Problemas resueltos Ley de Ohm

7/25/2019 Problemas resueltos Ley de Ohm

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E 0.025 N

coul=E I Rc

yCu

:=

E yCu I Rc=V I Rc=Por la ley de Ohm

V E yCu=

d) El campo E: se supone que el campo es constante dentro del conductor, por lo que podramos decir que

Jc 1.563 106

A

m2

=JcI

xCuzCu( ):=I JcS=

Es decir que la corriente es el flujo del vector densidad de corriente. Si el vector densidad de corriente es

constante, y tiene la direccin del vector que representa el elemento de superticie dS

donde Jc es el vector densidad de corrienteI SJc

d=

c) La corriente que circula por un conductor de seccin S

I 2.5 103 A=I

VRc

:=

b) La corriente I que circula por un conductor de resistencia R al que se le aplica entre sus extremos una

diferencia de potencial V (Ley de Ohm) es

Rc 2 10 5 =Rc Cu

yCu

xCuzCu:=

Rc Resistencia=resistividad longitud

seccin=

L

S=

a) Se define la resistencia Rc de un conductor de longitud L, seccin S y resistividad

zCu 20mm:=yCu 2m:=xCu 80mm:=V 50mV:= Cu 1.60 10 8

ohm m:=

Datos

PROBLEMA 1 Una barra de cobre de seccin

transversal rectangular de 20 por 80 mm y largo 2 m

tiene aplicada una diferencia de potencial de 50 mV

entre sus extremos. Hallar las siguientes

cantidades y dar las unidades en cada casoa) La resistencia R de la barra

b) La corriente I

c) La densidad de corriente J

d) El campo elctrico E

e) La potencia P perdida en la barra

f) La energa perdida W por hora.

g) La velocidad de deriva de los portadores de carga

y

z

x

CORRIENTE ELECTRICA - LEY DE OHM


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I Npqp vd S=

donde Np = nmero de portadores por unidad de volumen

qp = carga del portadorvd = velocidad de deriva media

S = seccin a travs de la cual se desplazan los portadores

El nmero de portadores por unidad de volumen se calcula a partir del peso molecular del cobre

PMCu 63.5 gm

mol:= (en un mol hay NA

6.023 1023

mol

:= partculas)

de la densidad del cobre

Cu 8.92 gm

cm3:=

Con estas dos, puedo calcular el nmero de moles por unidad de volumen

si uno multiplica por el nmero de Avogadro, voy a tener el nmero de

partculas por unidad de volumen

CuPMCu

1.405 105

mol

m3

=

Np

CuPMCu

NA:= Np 8.461 1028

1

m3

= y siendo qp 1.6 10 19

C:=

vdI

Npqp xCuzCu( ):= vd 1.154 10

4 m

s=

Otra forma es usando la ley microscpica de Ohm

E CuJc:= E 0.025V

m=

e) La potencia perdida P en la barra

P I2

Rc:= P 125 W=

esto es si conozco I y Rc. Pero si conozco V y Rc, por la ley de Ohm

P V

2

Rc

:= P 125 W=

Si conozco V e I, por la misma ley

P IV:= P 125 W=

Cualquiera de las tres expresiones de la potencia es vlida. Se selecciona en funcin del par de constantesque se conozcan

f) La energa gastada por hora es

tiempo 1hr:= Energa P tiempo:= Energa 4.5 105

J=

g) Para hallar la velocidad de deriva media de los portadores, sabemos que


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Ac 3 .82 106

A

m3

=Ac3

2

I

R3

:=

de donde despejamos el valor de la constante AI

2

3R

3 Ac =

resolviendo esta ecuacinI

0cm

R

rAcr 2 r

d=

dS 2 r dr=S r2=siendoI SJ

d=

Sabemos que la densidad de corriente viene dada por

J r( ) Acr=R 1cm

2:=I 1amp:=

PROBLEMA 3: Un cable de seccin circular y dimetro 1 cm tiene una densidad

de corriente J = A.r, donde A es una constante y 0 < r < R. Si la corriente total

es de 1 ampere, Determine el valor de la constante A

J

R

I 12 A=I

0m

2m

z

0m

2m

y3 y z( ) amp

m4

d

d:=

I SJ

d=

dS dx dy=J y z,( ) 3 y z amp

m2

:=

Sabemos que la corriente es el flujo del vector

densidad de corriente. En este caso, la densidad

de corriente no es constante, por lo que no puede

salir de la integral

El elmento de superficie tiene la direccin del eje x,

por lo que la expresin del flujo ser

Hallar la corriente I a travs de una superficie

cuadrada de 2 m de lado conun extremo en el

origen y el otro en (0,2,0), (0,0,2) y (0,2,2)

J 3 y z i=

PROBLEMA 2: Si la densidad de corriente es

y

J

z

x

dS = dx.dy


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PROBLEMA 4: Si

Q t( ) Qo 1 e

t

R C

=

donde R, C y Qo son constantes determine la expresin de la corriente. Haga la representacin grfica de

Q(t) y de I(t)

La expresin corresponde a la carga en funcin del tiempo, para obtener la corriente, que es la rapidez con

la que vara la carga, derivamos la expresin respecto del tiempo

I t( )tQo 1 e

t

R C

dd

=

I t( )Qo

R C

expt

R C

=

Para poder ver grficamente, podemos darle valores a Qo, R y C

Qo 1coul:= R 1000ohm:= C 1000F:= t 0s 0.1s, 5s..:=

0 1 2 3 4 50

0.5

1

Qo 1 e

tR C

Qo

R C exp

t

R C

t

Problema 5: Dos cilindros coaxiales conductores perfectos de longitud L = 15 cm de radio interior a =

0.25 cm y exterior b = 0.5 cm se mantienen a una diferencia de potencial V = 12 voltios y se llena el

espacio entre ambos con una sustancia de resitividad = 400 .m. Determinar la resistencia R y el valorde la corriente

En este caso, la corriente se propaga de adentro hacia afuera (o de afuera hacia adentro, en funcin de

cmo est conectada la fuente). Sabemos que

R L

S

= donde L es la longitud del conductorS es la seccin del conductores la resistividad


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RT

d

1L L

2

d

2L L

2

d

1L L2

d

2L L2

+=

RT

R1R2

R2 R1+( )=

1

RT

1

R1

1

R2+=

Para resolver la situacin de la figura 2, planteamos el problema de la misma manera. En este caso,

tenemos las dos resistencias conectadas en paralelo, vale decir que

RT

a

1

b

2+

L2

=RTa

1L2

b

2L2

+=

RT R1 R2+=

En la figura 1, podemos ver que podemos reemplazar los dos materiales por simbolos de resistencias.

En este caso, ambas resistencias estn conectadas en serie, por lo que el valor de la resistencia total

ser la suma de las dos

Problema 6: Para cada una de las geometras mostradas en la figura, calcular la resistencia entre las dos

placas conductoras perfectas cuadradas de lado L, entre las cuales hay dos materiales de conductividades1 y 2. Suponer una separacin entre placas d.

I 40.791mA=I V

Rc:=V 12volt:=

Con este valor de resistencia podemos calcular el valor de la corriente aplicando la ley de Ohm

Rc 294.181 =Rc

ra

rb

r

2 r L

d:=

rb 0.5cm:=ra 0.25cm:=L 15cm:= 400 ohm m:=Para este problema,

dR dr

S=

dr

2 r L=

Esto es para un conductor de seccin constante. Aqu, la seccin del conductor no es constante, sino que

va variando a medida que nos movemos radialmente.

Por lo tanto, planteamos el


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vd 13.992m

s=vd

Jc

Npq e:=

Por lo que la velocidad de deriva media ser

Np 5.863 1028 1

m3

=NpAg

PMAg

NA:=

qe 1.61 10 19

coul:=NA 6.023 1023 1

mol=Ag 10.5

gm

cm3

:=PMAg 107.868 gm

mol:=

Los valores del peso molecular de la plata y su densidad son

Si pasamos la seccin del conductor en el miembro izquierdo de la ecuacin, el trmino que nos queda i/A

es la densidad de corriente Jc. Nos queda calcular el nmero de portadores de carga por unidad de

volumen N

donde

- N.p es el nmero de portadores de carga por

unidad de volumen

- qe es la carga de uno de ellos (carga del electrn)

- vd es la velocidad de deriva media

- A es la seccin del conductor

i Npq e vd A=

Se que la corriente se puede expresar como

Jc 1.321 1011

A

m2

=JcE

Ag:=

La ley microscpica de Ohm establece que

Ag 1.59 10 8 m:=E 2.1 10

3

V

m:=

Problema 7: Un campo elctrico de 2.1 kV/m se aplica a un elemento de plata (=1.59x10(-8) ohm.m) deseccin transversal uniforme. Calcule a) La densidad de corriente J. b) La velocidad de deriva media de los

electrones.

RT 2 d

L2 2 1+( )

=


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PROBLEMA 8: Determine el valor de la resistencia equivalente del circuito de la figura

i 1 6..:=

Ri

10:=

Asocio las resistencias R2, R4 y R6

R246 R2 R

4+ R

6+:= R246 30 =

Ahora hallo la resistencia equivalente de la R3 y la R246

1

R3246

1

R3

1

R246

+=

R3246 R3

R246

R246 R3+( )

:=R3246 7.5 =

Y ahora, hallo la resistencia equivalente en serie

Re R1 R

5+ R3246+:= Re 27.5 =


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