Problemas Ondas y Sonido 2013

1PROBLEMAS RESUELTOS DE ONDAS y SONIDO

Antonio J. Barbero, Mariano Hernndez, Alfonso Calera, Jos Gonzlez

Departamento Fsica Aplicada. UCLM

CURSO 2011 - 2012

2Problemas resueltos ondas y sonido

Calcular:a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagacin.b) El estado de vibracin, velocidad y aceleracin de una partcula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.

4/ 6sin2.0 xtyPROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda segn la ecuacin (en unidades S.I.)

a) Ecuacin de la forma xktAtxy sin , Se propaga en sentido negativo del eje X

m 2 m 2s .33301 Hz 3 rad/s 6 2

1-

kf Tff

m/s 66

kc

b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s. 4/.20.306sin2.0 y m 1414.0069.7sin2.0

Velocidad 4/ 6cos62.0 xtdtdy

4/ 6sin362.0 222

xtdt

ydAceleracin

m/s 666.2069.7cos62.0

22 m/s 25.50069.7cos362.0

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados x = 0.3 m

4/ 61 xt 4/3.0 62 xt

rad 3.012


PROBLEMA 2. La ecuacin de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa est dada por segundosen cm;en estn , donde 4 02.0sin6 tyxtxy

a) Poner esta ecuacin en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia.b) Cul es su amplitud? En qu sentido se propaga, y cul es la velocidad de propagacin?c) Cul es la velocidad mxima de vibracin de un punto de la cuerda? Y la aceleracin mxima?

a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relacin

2/ 4 02.0cos6 4 02.0sin6 txtxy sin2/sinsin2/coscos2/cos

(El seno de un ngulo est atrasado /2 rad respecto al coseno)

Nmero de ondas k

1-cm 02.02

k rad/s 4 22

fT

Frecuencia angular

Hz 2f

s 5.0Tcm 100

b) Amplitud: directamente de la ecuacin A = 6 cm. Velocidad propagacin

cm/s 200cm .020

rad/s 41-

k

v

c) Velocidad de vibracin

Se propaga en el sentido negativo del eje X.

txdt

txydy 4 02.0cos 46,

txdt

txydy 4 02.0sin 424, 22

tx 4 02.0cos 24

tx 4 02.0sin 96 2

cm/s 24max y

22max cm/s 96y


PROBLEMA 3. El nivel de presin LP de una onda sonora se define como

siendo prms el valor rms de la onda de presin en el punto considerado.Un diapasn vibra con una frecuencia de 275.2 Hz. Una persona que oye la notaemitida por el mismo percibe un nivel de presin de 64 dB. Calcular la longitud deonda, escribir la ecuacin de onda y determinar la intensidad de la onda en W/m2.Densidad del aire = 1,29 g/litro. Velocidad de propagacin del sonido v = 344 m/s.

Longitud de onda: clculo a partir de fT

v fv

m 25.145

2.275344

Pa 102 donde 5refp

/2 vpI rms Relacin entre la intensidad en W/m2 y la presin en Pa:

Amplitud de la onda sonora

refppL rmsP 10log20

510 102log2064 rmsp

2.32064

102log 510

rmsp

333-

-3

mkg29.1

m 10kg 1029.1g/litro 29.1

Pa 1017.310102 22.35 rmsp

20/10 Pref Lrms pp

Intensidad (W/m2)

Clculo de y k rad/s 1.17294.5502.2752 2 f1-m 0.5

3441.1729

vk

kv

)cos(2 tkxpp rms

) 4.5500.5cos(10217.3 2 txp

2

vpI rms

2622 W/m1026.2 3441.29

1017.3 I

Ecuacin de onda

refref pp

ppL rmsrmsP 10

2

10 log20log10

X


Un diapasn montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martilleteemitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza unreceptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, sepide:a) Si la sobrepresin mxima producida por la onda sonora en el receptor es iguala p0 = 210-4 Pa, escribir la ecuacin de la onda viajera, explicando la eleccin quese haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.b) La intensidad del sonido en funcin de la presin est dada por la relacinindicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe elreceptor. Cules son sus unidades en el S.I?

2

1 20v

pI

c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasn y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. Cul es la intensidad que llega al receptor?Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: = 1.22 kg/m3

PROBLEMA 4

Ayuda

a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresin mxima en el receptor p0 = 210-4 Pa.

tkxptxp cos, 0

kv 1-m 6.3

3406122 2

vf

vk

rad/s 12246122 2 f

m 555.06.3

22

k

Pa)en ( 1224 6.3cos102, 4 ptxtxp Elegimos como punto inicial el momento en que la presin pasa por un mximo

00 cos0,0 ppp 0

Suponemos que se propaga de izquierda a derecha

Longitud de onda m 555.06.3

22

k


b) Nivel de intensidad que percibe el receptor 2

1 20v

pI

Densidad del aire: = 1.22 kg/m3

21124 W/m1082.4 403 .221

10221

Justificacin de las unidades S.I. m

watiosrea

Potencia2I

c) Nivel de intensidad dB 171201082.4log1010

1082.4log10 111211

10

IL

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasn y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. Cul es la intensidad que llega al receptor?

1210 10

log10201720 ILL II 7.310log 1210

I 7.312 1010

I

29127.3 W/m1051010 I

b) La intensidad del sonido en funcin de la presin est dada por la relacinindicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe elreceptor. Cules son sus unidades en el S.I?

2

1 20v

pI

c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasn y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. Cul es la intensidad que llega al receptor?Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: = 1.22 kg/m3

Ayuda

PROBLEMA 4 (Continuacin)

7Ayuda: La velocidad del sonido en un gas est dada en funcin de la temperatura absoluta T por la expresin:Datos: masa molecular del aire: Constante de los gases: Coeficiente adiabtico:

donde g es el coeficiente adiabtico y M es la masa molecular del gas.PROBLEMA 5 Un diapasn emite un tono puro de frecuencia 440 Hz, que es percibido por un receptor con un nivel depresin sonora de 60 dB. Sabiendo que el nivel de presin sonora est dado por , donde el nivel de referenciade presin es pref = 210-6 Pa, y sabiendo que el aire circundante se encuentra a 27 C, se pide:a) Determinar la longitud de onda de este tono.

-1kgmol 0289.0M -1-1molJK 314.8R

MTRv g

40.1g

b) Escribir la ecuacin de la onda sonora, especificando su amplitud (en Pa), su nmero de ondas y su frecuencia angular.c) Suponiendo que la temperatura del aire se redujese hasta 0 C, qu variaciones sufriran la frecuencia angular y la longitud de

onda?

dB 60102

log20 60

10

pLP 3102

log 60

p

Relacin entre la velocidad de propagacin, la frecuencia y la longitud de onda

a) Longitud de onda de este tono: calculamos primero la velocidad de propagacin.M

TRv g m/s 6.3470289.0

300 314.8 .41

fv m 79.0440

6.347

fv

b) Ecuacin de la onda: tkxptxp cos, 0

Clculo de la amplitud p0:

(Suponemos fase inicial nula y desplazamiento x )

Nmero de ondas y frecuencia angular: 1m 95.779.0/2/2 k 1rads 6.2764440 22 f Pa 6.2764 95.7cos102, 3 txtxp

c) El cambio de temperatura del aire supone un cambio en las propiedades elsticas del medio de transmisin de la onda, ypor tanto un cambio en la velocidad de propagacin. Como la frecuencia de la onda emitida no cambia, ya que stadepende del ritmo de vibracin del diapasn, la frecuencia angular no cambiar respecto al clculo anterior. Pero puestoque la velocidad de propagacin s cambia, deber cambiar la longitud de onda. Los nuevos valores son:

MTRv

g m/s 6.331

0289.0273 314.8 .41

m 75.0440

6.331

fv

Pa 10210 102 3360 p

refP ppL 010log20


Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor mximo de presin porencima de la presin ambiental es 410-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.

PROBLEMA 6

a) Escribir la ecuacin de onda. Determinar la longitud de onda.

b) Cul es el nivel de presin sonora?. Presin de referencia pref = 210-5 Pa.

a) Ecuacin de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen demodo que la fase inicial sea cero.

sen m,en Pa,en 0 , cos , 0 txpptxkptxp

kv

Hz 860043002 2 f

1-m 25344

8600

vk m 08.0

2522

k

(Pa) 8600 52cos 104, 2 txtxp

b) Nivel de presin sonora. Presin de referencia pref = 210-5 Pa. Presin rms: prms = p0/2 = 2.83 10-2 Pa

refref pp

ppL rmsrmsP 10

2

10 log20log10 dB 631021083.2log20 5

2

10

9PROBLEMA 7Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presin enun punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:(a) La ecuacin de onda y representar en el punto indicado la presin como funcin del tiempo.(b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto.Umbral de percepcin de intensidad I0 = 10-12 Wm-2; densidad del aire 1.27 kg.m-3.

Clculo de y k rad/s 2720rad/s 8.8659.4322 2 f 1-m 83402720

vk

kv

)cos( tkxpp m Pa ) 2720 8cos(184 mtx

Representacin grfica en x = 2 m mPa ) 272016cos(184 tp

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

s t

Valor rms de la presin

mPa 1302

1842

mrmspp

cpI rms

2

25

23

W/m1091.334027.1

10130 I

dB 769.7510

1091,3log10log10 125

0

IILI

Problemas resueltos ondas y sonido

10

El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10metros de distancia de la misma, es de 70 dB.Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejarde ser audible; (c) la presin rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de seraudible. Umbral de percepcin de intensidad I0 = 10-12 Wm-2; densidad del aire 1.20 kg.m-3;velocidad del sonido 338 m/s.

dB 70log100

11 I

ILI

0

22 log10 I

ILI

A 10 m de distancia (punto 1)

A 1 km de distancia (punto 2)

0

1

0

212 loglog 10 I

IIILL II

1

2log 10II

702 IL

La intensidad de las ondassonoras es inversamenteproporcional al cuadrado de ladistancia a la fuente (suponemospropagacin istropa)

22

21

1

2

rr

II

46

2

23

2

101010

1010 dB 30407010log1070 42

IL

La distancia r0 a la que la sirena deja de seraudible es aquella a la intensidad de la onda sehace igual al lmite de percepcin I0 = 10-12 Wm-2

21

20

0

1

rr

II

0

110 I

Irr m 316001010 10 12

5

-257121 Wm101010

I Intensidad de la onda en cubierta

cpI rms

2

Relacin entre laintensidad y lapresin rms de laonda sonora

00 Icprms Pa 1021034429.1 512 Umbral de presin = 20 Pa

PROBLEMA 8Problemas resueltos ondas y sonido

11

Una fuente sonora istropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Lascondiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m-3 y velocidad del sonido 340 m/s.Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor mximo de la presin de la onda sonoraa 2 m de la fuente Cul es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepcin de intensidad I0= 10-12 Wm-2.

dB 65log100

11 I

ILI-26-25.55.612

1 Wm1016.3 Wm101010 I5.6log

0

1 II Intensidad a 1 m de la fuente

La intensidad a 1 m de la fuente es lapotencia emitida repartida sobre lasuperficie de una esfera de radio r1 = 1m.

21

1 4 rWI

211 4 rIW

W104 W10 16.3 4 56 W

Para determinar la presin de la onda sonora calculamos la intensidad a r2 = 2 m de la fuente.La intensidad de las ondassonoras es inversamenteproporcional al cuadradode la distancia a la fuente

22

21

1

2

rr

II

22

21

12 rrII 2-7

5.5

2

25.5 Wm1091.7

410

2110

cpI m

2

2

Relacin entre laintensidad y lapresin mximade la onda sonora

22 2 Icpm Pa 1061.21091.734027.1227

2m

rmspp En una funcin senoidal la relacin entre valor mximo y valor rms es Pa 1085.12

Pa 1061.2 22

PROBLEMA 9Problemas resueltos ondas y sonido

12

PROBLEMA 10. Un altavoz de forma semiesfrica se ajusta para un nivel de intensidad de 40dB a 10 m de distancia. (a) Cul es la intensidad en Wm-2 a esa distancia? (b) Cul es el nivelde intensidad a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesfrico es una fuenteistropa de sonido, cul es su potencia? (d) Cul es la presin rms a 20 m de distancia?Densidad del aire 1.29 kg.m-3; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepcin de intensidadI0 = 10-12 Wm-2.

dB 40log100

11 I

ILIA r1 = 10 m de distancia (punto 1)-28412

1 Wm101010 I

1

1r2

2r

3

3r

Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia a la fuente, por tanto para r2 = 2.5 m la intensidad es 22

21

1

2

rr

II

22

21

12 rrII 2-72

28 Wm106.1

5.21010 dB 52

10106.1log10log10 12

7

0

22

IILI

La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficiesemiesfrica. Por lo tanto, tomando el dato de I1 y r1 tenemos que

21

1 2 rWI

211 2 rIW W1028.6 10 210 628 W

/2 cpI rms

Para calcular la presin rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda

23

21

1

3

rr

II

2

3

21

13 rrII 2-7

2

28 Wm105.2

201010

cIprms Pa 1005.134429.1105.2 27


13

PROBLEMA 11. La ecuacin de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:

Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagacin.b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerdac) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija porambos extremos, cul ser la ecuacin de la onda estacionaria resultante dela interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo yque se propaga en sentido contrario?.

S.I.) (Unidades 50 40.0sin06.0 txy

2

cos2

sin2sinsin BABABA

Ayuda

a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X 1-m 40.0 rad/s 50

k

m 5 40.02 m 40.02s 04.01 Hz 252 rad/s 50 2

1-

kf Tff

Velocidad de propagacin m/s 12540.0

50

kc

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda. txdt

txyd 50 40.0cos 5005.0, tx 50 40.0cos 5.2 (m/s)

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria


14

c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija porambos extremos, cul ser la ecuacin de la onda estacionaria resultante dela interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo yque se propaga en sentido contrario?.

2

cos2

sin2sinsin BABABA

Ayuda

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

PROBLEMA 11 (continuacin)

c) La onda que se propaga en sentido contrario es txktxy sin 05.0,2

txktxy sin 05.0,2 txktxy sin 05.0,1 txktxk sin cos05.0 cos sin 05.0

La superposicin de las dos, llamando y1(x,t) a la primera, es: rad/s 50-1m 40.0

Se invierte la fase de la onda reflejada

txktxk sin cos05.0 cos sin 05.0 txktxytxy sin cos 10.0,, 21

Onda estacionaria txtxytxy 50sin 40.0cos 10.0,, 21 Suma:

Procedimiento alternativo: usando la relacin trigonomtrica

2

cos2

sin 2sinsin BABABA

tBA 2

xkBA 2

txkA

txkB txktxy sin 05.0,2 txktxy sin 05.0,1

txktxktxktxytxy sin cos 10.0 sin05.0 sin05.0,, 21 txtxytxy 50sin 40.0cos 10.0,, 21

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dosnodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)

Cuando n = 1

2/ 12 40.0 nx 0 40.0cos xCuando n = 0

Hay un nodo si (n entero)

80.012

nxnPosiciones de los nodos

m 25.10 xm 75.31 x

Distancia entre vientres = distancia entre nodos = m 5.201 xx(Vase que es la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren)


15

La ecuacin del segundo armnico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida auna tensin de 50 N est dada por

sen cm,en m,en 20sin 2.0sin 8, tyxtxtxy

m 102.0

22

22

k

Tv kg/m 105

1050 3

42

vT

b) Escribir la ecuacin de onda del trmino fundamental. Hallar la mxima velocidad de vibracin de un puntode la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud mxima es igual que la del segundo armnico.

a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagacin de las ondas viajeras cuya interferencia produce laonda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.

c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armnico.

m/s 1002.0

20

2

2

kv

sen cm,en m,en

40sin 4.0sin 8,4tyx

txtxy

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

a) Parmetros de la onda . estacionaria

-12 m 2.0 k

-12 srad 20

y (cm)

x (m)

Hz 10220

22

2

f

b) Las frecuencias de todos los armnicos son . mltiplos enteros del trmino fundamental 1fnfn

1-21 srad 102

PROBLEMA 12

Longitud de onda:2

nnL nL

n2

m 201

21

L

-111 m 1.020/2/2 k

c) Ecuacin 4 armnico

sen cm,en m,en 10sin 1.0sin 8,1 tyxtxtxy

-114 srad 404

m 54

24

L

y (cm)

x (m)

1-

44 m 4.05

22

k

Hay un nodo para cada valor x que verifica

0 4.0sin x(m) 10 5.7 5 5.2 0 54321 xxxxx

cm/s 80, max1max txyv


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