Profa . Sheila Rosario, MA 10 de noviembre de 2012 Matemática Intermedia
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Posibilidad y Probabilidad.Conteo, permutaciones,
combinaciones, probabilidad y esperanza matemática
Profa. Sheila Rosario, MA10 de noviembre de 2012Matemática Intermedia
Universidad de Puerto Rico de Aguadilla División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP)
Propuesta: CeCiMaT - Segundo Generación, Tercer Año(Centro para el Entendimiento en las Ciencias y las Matemáticas con la Tecnología)
Programa Titulo II-B
Definición
PosibilidadAptitud, potencia u ocasión para que
algo exista o suceda.
DefiniciónProbabilidad
Es la posibilidad o la oportunidad de que
ocurra un evento específico.
La probabilidad es una proporción o
fracción cuyo valor se encuentra entre 0
y 1 inclusive.
DefiniciónProbabilidad
Se observa que un evento que no tiene posibilidad de ocurrir ( es decir, el evento imposible) tiene probabilidad 0, mientras que un evento que ocurrirá con seguridad (es decir, el evento seguro) tiene probabilidad de 1
Probabilísticocuando todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser Seleccionados.
No probabilísticocuando no todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.
Tipos de Muestreo
DefinicionesSuceso- es cualquier conjunto de resultados o
consecuencias de un procedimiento.
Suceso o Evento Simple – es un resultado
o un suceso que ya no puede desglosarse en
componentes mas simples. Puede describirse por
una sola característica.
Espacio muestral – de un procedimiento se
compone de todos los sucesos simples posibles. Es
decir, el espacio muestral esta formado por todos
los resultados que ya no pueden desglosarse mas.
Es el conjunto de todos los posibles resultados de
un experimento.
Definición
Ejemplo de espacio muestralEl espacio muestral se determina como:
2 n
(En la mayoría de los casos de evento simple)
Ejemplo: a.) Describe el espacio muestral al lanzar tres monedas.
b.) Extracción de dos canicas de una caja que contiene cuatro canicas blancas y tres negras.
Ejemplo de espacio muestralProcedimiento Ejemplo de
sucesoEspacio Muestral
completo
Un solo nacimiento
Niña ( suceso simple)
{f, m}
3 nacimientos 2 niñas y un niño(ffm, fmf, mff son eventos simples que dan como resutado 2 niñas y 1 niño)
{fff, ffm,fmf, fmm, mff,mfm, mmf,mmm}
Inténtalo¿Cuál seria es espacio muestral del
tiempo, con relación a la lluvia, que
hará durante tres días consecutivos?
Probabilidad Clásica o PrioriProbabilidad Simple
La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. Es aquello que se puede deducir usando sólo la razón, sin recurrir a la experiencia.Es donde cada resultado es igualmente posible.
P(A) = Número de eventos clasificables como A Número total de eventos posibles
EjemplosEj. 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado?
Ej. 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
EjemplosEj. 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero primo al lanzar un dado?Ej. 4: ¿Cuál es la probabilidad de extraer un A de un paquete de 52 cartas? (casino)Ej. 5: Supón que se extraen 2 cartas de un paquete de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean espadas?
Ej. 6: Se extrae una baraja de 40 cartas (españolas). ¿Cuál es la probabilidad de que…
a) una carta que sea denominada con el numero 1?b) que la carta sea oro?
Ej. 7: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 8 al lanzar 2 dados? (Encuentra primero el espacio muestral)
Ejemplos
La Regla de SumaLa regla de la suma sirve para determinar la
probabilidad de que ocurra algunos de
varios eventos posibles al mismo tiempo.
Para comenzar nuestro análisis,
supongamos que sólo existen dos eventos
posibles: A y B
Sucesos ComplementariosEl complemento de un suceso A, denotado
por Ã, consiste en todos los resultados en
los cuales el suceso A no ocurre.
Genero al nacerEn realidad nacen mas niños que niñas. En un Grupo típico , hay 205 bebes recién nacidos y 105 de ellos son niños. Si un bebe del grupo es seleccionado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un niño?
Ejemplo 8
Definición Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes
Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan).
Definición Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes
La probabilidad de ocurrencia de A ó B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B menos la probabilidad de que ocurran ambos, A y B.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
P AóB P A P B P AyB
P A B P A P B P A B
Supongamos que queremos determinar la probabilidad de sacar una A o un trébol de una baraja de cartas ordinarias.¿Por qué tenemos que restar la probabilidad de obtener un A y un trébol a la vez?
Ejemplo 9
Ejemplos Ej. 10: ¿Cuál es la probabilidad de elegir un 10 o un 4 al extraer una carta de una baraja ordinaria?
Ej. 11: Al lanzar un dado calibrado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 ó un número par?
Definición Probabilidad compuesta para sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos otros sucesos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las probabilidades de la ocurrencia de los demás). Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.
P(A y B)=P(A)●P(B)
Ejemplos Ej. 12: Una bolsa contiene 3 canicas rojas y 5 azules. Se extrae una canica y después se reemplaza. Luego se extrae otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas ocasiones se extraiga una canica azul?
Ej. 13: Se lanzan 2 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengas caras?
EjemplosEj. 14: Un dado tiene las letras A, B, C, D, E y F sobre sus caras. Otro dado tienes los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sobre sus caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar ambos dados se obtenga la letra D y un numero impar? ¿Cuáles la probabilidad de obtener una vocal junto con el número 6?
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DefiniciónConteo (Regla fundamental del conteo)
Para una secuencia de dos sucesos en la que el
primero puede ocurrir de m formas y el segundo
puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos
pueden ocurrir un total de m●n formas.
DefinicionesEn matemáticas se utiliza un lenguaje preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
DefiniciónPermutaciónTodas las posibles combinaciones de un conjunto
de cosas. Una permutación es una
combinación ordenada.
¡Así que esto se podría llamar "cerradura de permutación"!
Tipos de permutacionesDebemos recordar: "Permutación... Posición“
Se permite repetir:
como en la cerradura, podría ser "333".
Sin repetición:
por ejemplo los tres primeros en una carrera.
No puedes quedar primero y segundo a la vez.
Tipos de permutaciones1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = n r
Por ejemplo en la cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
2. Permutaciones sin repeticiónEn este caso, se reduce el número de
opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16
bolas de billar?
Tipos de permutaciones
Fórmula
donde n es el número de cosas que puedes
elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
)!(
!
rn
nPrn
Función factorial
La función factorial (símbolo: )
significa que se multiplican números
descendentes.
Ejemplos:
4! =
7! =
EjemplosEj. 15:Elige en orden 3 bolas de 16
Ej. 16:¿De cuantas maneras se pueden dar el primer y
segundo premio entre 10 personas?
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DefiniciónCombinación
La selección de un grupo de objetos a partir de un conjunto sin importar el orden.
Existen dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa)
Se puede repetir:como monedas en tu bolsillo:
5, 5, 5, 10, 25Sin repetición:
Como números de lotería: 2, 14, 15, 27, 30, 31
1. Combinaciones con repeticiónTipos de combinaciones
1 ( 1)!
!( 1)!
n r n r
r r n
EjemploEj. 17:Digamos que tenemos cinco sabores de helado:Banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 de esos sabores. ¿Cuántas variaciones hay?
2. Combinaciones sin repeticiónImaginemos que son permutaciones pero no nos importa el orden.
En el ejemplo utilizado de las bolas de billar si queremos sacar 3 sin importar en orden podemos Ver estas opciones:123, 132, 213, 231, 312, 321 = 6 posibilidades = 3!
Tipos de combinaciones
FórmulaA esta formula también se le llama “coeficiente binomial”
Donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (no se puede repetir, el orden no importa)
!( , )
!( )!n
r n r
nnC n r C C
rr n r
EjemploEj. 17:Elige en orden 3 bolas de 16
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Esperanza Matemática - Valor
Esperado:Se define como esperanza matemática de una
variable aleatoria a la suma de la probabilidad
de cada suceso multiplicada por el resultado del
mismo.