Problemas de Transporte Asignacion y Trasbordo

7/21/2019 Problemas de Transporte Asignacion y Trasbordo

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Problemas de transporte,

asignacin y trasbordo


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1. Plantear un problema de transporte

Tiene como objetivo encontrar el mejor plan de distribucin,

generalmente minimizando el coste.

Un problema est equilibradoo balanceado si la oferta es igual a

la demanda. En ese caso, en las restricciones se cumplirn lasigualdades correspondientes.

Para aplicar el simplex de transporte necesitamos que el problema

est equilibrado. Si no lo est, aadiremos una demanda ficticia

con costes nulos o una oferta ficticia con costes de penalizacin.

En una tabla representaremos el coste que supone transportar

cada unidad desde i hasta j.


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Demandantes

Oferentes

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4Oferta

kWh (106)

Planta 1 8 6 10 9 35

Planta 2 9 12 13 7 50

Planta 3 14 9 16 5 40

Demanda 45 20 30 30


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Modelo matemtico.

xijrepresenta la energa transportada desde la planta i hasta la ciudad j

Funcin a optimizar:

Min w = 8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+14x31+ 9x32+16x33+5x34

Restricciones de demanda

x11+x21+x3145

x12+x22+x3220

x13+x23+x3330

x14+x24+x3430

Restricciones de oferta

x11+x12+x13+x1435

x21+x22+x23+x2450

x31+x32+x33+x3440


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8

10

6

25

10 9

45

9 12

5

13 7

14

10

9 16 5

30

Las soluciones del problema las representamos en un Cuadro de Transporte:


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2. El mtodo simplex para eltransporte

Para resolver un problema de transporte mediante el simplex,

debemos seguir los siguientes pasos:

Equilibrarel problema

Hallar una solucin inicial

Realizar las iteracioneso pivoteos necesarios hasta llegar a la

solucin final


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Equilibrado del problema

Un problema est equilibrado si la demanda es igual a la oferta.

Si en un problema equilibrado todas las variables cumplen todas

las restricciones menos una, la restante tambin se cumple.

Circuito cerrado. Para que un circuito sea cerrado se debe cumplir

que:

La trazada sea cerrada

Dos celdas consecutivas siempre estn en la misma fila o

columna Tres celdas consecutivas no pueden estar en la misma fila o

columna


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Clculo de una solucin inicial

Existen tres mtodos para calcular una solucin inicial:

Esquina Noroeste. Es el ms simple, pero proporciona unaprimera solucin no muy buena. No tiene en cuenta los costes.

Mnimo coste. La aproximacin es mejor que en el casoanterior.

Mtodo de Vogel. Proporciona la mejor solucin inicial, aunquees el ms tedioso y requiere calcular multas.


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Clculo de una solucin inicial: esquina NO

Mtodo:

Empezando en la celda situada en la esquina superior izquierdaescribimos el nmero menor entre el correspondiente a la fila oa la columna.

Si hemos empleado el nmero de la fila, debemos tachar dichafila y restar dicho nmero del nmero correspondiente a lacolumna, y viceversa.

Nos volvemos a situar en la esquina superior izquierda yrepetimos el procedimiento.

Al finalizar, el nmero de celdas rellenadas debe ser igual alnumero de filas ms el nmero de columnas menos uno.

Nota: cuando solo quede una fila/columna podemos escribirdirectamente los nmeros.


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2 5

1

3

2 4 2 1

3


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2 3 3

1

3

2 4 2 1

1


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2 3 3

1 1

3

2 1 2 1


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2 3 3

1 1

0 2 1 3

2 1 2 1 f+c-1=6


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Clculo de una solucin inicial:mnimo coste

Mtodo:

Nos situamos en la celda que tenga el mnimo coste.

Realizamos el mismo proceso que en el mtodo anterior de

escribir el nmero y tachar la fila o columna correspondiente.

Volvemos a colocarnos en la celda de mnimo coste ycontinuamos hasta llegar a la solucin.


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8 6 10 935

9 12 13 7

50

14 9 16

30

540

45 20 30 30

10


16/46


8

20

6 10 935

9 12 13 7

50

14 9 16

30

510

45 20 30 30

15


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15

8

20

6 10 915

9 12 13 7

50

14 9 16

30

510

45 20 30 3030


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15

8

20

6 10 915

30

9 12 13 7

50

14 9 16

30

510

30 20 30 30

20


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15

8

20

6 10 935

30

9 12

20

13 7

50

14 9

10

16

30

540

45 20 30 30 f+c-1=6

20


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Clculo de una solucin inicial:mtodo de Vogel

Mtodo:

La multa de cada fila o columna es la diferencia entre los dosmenores costes de las celdas de dicha fila/columna.

Calculamos las multas de cada fila y de cada columna.

Escogemos la fila o columna de mayor multa.

Escogemos la columna o fila de menor coste.

Procedemos como en los casos anteriores.

Habr que recalcular las multas despus de tachar celdas.


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6 7 810 1

15 80 78

15 63

15 5 5

9 73 70


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65

7 810 1

15 80 78

15 63

15 5 5

9 73 70

5 2


23/46


65

75

85 2

15 80 78

15 63

15 5 5

9 73 70

0


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Resolucin iterativa del problema

Partiremos de una solucin inicial:

358 6 10 9

109

2012

2013 7

14 910

1630

5


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VB

c11=0=u1+v1-8

c21=0=u2+v1-9

c22=0=u2+v2-12c23=0=u2+v3-13

c33=0=u3+v3-16

c34=0=u3+v4-5

VNB

c12=u1+v2-6=5

c13=u1+v3-10=2

c14=u1+v4-9=-8c24=u2+v4-7=-5

c31=u3+v1-14=-2

c32=u3+v2-9=6

u1=0u2=1u3=4v1=8v2=11v3=12v4=1

Como estamos minimizando, la condicin deparada es que cij0


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Entra la VNB ms positiva (c32). Para hallar la nuevaiteracin seguiremos los siguientes pasos:

Hacemos un circuito cerrado con la variable que entra

Nombramos alternativamente par e impar a las celdas

Tomamos como valor de el de la celda impar ms pequea,

en este caso =10

Sumamos

a las celdas pares y restamos

de las impares


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20I

20P

-10 +10

10P

10I

+10 -10

3010

En caso de existir dos celdas de valor mnimo, unade ellas conservar el valor cero


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358 6 10 9

109

1012

3013 7

1410

9 1630

5


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VB

c11=0=u1+v1-8

c21=0=u2+v1-9

c22=0=u2+v2-12c23=0=u2+v3-13

c32=0=u3+v2-9

c34=0=u3+v4-5

VNB

c12=u1+v2-6=5

c13=u1+v3-10=2

c14=u1+v4-9=-2c24=u2+v4-7=1

c31=u3+v1-14=-8

c33=u3+v3-16=-6

u1=0u2=1u3=-2

v1=8v2=11v3=12v4=7

Entra la variable c12


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35

I

10

P

-10 +10

10

P

10

I

+10 -10

25

20


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258

106 10 9

209 12

3013 7

14

109 16

305


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VB

c11=0=u1+v1-8

c12=0=u1+v2-6

c21=0=u2+v1-9c23=0=u2+v3-13

c32=0=u3+v2-9

c34=0=u3+v4-5

VNB

c13=u1+v3-10=2

c14=u1+v4-9=-7

c22=u2+v2-12=-5c24=u2+v4-7=-4

c31=u3+v1-14=-3

c33=u3+v3-16=-1

u1=0u2=1u3=3

v1=8v2=6v3=12v4=2

Entra la variable c13


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25

I

10 25

P

-25 +25

20

P

30

I

+25 -25

En este caso las celdas escogidas para el circuito cerradono son contiguas. El circuito ser un rectngulo:

45 5


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Con lo que ya tenemos:

810

625

10 9

459 12

513 7

1410

9 1630

5


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Donde:

VB

c12=0=u1+v2-6

c13

=0=u2+v

1-10

c21=0=u2+v1-9

c23=0=u2+v3-13

c32=0=u3+v2-9

c34=0=u3+v4-5

u1=0u2=3

u3=3v1=6v2=6v3=10

v4=2

VNB

c11=u1+v1-8=-2

c14

=u1+v

4-9=-7

c22=u2+v2-12=-3

c24=u2+v4-7=-2

c31=u3+v1-14=-5

c33=u3+v3-16=-3

Dado que todas las cij0 hemos llegado a la solucin ptima


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3. Problemas de asignacin

En este tipo de problemas cada trabajo se asocia por completo auna mquina. La variable xij toma los valores 1 si se asigna lamquina i al trabajo j y 0, en caso contrario.

Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4

Mquina 1 14 5 8 7

Mquina 2 2 12 6 5

Mquina 3 7 8 3 9

Mquina 4 2 4 6 10


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Modelo matemtico

Funcin a optimizar:

Min w = 14x11+5x12+8x13+7x14+2x21+12x22+6x23+

5x24+7x31+8x32+3x33+9x34+2x41+4x42+6x43+10x44

Restricciones de la mquina:

x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

Restricciones del trabajo:

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1x13+x23+x33+x43=1

x14+x24+x34+x44=1


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Mtodo Hngaro.

En una matriz de costeshallamos el mnimo de cadafila

Se resta el mnimo de cadafila.

Repetimos el procedimientopara las columnas

14 5 8 7 5

2 12 6 5 2

7 8 3 9 3

2 4 6 10 2


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9 0 3 2

0 10 4 3

4 5 0 6

0 2 4 8

0 0 0 2

9 0 3 0

0 10 4 1

4 5 0 4

0 2 4 6


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Ahora debemos cubrir todos losceros con el mnimo nmeromposible de lneas.

Si n=dimensin de la matriz,

se termina el algoritmo

Si n


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Al menor de los nmeros nocubiertos lo denominamos k(k=1).

Restamos k de los nmeros nocubiertos y lo sumamos a los queestn cubiertos por dos lneas, yrepito el paso anterior.

Como n=4=dimensin de la matrizfinaliza el algoritmo.

Ahora escojo 4 ceros de maneraque tenga un cero por fila ycolumna. Dichas celdascorresponden a las xij de valorunitario.

10 0 3 0

0 9 3 0

5 5 0 4

0 1 3 5

x12=x24=x33=x41=1


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4. Problemas de trasbordo

En los problemas de trasbordo las unidades puedenpasar por lugares intermedios antes de llegar a sudestino.

Memphis

(150)

Denver(200)

NY

Chicago Boston(130)

LA

(130)


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Destino

Origen

Memphis Denver NY Chicago LA Boston

Memphis 0 - 8 13 25 28

Denver - 0 15 12 26 25

NY - - 0 6 16 17

Chicago - - 6 0 14 16

LA - - - - 0 -

Boston - - - - - 0


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Memphis y Denver son ciudades origen.

LA y Boston son ciudades destino.

NY y Chicago son ciudades de trasbordo: son tantoorigen como destino.

Como la oferta es superior a la demanda incluimos undemandante ficticio con costes nulos.

La mxima cantidad que puede pasar (entrar o salir)por cada punto de trasbordo es igual a la suma de lasofertas.


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Destino

OrigenNY Chicago LA Boston

CiudadFicticia

Memphis

130

8 13 25 28

20

0

Denver15 12 26

130

25

70

0

NY 220

0 6

130

16 17 0

Chicago6

350

0

0

14 16 0

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