PROGRAMACIN LINEAL ENTERA

En este captulo veremos problemas que se podran formular y resolver como problemas de programacin lineal, excepto por la desagradable circunstancia de que se requiere que algunas o todas las variables tomen valores enteros.

Dichos problemas se llaman PE (Programacin Entera).

La programacin entera ha llegado a ser un rea muy especializada de la ciencia de la administracin.

En el fondo es que existen muchos problemas administrativos importantes que seran de programacin lineal si no fuera por el requerimiento de que sean enteros los valores de algunas variables de decisin, en los que no se pueden encontrar una buena solucin mediante el uso del mtodo simplex seguido del redondeo de los valores ptimos resultantes para las variables de decisin.

Estos problemas deben ser resueltos mediante algoritmos especialmente diseados para resolver problemas de programacin entera.

TIPOS DE MODELOS PARA PROGRAMACIN LINEAL ENTERA

Modelo entero puro (PEP)

Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a108X1 + 92X2 + 58X3 576

7X1 + 18X2 + 22X3 83

X1, X2, X3 enteros

Programacin lineal entera-mixta (PLEM)

Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a108X1 + 92X2 + 58X3 576

7X1 + 18X2 + 22X3 83

X1, X2, X3 0; X1 y X2 enteros.

Problemas binarios o Programacin lineal entera 0-1.

Diversos problemas de asignacin, ubicacin de planta, planes de produccin y de construccin, son de programacin lineal entera 0-1. Las variables 0-1 se pueden encontrar tanto en problemas de PEP como PLEM.

INTERPRETACIN GRAFICA

Maximizar 18E + 6F

Sujeto a E + F 5(1)

42.8E + 100F 800(2)

20E + 6F 142(3)

30E + 10F 132(4)

E 3F 0(5)

E y F enteros

COMENTARIOS

En un problema de maximizacin, el valor ptimo de la aproximacin PL produce siempre una cota superior para el valor ptimo del PLE o PLEM original. Si se agregan restricciones de enteros el valor optimo de la PL, o bien empeorar, o bien quedar igual. En un problema de maximizacin, empeorar el valor ptimo significa desminuirlo.

En un problema de minimizacin, el valor ptimo de la aproximacin de PL siempre proporciona una cota inferior para el valor ptimo de la PLE o PLEM original. Nuevamente, el agregado de restricciones entera o bien empeora o bien deja igual el valor ptimo de la PL. En un problema de minimizacin, empeorar el valor ptimo significa aumentarlo.

otro ejemplo

APLICACIONES A LA VARIABLE 0-1

Las variables binarias o 0-1 juegan un importante papel en la aplicacin de las PLE y de la PLEM. Estas variables hacen posible incorporar decisiones de si o no, llamadas a veces decisiones dicotmicas, el formato de una programacin matemtica.

Dos ejemplos ilustran lo que decimos: 1.-En un problema de ubicacin de una planta pondremos Xj = 1 si decidimos ubicar la planta en la localidad j y Xj = 0 si decidimos no hacerlo.2.-En un problema de asignacin de rutas escribimos Xijk = 1 si el camin k va de la ciudad i a la ciudad j o Xijk = 0 si no lo hace.

EjemploPresupuesto de capital: Una decisin sobre expansin. Muchas firmas toman decisiones sobre inversiones anuales de capital. En forma simple, las decisiones sobre presupuestos del capital es cuestin de escoger entre n alternativas para maximizar el rdito, con sujecin a restricciones sobre el monto del capital invertido a plazos.

Como ejemplo, supngase que la mesa de directores de la Protrac afronta el problema que se resume a continuacin

Alternativa (j)Valor Actual del Rdito NetoCapital requerido en el ao i para la alternativa j12345Expansin de la planta en Blgica4010520100Expansion de la cap. de maq. pq. en E.U.703020101010Establecimiento de una nueva planta en Chile801020272010Expansin de la cap. de maq. gr. en E.U.1002010402020Capital disponible en el ao ibi5045704030

Alternativa (j)Valor Actual del Rdito NetoCapital requerido en el ao i para la alternativa j12345Expansin de la planta en Blgica4010520100Expansion de la cap. de maq. pq. en E.U.703020101010Establecimiento de una nueva planta en Chile801020272010Expansin de la cap. de maq. gr. en E.U.1002010402020Capital disponible en el ao ibi5045704030

Formulacin de un modelo de PLE. Maximizar 40X1 + 70X2 + 80X3 + 100X4 Sujeto a10X1 + 30X2 + 10X3 + 20X4 50 5X1 + 20X2 + 20X3 + 10X4 45 20X1 + 10X2 + 27X3 + 40X4 70 10X1 + 10X2 + 20X3 + 20X4 40 10X2 + 10X3 + 20X4 30 Xi = 0 1;i = 1, 2, 3, 4.

Condiciones Lgicas Un importante uso de las variables 0-1 consiste en imponer restricciones que surgen de condiciones lgicas veamos algunos ejemplo.

No ms de k de entre n alternativas

Supngase Xi = 0 o 1,para i = 1,..,n

La restriccin

X1 + X2 + .. + Xn k

Implica que cuando k alternativas de n posibilidades pueden ser seleccionadas. Es decir, ya que cada Xi puede ser solamente 0 1, la restriccin anterior dice que no ms de k de ellas pueden ser iguales a 1.

Por esta razn, la mesa directiva quiere descartar una decisin que incluya la expansin en Blgica y una nueva planta en Chile. Agregar la restriccin.X1 + X3 1Supongamos que para el caso de la Protrac, que no ms de un proyecto extranjero ser aceptado.

Decisiones dependientes Se pueden usar variables 0-1 para forzar una relacin de dependencias entre dos o mas decisiones. Supongamos, por ejemplo, que el administrador no desea elegir la opcin k a menos que se elija primero la opcin m.La restriccin Xk Xm(*) Xk Xm 0da vigencia a esta condicin.

Ntese que si m no es seleccionada, entonces Xm = 0. La ecuacin (*) obliga entonces a que Xk sea igual a cero (o sea que la opcin k no ser seleccionada).Por otra parte, si m es seleccionada, Xm = 1; entonces, por la expresin (*) tendremos que Xk 1. Esto deja al programa en libertad de elegir Xk = 1 Xk = 0.

Caso de la Protrac Por ejemplo, supngase que el administrador de la Protrac piensa que, si van a expandirse dentro de los Estados Unidos, su posicin competitiva implica que definitivamente deben expandir la capacidad en maquinas grandes.Agregando la restriccin X2 X4 0a la PLE se asegura que el modelo no puede optar por expandir la capacidad en mquinas pequeas a menos que haya elegido expandir la capacidad en maquinas grandes.

AnlogamenteSupngase que la mesa directiva decide: si vamos a expandir nuestra capacidad domestica, debemos expandir ambas lneas. Agregando la restriccin X4 X2 = 0

a la PLE, ya que implica que X4 y X2 deben tener el mismo valor.

Restricciones de aportaciones Considere a un administrador financiero que tiene las siguientes restricciones

Si compra la obligacin j, debe comprar al menos 20 acciones.

No puede comprar mas de 100 acciones de la obligacin j. Sea Xj el nmero de acciones de la obligacin j que compra.

La restriccin si se compra j debern comprarse al menos 20 acciones se llama cantidad mnima de aportacin o cantidad de la tanda.

Queremos que sea o bien Xj = 0 o 20 Xj 100. Para lograr esto necesitamos usar una variable 0-1, digamos yj, para la obligacin j.La variable yj tiene la siguiente interpretacin:Si yj = 1, se comprar la obligacin j.Si yj = 0 no se comprar la obligacin j.

Considrese ahora las dos restricciones

Xj 100yj(**)

Xj 20yj(***)Vemos que si yj = 1, entonces (**) y (***) implican que 20 Xj 100.

Por otra parte si yj = 0, entonces (**) implica que Xj 0.

Las dos desigualdades juntas implican que Xj = 0.

Entonces, si yj = 1, con lo que se compra j, y 0 cuando no, tenemos la condicin apropiada para Xj.

PROBLEMA DE UBICACIN DE LOS ALMACENES STECO. Con el objeto de ahorrar capital, la Steco, comerciante al por mayor de acero, alquila sus almacenes regionales. El alquiler mensual del almacn i es Fi. Adems, el almacn i puede manejar un mximo de Ti camiones al mes.

Hay cuatro distritos de ventas y la demanda mensual acostumbrada del distrito j es de dj camiones cargados. El costo medio de enviar un camin del almacn i al distrito j es Cij. La Steco quiere saber cuales almacenes alquilar y cuantos camiones enviar de cada almacn a cada distrito.

AlmacnCosto por camin (Cij)Distrito de ventasCapacidad Mensual(numero decamiones)Costo mensual del alquiler1234A17040701602007750B150195100102504000C100240140603005500Demanda mensual (camiones cargados)1009011060

Consideraciones sobre la formulacin del modelo La decisin de alquilar o no un almacn en particular parece requerir una variable 0-1, puesto que el costo de alquilar un almacn i no varia con el nivel de la actividad (por ejemplo, con el numero de camiones enviados desde l) yi = 1si se alquila el almacn i yi = 0 si no

En primera instancia parece adecuado considerar el nmero de camiones enviados del almacn al distrito como una variable entera. Hay varios factores que indican considerar el numero de camiones como una variable continua, a saber:1.-Este es un modelo de planeacin, no un sistema detallado de operacin. En este caso, el nmero de camiones que indique la solucin de nuestro problema de programacin matemtica que vayan del almacn i al distrito j es slo una aproximacin de lo que realmente ocurra en un da dado.

2.-Considerar el nmero de camiones como variable entera hara el problema mucho ms difcil de resolver.

3.-Claro est que cuesta mucho ms el alquiler de un almacn que el envi de un camin desde el almacn al distrito de ventas. La magnitud relativa de estos costos implica otra vez que es relativamente ms importante la decisin de alquilar o no alquilar considerada como variable entera, en oposicin a lo de los camiones.

Un modelo de PLEM Para elaborar el modelo del problema de la Steco, hagamos yi = 1si se alquila el almacn i yi = 0si no se alquila el almacn i

i = A, B, C.

Xij = numero de camiones enviados del almacn i al distrito j i = A, B, C ; j = 1,.., 4.

Funcin ObjetivoCosto total asociado a los camiones 170XA1 + 40XA2 + 70XA3 + 160XA4 + 150XB1 + 195XB2 + 100XB3 + 10XB4 + 100XC1 + 240XC2 + 140XC3 + 60XC4

Costo total asociado al arriendo o alquiler. 7750yA + 4000yB + 5500yC

Minimizar7750yA + 4000yB + 5500yC + 170XA1 + 40XA2 + 70XA3 + 160XA4 + 150XB1 + 195XB2 + 100XB3 + 10XB4 + 100XC1 + 240XC2 + 140XC3 + 60XC4

Para el distrito de venta 1

XA1 + XB1 + XC1 = 100Para el distrito de venta 2XA2 + XB2 + XC2 = 90Para el distrito de venta 3

XA3 + XB3 + XC3 = 110

Para el distrito de venta 4XA4 + XB4 + XC4 = 60

La restriccin XA1 + XA2 + XA3 + XA4 200 yA XA1 + XA2 + XA3 + XA4 - 200 yA 0 Cumple dos propsitos. Garantiza que la capacidad del almacn A no ser excedida y Obliga a alquilar el almacn A si se quiere enviar algo de l.

Las dems restricciones son

XB1 + XB2 + XB3 + XB4 250 yB XC1 + XC2 + XC3 + XC4 300 yC

Minimizar7750yA + 4000yB + 5500yC + 170XA1 + 40XA2 + 70XA3 + 160XA4 + 150XB1 + 195XB2 + 100XB3 + 10XB4 + 100XC1 + 240XC2 + 140XC3 + 60XC4.Sujeto a (2)XA1 + XB1 + XC1 = 100(3)XA2 + XB2 + XC2 = 90(4)XA3 + XB3 + XC3 = 110(5)XA4 + XB4 + XC4 = 60(6)- 200 yA + XA1 + XA2 + XA3 + XA4 0 (7)- 250 yB + XB1 + XB2 + XB3 + XB4 0(8)- 300 yC + XC1 + XC2 + XC3 + XC4 0 yi = 0 1i = A, B, C

MODELO

VALOR DE LA FUNCIN OBJETIVO = 38.150

VARIABLESVALORVARIABLEVALORYA1.00XB10.00YB0.00XB20.00YC1.00XB30.00XA10.00XB40.00XA290.00XC1100.00XA3110.00XC20.00XA40.00XC30.00XC460.00