Productos notables vs factorización
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PRODUCTOS NOTABLES VS. FACTORIZACIÓN
Productos Notables Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo desarrollo se puede hacer por simple inspección.
Binomio al cuadrado
a) El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término más el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.
222 2 bababa Ejemplo:
4236222323223 412392232323 yyxxyyxxyx 36126626 2222 yyyyy
b) El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término
menos el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.
222 2 bababa Ejemplo:
25105525 2222 xxxxx
1441122212 3264232232232 yxyxyxyxyx
Producto de la suma por la diferencia de dos términos algebraicos El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
22 bababa Ejemplo:
49777 222 xxxx 819939393 422222 xxxx
Producto de dos binomios de la forma:
bxax El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.
abbaxbxax 2
Ejemplo:
30116.56565 22 xxxxxx 65232323 22 xxxxxx 20454545 22 xxxxxx 352575757 22 xxxxxx
Binomio al cubo
a) El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
32233 33 babbaaba Ejemplo:
125751512525315553535 232332233 xxxxxxxxxx
32369
32369
323233333
125150608
12525235438
5523523252
yyxyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
b) El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
32233 33 babbaaba Ejemplo:
27279
27939
333333
23
23
32233
yyy
yyy
yyyy
15102546
15102546
3525252232352
860150125
84532253125
2253253525
bbabax
bbabax
bbabaaba
[Escribir texto]
Factorización
La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el término original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera
2x2x5, y a² se factoriza a x a. Cuando se factoriza un polinomio como 652 xx su resultado es 23 xx .
Factor Común Determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor exponente común de un polinomio. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común. Ejemplos:
)2(4
comúnFactor
48 22
baab
abba
)3(3
comúnFactor
93
aby
yaby
Trinomio cuadrado perfecto
222 2 yxyxyx Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización. Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado. Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces. Si el doble producto que aparece en el “Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo. Si el doble producto que aparece en el “Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos. Ejemplos:
a)
222
2
2
22
)3+2(=9124 :Entonces
Perfecto Cuadrado Trinomioun Es
123.2.2
39
24
9124
zxzxzx
xzzx
zz
xx
zxzx
[Escribir texto]
b)
2336
33
36
36
)4
1+2(=
16
14 :Entonces
Perfecto Cuadrado Trinomioun Es
4
1.2.2
4
1
16
1
24
16
14
xxx
xx
xx
xx
Cubo perfecto
33223 33 yxyxyyxx Se identifican los cubos perfectos y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización. Luego se obtiene el triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo y después el triple producto del primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda. Finalmente, si estos cálculos figuran en el polinomio dado se puede decir que es un Cubo Perfecto y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces. Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo. Ejemplos:
a)
33223
22
22
3 3
3 3
3223
3b)-2(=2754368 :Entonces
Perfecto Cuboun Es
54)3).(2.(3
36)3.()2.(3
327
28
2754368
ababbaa
abba
baba
bb
aa
babbaa
b)
323
2
22
3
3 3
23
)1-2
1(=1
2
3
4
3
8
1 :Entonces
Perfecto Cuboun Es
2
3)1.(
2
1.3
4
3)1.()
2
1.(3
11
2
1
8
1
12
3
4
3
8
1
xxxx
xx
xx
xx
xxx
[Escribir texto]
Diferencia de cuadrados
))((22 yxyxyx Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno), se transforma la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos. Ejemplos:
a) )53)(53(259 :Entonces
525
39
259
22
2
2
22
yxyxyxyy
xx
yx
b)
yzxyzxyzxEntonces
yzyz
xx
yzx
2323246
224
36
246
3
2
3
2
9
4:3
2
9
4
9
4
Trinomio de la forma de la forma
baxx 2
Se le calcula la raíz cuadrado al primer término. Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término y sumados el segundo término del trinomio
bxaxabxbaxdcxx 22
Ejemplos:
656.5653011 22 xxxxxx 23232365 22 xxxxxx 45454520 22 xxxxxx
573522 xxxx
Suma de cubos 2233 babababa
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cúbicas. El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cúbica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo:
Factorizar 13 x
Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx
Se obtiene como resultado 111 23 xxxx
[Escribir texto]
Resta de cubos
2233 babababa Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cúbicas. El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cúbica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo:
Factorizar 13 x
Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx
Se obtiene como resultado 111 23 xxxx
Trinomio de la forma
cbxax 2
Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1. Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el
producto en el segundo término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma baxx 2, se
cambian posición los coeficientes del producto del segundo término y se factoriza el trinomio
utilizando el caso del trinomio de la forma baxx 2. Luego, se extrae factor común de cada uno
de los binomios de la factorización. Por último, se divide por el coeficiente por el cual se multiplicó en el primer paso, y se simplifica. Ejemplo:
Factorizar 26 2 xx 26 2 xx
Se obtiene como resultado: )12(2326 2 xxxx i
i Apartes tomados de http://karmora.blogspot.com/
http://videosmatematicos1.blogspot.com/2012/01/productos‐notables‐teoria‐y‐ejercicios.html
http://cienciasbasicasyohanmontano.weebly.com/uploads/6/4/6/4/6464658/productos_notables__vs__factorizacin.doc