8/2/2019 Problemas Relatividad

1/3

2 R e l a c i n d e e j e r c i c i o s d e s i c a d e p a r t c u l a s

A n t o n i o B e c e r r a E s t e b a n

2 7 / 0 3 / 2 0 1 2

P r o b l e m a 1

U n a p a r t i c u l a

Ac o l i s i o n a c o n o t r a

Bq u e s e e n c u e n t r a e n r e p o s o . C a l c u l a e n f u n c i n d e l a s m a s a s d e l a s

p a r t c u l a s , l a e n e r g a m n i m a q u e h a d e t e n e r A p a r a q u e l a s i g u i e n t e r e a c c i n t e n g a l u g a r :

A + B C1 + C2 + ... + Cn ( 1 )

D o n d e c a d a p e s e l c u a d r i m o m e n t o p =

E

pxpypz

= Ep

.

R e c o r d a n d o q u e

p p = E2 |p|2

= m20 ( 2 )

t e n e m o s p a r a n u e s t r o s i s t e m a q u e :

EApA

+

m0B

0 =

n

i=1 Eipi

=

ni=1

Ei

ni=1pi

( 3 )

A s , s e g n e l i n v a r i a n t e y l a e c u a c i n ( 3 ) t e n d r e m o s q u e :

EApA

pA

+

m0B

0

pB

2

=

ni=1

Ei

ni=1

pi

2

( 4 )

p2

A+p2

B+ 2p

ApB

= n

i=1

m0i

2

( 5 )

m20A + m

2

0B + 2

EAEB 2 pA pB

0

=

ni=1

m0i

2( 6 )

m20A + m

2

0B + 2EAEB =

ni=1

m0i

2( 7 )

1

8/2/2019 Problemas Relatividad

2/3

D e s p e j a n d o EA t e n d r e m o s :

EA =

ni=1

m0i

2m2

0A m2

0B

2EB( 8 )

C o m o e n n u e s t r o s i s t e m a l a p a r t c u l a B e s t e n r e p o s o , EB = m0B , p o r t a n t o

EA =

ni=1

m0i

2m2

0A m2

0B

2m0B( 9 )

P r o b l e m a 2

P r o t o n e s d e m u y a l t a e n e r g i a p u e d e n p e r d e r e n e r g i a m e d i a n t e c o l i s i o n e s c o n l o s f o t o n e s d e l a r a d i a c i n

c s m i c a d e f o n d o a t r a v s d e l a r e a c c i n

p + p + ( 1 0 )

S i l a t e m p e r a t u r a d e l a r a d i a c i n d e f o n d o e s d e 2.73K y l a s m a s a s d e l p r o t n y d e l p i n s o n 0.938GeV y140MeV r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l e l a e n e r g a m n i m a q u e h a d e t e n e r e l p r o t n p a r a q u e e s t a r e a c c i n t e n g a l u g a r . ( L a c o n s t a n t e d e B o l t z m a n n v a l e 8.6 105 eV

K.

U t i l i z a r e m o s d e n u e v o l a c o n s e r v a c i n d e l c u a d r i m o m e n t o t e n i e n d o e n c u e n t a u n s i s t e m a s o l i d a r i o c o n e l

p r o t n u l t r a e n e r g t i c o d e l r a y o c s m i c o :

pp +p = p

p +p ( 1 1 )

(pp +p)2

=p

p +p

2( 1 2 )

p2p +p2

+ 2 (pp p) = p2

p +p2

+ 2 (pp p) ( 1 3 )

m20p + m

2

00

+ 2

EpE pp

0

p

= m2

0p + m2

0 + 2m0pm0 ( 1 4 )

C o m o e l f o t n n o t i e n e m a s a y e s t a m o s e n u n s i s t e m a s o l d a r i o c o n e l p r o t n d e l o s r a y o s c s m i c o s

t e n d r e m o s

2EpE = m2

0 + 2m0pm0 ( 1 5 )

Ep =m0

2E(2mop + m0) ( 1 6 )

2

8/2/2019 Problemas Relatividad

3/3

S u s t i t u y e n d o p o r l o s c o r r e s p o n d i e n t e s v a l o r e s d e l p r o b l e m a y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a e n e r g a m e d i a e n

eV d e u n f o t n a t e m p e r a t u r a T v i e n e d a d a s e g n l a l e y d e P l a n c k p o r

E 2.701kBT ( 1 7 )

Ep =

0.140 109

2 2.701 2.73 8.6 105 2 0.9386 109 + 0.140 109 = ( 1 8 ) =

0.140

2 2.701 2.73 8.6(2 0.9386 + 0.140) 1023 2 1020eV ( 1 9 )

P r o b l e m a 3

S u p o n g a m o s q u e l a c a r g a e l c t r i c a n o s e c o n s e r v a : d e m o s t r a r p o r c o n s e r v a c i n d e l c u a d r i m o m e n t o q u e l a

r e a c c i n

+ e ( 2 0 )

n o s e p u e d e p r o d u c i r .

S e h a d e c u m p l i r q u e

p = p

+pe ( 2 1 )

a s i , s i n o s e n c o n t r s e m o s e n u n s i s t e m a s o l i d a r i o c o n e l e l e c t r n

p2 =p +pe

2= p2 +p

2

e + 2 (p pe) = p2

+p2

e + 2 (EEe p pe) ( 2 2 )

m2

00

= m2

00

+ m2

0e + 2EEe ( 2 3 )

m20e + 2EEe = 0 m

2

0e + 2Em0e = 0 ( 2 4 )

m0e (m0e + 2E) = 0 ( 2 5 )

N o p u e d e d a r s e y a q u e l a m a s a d e l e l e c t r n d e b e r a s e r c e r o o n e g a t i v a .

3