PRODUCTO ESCALAR

1. Definición:

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de

sus módulos por el coseno del ángulo   que forman.

2. Ángulos entre dos vectores:

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo

existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la

multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

3. Propiedades del producto escalar:

Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

4. Ejercicios:

- Sean , y . Hallar:

1. A x B

2. B x A

3.  un escalar cualquiera

1)

2)

        

                              

3)

                        

                                      

Adición y sustracción de vectores

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano.

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores: -El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo.El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A:

Un vector encierra más información que un número, nos da (en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la derecha en el eje x. 

Ejercicios.

PRODUCTO VECTORIAL

Sean dos vectores   y   en el espacio vectorial  . El producto vectorial entre   y   da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial   y   se denota mediante

, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente

manera:

Producto Vectorial según el angulo entre vectores

donde   es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por

la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la

mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Propiedades:

Identidades:

Cualesquiera que sean los vectores  ,   y  :

1. , (anticonmutatividad)

2. , cancelación por ortogonalidad.

3. Si   con   y  ,  ; esto es, la anulación del producto

vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

4. .

5. , conocida como regla de la expulsión.

6. , conocida como identidad

de Jacobi.

7. , en la expresión del término de la derecha, sería el

módulo de los vectores   y  , siendo  , el ángulo menor entre los vectores   y  ;

esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que

definen ambos vectores.

8. El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el

producto vectorial: 

9. El vector unitario   es normal al plano que contiene a los vectores   

y  .

Producto vectorial de dos vectores:

Sean los vectores concurrentes de  , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

Donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un

determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son

escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el

primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de   es el de un

sacacorchos que gire en la misma dirección.

Ejemplos:

1. El producto vectorial de los vectores   y   se calcula

del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que   es ortogonal a los vectores   y   efectuando

el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de

vectores)

2.

Producto mixto El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado un escalar.

Producto mixto:

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores.

Una expresión de la forma   no tiene mucho sentido porque el resultado del primer

producto es un escalar

y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.

Sin embargo, cuando los vectores son elementos de  , podemos combinar el producto

punto con el producto cruz para definir una nueva operación entre tres vectores, que se

denomina producto mixto pues el resultado será una cantidad escalar.

El producto mixto de los vectores   se denota por   y está

definido como

Cálculo del producto mixto

Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del producto mixto a partir de las

coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz:

en donde hemos usado que

 y  .

Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo de un determinante,

esto es:

Ejemplos