PROGRAMACION LINEAL

CONCEPTO: La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar

o minimizar (optimizar) unafunción lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones también lineales. Los métodos más recurridos para resolver problemas de programación lineal son algoritmos de pivote, en particular los algoritmos simplex.

La programación l ineal da respuesta a s i tuaciones en las q ue se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas l imi taciones, que l lamaremos restr icciones.

La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.

HISTORIA:

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph

Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación

lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante laSegunda Guerra

Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar

las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias

lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en

1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid

Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de

Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid

Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema

de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más

tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver

problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y

prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos

de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación

necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es

inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de

partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima

mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo

simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles

soluciones factibles que deben ser revisadas.

ANTECEDENTES:En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1 776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1 939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch. Koopmans, Dantzig y Kantorivich

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.

En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando.

En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

Respecto al método simplex, que estudiaremos después, señalaremos que su estudio comenzó en 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma International Business Machines (IBM).

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1 947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de Dávid Hilbert en Gotinga y, desde 1 930, catedrático de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.