Profundizacin del uso de las planilla de clculo Excel como recurso didctico matemtico y auxiliar de prcticas de laboratorio.PROF. LEILA D. TAJANI Departamento de Matemtica, Fsica y Cosmografa Instituto de Enseanza Superior N1 Dra. Alicia Moreau de Justo Crdoba 2016- Buenos Aires leilatajani@arnet.com.ar El presente trabajo tiene origen en mi experiencia personal al tomar el dictado de la materia Clculo Numrico perteneciente al ltimo ao del Profesorado de Matemtica, Fsica y Cosmografa, complementado con mi trabajo como ayudante de Laboratorio de Fsica en la misma carrera. El aprendizaje de los mtodos numricos tradicionales, ha dejado de tener vigencia con el advenimiento de numerosos programas matemticos muy potentes y de variada dificultad: Derive, Study Work, Mathemtica, Matlab, etc. Hoy por hoy una integral complicada o una ecuacin no lineal no revisten mayor dificultad de resolucin. Por ello, los objetivos que el Clculo Numrico tena hace 10 aos atrs han cambiado a tal punto que ha desaparecido como materia en la Facultad de Ingeniera de la UTN ,entre otras universidades. En lo que respecta a la formacin del docente de matemtica, he rescatado de esos mtodos sus objetivos y algoritmos fundamentales que siguen teniendo una gran riqueza conceptual, sobre todo para el profesor en formacin. Pero el uso de estos recursos informticos se ve muchas veces dificultado por la inexistencia de los mismos en las escuelas y universidades, ya sea por su alto costo o por lo limitado del hardware de las instituciones. Estas dos ltimas razones tambin limitan el uso hogareo de estas aplicaciones tanto en alumnos como profesores. Sin embargo estos inconvenintes se pueden sortear si se trata de aprovechar el software ms comunmente presente en todas las computadoras personales: el paquete Office de Microsoft, particularmente la planilla de clculo Excel. Este programa tiene una gran potencia matemtica y lgica que no es conocida por el usuario comn. Los jvenes de la escuela media y de los primeros cursos universitarios suelen utilizarla (en el mejor de los casos) slo para listas simples. Por todo lo antes dicho, trato de orientar a los futuros profesores en el aprendizaje de esta herramienta, para que puedan usarla con un fin didctico en matemtica y/o utilitario, en el caso de aplicaciones de laboratorio de fsica. Lo que sigue son ejemplos cortos de varias aplicaciones y sus fundamentaciones respectivas. a) Anlisis de funciones (intervalos de positividad y negatividad, ceros) b) Derivada y diferencial c) Ecuaciones diferenciales por diferencias finitas d) Ajuste de curvas a datos experimentales e) Uso de las escalas logartmicas Generalidades sobre el uso de la planilla Para realizar todos los ejemplos que luego se describen, se requiere una habilidad mnima con las siguientes operaciones: Direccionamiento de celdas Operaciones entre celdas Referencias absolutas y relativas Copia relativa Uso del comando PEGAR FUNCION y sus opciones matemticas y lgicas Uso del comando ASISTENTE PARA GRAFICOS Uso completo del men GRAFICOS a) Anlisis de funciones En los cursos de escuela media y de los primeros aos de carreras de nivel superior, el anlisis de funciones es enfocado analtica y grfic amente. Mi propuesta es enfoncar el tema desde la generacin de la tabla de valores

XY, ya que obtenerla es muy sencillo con la ayuda de la planilla de clculo. Normalmente este recurso es poco usado ya que, para funciones de cierta dificultad, la obtenci n de pares ordenados se hace tediosa. La tabla del Anexo n1 est extraido de una planilla Excel, para el desarrollo de la funcin f ( x) = x2 1 . Mediante funciones lgicas se puede agregar la columna que identifica la positividad y negatividad y la existencia de ceros. El recuadro lateral permite variar el tamao el dominio y el incremento de la variable. Esto ltimo es especialmente til cuando se detecta un cambio de signo para funciones continuas, ya que se puede inspeccionar el intervalo adecuado para detectar los ceros de la funcin. Ventajas observadas: Mejora la identificacin de las variables independiente y dependiente ya que el alumno debe programar la funcin haciendo referencia a direcciones de celdas cuyo contenido puede cambiar a voluntad, obteniendo el nuevo resultado inmediatamente Se observa ms contundentemente el echo de que la variable independiente puede adoptar cualquier valor mientras pertenezca al dominio Si un valor de la v.i. no pertenece al dominio, la celda vinculada respectiva da un mensaje de error Se viazualisa ms claramente que un intervalo de positividad o negatividad es un conjunto de v.i. cuyas imgenes son positivas o negativas. La determinacin de esto intervalos se logra por inspeccin directa de la tabla De igual modo se comprende que un cero de la funcin es un valor de la v.i. cuya imagen es nula.

cuando el incremento de la v.i. se hace ms pequeo, se aproxima a la funcin derivada como se observa en la tabla y grficos del Anexo n2 b.2) De manera similar tambin puede verificarse que el incremento de una funcin se aproxima al diferencial, cuando el incremento de la v.i. disminuye como se observa en el ejemplo del Anexo n3 En ambos casos las tablas se obtienen con operaciones sencillas entre celdas y copia relativa. Ventajas observadas: Mejora la comprensin de los conceptos de derivada y diferencial Los alumnos identifican mejor la diferencia conceptual y operativa entre ambos trminos

c) Ecuaciones diferenciales por diferencias finitas Partiendo del echo demostrado en los ejemplos del apartado b) de poder aproximar la funcin derivada a un cociente de incrementos con un incremento de la v.i. apropiado, derivadas de orden superior podrn ser aproximadas con la misma idea. Estos conceptos posibilitan la resolucin de ecuaciones diferenciales utilizando restas y divisiones Ventajas observadas: Se puede abordar el concepto de ecuacin diferencial sin tener que tratar el tema integrales Si se trabaja en el nivel medio, pueden resolverse problemas que involucren este tipo de cuaciones sin necesidad de definirlas como diferenciales Se mejora la comprensin del concepto de tasa de cambio de una variable

Podramos seguir enumerando ventajas, pero a esta altura la imaginacin de docentes y alumnos puede arbitrar las variantes deseadas. b) Derivada y diferencial b.1) Con simples tablas puede verificarse que el cociente de incrementos de una funcin

Lo que se observa en el Anexo n4 es la tabla y el grfico obtenidos para la resolucin de un transitorio en un circuito RLC serie.

d) Ajuste de curvas a datos experimentales Obtenidos los datos de un prctico de laboratorio de fsica, es un objetivo en la mayora de ellos, verificar alguna ley de variacin de las magnitudes en juego o bien decubrir la funcin suyascente en el fenmeno estudiado. La planilla de clculo contiene entre sus funciones , la posibilidad de ajustar una curva a los datos ubicados en un grfico cartesiano. Una vez volcado los datos y obtenido el grfico cartesiano, se seleccionan los mismos con un doble click, y en la opcin grfico de la barra de opciones se elije Ajuste de curvas. El resto puede seguirse fcilmente ya que el Excel se maneja mucho con los asistentes. El programa usa el mtodo de los cuadrados mnimos, obteniendose la ecuacin de dicha curva y el coeficiente de determinacin. La curva de ajuste se puede elegir entre las siguientes posibilidades: lineal, polinmica, exponencial, logartmica y potencial . Ventajas observadas: Que el ajuste no sea manual, permite obtener una la conclusin rpida de la experiencia realizada ya que los alumnos vuelcan inmediatamente los resultados a la planilla y esto favorece a que lo engorroso del mtodo de los cuadrados mnimos, deje en segundo plano el objetivo de la prctica de laboratorio. El poder variar el tipo de curva de ajuste, permite comparar los coeficientes de determinacin, y as decidir la mejor opcin Como la planilla permite dibujar los datos en un grfico cartesiano con sus correspondientes segmentos de error, es muy interesante observar como la mejor curva pasa por la mayora de los restangulos de error.

de las curvas de prdidas totales de distintas chapas para la construcin de mquinas electricas en funcin de la frecuencia o de tg en funcin de la frecuencia para dielctricos. Estas pueden elaborarse muy sencillamente con las opciones grficas del Excel ya que una vez ingresados los datos y obtenido un grfico cartesiano se realiza un doble click en cada uno de los ejes y el men contextual que aparece tiene la solapa escala donde slo hay que tildar la opcin escala logartmica. Tambin pueden volcarse los datos de una experiencia y buscar la funcin interpolante, linealizando dichos datos con un cambio de escala apropiado. Por ejemplo, si el fenmeno analizado responde a una funcin del tipo y = A.x B aplicando logaritmos en ambos miembros obtenemos log y = log A + B.log X La linealzacin obtenida en hoja logaritmica i nos llevar a la lectura directa del valor de A (ordenada al origen) y el clculo de B como log y 2 log y1 log x 2 log x1 Si el fenmeno respondiese a una funcin del tipo exponencial y = A.B x aplicando logaritmos a ambos miembros obtenemos log y = log A + x.log B B= La linealizacin semilogaritmica nos directa del valor de A clculo de B como log B= obtenida en hoja llevar a la lectura (ordenada al origen) y el y2 log y1 x2 x1

Ver el elejmplo del Anexo n5 e) Uso de las escalas logartmicas Numerosas aplicaciones ingenieriles, necesitan de la elaboracin de tablas en hojas logaritmicas o semilogaritmicas. Tal es el caso

Ver ejemplos del Anexo n6 Consideraciones generales Bibliografa

Anexo n1x -2,000 -1,700 -1,400 -1,100 -0,800 -0,500 -0,200 0,100 0,400 0,700 1,000 1,300 1,600 1,900 2,200 y

f ( x) = x2 1

3,00 pos 1,89 pos 0,96 pos 0,21 pos -0,36 neg posible cero entre -0,75 neg -0,96 neg -0,99 neg -0,84 neg -0,51 neg 0,00 cero 0,69 pos 1,56 pos 2,61 pos 3,84 pos

valor inicial valor final salto -1,1 -0,8

-2 2 0,3

volver Anexo N2 Para la funcin

f (x) = x3 con x = 0,5y -125 -91,125 -64 -42,875 -27 -15,625 -8 -3,375 -1 -0,125 0 0,125 1 3,375 8 15,625 27 42,875 64 91,125 125 y 33,875 27,125 21,125 15,875 11,375 7,625 4,625 2,375 0,875 0,125 0,125 0,875 2,375 4,625 7,625 11,375 15,875 21,125 27,125 33,875 Dy/Dx 67,75 54,25 42,25 31,75 22,75 15,25 9,25 4,75 1,75 0,25 0,25 1,75 4,75 9,25 15,25 22,75 31,75 42,25 54,25 67,75 derivada 75 60,75 48 36,75 27 18,75 12 6,75 3 0,75 0 0,75 3 6,75 12 18,75 27 36,75 48 60,75 diferencial 37,5 30,375 24 18,375 13,5 9,375 6 3,375 1,5 0,375 0 0,375 1,5 3,375 6 9,375 13,5 18,375 24 30,375

x -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

El siguiente grfico muestra como las curvas de los cocientes incrementales se aproximan a la funcin derivada cuando x se hace cada vez ms pequeo.

5

4,5

4

3,5

3

2,5

derivada Dy/Dx=1 Dy/Dx=0,5 Dy/Dx=0,25 Dy/Dx=0.1

2

1,5

1

0,5

0 -1 0 1

volver Anexo n310 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3

Incremento para Dx=1

diferencial

Incremento para Dx=0,5

diferencial

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00 1 2 3 4 5

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-5

-4

-3

-2

-1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Incremento para Dx=0,25

diferencial

Incremento pata Dx=0,1

diferencial

volver

Anexo n4 La ecuacin diferencial a resolver es:

i ' '+

R 1 .i ' + .i = 0 L L .CRcrit = E= R= L= C= DT= 20 10 7 10 0,1 0,1

t0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

i0 0,1 0,193 0,27849 0,35607 0,42543 0,48637 0,5388 0,58269 0,61812 0,64524 0,66428 0,67554 0,67937 0,67617 0,66641

i x 1/LC0 0,1 0,193 0,27849 0,35607 0,42543 0,48637 0,5388 0,58269 0,61812 0,64524 0,66428 0,67554 0,67937 0,67617 0,66641

i'1 0,93 0,8549 0,7758 0,6936 0,6094 0,5242 0,4389 0,3543 0,2712 0,1904 0,1126 0,0383 -0,032 -0,0977 -0,1584

i' x R/L0,7 0,651 0,5984 0,543 0,4855 0,4266 0,367 0,3072 0,248 0,1899 0,1333 0,0788 0,0268 -0,0224 -0,0684 -0,1109

i''-0,7 -0,751 -0,79143 -0,82152 -0,841589 -0,852038 -0,85334 -0,846031 -0,830699 -0,807981 -0,778546 -0,743091 -0,702333 -0,656997 -0,607811 -0,555499 i(0)=0 i'(0)=E/L

i mx = 0,679369 t mx = 1,3 posicin = 15

Esto es tan solo una fraccin de la extensa tabla calculada.

0,8

0,6

corriente

0,4

0,2

0 0 -0,2 5 10 15 20

-0,4

tiempo

volver Anexo n5 En este grfico se observan una serie de pares ordenados, con sus respectivos segmentos de error, que responden aproximadamente a una funcin cuadrtica. La funcin interpolante y el coeficiente de determinacin se aprecian en el ngulo superior izquierdo.

experimento n1100

90

80 70

y = 0,9095x2,0399 R2 = 0,9927

variable estudiada

60

50 40

30

20

10 0 0 2 4 6 8 10 12

tiempo

volver Anexo n6 Grfico de la funcin y = 3. x en hoja logartmica

100,00

10,00

1,00 1 10 100

Grfico de la funcin

y = 0,1 .2 x en hoja semilogartmica

100

10

1

0,1 0 2 4 6 8 10

volver Adems hay otras fuciones matemticas que se pueden aprovechar en distintos niveles educativos, por ejemplo la funcin Mnimo Comn Mltiplo o Mximo Comn Divisor y todas las funciones referidas a nmeros complejos, adems de por supuesto, las funciones estadsticas que son las que ms se conocen de este programa. Esto fue solo un conjunto de ideas orientadoras para incentivar a los docentes a profundizar su conocimiento sobre esta herramienta tan difundida entre los usuarios de PC, entre los que se destacan nuestros alumnos, que la mayora de las veces no conocen la cantidad de tareas que con ella pueden realizar. Bibliografa Manuel Sadosky (1981) Clculo Numrico y Grfico Editorial del Colegio - Buenos Airesq

Consideraciones generales Describir en este texto todos los pasos relizados en la programacin de cada uno de los ejemplos, sera muy largo. La explicacin oral junto a la ejecucin de los ejemplos en la planilla Excel es mucho ms explcita. Adems en cada ejemplo surgen ideas nuevas basndose en el conocimiento de las posibilidades de la planilla y del tema que se est tratando. Por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, a la resolucin del transitorio de una configuracin circuital, se puede agregar la deteccin del valor mximo de la corriente, el instante en que se da ese pico y su posicin en la tabla, es decir que pueden agregarse funciones de base de datos. En el anlisis de funciones, pude agregarse una columna con la funcin derivada y detectar intervalos de crecimiento, decrecimineto y puntos crticos usando las funciones lgicas de manera anloga al ejemplo del Anexo n1.

Curtis Gerald (1987) Anlisis Numrico Editorial Representaciones y Servicios de Ingeniera- Mxicoq

Dale Seymour y Margaret Shedd (1981) Diferencias Finitas: una tcnica para resolver problemas C.E.C.S.A Mxico- 1981q

Juan Foncuberta (1999) Apuntes tomados de sus Debates sobre la Enseanza de la matemtica realizados en el I.N.S.P.T. dependiente de la U.T.N.q

N. Piskunov (1991) Clculo diferencial e integral Grupo Noriega Editores/ Uteha Mxicoq q

Textos varios extrados de manuales de programas, fascculos y archivos de Internet