Problemas de selectividad - Junta de Andalucía...Departamento de Matemáticas Página 3 I.E.S....

Departamento de Matemáticas Página 1

I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO

Problemas de selectividad. Geometría afín-euclídea

14.01.- Sean las rectas r ≡

z

y

x

1

1

y s ≡ 2

1

12

1

zyx.

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. b) Calcula la distancia entre r y s. 14.02.- Considera la ecuación del plano π ≡ 2x + y – z + 2 = 0 y la recta r de ecuación

3

6

2

5

zy

x.

a) Determina la posición relativa de π y r. b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π. c) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r. 14.03.- Considera la recta r que pasa por los puntos A ( 1, 0, -1) y B ( -1, 0, 1). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C ( -2, 3, 2). b) Calcula la distancia de r a s.

14.04.- Sea la recta r definida por

12

32

zyx

zyx

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto ( 1, 1, 0).

14.05.- Considera los vectores )0,1,(),1,0,1(),3,1,1( wvu .

a) Calcula los valores de λ que hacen que u y v sean ortogonales.

b) Calcula los valores de λ que hacen que u , v y w sean linealmente independientes.

c) Para λ = 1 escribe el vector )2,0,3(r como combinación lineal de u , v

y w .

14.06.- Sea r la recta dada por 3

11

2

2

zy

x y sea s la recta dada por

063

03

zy

yx

a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

14.07.- Considera los vectores )32,2,1(),2,1,0(),0,1,1( wvu . Halle

los valores de α en cada uno de los siguientes casos.



a) u , v y w están en el mismo plano.

b) w es perpendicular a u y a v .

c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas los vectores u , v , w es 6

1.

14.08.- Considera el punto P ( 2, -2, 0) y la recta r dada por

01

02

zy

zx.

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula la distancia de P a r. 14.09.- Sean A ( -3, 4, 0), B ( 3, 6, 3) y C ( -1, 2, 1) los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo.

b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas.

c) Calcula el área del triángulo ABC.

14.10.- Considera el punto A ( 8, -1, 3) y la recta r dada por 3

12

2

1

zy

x.

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r. b) Halla el punto simétrico de A respecto de r.

14.11.- Considera los puntos A ( 1, 1, 2) y B ( 1, -1, -2) y la recta r dada por

1

21

z

ty

tx

a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B.

b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B.

14.12.- Sea r la recta que pasa por los puntos A ( 1, 0, -1) y B ( 2, -1, 3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.

b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas.

13.01.- Sea r la recta que pasa por el punto ( 1, 0, 0) y tiene como vector de dirección

( a, 2a, 1) y sea s la recta dada por

0

22

zax

yx

a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.

13.02.- Considera los puntos P( 2, 3, 1) y Q( 0, 1, 1).

a) Halla la ecuación del plano π respecto al cual P y Q son simétricos. b) Calcula la distancia de P a π.

13.03.- Calcula la distancia entre las rectas

zyxr y 321 zyxs



13.04.- Considera las rectas

zyxr

1

2

y

xs y

1

3

21

z

y

x

t

Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.

13.05.- Determina el punto de la recta 123

1

z

yxr que equidista de los planos

0231 zyx y

z

y

x

1

34

2

13.06.- Considera los puntos A( 0, 5, 3), B(-1, 4, 3), C( 1, 2, 1) y D( 2, 3, 1). a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un

rectángulo. b) Calcula el área de dicho rectángulo.

13.07.- Considera el plano π de ecuación 0632 zyx .

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados.

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.

13.08.- Considera los puntos A( 1, 0, 2), B( -1, 3, 1), C( 2, 1, 2) y D( 1, 0, 4).

a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. b) Halla el simétrico de D respecto del plano x – y – 5z + 9 = 0.

13.09.- Considera los puntos A( 1, 2, 1), B( -1, 0, 2) y C( 3, 2, 0) y el plano π

determinado por ellos. a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B

son simétricos respecto de r. b) Calcula la distancia de A a r.

13.10.- Considera las rectas r y s dadas por

z

y

x

r 53

32

y

05

01

z

yxs

a) Determina la posición relativa de r y s. b) Calcula la distancia entre r y s.

13.11.- Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1, 0, 3), B( 2, -1, 1) y

C( 3, 2, -3). a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo. b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del

paralelogramo.



c) Calcula las coordenadas del vértice D. 13.12.- Considera los puntos A( 1, 2, 3) y B(-1, 0, 4).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular al segmento AB.

12.01.- El punto M( 1, -1, 0) es el centro de un paralelogramo y dos vértices

consecutivos del mismo son A( 2, 1, -1) y B( 0, -2, 3). a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho

paralelogramo. 12.02.- Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

032

432

zyx

yx

12.03.- Dadas las rectas 4

8

4

9

6

3

zyxr y

2

8

2

9

3

3

zyxs .

a) Determina la posición relativa de las rectas r y s. b) Calcula la distancia entre r y s. 12.04.- Los puntos A( 1, 1, 5) y B( 1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo

ABCD. El vértice C, consecutivo a B, está en la recta 2

1

2

6

zyx .

Determina los vértices C y D. 12.05.- Se consideran los vectores )k,,(w),,,(v),,,k(u 1121211

, donde k

es un número real. a) Determina los valores de k para los que wyv,u

son linealmente

dependientes. b) Determina los valores de k para los que wvyvu

son ortogonales.

c) Para k = -1, determina aquellos vectores que son ortogonales a wyv

y

tienen módulo 1.

12.06.- Encuentra los puntos de la recta 32

2

4

1

z

yxr cuya distancia al

plano 122 zyx vale cuatro unidades.

12.07.- De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A( 2, -1, 0),

B( -2, 1, 0) y C( 0, 1, 2). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es

perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D.



12.08.- Sean r y s las rectas dadas por

26

1

1

1

3

6 zyxs

zx

zyxr

a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. 12.09.- Sean los puntos A( 0, 0, 1), B( 1, 0, -1), C(0, 1, -2) y D( 1, 2, 0). a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia do punto D al plano π. 12.10.- Halla el punto simétrico de P( 2, 1, -5) respecto a la recta r definida por

02

0

yx

zx

12.11.- Determina el punto P de la recta 3

4

3

5

2

3

zyxr que equidista del

origen de coordenadas y del punto A( 3, 2, 1).

12.12.- Considera el punto P( 1, 0, 2) y la recta r dada por

082

042

zy

yx.

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. 11.01.- Dados los puntos A ( 1, 0, 0), B ( 0, 0, 1) y P ( 1, -1, 1) y la recta r definida

por

0

02

z

yx.

a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. b) Calcula el área del triángulo ABP.

11.02.- Dados el punto P ( 1, 1, -1) y la recta r de ecuaciones

0

1

zy

zx

a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. b) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que

es perpendicular a r y pasa por P. 11.03.- considera los puntos A (-1, k, 3), B ( k+1, 0, 2), C ( 1, 2, 0) y D ( 2, 0, 1).

a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores CDyBCAB ,, sean

linealmente dependientes? b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un

tetraedro de volumen 1.



11.04.- Dados el plano π de ecuación x + 2y – z = 0 y la recta r de ecuaciones

134

53

zyx

yx.

a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. b) Halla el punto simétrico del punto Q ( 1,-2, 3) respecto del plano π.

11.05.- Sea el punto P( 2, 3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones

z

y

x

2

1

.

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P. b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico

de P respecto a r. 11.06.- Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones

( x, y, z) = (-2, 0, 7) + ( 1,-2, 0) + µ ( 0, 1,-1) y 2 x + y – z + 5 = 0

Determina los puntos de la recta r definida por 3

11

zyx que

equidistan de π1 y π2.

11.07.- Dada la recta r definida por 32

1

3

1

z

yx y la recta s definida por

22

1

zy

x

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.

11.08.- Dada la recta r definida por zyx

1

7

2

7 y la recta s definida por

z

y

x

5

2

.

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. b) Calcula la distancia entre r y s. 11.09.- Considera los puntos A ( 1, 0, 2) y B ( 1, 2,-1).

a) Halla un punto C de la recta de ecuación zyx

23

1 que verifica que el

triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D donde D es el punto de

corte del plano de ecuación 2 x – y + 3 z = 6 con el eje OX. 11.10.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones

3 x - y + z = 0, x – 2 y + z – 1 = 0, y x + z – 4 = 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P ( 3, 1,-1), es paralela al

plano π1 y corta a la recta intersección de los planos π2 y π3.



11.11.- Determina el punto simétrico del punto A (-3, 1, 6) respecto de la recta r de

ecuaciones 2

1

2

31

zyx .

11.12.- Considera los puntos A ( 1, 0,-1) y B ( 2, 1, 0), y la recta r dada por

2

1

zx

yx

a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. b) Determina si la recta que pasa por los puntos P ( 1, 2, 1) y Q( 3, 4, 1) está

contenida en dicho plano.

10.01.- Considera las rectas r y s de ecuaciones z1y1x y

1zy

1y2x

a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forman r y s. c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. 10.02.- Los puntos P( 2, 0, 0) y Q( -1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El

tercer vértice, S pertenece a la recta de ecuación

0y

33z3x4

a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S.

b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. 10.03.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del

plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas. 10.04.- Sean los puntos A( 1, 1, 1), B( -1, 2, 0), C( 2, 1, 2) y D( t, -2, 2) a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A

y B que contenga al punto C. 10.05.- Considera los puntos A( 1, 0, 2), B( -1, 2, 4) y la recta r definida por

3

1z1y

2

2x

.

a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.

b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B. 10.06.- Considera los puntos A( 1, 1, 1), B( 0, -2, 2), C(-1, 0, 2) y D( 2, -1, 2). a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al

plano que contiene a los puntos A, B y C.



10.07.- Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones

019zy2

011y2x y contiene a la recta s definida por

22z

32y

51x

10.08.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones

0zay,1yx y 1aazy)a1(x

a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.

10.09.- Considera los puntos A( 1, 2, 1) y B( -1, 0, 3). a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres

partes iguales. b) Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por A. 10.10.- Considera el plano π definido por 0nzyx2 y la recta r dada por

2

1z

4

y

m

1x

con m ≠ 0.

a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. 10.11.- Halla el punto simétrico de P( 1, 1, 1) respecto a la recta r de ecuación

1

1z

3

y

2

1x

10.12.- Sean los puntos A( 2, λ, λ), B( -λ, 2, 0) y C( 0, λ, λ-1). a) ¿Existe algún valor de R para el que los puntos A, B y C estén

alineados? Justifica la respuesta. b) Para λ = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices

A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano. 09.01.- Sean el punto A( 1, -2, 1) y la recta r definida por las ecuaciones

7zyx2

2yx.

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. b) Calcula la distancia del punto A a la recta r.

09.02.- Considera la recta r definida por

2zx2

1y y la recta s definida por

45z

3y

34x

. Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.



09.03.- Considera el punto P( 1, 0, 0), la recta r definida por 2

1z

2

y3x

y la

recta s definida por )0,2,1()0,1,1()z,y,x( .

a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación del plano que, pasando por P, es paralelo a r y s.

09.04.- Sean la recta r

01zyx

03yx y la recta s

03z2x

01y2.

a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la

respuesta.

09.05.- Se considera la recta r definida por

2z

1y

1x

y la recta s definida por

1z

1y

x

. Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y a s.


0zy

2yx y la recta s que pasa por los

puntos A ( 2, 1, 0) y B ( 1, 0, -1). a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.

b) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.

09.07.- Considera el punto P ( 1, 0, -2) , la recta r definida por

02zy

01y2x y el

plano π de ecuación 01z3yx2 .

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π.

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π. 09.08.- Considera el plano π de ecuación 7z2y2x3 y la recta r definida por

2

2z

1

1y

2

2x

.

a) Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r. b) Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r. 09.09.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 1, 1, -1) , es paralela al

plano de ecuación 1zyx y corta al eje Z.




0zx3

0y2x3.

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P ( 1, 1, 1). b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades.


3zx

2yx y la recta s

2zy2

1x.

a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.

09.12.- Sea el punto P ( 2, 3, -1) y la recta r definida por

1z4y2x

1z2yx.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) Halla el punto de r que está más cerca de P. 08.01.- Los puntos A (-2, 3, 1), B ( 2,-1, 3) y C ( 0, 1,-2) son vértices consecutivos del

paralelogramo ABCD. a) Halla las coordenadas del vértice D. b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal

AC. c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

08.02.- Sea la recta r dada por

mzyx

2zmyx2 y el plano π definido por

1zymx .

a) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos? b) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

08.03.- Sea la recta s dada por

3zy2

1zx.

a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y que contiene a la recta r, dada por 3z2y1x .

b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2, de ecuación 3yx , y deduce la distancia entre ambos.

08.04.- Dados los puntos A ( 1, 1, 0), B ( 1, 1, 2) y C ( 1,-1, 1).

a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.

b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.

08.05.- Dada la recta r definida por 1

2z

3

1y

2

1x

.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.



b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. 08.06.- Dados los puntos A ( 2, 1, 1) y B ( 0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX

tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.


3zy3

0x y la recta s definida por

0y

3zx2.

a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la ecuación general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.


0yx

1x y sean los planos π1, de ecuación

0zyx , y π2, de ecuación 0zy . Halla la recta contenida en el plano

π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r. 08.09.- Se sabe que los planos de ecuaciones 1zby2x , 0zbyx2 ,

1z2y3x3 se cortan en una recta r.

a) Calcula el valor de b, b) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

08.10.- Dados los puntos A ( 2, 1,-1) y B (-2, 3, 1) y la recta r definida por las

ecuaciones

5z2x3

1zyx halla las coordenadas de un punto de la recta r

que equidiste de los puntos A y B. 08.11.- Se considera la recta r definida por )0m(,2zyxm , y la recta s

definida por 2

z1y

4

4x

.

a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares. b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son

paralelas. 08.12.- Considera los puntos A ( 2, 0, 1), B (-1, 1, 2), C ( 2, 2, 1) y D ( 3, 1, 0).

a) Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C y D. b) Halla el punto simétrico de A respecto al plano π.

07.01.- a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y

B(-1, 0, 3) en tres partes iguales.

b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.



07.02.- Considera los vectores )0,m2,1(w),1,m,0(v),m,1,1(u .

a) Determina el valor de m para que los vectores wyv,u sean linealmente

dependientes.

b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w

como combinación lineal de los vectores vyu .

07.03.- Considera los planos de ecuaciones x – y + z = 0 y x + y – z = 2.

a) Determina la recta que pasa por el punto A (1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados.

b) Determina los puntos que equidistan de A (1, 2, 3) y B (2, 1, 0) y pertenecen a la recta de intersección del os planos dados.

07.04.- Considera los puntos A (0, 3,-1) y B (0, 1, 5).

a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A (0, 3, -1), B (0, 1, 5) y C (x, 4, 3) tiene un ángulo recto en C.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos ( 0, 1, 5) y ( 3, 4, 3) y

es paralelo a la recta definida por las ecuaciones

3yx2

0zyx.

07.05.- Sea r la recta definida por 5

z

4

ky

3

2x

y s la recta definida por

3

3z

2

1y

1

2x

.

a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

07.06.- Halla la ecuación de la recta contenida en el plano x + 2y + 3z – 1 = 0 que

corta perpendicularmente a la recta definida por

3z2y

4z2x en el punto de

coordenadas ( 2, 1,-1).

07.07.- Considera la recta r definida por 2

1z

4

y1x

y el plano π de ecuación

0zyx2 . Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:

a) La recta r es perpendicular al plano π. b) La recta r está contenida en el plano π. 07.08.- Calcula la distancia del punto P ( 1,-3, 7) a su punto simétrico respecto de la

recta definida por

06zyx

02zyx3.

07.09.- a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y

es paralela a los planos π1 de ecuación 33zyx y π2 de ecuación

2zyx .



b) Halla la distancia de la recta r al plano π1.

07.10.- Considera el punto P (1, 0,-2) y la recta r definida por

7z4yx2

5yx2.

a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto a la recta r.

07.11.- Considera el plano π de ecuación 06zy2x2 y el punto P (1, 0,-1).

a) Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π. b) Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π.

07.12.- Considera el plano π de ecuación 06zy2x2 y la recta r definida

por 2

z

1

1y

2

1x

.

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas.

b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.

06.01.- Sea r la recta de ecuación

t4z

t21y

tax

y s la recta de ecuación

3

z

1

2y

2

1x

.

a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. b) Calcula el punto de corte. 06.02.- Halla un punto A de la recta r de ecuación zyx y un punto B de la

recta de ecuación 2

1z

1

yx

de forma que la distancia entre A y B sea

mínima.

06.03.- Determina los puntos de la recta r de ecuaciones

2

3z1y

0x

que

equidistan del plano π de ecuación 1zx y del plano π’ de ecuación 3zy .

06.04.- Considera los puntos A( 1, 0, -2) y B( -2, 3, 1). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la

recta de ecuación z1yx . ¿Depende el resultado de la elección concreta

del punto C? 06.05.- Considera el plano π de ecuación 02zyx2 y la recta r de

ecuación m

6zy

2

5x

.



a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m. b) Para m = -3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al

plano π. c) Para m = -3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.

06.06.- Considera el punto P( 3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

01z2x

03zyx.

a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta

r.

06.07.- Sea r la recta de ecuación 4

z

1

2y

2

5x

y s la recta dada por

2z3y2x

2zy2x3.

a) Determina la posición relativa de ambas rectas. b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta

s.

06.08.- Considera la recta de ecuaciones

0z3y2x

1zyx.

a) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.

b) Calcula la proyección ortogonal del punto A( 1, 2, 1) sobre la recta r. 06.09.- Considera los puntos A( 2, 1, 2) y B( 0, 4, 1) y la recta de ecuación

2

3z2yx

.

a) Determina un punto C de la recta que equidiste de los puntos A y B. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. 06.10.- Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación

1zyx y que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área

318 .

06.11.- Sea la recta r de ecuación 1

3z

3

2y

1

1x

y el plano π de ecuación

01zyx . Calcula el área del triángulo ABC, siendo A el punto de

corte de la recta r y el plano π, B el punto ( 2, 1, 2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano π.

06.12.- Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r

de ecuación zyx , es paralela al plano π 4zy2x3 y pasa por el

punto A( 1, 2, -1)



1.- Sean los planos 02zy2xy05zyx2 21 .

a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π1 y que su proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto ( 1, 0, -3).

b) Calcula el punto simétrico de P respecto al plano π2.

2.- Calcula el punto de la recta de ecuaciones 3

1z

2

2y1x

más

cercano al punto A = ( 1, -1, 1). 3.- Halla el punto del plano de ecuación x – z = 3 que está más cerca del punto

P = ( 3, 1, 4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado.

4.- a) Calcula un punto R de la recta s dada por

07zy3x

05yxs que

equidiste de los puntos P = ( 1, 0, -1) y Q = ( 2, 1, 1) . b) Calcula el área del triángulo determinado por P, Q y R.

5.- Prueba que todos los planos de la familia A : ( 3 + )x + ( 3 - )y + (5 - 2)z = contienen una misma recta y halla unas ecuaciones paramétricas de dicha recta.

6.- Considera el plano 3mzyx y la recta 2

2z1yxr

.

a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π?

7.- Se sabe que las rectas

2z2x6

3zyxsy

tbz

t1y

t1x

r están

contenidas en un mismo plano. a) Calcula b. b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. 8.- Los puntos A = ( 3, 3, 5) y B = ( 3, 3, 2) son vértices consecutivos de un

rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones

2

1z

1

6yx

.Determina los vértices C y D.

9.- Considera el punto A( 0, 3, -1), el plano 0z3y2x2 y la recta

2

3zy3xr

.

a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a

r. 10.- Sean A( -3, 4, 0), B( 3, 6, 3) y C (-1, 2, 1) los vértices de un triángulo.



a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de

coordenadas. c) Calcula el área del triángulo ABC. 11.- Considera los puntos A = ( 2, -1, -2) y B = ( -1, -1, 2). a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres segmentos

iguales.

b) Encuentra un punto C sobre la recta de ecuaciones 2

1z

1

1y

1

1xr

de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C. 12.- Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un

instante de tiempo t se encuentra en el punto ( 1+t, 3+t, 6+2t). a) ¿Es esa trayectoria una línea recta? Si es así, escribe sus ecuaciones de dos

formas distintas. b) Halla el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la

ecuación: x – 2y + z – 7 = 0.

c) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y pasa por el punto ( 1, 1, 0).

13.- Calcula, describiendo el método empleado, las ecuaciones de una recta que pasa

por el origen de coordenadas y es paralela a la recta en que se cortan los planos:

1 : x – y + 2z + 1 = 0 2 : x + 3y – z + 2 = 0.

14.- Sean las rectas 1

mz

2

y

3

1xr

y

2

1z

m

y

2

xs

.

a) ¿Para qué valor de m están r y s contenidas en el mismo plano? b) Si m=1, halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A( 1, 1, 2) y corta

a r y a s.

15.- Calcula la distancia entre las rectas

02yx3

01y3x2sy

75z

21y

6x

r

.

16.- a) Define el concepto de producto escalar de vectores del espacio y enuncia tres de sus propiedades.

b) Encuentra un vector w cuya primera componente sea 2 y que sea

perpendicular a los vectores u = ( 1, -1, 3) y v = ( 0, 1, -2).

17.- Considera el plano y la recta r dados por:

ax + 2y – 4z + b = 0 1

3z

4

1y

4

3xr

a) Halla los valores de a y b para los que r está contenida en . b) ¿Existen valores de a y b para los que la recta es perpendicular al plano?



18.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P = ( 1, 0, 2) y corta a las

rectas r y s dadas por las ecuaciones: 1

z

1

2y

3

xr

y

0z2y

02y6x2s .

19.- Sea el plano de ecuación 3x – 2y – 6z = 1 y sea r la recta dada en

forma paramétrica por r ( x, y, z) = ( 1, 0, 1) + ( 2, -1, 1). a) ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano? b) Comprueba en este caso concreto si recta y plano son paralelos. c) ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano? d) Comprueba en este caso concreto si recta y plano son perpendiculares.

20.- Considera el punto P ( -1, 2, 1)

a) Determina el punto Q del plano -3x + y + z + 5 = 0 de forma que el

vector PQ sea perpendicular al plano .

b) Determina un punto M de la recta r1

10z

1

1y

1

2x

de forma que

el vector MP sea paralelo al plano . c) Calcula el área del triángulo MPQ.

21.- Considera las rectas 3

z1y

2

xsy

01yx

02zxr

.

a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano π.

22.- a) ¿Cuál es el punto P de la recta r

1z4y2x

1z2yx que está más cerca del

punto A ( 2, 3, -1)? b) Halla el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B ( 1, 0, 0). 23.- Halla el punto Q simétrico del punto P ( 2, 0, 1) respecto a la recta r que

pasa por el punto A ( 0, 3, 2) y es paralela a la recta s de ecuaciones

s

0z

0y2x.

24.- Se sabe que las rectas

02z2x

06y6axsy

02yx

03zyxr

son paralelas. a) Calcula a.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

25.- Se sabe que los puntos A( m, 0, 1), B( 0, 1, 2), C( 1, 2, 3) y D( 7, 2, 1) están en un mismo plano.

a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. b) ¿Están los puntos B, C y D alineados?



26.- Un paralelogramo cuyo centro es M ( 3/2, 3, 4) tiene por vértices los puntos

A ( 1, 2, 3) y B ( 3, 2, 5). a) Halla las coordenadas de los otros vértices. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular al plano

que contiene al paralelogramo. c) Hallar el área del paralelogramo.

27.- Sea el plano que pasa por los puntos ( 1, 0, 0), ( 0, 1, 1) y ( 1, 1, 1). Sea A

el punto ( 1, 2, 3) y sea B el simétrico de A respecto al plano . a) Halla la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB. b) Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto ( 2, 2, 2). 28.- Un objeto se mueve en el espacio siguiendo una línea recta cuya dirección viene

dada por el vector v = ( 1, 2, -1).En su movimiento, dicho objeto pasa por el punto A ( 2, 1, 2). a) Calcula los puntos de corte de la trayectoria del objeto con los planos

coordenados. b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es

perpendicular a dicha trayectoria. c) ¿Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del objeto con el plano XOY ?

29.- Sean el punto P( 1, 0, -3) y la recta

0zx

01yx2r .

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.

30.- Para cada número real se considera el plano

0)12(z)31(y)1(x)21(

a) Prueba que todos los planos pasan por una misma recta r. b) Estudia la posición relativa de las rectas r y s, siendo s la recta dada por

la ecuación : 3

2z

1

1y

4

1xs

.

c) Describe un procedimiento para hallar la distancia entre ambas rectas. 31.- Halla el lugar geométrico de todos los puntos desde los cuales se ven los puntos

A ( 5, 3, 4) y B ( 7, 1, 2) bajo un ángulo recto ¿Qué figura es dicho lugar?

32.- Dada la recta 2

z

1

3y

4

1xr

, describe un procedimiento para obtener:

a) Una recta que corte a r. b) Un plano que contenga a r. c) Un plano que sea perpendicular a r. Pon un ejemplo de lo que se pide en cada uno de los casos.



33.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4, 5, 0), es paralela al

plano cuya ecuación es x + 2y – 3z = 1 y corta a la recta r dada por

1

2z

1

2y

1

1xr

.

34.- Los vectores u ( 2, -1, 0), v ( 1, 0, 4), w ( -1, 3, 2) determinan un paralelepípedo. a) Define el producto mixto de tres vectores y aplícalo razonadamente para el

cálculo del volumen del paralelepípedo que determinan.

b) Halla el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u , v y w .

c) Calcula el seno del ángulo que forma el vector u con la cara determinada por

v y w . 35.- Tres planos cuyas ecuaciones son: x – y + 3z = 0, ax + ay – z = 0, 4x + 5y = 0 se cortan en una recta r. a) ¿Cuánto vale a?

b) Halla el punto P de la recta r para el cual se verifica que la recta s que pasa por P y por el punto ( 1, 9, 8) es perpendicular a r.

36.- Estudia, según los valores de , la posición de los planos x + (+ 1) y + z = 0,

x + y + ( + 1) z = 0,

( + 1) x + y + z = 0.

37.- Determina todos los puntos que equidistan de los planos 1 y 2 dados por

1 3x – 4y – 1 = 0, 2 4x – 4y – 2z = 0 ¿Qué figura representan?

38.- Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r

02zyx2

01z3y2x y es

perpendicular al plano x + 2y – 4z = 1. 39.- Determina la ecuación del plano que pasa por P( 1, 0, 2), es paralelo a la recta

determinada por r: 3z3

2y

2

1x

y es perpendicular al plano

2x – y + z = 0. 40.- a) Define lo que son vectores linealmente independientes en el espacio.

b) Prueba que los vectores u ( 2, -1, 0) y v ( 1, 0, 1) son linealmente independientes.

c) Halla el valor de t para el cual el vector w ( 8, -5, t) depende linealmente de

u y v . 41.- a) Para los diferentes valores del parámetro a estudia la posición relativa de los

planos dados por 1 : x + y + z = a - 1

2 : 2x + y + az = a



3 : x + ay + z = 1 b) Si a = -1 ¿en qué punto se cortan? 42.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A ( 1, 1, 2) y es paralelo a las

rectas r y s dadas por: 2

1z

1

y

1

2xr

y

1z3yx

2zyx2s

43.- a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B ( 2, 1, 1)

sobre el plano de ecuación 2x + y – 2z = -6. b) Halla un punto A que esté sobre el eje OX y tal que el área del triángulo

ABC valga 6. ¿Cuántas soluciones existen? 44.- a) Determina la ecuación del plano que contiene al punto P ( 2, 0, 1) y a la recta

de ecuaciones 3

2z

1

3y

2

1x

.

b) Calcula el ángulo que forman el plano calculado en el apartado anterior y la

recta s de ecuaciones 1

1z

2

2y

3

x

.

45.- Calcula, de manera razonada, un plano que sea paralelo al plano de ecuación

x + y + z = 1 y determine con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea

18 2u3 .

46.- Considera el tetraedro formado formado por el origen de coordenadas y los tres

puntos en que el plano : 2x + 3y + 6z – 6 = 0 corta a los ejes coordenados. a) Describe un procedimiento para hallar el volumen del tetraedro y calcula

efectivamente su valor. b) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de

coordenadas respecto al plano . 47.- Considera los puntos P ( 1, 1, 1) y Q ( -1, -1, 2). a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual

distancia del punto P que del punto Q. b) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente y en su punto

medio al segmento que une los puntos P y Q.

48.- Sean los vectores )1,3,2(v),1,1,2(v),0,1,0(v 321 .

a) ¿Son los vectores 321 vyv,v linealmente dependientes?

b) Para qué valores de a el vector ( 4, a+3, -2) puede expresarse como

combinación lineal de los vectores 321 vyv,v ?

c) Calcula un vector unitario y perpendicular a 21 vyv .



49.- Considera el punto P( 2, 0, 1) y la recta

2z

6y2xr .

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

50.- Considera el punto P (2, 1, 3) y la recta de ecuaciones

01z

05yxr .

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. b) Determina dos puntos A y B de la recta r de forma que el triángulo PAB

sea equilátero. 51.- Considera los puntos A ( 0, 0, 0) y B ( 2, 2, 2). a) Halla la ecuación del plano que contiene a todos los puntos C que forman

con A y B un triángulo equilátero. b) Indica qué lugar geométrico forman los puntos C descritos en el apartado anterior expresando los elementos que lo determinan.

52.- Considera el punto P ( 1, 0, -1) y la recta r de ecuaciones

01z

0yxr .

a) Hallar la distancia del punto P a la recta r. b) Determina el plano que pasa por el punto P y contiene a la recta r. 53.- Dados los vectores u

= ( 2, 1, 0) y v

= ( -1, 0, 1), halla un vector unitario w

que sea coplanario con u

y v

y ortogonal a v

.

54.- Calcula la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es ( 1, 2, 3).

Haz lo mismo para el punto ( -1/2, -1, -3/2). Existe alguna relación entre los dos planos que has determinado? Explica lo que ocurre si se hace lo mismo para un punto de la forma ( t, 2t, 3t) siendo t un número real cualquiera. Justifica todas las respuestas.

55.- a) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los vectores :

1u ( a, -3, 1), 2u (3, b, 5), 3u ( 1, -4, 3) sean linealmente

independientes?

b) Determina, si es posible, un vector no nulo que sea perpendicular a 1u y

2u y, además, paralelo a 3u .

56.- Considera los planos dados por las ecuaciones x + y + z = 8 ax + 2y + bz = 4 ax + by + az = 4 a) Describe su posición relativa según los valores de a y b. b) Halla su intersección en el caso a=1 y b=2. 57.- a) Halla el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A ( 1, 3,

-1) y un lado sobre la recta r dada por r : x - 1 = -y + 2 = -z.



b) Halla las coordenadas de los otros dos vértices del triángulo del apartado anterior.

58.- Considera las rectas

02zx2

03yxr y

03z2x

01y2s .

a) Determina, si es posible, un plano paralelo a la recta s que contenga a r. b) Halla, si es posible, un plano perpendicular a la recta s que contenga a r. 59.- Considera los planos dados por las ecuaciones (a + 1) x + y + z = a2 + 3a x + (a + 1) y + z = a3 + 3a2 x + y + (a + 1) z = a4 + 3a3

a) Describe su posición relativa según los valores del parámetro a. b) Halla su intersección en el caso a=-3.

60.- Sea B el punto simétrico de A ( 2, 0, 1) respecto al punto ( 1, -1, 1) y C el

punto de intersección del plano de ecuación 3x – 5y – z – 10 = 0 con el eje OY. Determina un triángulo equilátero de manera que dos de sus vértices sean B y C y calcula el área de dicho triángulo.

61.- Sea el plano definido por la ecuación x + 2y + 2z – 3 = 0. Determina, de

forma razonada, a) la proyección del punto P ( 1, 0, -3) sobre el plano , y

b) La posición del plano y la recta )z1(32y1

7xr

62.- a) Determina los valores de a para que los vectores (-2, a, -1), ( 5, 0, 6) y ( 3, -

2, 4) sean linealmente independientes y, si es posible, expresa ( 2, 2, 2) como combinación lineal de (-2, 6, -1), ( 5, 0, 6) y ( 3, -2, 4).

b) Los extremos de un lado de un rectángulo son ( 1, 1, -3) y ( -1, 0, 0). Los otros vértices están en una recta que pasa por el punto ( 4, 3, -5). Halla las coordenadas de estos dos últimos vértices.

63.- Dadas las rectas r y s definidas por

012zyax

013zxr y

0)1a(azy

01axs ¿existe algún valor de a para el que las rectas son

coplanarias y perpendiculares? Razona la respuesta. 64.- Se consideran los puntos A ( 2, 0, 2) y B ( 0, 0, -1). ¿Cuántos triángulos

equiláteros se pueden construir de manera que dos de sus vértices sean A y B? Justifica la respuesta y calcula algún ejemplo concreto.

65.- Considera los planos de ecuaciones

1 : ax – y +2z = 1 2 : x + 3y – z = -( a + 1) 3 : 3x + ay + z = -a

a) Determina para qué valores de a son perpendiculares 1 y 2 y, en ese caso, halla un vector paralelo a ambos planos. b) Determina para qué valores de a los tres planos contienen una recta común y determina las ecuaciones paramétricas de la misma.



66.- Dados los puntos A ( 1, 2, 0), B ( 1, 5, a), C( 3, 3, 1) y D ( 2, 4, -3) se pide:

a) Halla los valores de a para los que los cuatro están sobre un mismo plano. b) Con ese valor de a, halla el simétrico del punto B con respecto a la recta que

determinan A y C. 67.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto ( 3, -1, 2) y contiene a la recta

común a los planos cuyas ecuaciones son, respectivamente, x + y + z = 1 ; x + y – z + 3 = 0.

68.- Dados A ( 1, 0, 1), B ( 0, 0, -1) y C ( 3, a, b), se pide: a) Valor de a y b para que los tres puntos estén alineados. b) Encontrar un punto Q ( si existe ) del eje OY tal que el triángulo ABQ

sea rectángulo con ángulo recto en B. c) Si D es el punto D ( 2, 0, -2), prueba que el triángulo ABD es

rectángulo y calcula su área. 69.- Sean los puntos A( 1, 2, 1), B( 2, 3, 1), C( 0, 5, 3) y D( -1, 4, 3). a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de

dicho plano. b) Demuestra que el polígono de vértices ABCD es un rectángulo. c) Calcula el área de dicho rectángulo. 70.- a) Los tres planos cuyas ecuaciones son: x + 2y + az = 1 2x + y + az = 0 3x + 3y – 2z = 1 se cortan en una recta. ¿Cuánto vale a? b) Determina el punto simétrico de P ( 1, 0, 1) respecto de la recta determinada

en el apartado anterior.

71.- Calcula dos vectores u ( 1, u2, u3) y v ( v1, v2, 0) que formen un ángulo de

45º y cuyo producto vectorial sea el vector w ( 1, 1, 0). 72.- Siendo A ( 1, 0, 0), B ( 0, 1, 0), C ( 0, 0, 1) y D ( 0, 0, 0), se pide:

a) Recta que pasa por D y es perpendicular al plano ABC. b) Distancia mínima entre dicha recta y la determinada por AB. c) Volumen del tetraedro.

73.- Las rectas

04zy2x2

02yxr y

06zyx

06yxs contienen los

lados de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado. 74.- Considera los puntos : A (1,0,3), B (3,-1,0), C (0,-1,2) y D (a,b,-1).



Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D.

75.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A (1,0,-1), es perpendicular al

plano: x – y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta r

0z

0y2x.

76.- Calcula a sabiendo que los planos: ax + y – 7z = -5 y x + 2y + a2z = 8 se

cortan en una recta que pasa por el punto A (0,2,1) pero que no pasa por el punto B (6,-3,2).

77.- Considera los planos : 1 : 2x + 5 = 0 y 2 : 3x + 3y – 4 = 0 a) ¿Qué ángulo determinan ambos planos?. b) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los

dos planos dados.

78.- Sea r la recta de ecuaciones r

0zx3

0y2x3

a) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P (1,2,-1).

79.- Halla las coordenadas del punto simétrico de A (0,-1,1) con respecto a la recta

3

2zy

2

5xr

80.- Halla el punto de la recta 1

3z

2

2yxr

que equidista del punto

A (1,2,1) y del origen de coordenadas. 81.- Considera el plano 2x + y + 2z - 4 = 0.

a) Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes de coordenadas.

b) Calcula la distancia del origen al plano dado. 82.- Determina todos los puntos del plano 2x - y + 2z - 1 = 0 que equidistan de los

puntos A( 3 , 0 , -2 ) y B( 1 , 2 , 0 ). ¿Qué representan geométricamente?. 83.- Considera los tres planos siguientes:

1 : x + y +z = 1 2 : x - y + z = 2 3 : 3x + y + 3z = 5

¿Se cortan 1 y 2 ?, ¿Hay algún punto que pertenezca a los tres planos?. 84.- Considera los puntos A( 1 , 2 , 3 ), B( 3 , 2 , 1 ) y C( 2 , 0 , 2 ).Halla el

simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B, y C.



85.- Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos de ecuaciones respectivas x + y + 2z - 4 = 0 y 2x - y + z - 2 = 0.

86.- Calcula las coordenadas del punto simétrico de A( 1 , -3 , 7 ) respecto de la recta

dada por las ecuaciones: 2

4z3y1xr

.

87.- Halla las ecuaciones de la recta que se apoya perpendicularmente en las rectas r

y s definidas respectivamente por: 2

1z2y1xr

2

z

3

1y

1

4xs

.

88.- Calcula el volumen de un cubo sabiendo que dos de sus caras están,

respectivamente, en los planos 2x - 2 y + z - 1 = 0 y 2x - 2y + z - 5 = 0.

89.- Halla las coordenadas del punto simétrico del punto P(1, 2 , -2 ) respecto del

plano de ecuación 3x + 2y + z - 7 = 0. 90.- Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es P( -1 , 2 , 1 ).

91.- Determina los puntos de la recta de ecuaciones 2

2z

3

1y

2

1xr

que

equidistan de los planos de ecuaciones 3x + 4y - 1 = 0 y 4x -3z - 1 = 0.

92.- Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de

las rectas de ecuaciones respectivas 2x - y - 4 = 0 y x -2y + 3 = 0 y es tangente a la recta x -y + 3 = 0.Calcula el punto de tangencia.

93.- Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano

: x + y - z + 6 = 0 con la recta 1z2y3

xs y es paralela a la recta

r

01zy3x4

04yx3

94.- Calcula a sabiendo que los planos ax + y – 7z = -5 y x + 2y +

a2z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A( 0, 2, 1 ) pero que no pasa por el punto B( 6, -3, 2 ).

95.- Considera los puntos A( 1, -3, 2 ), B( 1, 1, 2 ) y C( 1, 1, -1 ).

a) ¿Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo?. Justifica la respuesta.

b) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el paralelogramo ABCD sea un rectángulo.

96.- Considera los puntos A( 1, 1, 1 ) , B( 2, 2, 2 ) , C( 1, 1, 0 ) y D( 1, 0, 0 ).



a) Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A y B y no corta a la recta determinada por C y D.

b) Halla las ecuaciones de la recta determinada por los puntos medios de los segmentos AB y CD.

97.- Considera los puntos A( 1, -1, 2 ), B( 1, 3, 0 ) y C( 0, 0, 1 ). Halla el simétrico de A respecto de la recta que pasa por B y C.

98.- Sea el plano de ecuación 3x - y + 2z - 4 = 0.

a) Halla la ecuación del plano 1 que es paralelo a y pasa por el punto P( 1, -2, 2 ).

b) Halla la ecuación del plano 2 perpendicular a ambos que contiene a la recta

r

1z4yx2

1zyx

99.- Los puntos A( 1, 0, 2 ) y B( 1, 0, -2 ) son vértices opuestos de un cuadrado.

a) Calcula el área del cuadrado. b) Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por

el punto medio.

100.- Considera el plano : x – y – 2z = 3 y A( -1, -4, 2 ).

a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por A.

b) Halla el punto simétrico de A respecto de . 101.- Calcula el área del triángulo de vértices A( 1, 1, 2 ) , B( 1, 0, -1 ) y C( 1, -3, 2 ). 102.- Determina la recta que no corta al plano de ecuación x – y + z = 7 y cuyo punto

más cercano al origen es ( 1, 2, 3 ).

103.- Sabiendo que las rectas

2yx

1zyxr y

azx2

azy2xs se

cortan,determina a y el punto de corte.

104.- Halla el punto de la recta

1zy

1zy3xr que está más cercano al

punto P( 1, -1, 0 ).

105.- Considera la recta r y el plano siguientes :

01azy

0azxr , : 2x – y = b .

a) Determina a y b sabiendo que r está contenida en .

b) Halla la ecuación de un plano que contenga a r y sea perpendicular a .

106.- Considera el plano : x – 2y +1 = 0 y la recta

02azyx

0zy3xr .



a) Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.

b) Calcula el ángulo formado por el plano y la recta

02zyx

0zy3xs .

107.- Considera el plano 07zyx2 y la recta

31z

1y

1x

r .

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a π que contenga a la recta r. b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r ? En caso afirmativo,

determina sus ecuaciones. 108.- Se sabe que los puntos A( 1, 0, -1 ) , B( 3, 2, 1 ) y C( -7, 1, 5 ) son vértices

consecutivos de un paralelogramo ABCD. a) Calcula las coordenadas del vértice D. b) Halla el área del paralelogramo.

109.- Los puntos A( 1, 1, 0 ) y B( 2, 2, 1 ) son vértices consecutivos de un rectángulo

ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.

110.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 3, 1, -1 ), es paralela al plano

3x – y + z = 4 y corta a la recta intersección de los planos x + z = 4 y x – 2y + z = 1.

111.- Considera la recta

2y

1zyxr y el plano : x – 2y + z = 0 .

a) Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.

b) Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano en una recta paralela al plano z = 0.

112.- Considera el punto P ( -2, 3, 0 ) y la recta

01zy2x2

02zyxr .

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r. b) Determina el punto de r más próximo a P.

113.- Considera una recta r y un plano cuyas ecuaciones son, respectivamente

0z

ty

tx

( t R )

z

y

x

( , R ).

a) Estudia la posición relativa de la recta r y el plano . b) Dados los puntos B( 4, 4, 4 ) y C( 0, 0, 0 ), halla un punto A en la recta r de

manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.



114.- Sabiendo que las rectas zyxr y

z

3y

1x

s ( R ) se cruzan,

halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.

115.- Determina el punto P de la recta 3

z

1

1y

2

1xr

que equidista de los planos

03zyx1 y

6z

y

3x

2 ( , R ).

116.- Se sabe que el plano corta a los ejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas.

a) Halla la ecuación del plano . b) Calcula el área del triángulo ABC.

c) Obtén un plano paralelo al plano que diste 4 unidades del origen de coordenadas.

117.- Halla la perpendicular común a las rectas

tz

ty

t1x

r ( t R ) y

0z

22y

x

s

( R ).

118.- Calcula el área del triángulo de vértices A( 0, 0, 1), B( 0, 1, 0) y C, siendo C la

proyección ortogonal del punto ( 1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1.

119.- Considera el punto A( 0, 1, -1), la recta

4zx2

0zy2xr y el plano

2zy2x . Halla la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y

corta a r. 120.- Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la

recta de intersección de los planos y + z = 1 e y – 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos vértices son A( 2, 0, 1) y B( 0, -3, 0). Halla C y el área del triángulo ABC.

121.- Halla la perpendicular común a las rectas:

z

1y

1x

r y

1z

1y

x

s

.



122.- Considera las rectas

2z

yxr y

3z

1yxs . Halla la ecuación de una

recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0. 123.- Sean los puntos A( 1, 0, -1) y B( 2, -1, 3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por

B. b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo

que la recta determinada por C y D pasa por el origen de coordenadas.

124.- Halla la distancia entre las rectas

3

2z1y

0x

r y

0y

z11xs .

125.- Considera los puntos P( 6, -1, -10), Q( 0, 2, 2) y R, que es el punto de

intersección del plano 02zyx2 y la recta

1y

01zyxr . Determina λ sabiendo que los puntos P, Q y R están

alineados.

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