A01122834
Roberto Mendoza Hernández A01213035
Doctor José Fernández García
Matemáticas para economía I
1
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN..................................................................................................3PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS.................................................................5RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS......................................................................8
1.1 Un problema agrícola........................................................................81.2 Formulación Matemática..................................................................112.1 Un problema en un negocio familiar................................................132.2 Formulación matemática..................................................................18
CONCLUSIONES...............................................................................................18FUENTES CONSULTADAS..................................................................................19
2
Introducción.
El motivo del presente trabajo es hacer una revisión bibliográfica acerca de una
aplicación del álgebra lineal dentro del campo de la economía, así como
plantear distintos ejemplos que puedan permitirnos la comprensión del tema.
Para iniciar con este trabajo haremos un breve recuento teórico de nuestro
tema.
En 1939 surge un problema de recursos limitados. Se necesitaba
distribuir los recursos disponibles entre los diferentes regímenes, sin embargo,
se tenia otro problema: cómo distribuir estos recursos sin que se generara un
costo extra, Leonid Kantorovich matemático y economista ruso, ganador del
premio nobel en 1975 crea el modelo de programación lineal (1939), utilizado
para resolver los problemas de distribución de recursos en la Segunda Guerra
Mundial, ya que esta no solo se llevaba acabo en el campo de batalla, se
necesitaba diseñar estrategias, disponer de recursos para cuando fuera
necesario, etc. La Programación Lineal ayudó a encontrar la forma de reducir
costos, y así colocar el ahorro en otra división o bien conseguir más recursos.
La Programación Lineal nace como estrategia militar, así que por un
tiempo fue secreto, nadie tenia acceso al sistema, solo la milicia lo conocía.
Fue George Dantzig, matemático americano, graduado de la Universidad de
Maryland y Doctor por la Universidad de Berkeley, quien publica el método
simplex para la resolución de sistemas de inecuaciones.
El método simplex es una técnica para resolver problemas de
optimización, generalmente se utiliza cuando se tienen sistemas de
inecuaciones. Estos sistemas son desigualdades algebraicas en las cuales se
encuentran varias incógnitas, los sistemas de inecuaciones puede ser de 2
tipos, en sentido estricto (< o >) o en sentido amplio (≤o≥).
3
El método simplex consiste en convertir los sistemas de inecuaciones en
ecuaciones, esto por medio de variables de holgura, son variables que
convierten las inecuaciones en igualdades pero estas deben satisfacer una
serie de reglas, por lo general la variable de holgura se igualan a los recursos,
trabajan como restricción.
Se construye la matriz, donde se podrán observar los coeficientes de
restricción, así como los coeficientes de la función objetivo, se localizan las
variables no básicas, son aquéllas con coeficiente distinto de cero en la función
objetivo, se elige aquélla que tenga el coeficiente más negativo, y éste indicará
la columna correspondiente a la variable que entra. Se dividen los elementos
de la columna bi por sus correspondientes aij en la columna de la variable que
entra, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún
elemento menor o igual que cero, no se haría dicho cociente. En el caso de que
todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos
una solución no acotada y no podríamos seguir. Lo que necesitamos es
incrementar la variable que entra en la base, hasta que hagamos nula una de
las variables que están ahora en la base. Entonces saldrá aquélla variable
básica, Xi, tal que el cociente bi / aij sea menor. Se hace 1 el coeficiente aij de
la variable seleccionada.
Se divide la fila i por aij; en el resto de las filas haremos la eliminación de
Gauss.
El método simplex sirvió como base para la investigación de operación, ya que
ayuda a optimizar procesos, pero que es la investigación de operaciones?
“La investigación de operaciones es la aplicación, por
grupos interdisciplinarios, del método científico a
problemas relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que
se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos
de todas la organización.” (Prawda, 2004)
La Investigación de Operaciones tiene como objetivo principal proveer
información para la toma de decisiones, tomando en cuenta sistemas reales y
4
complejos, de esa forma busca optimizar, tomando en cuenta los recursos
disponibles y así poder encontrar la solución a los problemas.
Planteamiento de los Problemas
El objetivo de la presente sección es introducir la formulación de
nuestros modelos matemáticos a partir del planteamiento de los problemas.
Esta sección debe tomarse como una ilustración introductoria a la Investigación
de Operaciones, y particularmente a la Programación Lineal, dejando las
próximas dos secciones a la explicación y resolución de la misma. No es
importante a estas alturas si el lector no entiende cómo se derivó cierta
expresión matemática.
En esta sección presentaremos dos tipos de problemas:
a) Un problema agrícola que puede ser aplicado en un entorno
macroeconómico.
b) Un problema en un negocio familiar que representa una situación
microeconómica.
A continuación se plantean ambos problemas.
a) Un problema agrícola:
Supóngase que en el poblado de Tixtla, Guerrero la Nacional Financiera
pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacate, lima,
mango y zapote prieto. Se persiguen dos objetivos, uno el de aumentar el
empleo rural y otro el de aumentar las exportaciones que vendrán a
equilibrar la balanza de pagos de la nación. Se sabe que la producción
promedio de cada árbol está dada por la siguiente tabla:
Tabla 1.1
Tipo de
árbol
Producción promedio
anual
Observació
n
(en unidades) (en kg)
Aguacate 350 150 Una vez por
año
Lima 230 200 Una vez por
5
año
Mango 150 50 Una vez por
año
Zapote 400 150 Una vez por
año
El precio promedio en el mercado mundial fue de $10.00 por kg de
aguacate, $4.00 por kg de lima, $15.00 por kg de mango y $7.00 por kg de
zapote prieto en 1974. Existe una extensión de 250 000 m2 de tierra de
propiedad federal propicia para el cultivo de esos productos. Supóngase que
técnicos de la Secretaría de Agricultura han determinado que las siguientes
extensiones mínimas son necesarias para el cultivo de esos productos.
Tabla 1.2
Tipo de
árbol
Extensión
mínima de
cultivo por
árbol
Aguacat
e
4 m2
Lima 5 m2
Mango 3 m2
Zapote 6 m2
Afortunadamente no existe problema de agua, pues hay varios
manantiales dentro de la propiedad, que aseguran la existencia de ese
preciado líquido por los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de
aguacate es de $2.00, $0.50 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y
$1.50 por árbol de zapote prieto; estos costos ya incluyen la compra del árbol
más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de
cuidados equivalentes a 36 horas-hombre/año; 72 horas-hombre/año por árbol
de lima; 50 horas-hombre/año por árbol de mango y 10 horas-hombre/año por
árbol de zapote prieto.
6
La Nacional Financiera pretende hacer una inversión de 20 millones de
pesos, pensando exportar toda su producción. El número de personas que
desea emplear el Gobierno Federal con este proyecto debe ser a lo mucho de
200 personas.
Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de aguacate, lima, mango y
zapote prieto deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura
exportación anual? ¿Cuál será la ganancia de tomar esta decisión respecto a la
inversión inicial?
b) Un problema en un negocio familiar:
Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la
patata integral. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de
los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas,
patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freír.
A su negocio, don Francisco y doña Remedios, su mujer, dedican como
máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada
producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de
patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15
horas.
Como su almacén es pequeño no pueden tener almacenados más de 15
kilos de producto terminado y más de 120 kilos en sacos de patata.
No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de
producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta
relación es la siguiente:
- Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas.
- Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas.
- Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas.
- Para hacer un kilo de patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas.
La ganancia también es diferente:
- 4 patatas/kg patatas ensalada.
- 5 patatas/kg puré de patatas.
- 9 patatas/kg patatas inglesa.
7
- 11 patatas/kg patatas congeladas.
¿Cuánto debe fabricar de cada una de sus especialidades para que su
beneficio sea el máximo?
Resolución de los Problemas
El propósito de esta sección es resolver paso a paso los dos problemas
anteriormente planteados con el método simplex; el cual mencionamos en la
primera sección.
1.1 Un problema agrícola
Paso 1.
Sean
Xa: el número de árboles de aguacate a ser sembrados,
Xl: el número de árboles de lima a ser sembrados,
Xm: el número de árboles de mangos a ser sembrados,
Xz: el número de árboles de zapote prieto a ser sembrados,
La notación usada para denotar todas las variables del problema.
El valor promedio de la exportación (VPE) anual se puede representar
por:
VPE=(10 ) (150 ) Xa+(4 ) (200 ) Xl+(15 ) (50 ) Xm+(7 ) (150 ) Xz
Cuyas dimensiones están dadas por:
VPE=( $kgagc .
)
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual
es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a
optimizar es:
Z=1500 Xa+800 Xl+750 Xm+1050 Xz
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra
optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones,
estas son:
2 Xa+0.5 Xl+1 Xm+1.5 Xz ≤20000000
4 X a+5 Xl+3 Xm+6 Xz≤250000
36 Xa+72 Xl+50 Xm+100 Xz≤584 000
8
Paso 2.
Sea:
Z−cX=0
la forma general de la ecuación a optimizar.
Entonces:
Z−1500 Xa−800 Xl−750 Xm−1050 Xz=0
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.
Paso 3.
2 Xa+0.5 X l+1 Xm+1.5 Xz+U=20000000
4 Xa+5 Xl+3 Xm+6 Xz+V=250000
36 Xa+72 Xl+50 Xm+100 Xz+Y=584000
Paso 4.
Xa Xl Xm Xz U V Y Bi
LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0
L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000
L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000
L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000
Paso 5.
Xa Xl Xm Xz U V Y Bi
LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0
L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000
L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000
L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000
Paso 6.
Mín {200000002,2500004
,58400036 }=16222.22
Paso 7.
Xa Xl Xm Xz U V Y Bi
LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0
L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000
L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000
9
L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000
La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale
determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales
en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector
unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón
correspondiente, es decir el pivote.
Xa Xl Xm Xz U V Y Bi
L
O 0 2200
1333.3333
3
3116.66666
7 0 0 41.6666667 24,333,333.33
L1
0 -3.5
-
1.7777777
8
-
4.05555555
6 1 0 -0.05555556 19,967,555.56
L2
0 -3
-
2.5555555
6
-
5.11111111
1 0 1 -0.11111111
185,111.1
1
L3
1 2
1.3888888
9
2.77777777
8 0 0 0.02777778
16,222.2
2
Después de realizar el Paso 7 revisamos el renglón que
corresponde a nuestra ecuación a optimizar, comúnmente llamado LO
en la tabla, buscando la variable más negativa y repitiéndose los pasos
5, 6 y 7. En el momento en el que no encontremos más variables
negativas en el renglón de nuestra ecuación a optimizar, podemos decir
que encontramos la solución óptima.
Paso 8.
Este es un paso adicional que hemos decidido introducir para
analizar e interpretar los resultados arrojados por la tabla.
Xa Xl Xm Xz U V Y Bi
L
O 0 2200
1333.3333
3
3116.66666
7 0 0 41.6666667 24,333,333.33
L1 0 -3.5 -
1.7777777
-
4.05555555
1 0 -0.05555556 19,967,555.56
10
8 6
L2
0 -3
-
2.5555555
6
-
5.11111111
1 0 1 -0.11111111
185,111.1
1
L3
1 2
1.3888888
9
2.77777777
8 0 0 0.02777778
16,222.2
2
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en
una tabla como la siguiente:
Xa 16,222.22
U
19,967,555.5
6
V 185,111.11
Función
Objetivo
24,333,333.3
3
De aquí podemos interpretar que para optimizar la función
objetivo que se nos dio cumpliendo con los objetivos y sujeto a las
restricciones presupuestarias; el número de árboles de aguacate que se
deben sembrar es de 16,222.22, el sobrante del presupuesto,
representado por la variable U, es de 19, 967,555.56 pesos; y el
sobrante de terreno, representado con la variable V, es de 185,111.11
m2. El valor de las ganancias totales por la exportación fue de 24,
333,333.33 pesos.
1.2 Formulación Matemática
Sean
xa: el número de árboles de aguacate a ser sembrados,
x l : el número de árboles de lima reina a ser sembrados,
xm: el número de árboles de mangos a ser sembrados,
xz : el número de árboles de zapote a ser sembrados.
11
La notación usada para detonar todas las variables del problema.
El valor promedio de la exportación (VPE) anual se puede representar por:
VPE=(10 ) (150 ) xa+(4 ) (200 ) x l+(15 ) (50 ) xm+(7)(150)x z
VPE=( $kgagc . )( kg agc .
árb .agc . )árb .agc .+( $kg lima reina )( kg limareina
árb .lima reina )árb .lima reina+( $
kgmango )( kgmangoárb .mango )árb .mango+( $
kg zap . prto. )( kg zap . prto .árb . zap . prto . )árb . zapote prieto=$
La restricción correspondiente a la extensión de tierra laborable está dada por:
4 xa+5x l+3 xm+6 xz≤250000m2
Dimensionalmente, se puede verificar que en efecto las unidades en ambos
lados de la desigualdad son m2 .
Respecto a la inversión inicial se tiene que
2 xa+0.50 xl+1 xm+1.50 xz≤20000000 ,
siendo pesos las unidades que prevalecen en ambos lados de esta última
desigualdad.
Respecto a la condición de empleo mínimo que el Gobierno Federal se ha
fijado, ésta puede representarse por:
36 xa+72x l+50 xm+100 xz≥8x 200 x365 ,
siendo las dimensiones de esta desigualdad, las siguientes
( h−hombreaño−árb .agc . )árb .agc .+( h−hombre
año−árb .lima )ár b . lima+( h−hombreaño−árb .mango )árb .mango+¿
( h−hombreaño−árb . zapote )árb . zapote ≥( h−hombre
día año )
12
y ya simplificando, queda (horas-hombre)/año en ambos lados de la
desigualdad.
Finalmente, como él número de árboles, de cualquier especie, no puede ser
negativo (en vez de sembrar, se destruye), se tiene que
xa≥0 , x l≥0 , xm≥0 , xz≥0
Resumiendo, se tiene que el siguiente modelo matemático formula el problema
en cuestión
Maximizar 1500 xa+800 xl+750 xm+1050 xz
Sujeto a
4 xa+5x l+3 xm+6 xz≤250000m2
2 xa+0.50 xl+1 xm+1.50 xz≤20000000
36 xa+72x l+50 xm+100 xz≥584000
xa≥0 , x l≥0 , xm≥0 , xz≥0
2.1 Un problema en un negocio familiar
Paso 1.
Sean
X1: el número de patatas ensalada a ser fabricadas,
X2: el número de puré patatas a ser fabricados,
X3: el número de patatas inglesa a ser fabricadas,
X4: el número de patatas congeladas a ser fabricadas,
La notación usada para denotar todas las variables del problema.
El valor promedio del beneficio (VPB) semanal se puede representar por:
VPB=4 X 1+5 X 2+9 X 3+11X 4
Cuyas dimensiones están dadas por:
VPB=( pesos ) patataskg
+(pesos ) patataskg
+( pesos ) patataskg
+( pesos ) patataskg
Y las dimensiones de las ecuaciones a las que estamos sujetos:
X 1+X 2+X 3+X 4≤15
13
(kg deespecialidad terminada) patataskg
+(kgde especialidad terminada) patataskg
+(kgdeespecialidad terminada) patataskg
+(kgde especialidad terminada) patataskg
≤(metros c uaradosdisponibles en almacén)
3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4≤100
( horassemana
necesarias) patataskg
+( horassemana
necesarias ) patataskg
+( horassemana
necesarias) patataskg
+( horassemana
necesarias ) patataskg
≤( horassemana
disponibles paratrabajar )
7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4≤120
( patatasen sacos) patataskg
+(patatas ensacos) patataskg
+( patatasen sacos) patataskg
+(patatas ensacos) patataskg
≤(metros cuarados disponibles enalmacén)
X 1 , X 2, X 3 , X 4≥0
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual
es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a
optimizar es:
Z=4 X1+5 X2+9 X3+11X 4
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra
optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones,
estas son:
X 1+X 2+X 3+X 4≤15
3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4≤100
7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4≤120
X 1 , X 2, X 3 , X 4≥0
Paso 2.
Sea:
Z−cX=0
la forma general de la ecuación a optimizar.
Entonces:
Z−4 X1−5 X 2−9 X 3−11X 4=0
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.
Paso 3.
X 1+X 2+X 3+X 4+X5=15
3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4+X 6=100
14
7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4+X 7=120
Paso 4.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
LO -4 -5 -9 11 0 0 0 0
L1 1 1 1 1 1 0 0 15
L2 7 5 3 2 0 1 0 120
L3 3 5 10 15 0 0 1 100
Paso 5.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
LO -4 -5 -9 -11 0 0 0 0
L1 1 1 1 1 1 0 0 15
L2 7 5 3 2 0 1 0 120
L3 3 5 10 15 0 0 1 100
Paso 6.
Mín {151 ,1202
,10015 }=10015 =6.67
Paso 7.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
LO -4 -5 -9 -11 0 0 0 0
L1 1 1 1 1 1 0 0 15
L2 7 5 3 2 0 1 0 120
L3 3 5 10 15 0 0 1 100
La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale
determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales
en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector
15
unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón
correspondiente, es decir el pivote.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
L
O
-1.8
-
1.33333333
3
-
1.6666666
7 0 0 0
0.73333333
3
73.3333333
3
L1
0.8
0.66666666
7
0.3333333
3 0 1 0
-
0.06666667
8.33333333
3
L2
0.6
0.33333333
3
1.6666666
7 0 0 1
-
0.13333333
106.666666
7
L3
0.2
0.33333333
3
0.6666666
7 1 0 0 0.2
6.66666666
7
Después de realizar el Paso 7 nos encontramos que en nuestro LO
todavía existen números negativos. Por lo que repetimos el paso 5, 6 y 7.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
L
O
-1.8
-
1.33333333
3
-
1.6666666
7 0 0 0
0.73333333
3
73.3333333
3
L1
0.8
0.66666666
7
0.3333333
3 0 1 0
-
0.06666667
8.33333333
3
L2
0.6
0.33333333
3
1.6666666
7 0 0 1
-
0.13333333
106.666666
7
L3
0.2
0.33333333
3
0.6666666
7 1 0 0 0.2
6.66666666
7
Mín {8.3330.8,106.6670.6
,6.6670.2 }=8.3330.8
=10.41667
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi
L
O
-1.8
-
1.33333333
3
-
1.6666666
7 0 0 0
0.73333333
3
73.3333333
3
L1 0.8 0.66666666 0.3333333 0 1 0 - 8.33333333
16
7 3 0.06666667 3
L2
0.6
0.33333333
3
1.6666666
7 0 0 1
-
0.13333333
106.666666
7
L3
0.2
0.33333333
3
0.6666666
7 1 0 0 0.2
6.66666666
7
X1 X2 X3 X4 X5 X
6
X7 Bi
L
O
0
0.16666666
7
-
0.9166666
7 0
2.
25 0 3.5
92.0833333
3
L1
1
0.83333333
3
0.4166666
7 0 1.25 0
-
0.08333333
10.4166666
7
L2
0
-
1.16666666
7
-
1.0833333
3 0 -8.25 1
0.41666666
7
37.9166666
7
L3
0
0.16666666
7
0.5833333
3 1 -0.25 0
0.08333333
3
4.58333333
3
Podemos observar que en el renglón de nuestra ecuación LO aún se
encuentra un número negativo, por lo que tenemos que repetir el proceso.
X1 X2 X3 X4 X5 X
6
X7 Bi
L
O
0
0.16666666
7
-
0.9166666
7 0
2.
25 0 3.5
92.0833333
3
L1
1
0.83333333
3
0.4166666
7 0 1.25 0
-
0.08333333
10.4166666
7
L2
0
-
1.16666666
7
-
1.0833333
3 0 -8.25 1
0.41666666
7
37.9166666
7
L3
0
0.16666666
7
0.5833333
3 1 -0.25 0
0.08333333
3
4.58333333
3
17
Mín {10.416670.41667,37.91667−1.08333
,4.583330.58333 }=4.583330.58333
=7.857143
X1 X2 X3 X4 X5 X
6
X7 Bi
L
O
0
0.16666666
7
-
0.9166666
7 0
2.
25 0 3.5
92.0833333
3
L1
1
0.83333333
3
0.4166666
7 0 1.25 0
-
0.08333333
10.4166666
7
L2
0
-
1.16666666
7
-
1.0833333
3 0 -8.25 1
0.41666666
7
37.9166666
7
L3
0
0.16666666
7
0.5833333
3 1 -0.25 0
0.08333333
3
4.58333333
3
X1 X2 X
3
X4 X5 X
6
X7 Bi
L
O 0
0.42857142
9 0
1.57142857
1
1.85714285
7 0
0.71428571
4
99.2857142
9
L1
1
0.71428571
4 0
-
0.71428571
4
1.42857142
9 0
-
0.14285714
7.14285714
3
L2
0
-
0.85714285
7 0
1.85714285
7
-
8.71428571
4 1
0.57142857
1
46.4285714
3
L3
0
0.28571428
6 1
1.71428571
4 -0.43 0
0.14285714
3
7.85714285
7
En esta ocasión ya no tenemos ningún número negativo en LO, por lo
que podemos decir que hemos encontrado la solución óptima.
Paso 8.
Ahora es momento de interpretar los datos de nuestra tabla.
18
X1 X2 X
3
X4 X5 X
6
X7 Bi
L
O 0
0.42857142
9 0
1.57142857
1
1.85714285
7 0
0.71428571
4
99.2857142
9
L1
1
0.71428571
4 0
-
0.71428571
4
1.42857142
9 0
-
0.14285714
7.14285714
3
L2
0
-
0.85714285
7 0
1.85714285
7
-
8.71428571
4 1
0.57142857
1
46.4285714
3
L3
0
0.28571428
6 1
1.71428571
4 -0.43 0
0.14285714
3
7.85714285
7
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla
como la siguiente:
X1
7.14285714
3
X3
7.85714285
7
X6
46.4285714
3
Función
Objetivo
99.2857142
9
Luego, don Francisco y doña remedios deberán fabricar cada semana
7.14276 kg de patatas para ensalada y 7.857143 kg de patatas a la inglesa. La
variable X6 nos indica que dado esta producción, quedará un sobrante de
46.4286 kilogramos en sacos de patata en su almacén. Su beneficio semanal
ascenderá a 99.286 pesos.
2.2 Formulación matemática
Conclusiones
19
Después de la realización de este trabajo hemos aprendido una aplicación más
del álgebra lineal. Nos resulta interesante que la Programación Lineal tenga
métodos tan sencillos para resolverse como lo es el método simplex y no por
ello deje de sur un método tan eficiente en la toma de decisiones,
especialmente en la Investigación de Operaciones. Podemos enumerar, tres
elementos que surgieron a través de la elaboración de este trabajo. El primero
de ellos, es que conocimos un poco de historia acerca de la Investigación de
Operaciones y de cómo, en una situación tan compleja, debido a la
intervención de tantos factores, como lo fue la Segunda Guerra Mundial; las
matemáticas hayan jugado un papel tan importante para decidir cuáles eran las
acciones que se debían de realizar. En segundo lugar, nos llamó mucho la
atención la manera en la que la programación lineal, que fue el área de la
Investigación de Operaciones que usamos para este trabajo, puede aplicarse
en el campo de la economía, para alcanzar ciertos objetivos optimizando los
recursos, ya sea maximizando los beneficios o minimizando los costos. Y por
último, durante el proceso de investigación bibliográfica para la realización de
nuestro trabajo nos encontramos con otros temas también muy llamativos que
intentaban volver más exactas y realistas las decisiones tomadas, tal es el caso
de la Programación Entera. En conclusión, el trabajo no sólo nos sirvió para
conocer una aplicación adicional del álgebra lineal en el campo económico; de
igual manera nos sirvió para entender como es que surgen este tipo de
herramientas y nos dejó abierta la alternativa a conocer nuevos temas y
métodos del universo de las matemáticas.
20
Fuentes consultadas
García Cabañes, J., Fdez. Martínez, L. y Tejera del Pozo, P.: “Técnicas de
investigación operativa”. Tomo II. Ed. Paraninfo. Madrid 1990. Supervisado por:
Jose María Úbeda Delgado.
Dr. Juan Prawda. (2004). Métodos y Modelos de Investigación de operaciones.
México: Editorial Limusa S.A de C.V.
Linear programming. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/342203/linear-programming
Simplex method. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/545391/simplex-method
George Dantzig. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/1090271/George-Dantzig
Operations research. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/682073/operations-research
21