Producto Cartesiano, Producto Composición, Relaciones

7/24/2019 Producto Cartesiano, Producto Composicin, Relaciones

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PAR ORDENADO

Dados dos elementos a y b interesa formar

un conjunto que dependa de dichoselementos y el orden en que se consideran.

DEFINIION! Par ordenado "a#b$ es el

conjunto cuyos elementos son %a& y %a#b&

"a#b$ ' %%a& # %a#b& &

a y b son la primera y la se(undacomponentes del par ordenado.


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PROD)*O AR*E+IANO

DEFINIION! Producto cartesiano de dosconjuntos A y , es el conjunto cuyoselementos son todos los paresordenados cuya primera componentepertenece a A y la se(unda a ,.

A-, ' %"a#b$ a / A 0 b / ,&


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RE1AIONE+

RE1AIONE+ ,INARIA+! +ean A y , dosconjuntos y P"2# y$ una propiedadrelati3a a los elementos 2 / A e y/ ,# en ese orden. Esto su(ierenaturalmente la consideraci4n delproducto cartesiano A2,# y ladeterminaci4n de los pares ordenados

"a# b$ para los cuales P"a# b$ es unaproposici4n 3erdadera. De este modoqueda de5nido un subconjunto R

A2,# llamado relaci4n.


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DO6INIO DE )NA RE1AI7Nonsideremos una relaci4n R entre los

conjuntos A y ,.+i "2# y$ / R diremos que y es una ima(en

de 2 a tra38s de R# y que 2 es un

antecedente o preima(en de y por R.DEFINIION! Dominio de R es la totalidad

de los elementos de A# que admiten

ima(en en ,

DR' % 2 / A"2#y$ / R&


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I6A9EN DE )NA RE1AIONDEFINIION! Ima(en de R es el conjunto

de los elementos de ,# que admiten unantecedente en A.

IR' % y / , "2# y$ / R&

RE1AI7N IN:ER+A DE )NARE1AI7N

DEFINII7N! Relaci4n in3ersa de R es elsubconjunto de ,2A de5nido por!

R;


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O6PO+II7N DERE1AI7NA partir de las relaciones R A2, y +

,2# es posible de5nir una relaci4nentre A y # llamada composici4n entreR y +# mediante

+R ' %"2# =$ >y / , 0 "2# y$ / R 0 "y#=$ / +&

PROPIEDADE+ DE 1A O6PO+II7N DE

RE1AI7N A+OIA*I:IDAD! "* +) R ' * (+ R$ 1a relaci4n in3ersa de la composici4n

es i(ual a la composici4n de las


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RE1AIONE+ DEFINIDA+ EN )N ON?)N*O+ea R una relaci4n entre A y ,# donde ,

' A. En este caso la relaci4n est@de5nida en A# y se identi5ca con unsubconjunto de A' A2A.

DEFINII7N! R es una relaci4n de5nidaen A# si y solo si R A.

omo todo subconjunto de Aes un

elemento de las partes de A# podemosdecir!

R es una relaci4n de5nida en A si y s4lo

si R / P"A

$


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PO+I,1E+ PROPIEDADE+ DE 1A+RE1AIONE+ DEFINIDA+ EN )N ON?)N*O

+EA R )NA RE1AION DEFINIDA EN A#E+ DEIR# R A. DIBA RE1AION

P)EDE 1A+IFIAR+E ON 1A++I9)IEN*E+ PROPIEDADE+!

1. REFLEXIVIDAD:+E ARA*ERICA

POR)E *ODO E1E6EN*O DE AFOR6A PARE?A ON+I9O 6I+6O# E1PAR A+ O,*ENIDO PER*ENEE A 1A

RE1AION.


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. NO REFLEXIVA:ON+I+*E EN 1ANE9AI7N DE 1A PROPIEDADREF1E-I:A.1A NO REF1E-I:A DE R )EDAE+PEIFIADA POR 1A E-I+*ENIADE A1 6ENO+ )N E1E6EN*O DE A)E NO E+*G RE1AIONADOON+I9O 6I+6O.

R ES NO REFLEXIVA x/ x A

(x, x)

R


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H.ARREFLEXIVIDAD:E+ DEIR#

NIN9)N E1E6EN*O DE A E+*RE1AIONADO ON+I9O 6I+6O# O1O )E E+ I9)A1# NIN9JN

E1E6EN*O DE 1A DIA9ONA1 AAPER*ENEE A 1A RE1AI7N.

R ES ARREFLEXIVA x: xA (x, x)

R


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L. NO SIMETRA:E+ 1A NE9AIONDE 1A +I6E*RA.1A NO +I6E*RA NO I6PIDE )E DO+PARE+ DE O6PONEN*E+ PER6)*ADA+PER*ENECAN A 1A RE1AI7N# PERO E-I9E

)E BAA A1 6ENO+ )N PAR EN 1ARE1AI7N# )E E1 )E RE+)1*E DEPER6)*AR +)+ O6PONEN*E+ NO

PER*ENECAN A E11A.

R ES NO SIMTRICA x y A/ (x, y) R (y, x)

R


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M.ASIMETRA:EN E+*E A+O DE,EO)RRIR )E +I )N PAR PER*ENEEA 1A RE1AI7N# EN*ONE+ E1 )E

+E DED)E POR PER6)*AI7N NOPER*ENEE.

R ES ASIMTRICA x y A/ (x, y) R (y,x) R


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. *RAN+I*I:IDAD! +I )N E1E6EN*O

E+*A RE1AIONADO ON O*RO "nonecesariamente distinto$# G+*EE+* RE1AIONADO ON )N

*ERERO# EN*ONE+ E1 PRI6EROE+* RE1AIONADO ON E1*ERERO.

R ES TRANSITIVA x yz: (x, y) R (y, z) R(x,z) R


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. NO TRANSITIVIDAD:POR +ER1A NE9AION DE 1A *RAN+I*I:IDAD.

R ES NO TRANSITIVA x yz A/ (x, y) R (y, z) R(x, z) R


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.ATRANSITIVIDAD:A DIFERENIADE 1A NO *RAN+I*I:A# PARA *ODOE1E6EN*O )E E+*G RE1AIONADOON O*RO E+*E ON )N *EREROQNO E-I+*E NIN9)NA RE1AI7N DE1PRI6ERO ON E1 *ERERO )EPER*ENECA A 1A RE1AI7N.

R ES ATRANSITIVA x yz: (x, y) R (y, z) R ( x,z) R


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