Proceso de Muestreo

8/19/2019 Proceso de Muestreo

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Ingeniería de Control

Tema 4. Proceso de Muestreo

Daniel Rodríguez Ramírez

Teodoro Alamo Cantarero


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Contextualización del tema

• Conocimientos que se adquieren en este tema ! Conocer el "roceso de muestreo de sistemas continuos.

! #ntender como es el es"ectro de una se$al muestreada con res"ecto al de la

se$al original.

! Conocer el "rocedimiento ideal "ara reconstruir una se$al % las condiciones

so&re el tiem"o de muestreo "ara que sea "osi&le.

! 'a&er identi(icar el "ro&lema del aliasing % sus causas. ! Conocer el "roceso de reconstrucción usando mantenedores % los distintos

ti"os que )a%.

! 'a&er o&tener la (unción de trans(erencia "ulsada de un sistema.

#squema del tema

3.1. Introducción.

3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.


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3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.6. Reconstrucción usando mantenedores.3.7. Otención de la función de transferencia pulsada.

Introducción

• #l muestreo es una "roceso &*sico en los sistemas de control "or

com"utador.

• #l muestreo signi(ica que una señal continua es reemplazadapor una secuencia de números que representan los valores de

la señal en los instantes de muestreo.

• +os as"ectos que )a% que tener en cuenta son


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! "# $e % $e t ! "# $g %& # $g t'eñal

continua'eñal

continua'ecuencia 'ecuencia

'()*RO)+A

*. ,-A M.O.*. /0A)&A *. A-,*OM/1&A,OR

RF 'A0(,A

/0A)&A ,('*R&(A,A

& &

!e%" u! %"

M1'&RO

u#t$

#t$e#t$

Introducción• , Como se muestrea un sistema continuo "ara controlarlo con un com"utador -

• , Como a(ecta el muestreo a la din*mica "erci&ida -

• , Como se "uede reconstruir una se$al a "artir de su muestreo -

• #squema de un sistema de control "or com"utador


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• +a se$al de error solo llega al com"utador en determinados instantes % la salidadel com"utador la actuación/ solo se conecta en esos mismos instantes. +osinstantes est*n se"arados "or el tiem"o de muestreo T.

• #ntre esos instantes la actuación se mantienen constante mediante un

mantenedor de orden cero.

Introducción

• #(ecto de usar muestreo % un mantenedor de orden cero

so&re una se$al continua

• #n resumen0 el "roceso de muestreo im"lica


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. Muestrear la se$al de error0 conect*ndola al ordenadorcada T segundos.

2. Mantener la se$al de control constante entre un instante demuestreo % el siguiente.

#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.

3.3. Muestreo de sistemas continuos.3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.6. Reconstrucción usando mantenedores.3.7. Otención de la función de transferencia pulsada.

Re"aso de la trans(ormada de 1ourier • +a trans(ormada de 1ourier de una se$al "eriódica ( tt/ de "eriodo T es


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• Por otra "arte la antitrans(ormada es

• 'i la se$al no es "eriódica la trans(ormada % antitrans(ormada son

• +a trans(ormada de 1ourier de una se$al da una idea de la distri&ución de

energía de la misma so&re el es"ectro de (recuencias que esta ocu"a.

• +as se$ales "eriódicas ocu"an un es"ectro (inito0 mientras que las a"eriodicas

tienen un es"ectro in(inito.


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#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.

3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.6. Reconstrucción usando mantenedores.

3.7. Otención de la función de transferencia pulsada.

Muestreo de 'istemas Continuos• #l muestreador es el elemento que o&tiene la secuencia a "artir de la se$al

continua.


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t & 2& 3& 4& 5&

&

t & 2& 3& 4& 5&

Muestreadorideal

t & 2& 3& &2&3&

+os instantes en los que se 2cierra3 el

contacto se "ueden re"resentar

como un tren de im"ulsos

Muestreo de 'istemas

Continuos


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l proceso puede 8erse como una modulación9:

• +a se$al muestreada se calcular* como

% su trans(ormada de 1ourier como


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Muestreo de 'istemas Continuos

• Teniendo en cuenta que P; n/ 5 % a"licando la antitrans(ormada

• 'ustitu%endo en la ex"resión X * ( ; ) se o&tiene

El espectro en frecuencia de la señal muestrada x

*

(t) tiene la mismaforma que la de la señal sin muestrar x(t), atenuada por un factor 1/T y

repetida en la frecuencia cada


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#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.

3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.6. Reconstrucción usando mantenedores.


Reconstrucción de una se$al muestreada

• 6&tener la se$al continua original a "artir de la se$al muestreada.

• +a idea sería (iltrar uno de los es"ectros de la se$al original % a "artir de a)í


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antitransformar9

>?# >$

&

-&

Filtro

>?@# $>

Posible por que lasrepeticiones de X;! nose solapan

"i el tiempo de muestreoaumenta lle#ar$ un punto enque se solapen

% Imposible reconstruir la señal &

Reconstrucción de una se$al muestreada• +os centros de las re"eticiones del es"ectro de 78/ est*n se"arados "or

radianes "or segundo.


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frecuencia;c.

-&

>?@# $>

c sc

'sta es lasituación l(mite

'l solape comien)a aproducirse cuando;s * 2;c

• Por otra "arte las re"eticiones tienen energía )asta una determinada

Teorema de $%annon

+a frecuencia ;s a la que debe muestrearse una señaldebe ser al menos el doble de aquella frecuencia

m$s alta ;c para la que el sistema tiene al#unaener#(a.

• #l tiem"o m*ximo de muestreo sería "ero en la "r*ctica suele sermuc)o menor.


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#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.,. -liasin# o enmascaramiento de frecuencias.

3.6. Reconstrucción usando mantenedores.


Aliasing o enmascaramiento de (recuencias• #ste (enómeno a"arece cuando se muestrea una se$al a una tasa

in(erior a la de ')annon % se intenta reconstruir des"u9s.

• Al reconstruir la se$al se o&tiene otra de di(erente (recuencia.


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Muestreo correctoMuestreo a una tasa insuciente

• #l aliasing a"arece cuando al muestrear dos se$ales se o&tienen

los mismos :alores.


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Aliasing-parece el aliasin#/ pues la componente de 4 rad0saparece en la salida como si fuera de 1 rad0s.


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2

#$

#$

#$

t

t

t

B

#$t

2 #$t

#$%

t

t

t

%

= 2= 3= 4=

= 2= 3= 4=

= 2= 3= 4=

2

3 45

6

-l muestrear a 3 rad0s lasoscilaciones debidas a lacomponente de 3 rad0s no

aparecen en la salida

Aliasing ! 6scilaciones ocultas"i la señal t! contiene una componente con frecuencianeces la frecuencia de muestreo/ entonces esta


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componente puede no aparecer en la salida. 'stasoscilaciones entre los tiempos de muestreo son lasoscilaciones ocultas.

#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.

3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.5. Reconstrucción usando mantenedores.


Reconstrucción usando mantenedores

• +a reconstrucción de se$ales usando un (iltros ideal no es "osi&le %a

que este es no causal irrealiza&le.


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#$%H

s

&ses

Mantenedor de orden cero

A "artir de la respuesta impulsional

del mantenedor de orden cero se

"uede sacar su (unción de

trans(erencia como suma de dos

se$ales escalón de signo o"uesto %

una de ellas retrasada T segundos


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# $Io JK ;

s; 2 s; 3 s;

L o

o

;

;# $Io JK ;

Respuesta frecuencial del mantenedor

como 9

Mantenedor de orden cero

de orden cero T


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0

90

#(ecto del muestreador = mantenedor de orden cero

M.6.7.


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1 t


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Mantenedor de orden 5

t


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#squema del tema

3.. (ntroducción.3.2. Repaso de la transformada de Fourier.3.3. Muestreo de sistemas continuos.3.4. Reconstrucción de una señal muestreada.3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias.3.6. Reconstrucción usando mantenedores.

3.8. 6btención de la función de transferencia pulsada.

6&tención de la (unción de trans(erencia "ulsada

• Al o&tener la (unción de trans(erencia de un sistema muestreado

)a% que tener en cuenta el mantenedor de orden cero0 cu%a (unción

de trans(erencia es

• Procedimiento "ara o&tener la (unción de trans(erencia "ulsada

. 6&tener g>t/ a"licando trans(ormada de +a"lace in:ersa a ?>s/ @s/?s/.


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2. 1ormar la secuencia de "onderación g>B g>BT/.

3. 6&tener la trans(ormada como ?>z/ N g>B zEB.

• #ste "rocedimiento es "oco "r*ctico % se "uede a"licar este otro. Dado ?s/ o&tener ?>s/ ?s/Fs.

2. 6&tener la trans(ormada de ?>s/.

3. Calcular ?z/ 5EzE5/?>z/.

#;em"lo

• 'ea el sistema

• Primero a"licamos la trans(ormada de +a"lace in:ersa

Mismas funciones pero retrasadas


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• 'e (orma la secuencia de "onderación

#;em"lo• 'e a"lica la trans(ormada

• G se resta la ex"resión retrasada

• &sando el otro m'todo


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Mirando en talas se otiene9:

AIora se calcula K#$ B #P: P$KQ#$9

Mismoresultado

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