Producto Cartesiano y Relaciones

Guillermo Ortız RicoDepartamento de Matematicas

Facultad de Ciencias Naturales y ExactasUniversidad del Valle

14 de abril de 2016

1. Producto Cartesiano

Sean A y B conjuntos, y a ∈ A, b ∈ B. Entonces {a} ⊂ A y{a, b} ⊂ A∪B. Ası {a} y {a, b} son elementos de P(A∪B), de donde tenemosque {{a}, {a, b}} es un elemento de P(P(A ∪ B)). Con lo cual tenemos que{{a}, {a, b}} es un conjunto, afirmacion que proponemos al lector argumentarformalmente a partir de la axiomatica presentada.

Definicion 1.1 Dados A y B conjuntos, y a ∈ A, b ∈ B entonces definimosel par ordenado de a y b por el conjunto

(a, b) = {{a}, {a, b}}1;

y el producto cartesiano de A y B por el conjunto (de nuevo invitamos allector a dar una argumentacion formal a partir de la axiomatica dada queefectivamente lo es).

A×B = {z ∈ P(P(A ∪B)) : z = (a, b) ∧ a ∈ A ∧ b ∈ B}1Con esta definicion es posible demostrar que (a, b) = (c, d) implica que a = c y b = d,

lo cual constituye un ejercicio de esta guıa.

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Abreviadamente; A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.Ejercicios

Demuestre que

1. A× (B ∪ C) = A×B ∪ A× C

2. A× (B ∩ C) = A×B ∩ A× C

3. (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

4. (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C)

5. A ⊆ A× A implica que A = ∅

2. Relaciones

La idea de relacion es muy general y, en el caso de relacion binaria, corres-ponde a aparear ciertos elementos, justo esos que estan relacionados. Estanpresentes en nuestra vida diaria, ası por ejemplo cuando consideramos el colorazul, tenemos una relacion sobre todas los objetos (materiales), dos objetosestan relacionados si ellos son azules. En este mismo sentido, tenemos que engeneral la denotacion de un nombre origina una relacion sobre alguna clasede objetos. Una relacion puede considerarse como una designacion de co-rrespondencia entre unos elementos de un conjunto con respecto a otros deotro conjunto. Por ejemplo la dada en el siguiente tabla;

Estudiante CursoJuanito MatematicasPedrito F isicaBeatriz ArtesMartha MatematicasLucho Historia

la cual muestra los cursos que estan tomando cada uno de los estudiantescitados. Formalmente es usual definir relacion como un conjunto de paresordenados, considerando que el primer elemento del par esta relacionado conel segundo bajo la relacion dada.

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Definicion 2.1 Una relacion (binaria) R de un conjunto A a un conjuntoB es un subconjunto del producto cartesiano A×B. Si (x, y) ∈ R se escribexRy y se dice que x esta relacionado con y bajo R. Para cuando A = Bdiremos que R es una relacion sobre A.

Vale la pena observar que algunas veces es relevante tener en cuentaexactamente sobre que conjuntos esta definida la relacion. Ya que si no seexplıcita tal situacion esto podrıa dar lugar a confusiones. Para cuando seaeste el caso ademas del subconjunto de pares hay que explıcitar los conjuntosA y B, ya que estos podrıan cambiar sin que cambie el subconjunto de pares.

Observacion 2.1 Sea R es una relacion binaria de A en B, es decir, se tieneque R ⊆ A×B. Entonces si (x, y) ∈ R tenemos que (x, y) = {{x}, {x, y}} ypor tanto

x ∈ {x} ∈ {{x}, {x, y}} = (x, y) ∈ R

y ∈ {x, y} ∈ {{x}, {x, y}} = (x, y) ∈ R

Luego x, y ∈∪∪

R

3. Dominio y rango

El dominio y el recorrido (o rango) de una relacion R se definen respec-tivamente por

DomR = {x ∈∪∪

R : ∃y ∈∪∪

R ∧ (x, y) ∈ R}

RecR = {y ∈∪∪

R : ∃x ∈∪∪

R ∧ (x, y) ∈ R}

Ademas llamaremos Campo de R a la union de el dominio y el recorrido.

Preguntemos si DomR y RecR son conjuntos? La respuesta naturalmentedebe ser que si. Pero, ¿Que axiomas sustentan tal afirmacion?

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4. Inversa

Dada una relacion R definimos la relacion inversa de R por

R−1 = {(x, y) ∈ RecR×DomS : (y, x) ∈ R}Preguntemos ahora R−1 es un conjunto? La respuesta naturalmente debe

ser que si. Pero, ¿Como sustenta tal afirmacion?

5. Composicion

Dadas dos relaciones R y S definimos la composicion de S con R por

R ◦ S = {(x, y) ∈ DomS ×RecR : ∃z(x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R}

Preguntemos ahora R◦S es un conjunto? La respuesta naturalmente debeser que si. ¿Como sustenta tal afirmacion?

6. Imagen

Dadas una relacion R y un conjunto A se define la imagen de A a travesde R por

R[A] = {y ∈ RecR : ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}Preguntemos ahora R[A] es un conjunto? La respuesta es si. ¿Como sus-

tenta?

7. Imagen Inversa

Dadas una relacion R y un conjunto B se define la imagen inversa de Aa traves de R por

R−1[B] = {x ∈ DomR : ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}Preguntemos ahora R−1[B] es un conjunto? La respuesta es si. ¿Como

sustenta?

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Observacion 7.1 Las propiedades basicas de los conceptos basicos de rela-ciones antes presentados seran propuestas como ejercicios en la parte finalde este capıtulo.

8. Relaciones de orden y de equivalencia

La presentacion de relaciones nos permite formalizar ideas intuitivas, co-mo por ejemplo de predecesor de y sucesor de, ası como la idea natural defragmentar un conjunto de objetos (materiales, es decir aquellos que conoce-mos a traves de los sentidos, y/o abstractos, es decir los creados por nuestrointelecto) en clases que cumplen propiedades comunes.

Definicion 8.1 Una relacion R en un conjunto A se denomina reflexiva sipara todo x ∈ A entonces (x, x) ∈ R.

Es decir, una relacion R sobre un conjunto A es reflexiva si cada elementox ∈ A esta relacionado consigo mismo.

EjemploPara A = {1, 2, 3, 4}, una relacion R sobre A sera reflexiva si

{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ⊆ R. Por tanto, R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} no esuna relacion reflexiva en A, mientras que R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),(1, 3), (2, 3), (3, 4)} si lo es.

Definicion 8.2 Una relacion R en un conjunto A se denomina simetricasi para todos x, y ∈ A entonces (x, y) ∈ R implica que (y, x) ∈ R.

EjemploPara A = {1, 2, 3}, se tiene que:

R1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)} es una relacion simetrica, pero no re-flexiva en A.

R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1)} es una relacion reflexiva, pero no simetri-ca en A.

R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} y R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)} sonrelaciones en A reflexivas y simetricas.

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Definicion 8.3 Una relacion R en un conjunto A se denomina transitivasi para todos x, y, z ∈ A entonces (x, y), (y, z) ∈ R implica que (x, z) ∈ R.

EjemploPara A = {1, 2, 3, 4}, se tiene que R1 = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)} es una

relacion transitiva en A, mientras que R2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 2)} no loes, pues (1, 2) /∈ R2.

Definicion 8.4 Una relacion R en un conjunto A se denomina antisimetri-ca si para todos x, y ∈ A entonces (x, y), (y, x) ∈ R implica que x = y ∈ R.

EjemploPara A = {1, 2, 3}, la relacion R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es una relacion

simetrica porque (2, 3) /∈ R, y tampoco es antisimetrica, pues (1, 2), (2, 1) ∈R, pero 1 = 2. La relacion R1 = {(1, 1), (2, 2)} es simetrica y antisimetrica.

Definicion 8.5 Una relacion R en un conjunto A se denomina un ordenparcial o relacion de orden parcial si R es reflexiva, antisimetrica y transi-tiva. Cuando la relacion es reflexiva en un conjunto A, simetrica y transitivadiremos que es una relacion de equivalencia R en un conjunto A.

En lıneas generales una relacion de equivalencia en un conjunto A genera-liza la igualdad; origina una caracterıstica de “identidad” entre los elementosde A. Entonces, este concepto de “identidad” causa la descomposicion delconjunto A en subconjuntos llamados clases de equivalencia. A la inversa,se encuentra que una particion de un conjunto A origina una relacion deequivalencia en A. Es oportuno senalar que la particion de conjuntos es unconcepto reiterativo en el que hacer matematico.

Aunque la relacion de equivalencia se diferencia del orden parcial en unasola propiedad, es bastante distinta en estructura y aplicacion. Ası la igualdadde ciertos aspectos de los elementos de un conjunto naturalmente particionael conjunto en clases de objetos los cuales son iguales estos aspectos. Ası porejemplo, la relacion tener el mismo color de ojos divide (particiona) la razahumana en las clases de la gente de ojos azules, la de ojos cafes, la de ojosverdes, la de ojos grises, las de ojos negros, etc. Esta caracterıstica es propiade cualquier relacion de equivalencia.

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Si ∼ es una relacion de equivalencia sobre un conjunto A y a es un ele-mento de A, llamaremos la clase de equivalencia de a al conjunto de todoslos elementos de A que estan relacionados con a por la relacion ∼. Usaremosla notacion estandar [a] = {x ∈ A : a ∼ x}.

Lema 8.6 Si ∼ es una relacion de equivalencia sobre un conjunto A, a, b ∈ Ay [a] = [b] entonces [a] ∩ [b] = ∅.

DemostracionSi suponemos que existe x ∈ [a] ∩ [b] entonces x ∼ a y x ∼ b. Para todoy ∈ [a], y ∼ a. Pero por simetrıa a ∼ x, ası por transitividad y ∼ x, y portanto y ∼ b. Entonces y ∈ [b], con lo cual [a] ⊆ [b]. Con el mismo argumento[b] ⊆ [a], por tanto [a] = [b], contradiciendo la hipotesis [a] = [b] �

Este lema nos asegura que las clases de equivalencia distintas son siempredisjuntas.

Definicion 8.7 Una particion de un conjunto A es un conjunto de sub-conjuntos {Ai = ∅ : Ai ⊆ A ∧ i ∈ I} (I un conjunto de indices) tales que∪

i∈I Ai = A y Ai ∩ Aj = ∅ para i = j.

Teorema 8.8 Una relacion ∼ sobre un conjunto A = ∅ particiona A en susclases de equivalencia. Conversamente, toda particion sobre A da lugar a unaunica relacion de equivalencia, cuyas clases de equivalencia son justamentelos subconjuntos de la particion.

DemostracionLa union de las clases de equivalencia es claramente un subconjunto de A,ya que cada clase de equivalencia es a su vez un subconjunto de A. Ademassi a ∈ A entonces a ∼ a por reflexividad, ası a ∈ [a] y por tanto A esigual a la union de las clases de equivalencia. Por el lema anterior estasclases de equivalencia son disjuntas, luego el conjunto de las distintas clasesde equivalencia forma una particion de A. Conversamente supongamos que{Ai = ∅ : Ai ⊆ A ∧ i ∈ I} es una particion de A. Sea ∼ = {(a, b) : a y bpertenecen al mismo subconjunto Ai}. Si a ∈ A entonces a ∈

∪i∈I Ai = A,

ası a ∈ AAi para algun i ∈ I. Por lo tanto a ∼ a y la relacion es reflexiva.Si a y b estan en Ai, entonces b y a estan en Ai, luego la relacion es simetri-ca. Si a ∼ b y b ∼ c entonces a, b ∈ Ai para algun i ∈ I y b, c ∈ Aj paraalgun j ∈ I. Por tanto b ∈ Ai ∩ Aj, el cual es vacıo si i = j. Con lo cual

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i = j y a, c ∈ Ai. Obteniendose como conclusion que a ∼ c, es decir que larelacion es transitiva. Luego la relacion ∼ es una relacion de equivalencia �

9. EJERCICIOS

1. Hallar todas las relaciones en el conjunto {a}.

2. Defina seis relaciones distintas en el conjunto {a, b}.

3. ¿Cuantas relaciones distintas hay en un conjunto de un elemento? ¿y enun conjunto de dos elementos? ¿y en uno de tres elementos? En general,si n es un entero positivo, ¿cuantas relaciones hay en un conjunto conn elementos?

4. Muestre que para toda relacion R y todo conjunto B se cumple que laimagen inversa de B bajo R es igual a la imagen de B bajo R−1.

5. Muestre que si R, S y T son relaciones entonces (R ◦ S) ◦ T =R ◦ (S ◦ T ).

6. Muestre que si R y S son relaciones entonces:

a) R ∩ S es una relacion.

b) Dom(R ∩ S) ⊆ DomR ∩DomS, y que en general la igualdad nose cumple.

c) (R ◦ S)−1 = S−1 ◦R−1

7. Demostrar o refutar que si R y S son relaciones entonces:

a) Rec(R ∪ S) = RecR ∪RecS

b) Rec(R ∩ S) = RecR ∩RecS

c) Dom(Rr S) = DomRrDomS

d) (Rr S)−1 = R−1 r S−1

8. Muestre que si R es una relacion y A;B conjuntos, entonces:

a) R[A ∩B] = R[A] ∩R[B]

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b) R[A ∪B] ⊆ R[A] ∪R[B]

c) R[A] r R[B] ⊆ R[A r B], y que en general la igualdad no secumple.

9. Demostrar o refutar; si R y S son relaciones y A es un conjunto, en-tonces:

a) R ∪ S[A] = R[A] ∪ S[A]

b) R ∩ S[A] = R[A] ∩ S[A]

c) Rr S[A] = R[A]r S[A]

10. Mostrar o refutar:

dom(R ∪ S) = dom(R) ∪ dom(S)

dom(R ∩ S) = dom(R) ∩ dom(S)

dom(R− S) = dom(R)− dom(S)

11. Sean R = {(a, b), (b, c)} y S = {(b, b), (c, b)}. Entonces calcular:R−1, S−1, S ◦R, R ◦ S, R ◦R, S ◦ S, y R−1.

12. Mostrar que (R−1)−1 = R

13. Mostrar que para todos R es una relacion y A,B conjuntos se cumpleque:

a) R−1[A ∪B] ⊆ R−1[A] ∪R−1[B]

b) R−1[ArB] ⊇ R−1[A]rR−1[B]

c) A ⊆ R−1[R[A]]

d) B ⊆ R[R−1[B]]

14. Sean R = {(a, b), (b, c)} y S = {(b, b), (c, b)}. Calcular las siguientescomposiciones: R ◦ S, R ◦ S−1, S ◦R y S ◦R−1.

15. Sea R = {(a, b), (a, c), (c, b)}. Calcular las siguientes composiciones:R ◦R, R ◦R−1, R−1 ◦R y R−1 ◦R−1.

16. Hallar dos relaciones distintas R y S tales que R ◦ S = S ◦R.

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17. Suponga queR y S son relaciones tales que S−1◦R−1 = {(a, c), (a, e), (b, b)}.¿Que relacion es R ◦ S ? ¿Por que?

18. Determine cuales de las siguientes relaciones son reflexivas, simetricas,antisimetricas o transitivas:

a) “Ser amigo de”sobre el conjunto de todos los colombianos.

b) “Ser del mismo peso”sobre un conjunto de personas.

c) “Ser hermano de”sobre el conjunto de todas las personas.

d) (x, y) ∈ R sı x2 + y2 = 1 y x e y son numeros reales.

e) “Tienen el mismo tipo de sangre”sobre el conjunto de todas laspersonas.

19. Muestre que las siguientes relaciones son de equivalencia.

a) Considere la relacion ∼ definida sobre el conjunto de todos losseres humanos, definida por a ∼ b si a y b nacieron el mismo dıadel ano (posiblemente en anos diferentes).

b) La relacion de congruencia definida sobre todos los triangulos.

c) La relacion sobre los numeros enteros a ∼ b si y solo si a− b es unmultiplo de 3.

20. Defina todas las relaciones de equivalencia en

a) {a, b}b) {a, b, c}

21. Hallar un conjunto A y una relacion R en A que sea reflexiva en A ysimetrica, pero no transitiva.

22. Muestre que si A es un conjunto con menos de tres elementos, entoncestoda relacion en A que sea reflexiva en A y simetrica es tambien tran-sitiva.

23. Determinar si la coleccion P dada es una particion del conjunto A enmencion:

P = {{1}, {2, 3}, {4}} y A = {1, 2, 3, 4}.

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P = {P, I} donde P indica los numeros pares e I los impares;mientras que A es el conjunto de los numeros naturales.

P = {Aa, Ab, Ac, . . . , Ay, Az} donde Aa es el conjunto de las pal-abras castellanas que empiezan por la letra a, Ab el de las queempiezan por la letra b, etc. Siendo A el conjunto de todas laspalabras castellanas.

P = {{a} : a ∈ A} y A un conjunto cualquiera.

P = {A} y A un conjunto cualquiera.

24. Describa la relacion de equivalencia en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}determinada por la particion P = {{1, 3}, {2, 4}, {5}}.

25. Dar un ejemplo de una particion no trivial que tenga infinitos elemen-tos.

26. Describa todas las particiones asociadas a cada una de las relacionesde equivalencia del ejercicio 24.

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