Jorge Mendoza Dueñas236 Ciencia y Tecnología236

Los barLos barLos barLos barLos bar cos flotan en el acos flotan en el acos flotan en el acos flotan en el acos flotan en el a guaguaguaguagua

Un barco antes de conseguir su estado deequilibrio (flotamiento) se hunde parcialmenteen el agua; de hecho el barco tiene peso, siéste fuese la única fuerza externa, el barco sehundiría, por consiguiente existe una fuerzacontraria al peso que lo anula; ésta es el em-puje que el agua ejerce sobre el barco; dichafuerza no solo depende de la densidad delagua, también del volumen del barco que sesumerge al agua (volumen de agua que desa-loja). Si en la posición que se muestra, se in-trodujera más peso al barco, éste se hundiríamás, desalojando así mayor cantidad de aguay por ende aumentando el empuje hasta anu-lar el nuevo peso; esto se puede seguir realizando hasta que el barco se hunda según el “límite”establecido.

El submarinoEl submarinoEl submarinoEl submarinoEl submarino

VVVVVasos comasos comasos comasos comasos com unicantesunicantesunicantesunicantesunicantes

El tanque de agua que abastece la ciudad, se en-cuentra a una altura superior a dicho poblado, eneste caso no hay necesidad de una bombaelevadora de agua a excepción de la que se utilizapara succionar el líquido elemento del subsuelo.(aplicación del principio de los vasos comunicantes).

Para descender: el tanquese llena de agua

Todo submarino posee en su inte-rior un enorme tanque donde puedealmacenar agua o aire.

Para ascender: el tanquese llena de aire.

Estática de los Fluidos 237

PN

mP Pascal= ⇒ =150

350

2

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

4.- Los recipientes que se muestran en el esquema con-tienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual áreaen la base. Se pide:

1.- El área de contacto entre el blo-que de 150 N de peso y el planohorizontal es 3 m2; calcular lapresión que ejerce dicho pesosobre la superficie.

Solución:

2.- Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón peque-ño para que el grande levante un objeto de 10 N?

Solución:

PF

A

Peso

Area= =

3.- Calcular la profundidad a la que debe sumergirse unsubmarino para soportar una presión hidráulica iguala la presión atmosférica.Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3

Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2

Solución:

o En una prensahidraúlica:

F FA

A2 12

1=

FHG

IKJ

o Dado: D

D2

1

5

1=

10 4

4

101

22

12 1

2

1

2

=

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

⇒ =FHG

IKJF

D

DF

D

D

π

π

105

10 41

2

1= FHG

IKJ ⇒ =F F N,

P h= γ

P g h= ρb g

γ = peso específico del aguaρ = densidad del aguag = aceleración de la gravedadh = profundidadP = presión hidráulica

Donde:

100 000 1200 10 8 33= × ⇒ =b gh h m,

NOTA

No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antesde reemplazar los datos en la fórmula.

A) ¿En cual de los casos el agua pesa más?B) ¿En cual de los casos la presión en el fondo es

mayor?

(2) (1) (3)

Solución:

A) Caso general para determinar el peso de uncuerpo.

γliquido

Como quiera que el líquido es el mismo en todoslos recipientes (agua): γ

1 = γ

2 = γ

3 = γ

agua

Luego se tendrá: W Vagua1 1= γ b gW Vagua2 2= γ b gW Vagua3 3= γ b g

Como se verá, el peso sera mayor donde el volu-men de agua también lo sea; de los gráficos setiene: V1 > V3 > V2

Por lo tanto: W1 > W3 >W2

W volumenlíquido líquido= γe jb g

Jorge Mendoza Dueñas238

ρ ρHg sumergido acero totalg V g Vd i b g=

γ γHg sumergido acero totalV V=

E pesototal =

8 000 0 4 10 000 0 6, ,V V Vesferab g b g+ = γ

γ γ γaceite agua esferaV V V0 4 0 6, ,c h c h+ =

γ γ γaceite agua esferaV V V1 2+ =

E pesototal =

E E pesoaceite agua+ =

5.- Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo queflota entre dos líquidos no miscibles; el volumen su-mergido en agua es el 60% de su volumen total.γ

aceite = 8 000 N/m3 ; γ

agua = 10 000 N/m3

Solución:

6.- Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercu-rio; calcular la altura de la arista del cubo que se su-merge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3).

Solución:

o Equilibrio vertical:

1.- Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2

y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine elvalor total de (R + Q).

o Equilibrio vertical:

Siendo: A = Area de la sección

x m x cm= ⇒ =0 057 4 5 74, ,

B problemas complementarios

Solución:

2.- Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, elextremo “B” es conectado a un pistón que se mueveen el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Quéfuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diá-metro para prevenir el movimiento en el interior delcilindro de 25 cm de diámetro.

o

o50

5 60600

2 2

N

cm

R

cmR N= ⇒ =

P P PF

A

R

A

Q

AA B CA B C

= = ⇒ = =

50

5 70700

2 2

N

cm

Q

cmQ N= ⇒ =o

o Finalmente:

Solución:

o Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0

500 15 10 750N cm F cm F Nb gb g b g= ⇒ =

13 600 7 800 0 10b g b g b gAx A= ,

R Q N+ = 1 300

γ esfera N m= 9 200 3/

D.C.L. (esfera) Analizando volúmenes

B) Caso general:

En nuestro caso las profundidades de los recipien-tes son iguales, luego:

P P P1 2 3= =

PA : presión hidrostatica en “A”

P hA líquido= γe jb g

Estática de los Fluidos 239

3.- Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U.Hallar: ρ1/ρ2.

o Por principio de Pascal:F

A

P

A1 2=

o Finalmente se tiene que:

Donde: AD

AD

112

222

4 4= =

π π;

P P N= FHG

IKJ ⇒ =750

25

518 750

2

Solución:

4.- Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y Ade la figura mostrada:

ρ1 = 200 kg/m3

ρ2 = 300 kg/m3

ρ3 = 500 kg/m3

g = 10 m/s2

o P PA B=

P Patm atm+ = +γ γ2 10 01 0 02, ,b g b gγγ

ρρ

1

2

1

2

1

2

1

2= ⇒ =g

g

ρρ

1

2

1

2=

Solución:

P PA atm= + γ1 0 10,b gP P g P gA atm atm= + = +ρ1 0 10 200 0 10, ,b g b gP P gA atm= + 20 ............. (1)

o Calculando la presión en B:

P PB atm= + + +γ γ γ3 2 10 06 0 10 0 12, , ,b g b g b gP P g g gB atm= + + +ρ ρ ρ3 2 10 06 0 10 0 12, , ,b g b g b g

P P g g gB atm= + + +500 0 06 300 0 10 200 0 12, , ,b g b g b gP P gB atm= + 84 ............. (2)

o (2) − (1):

P P gB A− = =64 64 10b gP P N m P P PaB A B A− = ⇒ − =640 6402/

5.- La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa.Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta aeste neumático un manómetro de tubo abierto enforma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa,g = 10 m/s2, ρ

Hg = 136 000 N/m3).

Solución:

P PA B=o

6.- Un bloque de madera flota en el agua con las dos ter-ceras partes de su volumen sumergido. En aceite flotasumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densi-dad de la madera y el aceite.

Solución:

o 1er Caso: Madera sumergida en agua

E Pagua =

..... (1)

o 2do Caso: Madera sumergida en aceite

E Paceite =

γ aceite V P0 9,b g = ..... (2)

o Calculando la presión en A:

o (1) = (2)

10 0002

30 9V Vaceite

FHG

IKJ = γ ,b g

γ agua V P V P2

310 000

2

3

FHG

IKJ = ⇒ F

HGIKJ =

1er Caso: 2do Caso:

P x Pgas Hg atm= +γ b g168 000 136 000 100 000 0 50= + ⇒ =x x mb g ,

Jorge Mendoza Dueñas240

ρmetalW

gV= = 1 800

10 0 04b gb g,

W Nmetal = 1 800

1 000 10 400b gb gVmetal =

ρagua kg m= 1 000 3/

W Naparente en agua = 1 400

W Nverdadero = 1 800

7.- Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte supe-rior de un recipiente que contiene un líquido cuyopeso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la acelera-ción del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2).

Solución:

γ ρaceite aceiteN m kg m= ⇒ =7 407 4 740 73 3, / , /

o En (1) tenemos:

10 0002

3V Vmadera

FHG

IKJ = γ

γ madera

ρmadera = 666 6,

8.- La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo.Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3,g = 10 m/s2).

o Calculando γcuerpo:

V mcuerpo = −10 5 3

γ cuerpo N m= ×5 105 3/

V cmm

cmcuerpo= ×10

1

100

33

3

b gb g

o Aplicando la 2da ley de Newton:

P EW

g− = a

a a= −FHG

IKJ ⇒ = −

FHG

IKJ

1 1E

Wg

V

VgL

cuerpo

γγ

a a= −×

FHG

IKJ

⇒ =110 000

5 1010 9 8

52V

Vm s, /

Solución:

9.- Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 Ncuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidaddel metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2.

Solución:

o Equilibrio: ΣFv = 0

E PT T= + +2 2

γ aguaV mg T= +

10 000 0 1 60 10,b g b gb g= + T

o Calculando la pérdida de peso (empuje)

........ (2)

................... (1)

(1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N

o Calculando el volumen del metal:

Luego: E = 400 N

g m s= 10 2/ E N= 400; ;

o Nos piden la densidad del metal:

V mmetal = 0 04 3,

g m s= 10 2/;

ρmetal kg m= ? ( / )3;

γ metalW

V=

γ agua metalV = 400

NOTA

La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercidopor el líquido.

γ cuerpocuerpo

cuerpo

P

V

N

m= = −

5

10 5 3

ρmetal kg m= 4 500 3/

ρmetal gW

V=

T N= 400

ρagua metalgV = 400

V mmetal = 0 04 3,

= 6 666,6 N/m3

kg/m3

(1 m)3

(100 cm)3

D.C.L.

Estática de los Fluidos 241

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

1.- Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una losetade 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscinacuyo nivel de agua es de 2,8 m.

Rpta. 280 N

2.- ¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipien-te al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el aguaya estaba en el recipiente? A = 2 m2.

Rpta. 500 Pa

3.- Un bloque de corcho reposa con la tercera parte desu volumen sumergido en un líquido cuya densi-dad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho(g = 10 m/s2).

Rpta. ρcorcho = 400 kg/m3

4.- En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles,Calcular “h”.DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3

Rpta. h = 1,5 m

5.- El recipiente muestra un líquido de densidad igual a800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre lospuntos “A” y “B”.

Rpta. 23,52 kPascal

6.- El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fon-do de un recipiente con aceite, calcular la fuerza nor-mal sobre el cuerpoγaceite = 800 N/m3

m = 250 kgg = 10 m/s2

Rpta. 900 N

7.- Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista estálleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N.Hallar la densidad del líquido.

Rpta. ρL = 125 kg/m3

8.- Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando seintroduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. De-terminar su densidad. (ρaire

= 1,29 kg/m3).

Rpta. 1 668 kg/m3

9.- Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se colocaun cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de lasfuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior einferior (g = 10 m/s2).

Rpta. 10 000 N

10.- El tubo de vidrio mos-trado está cerrado ensu extremo superior.¿Qué presión existeen este extremo?

Rpta. 32 000 Pa

1.- La relación de áreas del émbolo menor respecto almayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuer-za que se debe aplicar sobre el émbolo menor paramantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despre-ciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay roza-miento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3.

Rpta. W

B problemas complementarios

Jorge Mendoza Dueñas242

Rpta. PM = 1 300 Pa

PN = 102 920 Pa

3.- Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura:ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2

Rpta. γ3 = 3 000 N/m3

4.- Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existiráal colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolode 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha-cia arriba el émbolo de 1,5 m2 con un fuerza de 400 N.El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos).

Rpta. 29,33 cm

5.- Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre unaplancha de acero que se encuentra a una profundidadde 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm).

Rpta. 3 005 N

2.- Para el sistema mostrado se tienen las siguientes den-sidades:

ρb = 13 600 kg/m3

ρc = 600 kg/m3

ρd = 1 000 kg/m3

ρe = 1 300 kg/m3

Determinar la presión hidrostática en “M” y la presióntotal en “N”.

6.- Calcular la aceleración con que un submarino de100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superfi-cie al expulsar toda el agua que lleva en sus tan-ques de inmersión.

Rpta. 2,5 m/s2

7.- Calcular la distancia que separa los puntos A y B sa-biendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3

de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B”. Partien-do del reposo.

Rpta. 125 m

8.- Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm deradio cada uno, son colocados en un canal rectangu-lar liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno delos cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valorde la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pa-red lateral del canal.

Rpta. 18 2 3−d i

9.- Un tubo en “U” de sección transversal constante, quecontiene un líquido, es acelerado hacia la derecha conuna aceleración cons-tante “a”, como indicala figura. ¿Cuál es ladiferencia de alturas“h” entre las columnasde líquidos de las ra-mas verticales?.

Rpta.

10.- Determinar a que altura máxima llegará la esfera alsalir respecto a la superficie libre del líquido.ρ

cuerpo = 300 kg/m3 ; ρ

agua = 1 200 kg/m3

Rpta. 30,72 m

h Lg

= a

N