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“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN ECONÓMICA Y SOCIAL DEL PERÚ”

“AÑO DE LA EDUCACIÓN INCLUSIVA”

Programa de Especialización y

Desarrollo EducativoESTRATEGIAS INNOVADORAS PARA DOCENTES

EMPRENDEDORES

MÓDULO I : GESTIÓN Y LIDERAZGO PARTICIPATIVODOCENTE : DAVID AURELIO QUISPE GUILLÉNINSTITUCIÓN EDUCATIVA : PRISMAGRADO Y SECCIÓN : SEGUNDO DE SECUNDARIA “U”TEMA : EDITAR MI BIBLIOTECA (programación lineal)TUTORA : JUANA ROSA FELICIDAD QUISPE LIU

2010

PROGRAMACIÓN LINEAL [Escribir texto] Lic. David A. Quispe Guillén

PROGRAMACIÓN LINEALJUSTIFICACIÓNLa investigación operativa es un procedimiento que permite al investigador, adoptar modelos para asignar mejor los recursos con la intención de OPTIMIZAR una función objetivo. Los modelos que se adoptan resuelven problemas de maximizaciones, minimizaciones, asignaciones, rutas críticas, etc aplicadas al campo de la economía e ingeniería y otras disciplinas. Se aplica en la resolución de problemas específicos y tiene por objetivo fundamental, optar por una buena decisión asumiendo criterios pre - establecidos para elegir una SOLUCIÓN ÓPTIMA.

La investigación operativa en su intento de resolver los problemas hace uso de la programación lineal y dinámica, la ingeniería de sistemas, la computación, etc.

El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal.

En el año 1939, el matemático ruso Leonidas Vitalyevich Kantarovitch publica una monografía en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día, programación lineal. En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch. Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.

En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Crea el método del simplex, en el año 1951, ayudándose de computadoras.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben a Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.

APRENDIZAJE ESPERADOS

Los aprendizajes que los y las participantes deben alcanzar son las que siguen:

1. Capta la idea de la programación lineal y sus posibilidades de aplicación a problemas prácticos.

2. Domina el lenguaje propio de la programación lineal: función objetivo, restricciones, región factible, etc.

3. Aplica las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales en la solución de problemas sobre programación lineal.

4. Representa regiones factibles y determinar gráficamente los puntos donde puede darse la solución óptima y saber encontrar la solución óptima.

5. Plantea un problema de programación lineal partiendo de su enunciado en términos generales.

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6.

PROGRAMACIÓN LINEAL

MOTIVACIÒN

Un ejemplo histórico práctico de lo que es investigación operativa fue la que realizó Arquímedes, al aplicar los mejores métodos y medios para defender la ciudad de Siracusa de la pretendida invasión de los romanos. Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que, según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.

En la segunda guerra mundial la investigación operativa se beneficia de una aplicación sistémica de las grandes operaciones militares. Con la invención de la computadora, la investigación operativa se desarrolló en la vida civil y especialmente en la economía de las empresas.

En nuestros días, los problemas de gestión de las grandes empresas se ha convertido en irremediablemente complejos, si bien es cierto que los especialistas en investigación operativa deben estudiar los problemas que se presentan en dichas empresas y tienen que proponer los algoritmos necesarios para resolverlos; están también conscientes de que en la práctica se encontrará problemas muchos más complicadas por lo que deberá optar por una idea original para presentar al encargado de tomar decisiones ofreciéndole la posibilidad de optimizar según su propio criterio.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

El método para resolver una inecuación de tipo (donde representa >, <, o ) es análogo al que se usa para solucionar una ecuación lineal con una incógnita.

a) Resuelve

b) Halla el menor valor entero de “x” que satisface la inecuación

INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

1) Determina la solución de x – y < 12) Determina el conjunto solución de 3) Resuelve el sistema para valores enteros y positivos y

calcula (x + y)SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

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La solución de un sistema formado por dos inecuaciones lineales es el conjunto de puntos de la intersección de las regiones del plano que son solución de cada una de las inecuaciones.

1) Determina la solución del sistema

SOLUCIÓN.

a) Graficamos la solución de x – y < 1 b) Graficamos la solución de x + y >2

c) Determinamos la intersección de ambas gráficas

2) Resuelve gráficamente los siguientes sistemasa) b) c) d)

¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL?

Es una técnica matemática de optimización que consiste en la MAXIMIZACIÓN o MINIMIZACIÓN de una función lineal, llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a ciertas restricciones. Tiene infinidad de aplicaciones en la industria, la economía, la estrategia

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y = x - 1

x – y < 1

x + y >2

2

1

yx

yx


militar, etc donde se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, llamadas restricciones.

TERMINOLOGÍA

1) Variables de decisión: son las magnitudes que se deben identificar y determinar en el fenómeno a estudiar.

Por ejemplo: Si un empresario se dedica a la fabricación de alimentos teniendo como insumo la Maca las variables de decisión podrían ser entre otros: x : número de recipientes con dulces de Maca a producir en un día. y : número de bolsas con harina de Maca a producir en un día.

2) Restricciones: Son las limitaciones que se encuentran en un determinado problema o fenómeno que se está estudiando. Se expresan en términos de desigualdades o igualdades flexibles tales como .

3) Función Objetivo: Es una relación matemática que nos permite relacionar variables de decisión para poder maximizar las ganancias o minimizar los costos en una empresa. Es lo que deseamos alcanzar como meta.

4) Condición de no negatividad: En las respuestas a la solución de problemas, las variables de decisión no pueden tomar valores negativos. No se puede decir que una fábrica de juguetes produce, “menos 200 muñecas por ejemplo”

En conclusión:

Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:

a) Maximizar la función objetivo f(x ; y) = ax + by + c

b) Sujeto a las restricciones:

pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programación lineal intervienen:

La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo el que se optimiza. En esta expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.

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Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación

siguiente:Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de


Las restricciones son inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: menores: < o o mayores: > o . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.

Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se le denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto es solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no es solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible.

La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

REGIÓN FACTIBLE La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean de sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:

1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones

o semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un

punto y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.

2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones.Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

Veámoslo con un ejemplo: x + y 4

y 4

y x

Las rectas asociadas son: r: x + y = 4 ; s: y = 4 , t: y = x

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN (Colegas del curso, si desean ejemplos puedo enviárselos a sus correos)

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Método analítico o método de los vértices Método práctico.Método de las rectas de nivel

TIPOS DE SOLUCIONES.

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:

A) SOLUCIONES FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser:

1) CON SOLUCIÓN ÚNICA. Cuando la solución óptima se encuentra sólo en uno de los vértices de la región factible.

2) CON SOLUCIÓN MÚLTIPLE. Si existe más de una solución. Es decir cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del segmento que tienen por extremos a dos vértices de la región factible.

3) CON SOLUCIÓN NO ACOTADA. Cuando no existe límite para la función objetivo. Es decir, una solución es no acotada cuando la función objetivo no tiene valores extremos, pues la región factible es no acotada.

B) SOLUCIONES DEGENERADAS. Cuando la solución óptima de un problema se alcanza en un punto degenerado.Punto degenerado. Al punto donde coinciden tres o más rectas de las que constituyen los límites de una región factible, se le llama punto degenerado.

C) SOLUCIONES NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes. Gráficamente, una solución es no factible cuando no existe la región factible por falta de puntos comunes en el sistema de inecuaciones.

PROBLEMA DE MÁXIMOS.En la fábrica de alimentos de Maca se preparan dos clases de alimento balanceado, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 soles. y cada saco de Q a 800 soles. Si en los almacenes de la fabrica hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de alimento deben preparar para obtener los máximos ingresos?

PROBLEMA DE MÍNIMOS.La compañía “MANTARO” para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures.Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación.El coste de producción de un yogur de limón es de 30 soles y 20 soles uno de fresa.

PROBLEMA DEL TRANSPORTE.

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Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la situación conocida como problema del transporte o problema de la distribución de mercancías. Se trata de encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde varias plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de manera que se minimice el costo del transporte.

Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir: 1. La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.2. El total de unidades que salen del origen debe ser igual al total de unidades que

llegan al destino. PROBLEMA DE LA DIETA. El problema se llama así porque en sus orígenes consistió únicamente en determinar la dieta humana más económica. En su forma industrial más corriente, el problema consiste en saber cómo mezclar de la forma más económica posible las materias primas que constituyen un producto de fórmula química conocida.

EJEMPLOEn una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 soles y el del tipo Y es de 3000 soles. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Minimiza la función objetivo , considerando las siguientes restricciones ; ; por el método de las rectas de nivel.

2. Maximiza la función objetivo , considerando las siguientes restricciones ; ; por el método analítico.

3. Un fabricante desea producir bicicletas de paseo y montañeras, para lo cual cuenta con 80kg de acero y 120kg de aluminio. En la producción de cada bicicleta de paseo empleará 1kg de acero y 3kg de aluminio, y en las de montaña, 2kg de cada metal. Él se propone ganar s/. 270,00 por cada bicicleta de paseo y s/. 450,00 por cada bicicleta de montaña vendidas. Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña tendrá que fabricar y venderlas para obtener la máxima ganancia?

4. Una fábrica de conservas envasa salsa de tomate de los tipos A y B. La primera contiene 200g de tomate y 25g de carne por lata, la segunda 150g de tomate y 50gr de carne. Calcula la cantidad de latas que deben fabricarse de cada tipo para obtener el máximo beneficio, ganando en la venta de conservas a/.1,80 y s/. 2,30 respectivamente contando solamente con 4kg de tomate y 1,25kg de carne.

5. Maximiza la función objetivo , considerando las siguientes restricciones ; ; (Rpta. Solución no acotada)

6. Maximiza la función objetivo , considerando las siguientes restricciones ; ; (Rpta. Tiene infinitas soluciones)

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BIBLIOGRAFIA

1. ARBONAS, M.E. (1989) Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A,.

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Ciencias Sociales II. EDITEX 6. RAMOS,E. (1993) Programación lineal y Métodos de optimización. UNED 7. LARRAÑETA, J. (1987): Programación lineal y grafos. UNIVERSIDAD DE SEVILLA 8. TAHA, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. Pearson, Prentice may,

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S.A. EE.UU AA.

DIRECCIONES WEBBhttp://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/programacion/actividades/inecuacion.htm

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http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/programacion/actividades/inecuacion.htm

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/programacion/actividades/inecuacion.htm

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