Procesos de consenso en redes dinámicas
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Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Procesos de consenso en redes dinámicas
Miguel Rebollo
GSC. Doctorado en Sistemas ComplejosTutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano
Enero 2015
@mrebollo GSC. Doctorado en Sistemas Complejos Tutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano
Procesos de consenso en redes dinámicas
Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Consenso
¿qué es el consenso?
@mrebollo GSC. Doctorado en Sistemas Complejos Tutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano
Procesos de consenso en redes dinámicas
Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Consenso
¿para qué sirve?
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Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)
1.cada nodo tiene un valor inicial
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
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Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)
2.pasa su valor a sus vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
x1 = 0.4x1 = 0.4
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Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)
3.recibe los valores de los vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x2 = 0.2
x4 = 0.9x3 = 0.3
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Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)
4.calcula el nuevo valor con
xi(t+1) = xi(t)+!!
j!Ni
[xj(t) ! xi(t)]
siendo ! < 1m«ax di
x(t + 1) =
P" #$ %
(I ! !L) x(t)
1 2
3 4
x1 = 0.45 x2 = 0.425
x3 = 0.325 x4 = 0.6
x1 = 0.4
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Proceso de consenso
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x = 0.45
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Limitaciones
red estática: no se permiten cambios envalores inicialespesosestructura
parámetros globales: !
consenso sobre una variable
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Conservación de la suma
Concepto clave: la suma de los valores de x permanece constantedurante todo el proceso
!
i
xi(0) =!
i
xi(t) "t
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Adaptaciones a la dinámica
0 5 10 150.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus with changes in initial values
0 5 10 150.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus with changes in weights
0 2 4 6 8 100.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus process with node deletion
0 2 4 6 8 100.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
time
x
Consensus process
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Modelo general
Dos procesos de consenso en paralelo
1 consenso de mínimos para !i
!t+1i = minj!Nt
i "i!tj
2 consenso general para xi
x t+1i = x t
i + f (x ti ) +
!ti
w ti
!
j!Nti
&
x tj ! x t
i
'
+x t
i
w ti
!
j!Nti
&
!ti ! !t
j
'
Adaptación con información local exclusivamente
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Problema de coherencia
red con pesos negativos
encontrar partición en 2grupos C+, C#
i , j pertenecen al mismogrupo si aij > 0
se busca maximizar elvalor de la partición
W =
(
i ,j!C+ aij !(
i!C+,j!C! aij
|E |
1 2
3 4
-0,5
0,5
-0,50,5
0,5
-1
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Coherencia mediante consenso
Laplaciana con signo
L̄ = D̄ ! A, cond̄ii =!
j $=i
|aij |
x(t + 1) =
P̄" #$ %
(I ! !L̄) x(t)
Al aplicar el consenso
la red converge a un único valor |x | (en valor absoluto)
el signo de x determina el grupo al que pertenece
si no es completamente separable, xi # 0
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Resultados
0 200 400 600 800 10000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
iterations
Evolution of the consensus
0 200 400 600 800 10000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
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Comunidades en redes con signo
Generalización del problema de coherencia a n comunidades
caso: tribus NuevaZelanda
detección por valorespropios
3 grupos claramenteseparados
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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Proceso iterativo
1 se aplica consenso (coherencia)
2 los nodos desactivan los enlaces con los vecinos del otro grupo
3 para cada grupo, se vuelve a aplicar consenso
4 si un grupo no se divide más, para
5 el proceso termina cuando no se producen divisiones
6 cada nodo pertenece al mismo grupo que los vecinos con losque al final mantenga un enlace (positivo)
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Resultado
0 20 40 60 80 100 120 140 160−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300 350−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Original Network Communities Detected
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Trabajo actual
consenso multivariable
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Representación: Redes multicapa
x1
1
x2
1
capa 1
capa 2w
2
1
w1
1
Cada variable se representa enuna capa. Hay una copia delnodo en cada capa
x!i valor de i en la capa "
w!i importancia que
asigna i a la capa "
(privado)(
! w!i = 1"i
Consenso en cada capa +ascenso por gradiente entrecapas
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Función de utilidad local
Función de utilidad: gaussiana
x̄ = xi(0) la media es elvalor inicial (máximo)
# = 1 ! wi la desv.depende del peso
u!i (x
!i ) = e
# 12
)x!
i!x!
i(0)
1!w!
i
*2
Se combinan asumiendo queson independientes
ui(xi) =+
!
u!i (x
!i )
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Consenso + ascenso por gradiente
Proceso combinado (Yuan&Yin, 2014)
x!i (t+1) = x!
i +
fi" #$ %
!
w!i
!
j!N!
i
(x!j (t) ! x!
i (t)) +$$ui(x1i (t), . . . , xp
i (t))$ %" #
gi
Al usar la gaussiana como función de utilidad"ui (xi )
"x!
i= !
x!
i (t)#x!
i (0)(1#w!
i )2 ui(xi)
converge si $ % mini1
Lui
Lui (derivada máxima) en x!i ± (1 ! w!
i )
x!i (t + 1) =
x!i + #
w!
i
(
j!N!
i(x!
j (t) ! x!i (t)) ! 1
m«axi ||%ui (xi )||2·
x!
i (t)#x!
i (0)(1#w!
i )2 ui (xi)
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Máximos locales
¿Qué ocurre si hay máximoslocales?
hay nodos que el enmáximo absoluto tienenutilidad 0
rompen los enlaces queles llevan a zonas debaja utilidadcrean enlaces connodos cercanos #utilidad semejante
los nodos se reagrupan enmáximos locales
12
34
56
78
910
0123456789100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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Trabajo realizado
modelo de consenso general
extensión a redes con signoproblemas de coherenciadetección de comunidades
otras extensionesredes móvilesconsenso solidariodisensoefecto de la memoria (resistencia)combinación con otras técnicas de difusión (gossip)
combinación con gradiente
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Trabajo futuro
generalización del modelo completo
modelo asíncrono
cheating: detección de nodos que no siguen el algoritmo
estudio teórico de las propiedades
estudio en el límite de los parámetros ! y $
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