Producto y división de dos series a partir de los ...PRODUCTO Y DIVISIÓN DE DOS SERIES A PARTIR DE...
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Producto y división de dos series a partir de los coeficientes de Fourier. Francisco Parra Rodríguez Doctor en Ciencias Económicas. UNED PRODUCTO Y DIVISIÓN DE DOS SERIES A PARTIR DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 3.0 Unported License Producto de convolución Sean y y z dos vectores de dimensión N. Se define su producto de convolución z y ; como el vector: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = * - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 1 1 2 3 2 2 1 1 0 1 1 0 2 4 2 3 1 2 0 3 1 4 2 0 2 1 1 2 0 2 1 3 2 1 2 0 1 1 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 ... ... . ... ... ... y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z y z z y N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N El producto de convolución se puede expresar de forma matricial:
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Producto y división de dos series a partir de los
coeficientes de Fourier.
Francisco Parra Rodríguez
Doctor en Ciencias Económicas. UNED
PRODUCTO Y DIVISIÓN DE DOS SERIES A PARTIR DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER
by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 3.0
Unported License
Producto de convolución
Sean y y z dos vectores de dimensión N. Se define su producto de
convolución zy ∗ ; como el vector:
++++++++++
++++++++++
+++++
=∗
−−−−−
−−−−−−
−−
−−−
−−−−
0112322110
1102423120
3142021120
2132120110
1122221100
...
...
.
...
...
...
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
zy
NNNNN
NNNNNN
NN
NNN
NNNN
El producto de convolución se puede expresar de forma matricial:
⋅
=∗
−
−
−−−
−−−−
−
−−
1
2
3
1
01321
10432
3412
2211
1221
.
.
.
......
.
.
.
N
N
o
NNN
NNNN
o
No
NNo
z
z
z
z
z
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
zy
La matriz cuadrada del producto de convulsión recibe el nombre de matriz
circulante ya que los elementos de la primera columna van rotando su posición
en las columnas sucesivas.
La transformada discreta de Fourier del producto de convolución de zy ∗ es el
producto de Hadamard de las correspondientes transformadas de y y de z :
( ) )()( zDFTyDFTzyDFT ⋅=∗
Una forma de calcular zy ∗ es a traves de la multiplicación coordenada a
coordenada de las transformadas de y y de z ; obteniendo la transformada
inversa de este vector ( ( )zyDFT ∗ ).
Producto de Kroneker
Si A es una matriz m n y B es una una matriz p q, entonces el producto de
Kronecker A B es la matriz bloque mp nq
Sean y y z dos vectores de dimensión N el producto de Kroneker sería:
=⊗
−−−−−−−
−−−−−−−
−−
−−
−−
1122211101
1221221202
1222221202
1121211101
102020100
.
.
......
.
.
.
NNNNNNN
NNNNNNN
NN
NN
NNo
zyzyzyzyzy
zyzyzyzyzy
zyzyzyzyzy
zyzyzyzyzy
zyzyzyzyzy
zy
La diagonal principal del producto Kronecker sería entonces la serie que se
obtendría al multiplicar en t las series )(tgz = e )(tfy = :
)()()( 1 zyItgtf N ⊗=× −
Producto de dos series armónicas
Sean )(tfy = y )(tgz = dos vectores de series armónicas de dimensión N. Se
define su producto zy × ; como el vector:
=×
−−
−−
21
12
22
11
00
.
NN
NN
zy
zy
zy
zy
zy
zy
El producto puede desarrollarse a partir de los coeficientes de Fourier.
La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia,
[ ] [ ])sin()cos()sin()cos( tbtatbta mk
mk
nj
nj ⋅+⋅×⋅+⋅ ωωωω
da lugar a la siguiente suma:
)sin()sin()cos()sin(
)sin()cos()cos()cos(
ttbbttab
ttbattaa
mnkj
mnkj
mnkj
mnkj
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
ωωωωωωωω
que utilizando la identidad del producto1:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]ttttbb
ttttab
ttttba
ttttaa
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
⋅+⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅+
+⋅−⋅−⋅+⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
coscos2
sinsin2
sinsin2
coscos2
da como resultado:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅−+
+⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅+
sin2
cos2
sin2
cos2
una serie armómica con frecuencias angulares que se obtienen a partir de la
suma y diferencia de las frecuencias angulares de los armónicos múltiplos, con
1
2
)cos()cos(coscos
βαβαβα −++=⋅
2
)cos()cos(sinsin
βαβαβα +−−=⋅
2
)sin()sin(cossin
βαβαβα −++=⋅
2
)sin()sin(sincos
βαβαβα −−+=⋅
coeficientes de Fourier obtenidos a partir de los coeficientes de los armónicos
múltiplos.
La obtención del término i-esimo del periodograma resultante de multiplicar
dos funciones periódicas con dos o más armónicos, es algo más complejo ya
que el resultado de la multiplicación es una suma de productos de armónicos,
que dan lugar a una suma de armónicos con diferentes frecuencias angulares
como consecuencia de las sumas y diferencias de las frecuencias angulares de
cada producto de armónicos, algunas de las cuales aparecen asociadas a
diferentes coeficientes.
Por ejemplo, el producto de dos series obtenidas a partir de dos armónicos:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf ⋅⋅+⋅⋅= 1111
110
100
10 sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg ⋅⋅+⋅⋅= 1211
210
200
20 sincossincos)(
Se obtendría la siguiente secuencia de funciones de seno y coseno y
coeficientes de Fourier:
Coeficientes de Fourier
Funciones coseno
Coeficientes de Fourier
Funciones seno
( )2
20
10
20
10 bbaa +
1)cos( =⋅−⋅ tt oo ωω ( )
2
20
10
20
10 baab −
0)sin( =⋅−⋅ tt oo ωω
( )2
20
10
20
10 bbaa −
)2cos(
)cos(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
20
10
20
10 baab +
)2sin(
)sin(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω
( )2
20
11
20
11 bbaa +
)cos( 1 tt o ⋅−⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab −
)sin( 1 tt o ⋅−⋅ ωω
( )2
20
11
20
11 aaaa −
)cos( 1 tt o ⋅+⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab +
)sin( 1 tt o ⋅+⋅ ωω
( )2
21
10
21
10 bbaa +
)cos(
)cos(
01
10
tt
tt
⋅−⋅==⋅−⋅
ωωωω ( )
2
21
10
21
10 baab −
)sin(
)sin(
01
10
tt
tt
⋅−⋅−==⋅−⋅
ωωωω
( )2
21
10
21
10 bbaa −
)cos( 10 tt ⋅+⋅ ωω ( )
2
21
10
21
10 baab +
)sin( 10 tt ⋅+⋅ ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa +
1)cos( 11 =⋅−⋅ tt ωω ( )
2
21
11
21
11 baab −
0)sin( 11 =⋅−⋅ tt ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa −
)2cos(
)cos(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
21
11
21
11 baab +
)2sin(
)sin(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω
Que daría lugar a la siguiente serie de Fourier:
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(a
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(atgtf
⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+
+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=×
0120131212
1011010000
sincos2sin2cos
sincos2sin2cos)()(
ωωωωα
Donde:
( ) ( )2
21
11
21
11
20
10
20
10 bbaabbaa +++
=α
( )2
20
10
20
10
0
bbaaa
−=
( )2
20
10
20
10 baab
bo
+=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
bbaabbaaa
−+−=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
baabbaabb
+++=
( )2
21
11
21
11
2
bbaaa
−=
( )2
21
11
21
11
2
baabb
+=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
bbaabbaaa
+++=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
baabbaabb
−−−=
Ejemplo 1
⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅=50
2sin2,0
50
2cos8,0
100
2sin5,0
100
2cos5,0)(
t+
tt+
ttf
ππππ
f(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅=50
2sin7,0
50
2cos3,0
100
2sin1,0
100
2cos9,0)(
t+
tt+
ttg
ππππ
g(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Daría lugar a los siguientes coeficientes de fourier:
( ) ( )44,0
2
8,03,02,07,09,05,01,05,0 =⋅+⋅+⋅+⋅=α
( )2,0
2
1,05,09,05,00 =⋅−⋅=a
( )25,0
2
9,05,01,05,0 =⋅+⋅=ob
( ) ( )25,0
2
7,05,03,05,01,02,09,08,01 =⋅−⋅+⋅−⋅=a
( ) ( )38,0
2
3,05,07,05,09,02,01,08,01 =⋅+⋅+⋅+⋅=b
( )05,0
2
7,02,03,08,02 =⋅−⋅=a
( )31,0
2
3,02,07,08,02 =⋅+⋅=b
( ) ( )62,0
2
7,05,03,05,01,02,09,08,03 =⋅+⋅+⋅+⋅=a
( ) ( )15,0
2
7,05,03,05,01,08,09,02,03 =⋅−⋅−⋅−⋅=b
De la que resulta la siguiente serie armónica:
t)t(ω+t)t(ωt)ω(+t)ω(
t)t(ω+t)t(ωt)ω(+t)ω(tgtf
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+
+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=×
010111
101000
sin15,0cos62,02sin31,02cos05,0
sin36,0cos25,02sin25,02cos2,044,0)()(
ωωωω
f(t)*g(t)
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
La multiplicación de dos series de longitud T obtenidas como sumas de
2
T=k armónicos, cuyas frecuencias angulares son obtenidas a partir de
T
ii
⋅= πω 2
es decir
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tg
1
11 2πisin2πicos)(
e
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tf
1
22 2πisin2πicos)(
da como resultado una nueva serie armónica de T/2 periodos
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+⋅k
=iii T
tib+Ttia=tgtf
10
2πsin2πcos)()( µ
En donde2
∑=k
=i
iiii b+baa
1
2121
2µ
Partiendo de dos series armónicas de T=8, lo que da lugar a las dos series de
Fourier que se presentan a continuación:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅=
3133
132
122
12
1111
110
100
10
sincossincos
sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg
⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
3233
232
222
22
1211
210
200
20
sincossincos
sincossincos)(
Donde
141,38
24
356,28
23
571,18
22
785,08
21
3
2
1
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
πω
πω
πω
πωo
2 Notese que µ es la covarianza armónica, y coincidirá con la covarianza muestral entre )(tf y )(tg cuando
( ) ( ) 02πsin2πcos1
=⋅⋅⋅⋅∑k
=iii T
tib+Ttia , lo que ocurre cuando la serie armónica se muestran sin desfase,
en cuyo caso, µ=+⋅+ )()( nTgnTf . En general se puede asumir que a medida que es mayor el tamaño
de la serie la covarianza muestral se acercará a la covarianza armónica.
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el primer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
230
12
010
0
8
23
8
24
8
218
22
8
23
8
218
21
8
22
8
21
08
21
8
21
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
o
o
πππωω
ωππππωω
ωπππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
785,08
24
8
218
24
8
23
8
218
23
8
22
8
218
22
8
21
8
21
30
320
210
100
de forma que3
)cos()cos( 00 ωπω −−=+
)sin()sin( 00 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el segundo
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
3
)sin()sin(
)cos()cos(
ππ
+=−+−=−
xx
xx
131
021
11
001
8
22
8
24
8
228
21
8
23
8
22
08
22
8
228
21
8
21
8
22
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−==⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
ωππππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
131
021
311
201
8
24
8
228
24
8
21
8
23
8
228
24
8
22
8
228
23
8
21
8
22
de forma que
)cos()cos( 11 ωπω −−=+
)sin()sin( 11 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el tercer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
132
22
012
102
8
21
8
24
8
23
08
23
8
238
21
8
22
8
238
22
8
21
8
23
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
πωππππωω
ωππππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
232
122
012
302
8
24
8
238
24
8
22
8
23
8
238
24
8
21
8
22
8
238
24
8
21
8
23
de forma que
)cos()cos( 22 ωπω −−=+
)sin()sin( 22 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el cuarto
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
08
24
8
248
21
8
23
8
248
22
8
22
8
248
23
8
21
8
24
33
023
113
203
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
πππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
28
24
8
248
23
8
248
22
8
248
21
8
24
33
223
113
003
=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
Teniendo presente que:
1)2cos(
0)2sin(
1)cos(
0)sin(
1)0cos(
0)0sin(
==−=
===
ππ
ππ
se obtienen los coeficientes de fourier de la serie resultante de la multiplicación
de )()( tgtf ⋅ a partir del siguiente sistema matricial:
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−−−+
−++−+−−−−+−−
+++−−−−
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22
22
220
202
22
22
2
2
20
20
21
21
22
22
20
20
21
21
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
21
20
21
21
22
20
22
20
21
23
21
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
22
23
21
21
22
20
22
20
21
21
22
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
22
21
21
20
20
23
22
20
21
21
20
20
ababab
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaabba
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
bababab
abababa
A
=
13
12
12
11
11
10
10
a
b
a
b
a
b
a
B
BA
b
a
ba
b
a
b
a
C ×=
=2
1
3
3
2
2
1
1
0
0
βµ
Ejemplo 2
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
24cos2,0
8
23sin2,1
8
23cos4,0
8
22sin2,0
8
22cos8,0
8
21sin5,0
8
21cos5,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttf
πππ
ππππ
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
24cos2
8
23sin05,0
8
23cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttg
πππ
ππππ
el producto )()( tgtf ⋅ da como resultado4:
−
−
−
=
×
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
0325,1
3075,0
04,1
305,1
2775,0
3525,2
26,2
265,2
3,0
99,0
2,0
2,1
4,0
2,0
8,0
5,0
5,0
09,01,03,07,06,005,0
01,09,07,03,005,06,0
2,03,07,03,005,07,37,0
8,17,03,015,05,17,03,4
4,13,015,0403,015,0
6,005,05,10405,05,1
1,07,37,03,005,03,07,0
2,17,03,415,05,17,03,0
06,005,03,07,09,01,0
405,06,07,03,01,09,0
2
1
Que da lugar a la siguiente serie:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+=
8
24cos3075,0
8
23sin04,1
8
23cos305,1
8
22sin2775,0
8
22cos3525,2
8
21sin26,2
8
21cos265,299.0)(
ttt
tttttg
πππ
ππππ
4 Dado que 01
3 =b en el ejemplo, se puede simplificar la multiplicación en el modo expuesto.
La matriz A puede descomponerse en varias matrices, unas serviran para
calcular los coeficientes asociados a los cosenos y otros los asociados a los
senos. Estas matrices serían:
=
0000
000
00
0
23
23
12
23
22
21
23
22
21
20
12
a
aa
aaa
aaaa
A ,
=
0000
000
00
0
23
23
12
23
22
21
23
22
21
20
12
b
bb
bbb
bbbb
B ,
=
0000
0
00
000
20
21
22
23
21
22
23
22
23
23
22
aaaa
aaa
aa
a
A ,
=
0000
0
00
000
20
21
22
23
21
22
23
22
23
23
22
bbbb
bbb
bb
b
B ,
=
0
0
0
0
0000
20
12
22
20
20
21
21
20
20
22
12
20
32
aaa
aaa
aaa
aaa
A ,
=
0
0
0
0
0000
20
21
22
20
20
21
21
20
20
22
21
20
32
bbb
bbb
bbb
bbb
B ,
−−−−−
−=+−
0111
1011
1101
1110
0000
I
Considerando los siguientes vectores:
=
31
21
11
01
1
a
a
a
a
A ,
=
31
21
11
01
1
b
b
b
b
B
La solución matricial a los coeficientes de los senos es
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
123 2
1BBIBBAAAAA ××+−+×++= +
−
La solución matricial a los coeficientes de los senos es
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
123 2
1ABIBBBAAAB ××−−+×+−−= +
−
Ejemplo 2
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
24cos2,0
8
23sin2,1
8
23cos4,0
8
22sin2,0
8
22cos8,0
8
21sin5,0
8
21cos5,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttf
πππ
ππππ
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
24cos2
8
23sin05,0
8
23cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttg
πππ
ππππ
=
0000
0002
0026,0
026,03,0
26,03,09,0
12A ,
=
0000
0000
00005,0
0005,07,0
005,07,01,0
12B ,
=
0000
9,03,06,02
3,06,020
6,0200
2000
22A ,
=
0000
1,07,005,00
7,005,000
05,0000
0000
22B ,
=
09,03,06,0
9,009,03,0
3,09,009,0
6,03,09,00
0000
32A ,
=
01,07,005,0
1,001,07,0
7,01,001,0
05,07,01,00
0000
32B
,
−−−−−
−=+−
0111
1011
1101
1110
0000
I
=
2,0
4,0
8,0
5,0
1A ,
=
0
2,1
2,0
5,0
1B
=
×
−−−−−−
−+
×
=
3075,0
305,1
3525,2
265,2
99,0
0
2,1
2,0
5,0
01,07,005,0
07,015,07,0
005,0005,0
07,015,07,0
005,07,01,0
2,0
4,0
8,0
5,0
09,03,06,0
8,13,05,13,4
6,05,145,1
2,13,45,13,0
46,03,09,0
2
13A
−−−−
=
×
−−−−−−−
+
×
−−−
−−−−−−
=
0325,1
04,1
2775,0
26,2
3,0
2,0
4,0
8,0
5,0
01,07,005,0
2,07,005,07,0
4,115,0015,0
1,07,015,07,0
005,07,01,0
0
2,1
2,0
5,0
09,03,06,0
03,03,07,3
03,043,0
07,33,03,0
46,03,09,0
2
13B
Division de dos series armónicas
Utilizando el desarrollo matricial de la multiplicación de series armónicas,
podemos plantear el siguiente sistema:
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
123 2
1BBIBBAAAAA ××+−+×++= +
−
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
123 2
1ABIBBBAAAB ××−−+×+−−= +
−
En donde ahora los vectores de coeficientes 3A y 3B son conocidos al igual que
las matrices ( )32
22
12 AAA ++ , ( )3
222
12 AAA +−− , ( )3
222
12 BIBB ×+− +
− ,
( )32
22
12 BIBB +−− +
− , en tanto que los vectores 1A y 1B son desconocidos.
Renombrado :
( )32
22
121 AAAM A ++=
( )32
22
122 AAAM A +−−=
( )32
22
121 BIBBM B ×+−= +
−
( )32
22
122 BIBBM B +−−= +
−
El sistema a solucionar quedaría
[ ]111132 BMAMA BA ×+×=
[ ]121232 AMBMB BA ×+×=
El sistema tal y como está planteado ofrece soluciones a coeficientes que en
realidad son redundantes por vincularse al seno de cero y de π
, ambos con
valor cero y al coseno de cero con valor uno, y cuyo coeficiente es el producto
cruzado de los coeficientes de fourier de ambas series:
212
1
0
21kk
Nk
kkk bbaa += ∑
−=
=
µ
Utilizando entonces un sistema reducido a 1−N
filas y columnas establecemos
el siguiente sistema matricial:
×
=
1
1
22
11
3
3
2
2
B
A
MM
MM
B
AAB
BA
Cuya solución es
[ ] CAB
A
MM
MM
B
AB
AB
BA
×=
×
=
= −
−1
3
3
1
22
11
1
1
2
2
Ejemplo 3
Partimos de las cifras del ejercicio 2, el sistema
CAB
A
MM
MM
B
AB
AB
BA
×=
×
=
=
1
1
22
11
3
3
2
2
se desarrollaría así:
×
−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−
=
−−−
=
−−−
×
2,1
2,0
5,0
2,0
4,0
8,0
5,0
3,03,07,32,07,005,07,0
3,04,03,04,115,0015,0
7,33,03,01,07,005,07,0
1,07,005,009,03,06,0
7,015,07,08,13,05,13,4
05,0005,06,05,145,1
7,015,07,02,13,45,13,0
08,2
555,0
52,4
615,0
61,2
705,4
35,4
04,1
2775,2
26,2
3075,0
395,1
3525,2
265,2
2
Una vez calculada la inversa de A
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
=−
02,012,032,050,01,003,017,0
12,062,014,093,121,012,050,0
32,014,004,063,003,004,021,0
25,096,032,012,561,032,027,1
01,021,003,022,115,003,002,0
03,012,004,064,003,029,005,0
17,050,021,053,202,005,063,0
1A
Se obtiene la solución :
−−−
×
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
=
08,2
555,0
52,4
615,0
61,2
705,4
35,4
02,012,032,050,01,003,017,0
12,062,014,093,121,012,050,0
32,014,004,063,003,004,021,0
25,096,032,012,561,032,027,1
01,021,003,022,115,003,002,0
03,012,004,064,003,029,005,0
17,050,021,053,202,005,063,0
1,0
2,0
5,0
2,0
4,0
8,0
5,0
Inversa de una serie armónica
Sean y un vector de dimensión N. Se define su producto de vectorial yy
1×;
como el vector:
=
⋅
=×
−
−−
−
1
1
.
1
1
1
1
1.
1
1
1
.1
'
1
2
2
1
0
1
2
2
1
0
N
NN
N
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
Partimos de la serie ytf =)( que tiene un desarrollo de Fourier de la forma:
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tf
1
11 2πisin2πicos)(
La serie resultado de ytg
1)( =
tendrá un desarrollo de Fourier de la forma
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+k
=iiio T
tb+Ttaa=tg
1
222 2πisin2πicos)(
donde yN
tga
N
oto
1)(
1
2 ==∑
−
=
Operando:
( ) ( ) ( ) ( )
T
k
=iii
k
=iiio T
tb+TtaT
tb+Ttaa=tftg
=
⋅⋅⋅⋅×
⋅⋅⋅⋅+ ∑∑
1
.
1
1
1
2πisin2πicos2πisin2πicos)()(1
11
1
222
que equivale a:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
⋅⋅⋅⋅×+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
∑
∑∑
k
=iiio
k
=iii
k
=iii
T
Ttb+T
taa
Ttb+T
taxTtb+T
ta
1
112
1
22
1
11
2πisin2πicos
2πisin2πicos2πisin2πicos
1
.
1
1
1
El primer sumando es una multiplicación de dos series armónicas, cuyo
coeficiente 13 =oa , entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
⋅⋅⋅⋅++
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
∑
∑∑
k
=iii
k
=iii
k
=iii
Ttb+T
ta
Ttb+T
taxTtb+T
ta
1
33
1
22
1
11
2πisin2πicos1
2πisin2πicos2πisin2πicos
Tomando en consideración la expresión anterior
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
⋅⋅⋅⋅×−+
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
∑
∑∑
k
=iiio
k
=iii
k
=iii
Ttb+T
taa
Ttb+T
taxTtb+T
ta
1
112
1
22
1
11
2πisin2πicos1
2πisin2πicos2πisin2πicos
De manera que utilizando los criterios de la división, la parte armónica de la
inversa de y , se obtiene multiplicando inversa del desarrollo del producto de la
serie armónica ( ) ( )
⋅⋅⋅⋅∑k
=iii T
tb+Tta
1
11 2πisin2πicos por la serie armónica
( ) ( )
⋅⋅⋅⋅×− ∑k
=iii T
tb+Tta
y 1
11 2πisin2πicos1
. El término independiente sería el
valor medio de la serie ytg
1)( =
Ejemplo 4
Partimos de la serie armónica
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅==
8
24cos2
8
23sin05,0
8
23cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttfyt
πππ
ππππ
Calculamos
50,03903184
11
2 ==∑
−
=
N
ya
N
ot to
Desarrolla su producto a partir de la matriz:
−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−
=
=
3,03,07,32,07,005,07,0
3,04,03,04,115,0015,0
7,33,03,01,07,005,07,0
1,07,005,009,03,06,0
7,015,07,08,13,05,13,4
05,0005,06,05,145,1
7,015,07,02,13,45,13,0
22
11AB
BA
MM
MMA
Que da lugar a la siguiente inversa :
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
=−
02,012,032,050,01,003,017,0
12,062,014,093,121,012,050,0
32,014,004,063,003,004,021,0
25,096,032,012,561,032,027,1
01,021,003,022,115,003,002,0
03,012,004,064,003,029,005,0
17,050,021,053,202,005,063,0
1A
La parte armónica de la inversa de )(tf es:
=×
×
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
0,06-
0,22-
0,07-
0,63
0,17-
0,08
0,32-
50,03903184
05,0
7,0
1,0
2
6,0
3,0
9,0
02,012,032,050,01,003,017,0
12,062,014,093,121,012,050,0
32,014,004,063,003,004,021,0
25,096,032,012,561,032,027,1
01,021,003,022,115,003,002,0
03,012,004,064,003,029,005,0
17,050,021,053,202,005,063,0
Resultado
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−==
8
24cos63,0
8
23sin06,0
8
23cos17.0
8
22sin22,0
8
22cos08,0
8
21sin07,0
8
21cos32,0039,0)(
1
ttt
tttttg
yt
πππ
ππππ
Producto de dos series
Sean )(tfy = y )(tgz = dos vectores de dimensión N. Se define su producto
zy × ; como el vector:
=
⋅
=×
−−
−−
−
−
−
−
21
12
22
11
00
'
1
2
3
1
1
2
2
1
0
...
NN
NN
N
N
o
N
N
zy
zy
zy
zy
zy
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
zy
El producto puede desarrollarse a partir de los coeficientes de Fourier.
Partimos de la serie temporal
==
−
−
1
2
2
1
0
.)(
N
N
y
y
y
y
y
tfy
Que admite la siguiente representación:
−−
−−−
+=
−
−
yy
yy
yy
yy
yy
ytf
N
N
1
2
2
1
0
.)(
Donde 1
1
aN
yy
N
ott
==∑
−
= , entonces
∑−
=
++=2
1
0
111 sincos)(N
kkkkk baatf ϖϖ
Siendo N
tp
⋅= πϖ 2
El producto de )()( tgtf ⋅ se desarrollaría entonces:
+
++
++
++=
=
++
++=⋅
∑∑∑∑
∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
21
0
112
1
0
222
1
0
1122
1
0
22121
21
0
2222
1
0
111
sincossincossincossincos
sincossincos)()(
N
ppppp
N
ppppp
N
ppppp
N
ppppp
N
ppppp
N
ppppp
bababaabaaaa
baabaatgtf
ϖϖϖϖϖϖϖϖ
ϖϖϖϖ
Dado que el producto
+
+ ∑∑
−
=
−
=
21
0
112
1
0
22 sincossincos
N
ppppp
N
ppppp baba ϖϖϖϖ es el producto de
dos series armónicas, el resultado de multiplicar dos series requiere añadir al
desarrollo de este producto:
212
1
0
21kk
Nk
kkk bbaa += ∑
−=
=
µ
×
=
1
1
22
11
3
3
2
2
B
A
MM
MM
B
AAB
BA
Los sumandos 21ba ,
+∑
−
=
21
0
221 sincosN
ppppp baa ϖϖ y
+∑
−
=
21
0
112 sincosN
ppppp baa ϖϖ .
Con lo que resulta:
212
1
0
21213 22 kk
N
kkk bbaaaaa ++= ∑
−
=
Y
+
+
×
=
1
12
2
21
1
1
22
11
3
3 222B
Aa
B
Aa
B
A
MM
MM
B
AAB
BA
Cabe elaborar una matriz de tamaño 11 −×− nn compactando todas las
operaciones anteriores para obtener los coeficientes de Fourier en una única
operación. Para ello hay que prescindir de la primera fila de la matriz
( )32
22
121 AAAM A ++= , de la primera fila y la ultima columna de la matriz
( )32
22
122 AAAM A +−−= , de la primera fila de la matriz ( )3
222
121 BIBBM B ×+−= +
− , y
de la primera fila y ultima columna de la matriz ( )32
22
122 BIBBM B +−−= +
− .
+
+=
−
2
21
1
1
22
111
2
3
3 222B
Aa
B
A
MM
MMIa
B
AAB
BA
n
Utilizando el teorema de Plancharel resulta que:
23YZzya σ+=
Donde 2YZσ es la covarianza de las series )(tfy = y )(tgz = :
212
1
0
212
2
1kk
N
kkkYZ bbaazy ++= ∑
−
=
σ
Ejemplo 5
La serie que aparece en la figura nº1 se descompone en los siguiente ciclos de
Fourier:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+==
16
28cos1,0
16
27sin4,0
16
27cos2,0
16
26sin2,0
16
26cos5,0
16
25sin3,0
16
25cos2,0
16
24sin3,0
16
24cos1,0
16
23sin2,1
16
23cos4,0
16
22sin2,0
16
22cos7,0
16
21sin4,0
16
21cos8,05,0)(
tt+
tt+
t
t+
tt+
tt+
t
t+
tt+
ttfyt
πππππ
ππππππ
ππππ
-2
-1
0
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A su vez la serie que se representa en la figura nº1 se descompone en los
siguiente ciclos de Fourier:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+==
16
28cos1,0
16
27sin4,0
16
27cos2,0
16
26sin2,0
16
26cos5,0
16
25sin3,0
16
25cos2,0
16
24sin3,0
16
24cos1,0
16
23sin2,1
16
23cos4,0
16
22sin2,0
16
22cos7,0
16
21sin4,0
16
21cos8,05,0)(
tt+
tt+
t
t+
tt+
tt+
t
t+
tt+
ttfyt
πππππ
ππππππ
ππππ
La serie que aparece en la figura nº1 se descompone en los siguiente ciclos de
Fourier:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+==
16
28cos8,0
16
27sin2,0
16
27cos9,0
16
26sin2,0
16
26cos3,0
16
25sin4,0
16
25cos8,0
16
24sin1,0
16
24cos1,0
16
23sin9,0
16
23cos7,0
16
22sin2,0
16
22cos2,0
16
21sin1,0
16
21cos2,02,1)(
tt+
tt+
t
t+
tt+
tt+
t
t+
tt+
ttgx t
πππππ
ππππππ
ππππ
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
El desarrollo matricial para multiplicar la parte armónica de g(t) que da lugar a
los coeficientes asociados a los cosenos sería:
0,8 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0 0
0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0 0 0 12A = 0,2 0,5 0,2 0,1 0 0 0 0
0,5 0,2 0,1 0 0 0 0 0 0,2 0,1 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0,5
0 0 0 0 0,1 0,2 0,5 0,2 22A = 0 0 0 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1
0 0 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,8 0 0,8 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,7 0,8 0 0,8 0,7 0,4 0,1 0,2
32A = 0,4 0,7 0,8 0 0,8 0,7 0,4 0,1
0,1 0,4 0,7 0,8 0 0,8 0,7 0,4 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0 0,8 0,7 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0 0,8 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0 0,8 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,2 0,7 1,2 0,8 0,6 0,6 0,4 0,7 0,4 1,2 0,1 1 1,2 0,6 0,3 0,4 1
0,8 1 0,5 1 0,9 0,6 0,6 0,4
( )32
22
121 AAAM A ++= = 0,6 1,2 1 0,2 1 1,2 0,6 0,2
0,6 0,6 0,9 1 0,5 1 0,8 0,8 0,4 0,3 0,6 1,2 1 0,1 1,2 1,4 0,7 0,4 0,6 0,6 0,8 1,2 0,7 1,6 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0
0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0 0 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0 0 0
12B = 0,3 0,2 0,4 0 0 0 0 0
0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2
0 0 0 0 0 0,4 0,2 0,3 22B = 0 0 0 0 0,4 0,2 0,3 0,3
0 0 0 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0 0 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 -0,4 0 0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 -0,2 -0,4 0 0,4 0,2 1,2 0,3 0,3
32BI ×+
− = -1,2 -0,2 -0,4 0 0,4 0,2 1,2 0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0 0,4 0,2 1,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0 0,4 0,2 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0 0,4 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0 0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0,2 1,6 0,5 1,5 0,5 0,7 0,2 0 0,8 0,3 0,7 0,4 1,6 0,3 -0,1 0
0,1 -0,1 0,2 0,8 0,2 0,8 0,1 0
( )32
22
121 BIBBM B ×+−= +
− = -0,9 0 0 0 0 0 0,9 0 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 -0,2 0,1 -0,1 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 -0,7 -0,3 -0,8 0 -0,2 -0,7 -0,5 -1,5 -0,5 -1,6 -0,2 0 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0
Para calcular los coeficientes asociados a los cosenos de la serie producto
habría que realizar ahora la siguiente multiplicación:
12
21
1111 22 AaAaBMAM BA ++×+×
Siendo
0,2 0,1 0,8 0,2 0,2 0,7 0,7 0,9 0,4
=1A 0,1 =1B 0,1 =2A 0,1 0,8 0,4 0,2 0,3 0,2 0,5 0,9 0,2 0,2
0,8 0 0,1
5,01 =a y 8,02 =a
Para poder resolver el sistema utilizando compatibilizando filas y columnas,
habría que prescindir de la primera fila en cada matriz de desarrollo5:
0,7 1,2 0,8 0,6 0,6 0,4 0,7 0,4 1,2 0,1 1 1,2 0,6 0,3 0,4 1
0,8 1 0,5 1 0,9 0,6 0,6 0,4
( )32
22
121 AAAM A ++= = 0,6 1,2 1 0,2 1 1,2 0,6 0,2
0,6 0,6 0,9 1 0,5 1 0,8 0,8 0,4 0,3 0,6 1,2 1 0,1 1,2 1,4 0,7 0,4 0,6 0,6 0,8 1,2 0,7 1,6 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0
0,2 1,6 0,5 1,5 0,5 0,7 0,2 0 0,8 0,3 0,7 0,4 1,6 0,3 -0,1 0
0,1 -0,1 0,2 0,8 0,2 0,8 0,1 0
( )32
22
121 BIBBM B ×+−= +
− = -0,9 0 0 0 0 0 0,9 0 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 -0,2 0,1 -0,1 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 -0,7 -0,3 -0,8 0 -0,2 -0,7 -0,5 -1,5 -0,5 -1,6 -0,2 0 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0
La solución a este subsistema que nos daría los coeficientes de Fourier
asociados a los cosenos del producto serían:
5 Nótese que incluso podría prescindirse de las columnas cuyos valores son ceros en la matriz BM1 que
van a ser multiplicados por el elemento del vector 1B cuyo valor es cero. Si se quiere una solución
compacta habría que prescindir de dichos elementos.
=++×+×=
6,1
67,3
18,3
8,3
37,3
74,4
18,6
99,5
222 12
21
11113 AaAaBMAMA BA
El coeficiente asociado al coseno de cero, o la media de la serie multiplicación
sería:
935,12
1 212
1
0
2121 =++= ∑
−
=kk
N
kkk bbaaaaµ
El desarrollo matricial para multiplicar la parte armónica de g(t) que da lugar a
los coeficientes asociados a los senos sería similar al de los cosenos, pero
operando , ( )32
22
122 AAAM A +−−= , y ( )3
222
122 BIBBM B ×+−= +
− :
-0,8 -0,7 -0,4 -0,1 -0,2 -0,5 -0,2 -0,2 -0,7 0,4 0,6 0,2 -0,4 0 0,3 0 0,4 -0,1 0,6 0,2 0,2 -0,1 0 0
0,6 0,6 -0,5 0,6 0,5 0,2 -0,4 0
( )32
22
122 AAAM A +−−= = 0,2 0,2 0,6 -0,2 0,6 0,2 0,2 0
-0,4 0,2 0,5 0,6 -0,5 0,6 0,6 0 0 -0,1 0,2 0,2 0,6 -0,1 0,4 0 0,3 0 -0,4 0,2 0,6 0,4 -0,7 0 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,4 -0,2 -1,2 -0,3 -0,3 -0,2 -0,4 0,4 0 -0,4 -0,2 -1,2 -0,3 -0,3 -0,2 0,2 0,4 0 -0,4 -0,2 -1,2 -0,3 -0,3
32BI ×−
+ = 1,2 0,2 0,4 0 -0,4 -0,2 -1,2 -0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0 -0,4 -0,2 -1,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0 -0,4 -0,2 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0 -0,4 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0
0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4 0 0,2 0,8 0,1 -0,9 -0,1 0,1 -0,2 -0,8 1,6 0,3 -0,1 0 -0,8 -0,3 -0,7 -0,4
0,5 0,7 0,2 0 -0,2 -1,6 -0,5 -0,6
( )32
22
122 BIBBM B ×+−= −
+ = 1,5 0,4 0,8 0 -0,8 -0,4 -1,5 -0,6 0,5 1,6 0,2 0 -0,2 -0,7 -0,5 -2,4 0,7 0,3 0,8 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 0,2 -0,1 0,1 0,9 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0
Para calcular los coeficientes asociados a los senos de la serie producto
habría que realizar la siguiente multiplicación:
12
21
1212 22 BaBaAMBM BA ++×+×
Siendo
0,4 0,2 1,2
0,3 =2B 0,3
0,2 0,4 0
Prescindiendo de la primera fila:
-0,7 0,4 0,6 0,2 -0,4 0 0,3 0 0,4 -0,1 0,6 0,2 0,2 -0,1 0 0
0,6 0,6 -0,5 0,6 0,5 0,2 -0,4 0
( )32
22
122 AAAM A +−−= = 0,2 0,2 0,6 -0,2 0,6 0,2 0,2 0
-0,4 0,2 0,5 0,6 -0,5 0,6 0,6 0 0 -0,1 0,2 0,2 0,6 -0,1 0,4 0 0,3 0 -0,4 0,2 0,6 0,4 -0,7 0 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0
0,2 0,8 0,1 -0,9 -0,1 0,1 -0,2 -0,8 1,6 0,3 -0,1 0 -0,8 -0,3 -0,7 -0,4
0,5 0,7 0,2 0 -0,2 -1,6 -0,5 -0,6
( )32
22
122 BIBBM B ×+−= −
+ = 1,5 0,4 0,8 0 -0,8 -0,4 -1,5 -0,6 0,5 1,6 0,2 0 -0,2 -0,7 -0,5 -2,4 0,7 0,3 0,8 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 0,2 -0,1 0,1 0,9 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 0,4 0,2 0,3 0,3 1,2 0,2 0,4 0
La solución a este subsistema que nos daría los coeficientes de Fourier
asociados a los senos del producto serían:
−
−
=++×+×=
51,2
07,0
15,0
51,0
07,0
54,2
05,0
84,0
222 12
21
12123 BaBaAMBMB BA
En forma compacta la matriz
AB
BA
MM
MM
22
11 sería:
0,7 1,2 0,8 0,6 0,6 0,4 0,7 0,4 0,2 1,6 0,5 1,5 0,5 0,7 0,2 1,2 0,1 1 1,2 0,6 0,3 0,4 1 0,8 0,3 0,7 0,4 1,6 0,3 -0,1
0,8 1 0,5 1 0,9 0,6 0,6 0,4 0,1 -0,1 0,2 0,8 0,2 0,8 0,1 0,6 1,2 1 0,2 1 1,2 0,6 0,2 -0,9 0 0 0 0 0 0,9 0,6 0,6 0,9 1 0,5 1 0,8 0,8 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 -0,2 0,1 -0,1 0,4 0,3 0,6 1,2 1 0,1 1,2 1,4 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 -0,7 -0,3 -0,8 0,7 0,4 0,6 0,6 0,8 1,2 0,7 1,6 -0,2 -0,7 -0,5 -1,5 -0,5 -1,6 -0,2 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 0 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0,2 0,8 0,1 -0,9 -0,1 0,1 -0,2 -0,8 -0,7 0,4 0,6 0,2 -0,4 0 0,3
1,6 0,3 -0,1 0 -0,8 -0,3 -0,7 -0,4 0,4 -0,1 0,6 0,2 0,2 -0,1 0 0,5 0,7 0,2 0 -0,2 -1,6 -0,5 -0,6 0,6 0,6 -0,5 0,6 0,5 0,2 -0,4
1,5 0,4 0,8 0 -0,8 -0,4 -1,5 -0,6 0,2 0,2 0,6 -0,2 0,6 0,2 0,2 0,5 1,6 0,2 0 -0,2 -0,7 -0,5 -2,4 -0,4 0,2 0,5 0,6 -0,5 0,6 0,6 0,7 0,3 0,8 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 0 -0,1 0,2 0,2 0,6 -0,1 0,4
0,2 -0,1 0,1 0,9 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 0,3 0 -0,4 0,2 0,6 0,4 -0,7
La matriz
+− AB
BA
nMM
MMIa
22
111
22sería:
1,7 1,2 0,8 0,6 0,6 0,4 0,7 0,4 0,2 1,6 0,5 1,5 0,5 0,7 0,2 1,2 1,1 1 1,2 0,6 0,3 0,4 1 0,8 0,3 0,7 0,4 1,6 0,3 -0,1 0,8 1 1,5 1 0,9 0,6 0,6 0,4 0,1 -0,1 0,2 0,8 0,2 0,8 0,1 0,6 1,2 1 1,2 1 1,2 0,6 0,2 -0,9 0 0 0 0 0 0,9 0,6 0,6 0,9 1 1,5 1 0,8 0,8 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 -0,2 0,1 -0,1 0,4 0,3 0,6 1,2 1 1,1 1,2 1,4 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 -0,7 -0,3 -0,8 0,7 0,4 0,6 0,6 0,8 1,2 1,7 1,6 -0,2 -0,7 -0,5 -1,5 -0,5 -1,6 -0,2 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 1 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0,2 0,8 0,1 -0,9 -0,1 0,1 -0,2 -0,8 0,3 0,4 0,6 0,2 -0,4 0 0,3 1,6 0,3 -0,1 0 -0,8 -0,3 -0,7 -0,4 0,4 0,9 0,6 0,2 0,2 -0,1 0 0,5 0,7 0,2 0 -0,2 -1,6 -0,5 -0,6 0,6 0,6 0,5 0,6 0,5 0,2 -0,4 1,5 0,4 0,8 0 -0,8 -0,4 -1,5 -0,6 0,2 0,2 0,6 0,8 0,6 0,2 0,2 0,5 1,6 0,2 0 -0,2 -0,7 -0,5 -2,4 -0,4 0,2 0,5 0,6 0,5 0,6 0,6 0,7 0,3 0,8 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 0 -0,1 0,2 0,2 0,6 0,9 0,4 0,2 -0,1 0,1 0,9 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 0,3 0 -0,4 0,2 0,6 0,4 0,3
Dado que:
=
2,0
2,0
4,0
1,0
9,0
2,0
1,0
8,0
9,0
3,0
8,0
1,0
7,0
2,0
2,0
1
1
B
A
La multiplicación matricial quedaría
−−−−−−−
=
+−
89,0
33,0
23,1
65,0
34,0
53,0
12,0
36,1
19,3
98,1
32,3
13,3
78,2
5,4
07,4
222
111
2
AB
BA
nMM
MMIa
Teniendo en cuenta que :
=
4,0
2,0
3,0
3,0
2,1
2,0
4,0
1,0
2,0
5,0
2,0
1,0
4,0
7,0
8,0
2
2
B
A
Entonces:
−
−
=
××+
−−−−−−−
=
+
+=
−
07,0
15,0
51,0
07,0
54,2
05,0
84,0
6,1
67,3
18,3
8,3
37,3
74,4
18,6
99,5
4,0
2,0
3,0
3,0
2,1
2,0
4,0
1,0
2,0
5,0
2,0
1,0
4,0
7,0
8,0
2,12
89,0
33,0
23,1
65,0
34,0
53,0
12,0
36,1
19,3
98,1
32,3
13,3
78,2
5,4
07,4
2222
21
1
1
22
111
2
3
3
B
Aa
B
A
MM
MMIa
B
AAB
BA
n
División de dos series
Partiendo de
+
+=
−
2
21
1
1
22
111
2
3
3 222B
Aa
B
A
MM
MMIa
B
AAB
BA
n
Cabe obtener los coeficientes de fourier de la parte armónica de la serie
)(tfy = operando de la siguiente manera:
+=
−
−
1
1
22
111
2
2
21
3
3 22B
A
MM
MMIa
B
Aa
B
AAB
BA
n
−
+=
−
−2
21
3
3
1
22
111
2
1
1 22B
Aa
B
A
MM
MMIa
B
AAB
BA
n
Dado que 212
1
0
21213 22 kk
N
kkk bbaaaaa ++= ∑
−
=
entonces:
2
212
1
0
213
1
2
2
a
bbaaa
a
kk
N
kkk +−
=
∑
−
=
Si 021
2
1
0
21 =+∑
−
=kk
N
kkk bbaa
el sistema tiene solución única6.
En cuyo caso :
−
+=
−
−2
2
2
3
3
3
1
22
111
2
1
1 22B
A
a
a
B
A
MM
MMIa
B
AAB
BA
n
La expresión matricial del coeficiente 1a es:
[ ]
+
×−= −−
2
21
1
21
1
12222
31
2
1nn aa
B
ABA
aa
aa
Por lo que
[ ]
−
×−+
+=
−−
−2
2
2
2
21
1
21
1
12222
3
1
1
22
111
2
3
3
22
1222
B
A
a
aa
B
ABA
aa
a
B
A
MM
MMIa
B
A nn
AB
BA
n
Reordenando:
[ ]
−
−
+=
−
−
−
−1
1
2
2
21,
2
2
21
222
2
222
111
2
2
2
2
3
3
3 122
B
A
B
A
a
aBA
B
A
aMM
MMIa
B
A
a
a
B
A
nn
n
AB
BA
n
Siendo
6 Dicha restricción equivale a la independencia lineal de Y y Z, o si se prefiere a que 02 =YZσ
una matriz cuadrada de tamaño n-1, en cuya columna 2
1−n
figura el cociente
2
2
21
a
an−.
Se obtiene entonces la solución:
[ ]
−
−
−
+=
−
−
−
−2
2
2
3
3
3
1
2
2
21,
2
2
21
222
2
222
111
2
1
1 122
B
A
a
a
B
A
B
A
a
aBA
B
A
aMM
MMIa
B
A
nn
n
AB
BA
n
Ejemplo 6
Utilizando las series del ejemplo 5, la matriz
+− AB
BA
nMM
MMIa
22
111
22sería:
1,7 1,2 0,8 0,6 0,6 0,4 0,7 0,4 0,2 1,6 0,5 1,5 0,5 0,7 0,2 1,2 1,1 1 1,2 0,6 0,3 0,4 1 0,8 0,3 0,7 0,4 1,6 0,3 -0,1 0,8 1 1,5 1 0,9 0,6 0,6 0,4 0,1 -0,1 0,2 0,8 0,2 0,8 0,1 0,6 1,2 1 1,2 1 1,2 0,6 0,2 -0,9 0 0 0 0 0 0,9 0,6 0,6 0,9 1 1,5 1 0,8 0,8 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 -0,2 0,1 -0,1 0,4 0,3 0,6 1,2 1 1,1 1,2 1,4 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 -0,7 -0,3 -0,8 0,7 0,4 0,6 0,6 0,8 1,2 1,7 1,6 -0,2 -0,7 -0,5 -1,5 -0,5 -1,6 -0,2 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,7 0,8 1 -0,4 -0,2 -0,3 -0,3 -1,2 -0,2 -0,4 0,2 0,8 0,1 -0,9 -0,1 0,1 -0,2 -0,8 0,3 0,4 0,6 0,2 -0,4 0 0,3 1,6 0,3 -0,1 0 -0,8 -0,3 -0,7 -0,4 0,4 0,9 0,6 0,2 0,2 -0,1 0 0,5 0,7 0,2 0 -0,2 -1,6 -0,5 -0,6 0,6 0,6 0,5 0,6 0,5 0,2 -0,4 1,5 0,4 0,8 0 -0,8 -0,4 -1,5 -0,6 0,2 0,2 0,6 0,8 0,6 0,2 0,2 0,5 1,6 0,2 0 -0,2 -0,7 -0,5 -2,4 -0,4 0,2 0,5 0,6 0,5 0,6 0,6 0,7 0,3 0,8 0 0,1 -0,3 -1,6 -0,4 0 -0,1 0,2 0,2 0,6 0,9 0,4 0,2 -0,1 0,1 0,9 -0,1 -0,8 -0,2 -0,8 0,3 0 -0,4 0,2 0,6 0,4 0,3
=
−
−
−
−
−
−
0....0
0.....0
0....0
0....0
0....0
2
2
21
2
2
21
2
2
21
2
2
21
21,
2
2
21
a
a
a
aa
aa
a
a
a
n
n
n
n
nn
n
En tanto que la matriz inversa
1
22
111
22
−
−
+
AB
BA
nMM
MMIa
se calcularía:
0,73 -0,03 -0,81 -0,58 0,71 -0,32 0,17 0,59 -0,06 -0,49 -0,42 0,76 0,16 -0,10 0,63
-0,03 0,70 -0,78 0,08 -0,22 0,09 -0,14 1,01 0,46 -0,55 -0,08 0,22 0,23 0,10 0,39
-0,81 -0,78 2,48 0,21 -1,33 0,34 0,76 -1,54 -0,47 1,41 0,56 -1,44 0,00 0,86 -1,24
-0,58 0,08 0,21 0,73 0,16 0,15 -0,56 -0,09 -0,12 0,61 0,33 -0,03 -0,30 -0,58 0,06
0,71 -0,22 -1,33 0,16 1,48 -0,03 -0,42 -0,27 0,33 -1,02 0,40 0,89 -0,31 -0,52 0,11
-0,32 0,09 0,34 0,15 -0,03 0,44 -0,30 -0,65 0,09 0,52 -0,40 -0,12 0,11 -0,21 -0,69
0,17 -0,14 0,76 -0,56 -0,42 -0,30 0,58 0,02 -0,29 0,21 -0,31 -0,57 0,34 0,13 0,15
0,30 0,50 -0,77 -0,04 -0,14 -0,33 0,01 1,15 0,16 -0,71 -0,14 0,35 -0,28 0,24 0,65
-0,06 0,46 -0,47 -0,12 0,33 0,09 -0,29 0,31 1,20 -0,37 -0,19 0,43 -0,48 -0,37 0,98
-0,49 -0,55 1,41 0,61 -1,02 0,52 0,21 -1,41 -0,37 1,66 0,64 -1,69 -0,11 0,70 -1,23
-0,42 -0,08 0,56 0,33 0,40 -0,40 -0,31 -0,28 -0,19 0,64 0,34 -0,16 -0,22 -0,51 -0,56
0,76 0,22 -1,44 -0,03 0,89 -0,12 -0,57 0,69 0,43 -1,69 -0,16 1,90 -0,24 -1,12 0,73
0,16 0,23 0,00 -0,30 -0,31 0,11 0,34 -0,56 -0,48 -0,11 -0,22 -0,24 0,44 0,35 -0,47
-0,10 0,10 0,86 -0,58 -0,52 -0,21 0,13 0,48 -0,37 0,70 -0,51 -1,12 0,35 0,89 0,10
0,63 0,39 -1,24 0,06 0,11 -0,69 0,15 1,30 0,98 -1,23 -0,56 0,73 -0,47 0,10 1,89
Y el vector
−−−−−−−
=
××−
−
−
=
−
89,0
33,0
23,1
65,0
34,0
53,0
12,0
36,1
19,3
98,1
32,3
13,3
78,2
5,4
07,4
4,0
2,0
3,0
3,0
2,1
2,0
4,0
1,0
2,0
5,0
2,0
1,0
4,0
7,0
8,0
2,12
07,0
15,0
51,0
07,0
54,2
05,0
84,0
6,1
67,3
18,3
8,3
37,3
74,4
18,6
99,5
22
21
3
3
B
Aa
B
A
El producto matricial [ ]22
2
2
2
1BA
B
A
a
sería:
1,28 1,12 0,64 0,16 0,32 0,8 0,32 0,16 0,64 0,32 1,92 0,48 0,48 0,32 0,64 1,12 0,98 0,56 0,14 0,28 0,7 0,28 0,14 0,56 0,28 1,68 0,42 0,42 0,28 0,56 0,64 0,56 0,32 0,08 0,16 0,4 0,16 0,08 0,32 0,16 0,96 0,24 0,24 0,16 0,32 0,16 0,14 0,08 0,02 0,04 0,1 0,04 0,02 0,08 0,04 0,24 0,06 0,06 0,04 0,08 0,32 0,28 0,16 0,04 0,08 0,2 0,08 0,04 0,16 0,08 0,48 0,12 0,12 0,08 0,16 0,8 0,7 0,4 0,1 0,2 0,5 0,2 0,1 0,4 0,2 1,2 0,3 0,3 0,2 0,4
0,32 0,28 0,16 0,04 0,08 0,2 0,08 0,04 0,16 0,08 0,48 0,12 0,12 0,08 0,16 0,16 0,14 0,08 0,02 0,04 0,1 0,04 0,02 0,08 0,04 0,24 0,06 0,06 0,04 0,08 0,64 0,56 0,32 0,08 0,16 0,4 0,16 0,08 0,32 0,16 0,96 0,24 0,24 0,16 0,32 0,32 0,28 0,16 0,04 0,08 0,2 0,08 0,04 0,16 0,08 0,48 0,12 0,12 0,08 0,16 1,92 1,68 0,96 0,24 0,48 1,2 0,48 0,24 0,96 0,48 2,88 0,72 0,72 0,48 0,96 0,48 0,42 0,24 0,06 0,12 0,3 0,12 0,06 0,24 0,12 0,72 0,18 0,18 0,12 0,24 0,48 0,42 0,24 0,06 0,12 0,3 0,12 0,06 0,24 0,12 0,72 0,18 0,18 0,12 0,24 0,32 0,28 0,16 0,04 0,08 0,2 0,08 0,04 0,16 0,08 0,48 0,12 0,12 0,08 0,16 0,64 0,56 0,32 0,08 0,16 0,4 0,16 0,08 0,32 0,16 0,96 0,24 0,24 0,16 0,32
En tanto que la matriz
−
−
2
2
21,
2
2
21
B
A
a
a
nn
n
quedaría:
0 0 0 0 0 0 0 0,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,08 0 0 0 0 0 0 0
En consecuencia, la matriz
[ ]
−
−
+
−
−
−2
2
21,
2
2
21
222
2
222
111
2 12
B
A
a
aBA
B
A
aMM
MMIa
nn
n
AB
BA
n sería:
0,42 0,08 0,16 0,44 0,28 -0 0,38 0,08 -0,4 1,28 -1,4 1,02 0,02 0,38 -0,4
0,08 0,12 0,44 1,06 0,32 -0 0,12 0,72 0,24 0,02 -1 -0 1,18 0,02 -0,7 0,16 0,44 1,18 0,92 0,74 0,2 0,44 0,24 -0,2 -0,3 -0,8 0,56 -0 0,64 -0,2 0,44 1,06 0,92 1,18 0,96 1,1 0,56 0,16 -1 -0 -0,2 -0,1 -0,1 -0 0,82 0,28 0,32 0,74 0,96 1,42 0,8 0,72 0,72 -0,3 -0,9 -0,7 -0,9 -0,3 0,02 -0,3 -0,4 -0,4 0,2 1,1 0,8 0,6 1 1,2 -0,3 -0,5 -2,8 -0,7 -1 -0,5 -1,2 0,38 0,12 0,44 0,56 0,72 1 1,62 1,52 -0,4 -0,8 -1 -1,6 -0,6 -1,7 -0,4 0,04 0,36 0,12 0,08 0,36 0,6 0,76 0,96 -0,5 -0,2 -0,5 -0,4 -1,3 -0,2 -0,5 -0,4 0,24 -0,2 -1 -0,3 -0 -0,4 -1 -0 0,24 -0,4 -0 -0,6 -0,2 -0 1,28 0,02 -0,3 -0 -0,9 -1 -0,8 -0,5 0,24 0,82 0,12 0,08 0,08 -0,2 -0,2 -1,4 -1 -0,8 -0,2 -0,7 -3 -1 -1,1 -0,4 0,12 -2,4 -0,1 -0,2 -0,3 -1,4 1,02 -0 0,56 -0,1 -0,9 -1 -1,6 -0,7 -0 0,08 -0,1 0,62 0,42 0,08 -0 0,02 1,18 -0 -0,1 -0,3 -1 -0,6 -2,5 -0,6 0,08 -0,2 0,42 0,32 0,48 0,36 0,38 0,02 0,64 -0 0,02 -1 -1,7 -0,5 -0,2 -0,2 -0,3 0,08 0,48 0,82 0,24 -0,4 -0,7 -0,2 0,82 -0,3 -1 -0,4 -1 -0 -0,2 -1,4 -0 0,36 0,24 -0
Su inversa [ ]
1
2
2
21,
2
2
21
222
2
222
111
2 12
−
−
−
−
−
−
+
B
A
a
aBA
B
A
aMM
MMIa
nn
n
AB
BA
n :
0,79 0,21 -0,9 -0,6 0,99 -1 0,06 0,85 0,24 -0,6 -0,6 0,97 0,04 -0,3 0,84 0,21 1,66 -1,2 0,11 0,87 -1 -0,6 2,03 1,62 -0,8 -0,6 1,08 -0,2 -0,8 1,21 -0,9 -1,2 2,71 0,2 -1,9 0,9 0,99 -2 -1 1,53 0,84 -1,9 0,24 1,3 -1,6 -0,6 0,11 0,2 0,73 0,2 0,1 -0,6 -0,1 -0,1 0,61 0,31 -0 -0,3 -0,6 0,09 0,99 0,87 -1,9 0,2 2,71 -1 -0,9 0,88 1,64 -1,3 -0,2 1,86 -0,8 -1,5 1,04 -0,6 -1 0,87 0,11 -1,2 1,7 0,21 -1,8 -1,2 0,8 0,24 -1,1 0,64 0,8 -1,6 0,06 -0,6 0,99 -0,6 -0,9 0,2 0,79 -0,5 -0,8 0,33 -0 -1 0,56 0,56 -0,2 0,43 1,02 -1 -0 0,44 -1 -0,2 1,69 0,77 -0,8 -0,4 0,8 -0,5 -0,2 1,09 0,24 1,62 -1 -0,1 1,64 -1 -0,8 1,54 2,59 -0,7 -0,9 1,46 -1 -1,4 1,98 -0,6 -0,8 1,53 0,61 -1,3 0,8 0,33 -1,7 -0,7 1,72 0,79 -1,9 0,02 0,93 -1,4 -0,6 -0,6 0,84 0,31 -0,2 0,2 -0 -0,9 -0,9 0,79 0,68 -0,7 0,06 0,02 -1 0,97 1,08 -1,9 -0 1,86 -1 -1 1,6 1,46 -1,9 -0,7 2,65 -0,7 -1,9 1,46 0,04 -0,2 0,24 -0,3 -0,8 0,6 0,56 -1,1 -1 0,02 0,06 -0,7 0,68 0,79 -0,9 -0,3 -0,8 1,3 -0,6 -1,5 0,8 0,56 -0,5 -1,4 0,93 0,02 -1,9 0,79 1,72 -0,7 0,84 1,21 -1,6 0,09 1,04 -2 -0,2 2,17 1,98 -1,4 -1 1,46 -0,9 -0,7 2,59
Y el vector
−−−−−−−
−
−
=
×
×−
−
−
=
−
3
4,1
8,2
3,2
7,6
6,1
3,2
83,0
12,2
7,0
25,2
6,2
64,1
76,0
2,0
4,0
2,0
3,0
3,0
2,1
2,0
4,0
1,0
2,0
5,0
2,0
1,0
4,0
7,0
8,0
5,0
935,12
07,0
15,0
51,0
07,0
54,2
05,0
84,0
6,1
67,3
18,3
8,3
37,3
74,4
18,6
99,5
22
2
2
3
3
3
B
A
a
a
B
A
