Problemas de selectividad...donde se encuentran y valores que se alcanzan). 14.04.- Se desea...

Departamento de Matemáticas Página 1

I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO

Problemas de selectividad. Análisis

14.01.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm2, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

14.02.- Sea RRf : la función derivable definida por

1ln

1)(

xsixx

bxsixa

xf

donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Calcula a y b. b) Para a = 3 y b = 2 calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [ 0, e]

(abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). 14.03.- Sea RRf : definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c

a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de

abscisa 2

1x y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 tenga por

ecuación y = 5 – 6x. b) Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f (abscisas

donde se encuentran y valores que se alcanzan). 14.04.- Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin

tapadera, que tenga una capacidad de 125 m3. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

14.05.- Sabiendo que

x

a

x

xlímx ln11

es finito, calcula a y el valor del límite (ln

denota el logaritmo neperiano).

14.06.- Considera la función derivable RRf : tal que

0

02)(

xsibax

xsix

eexf

xx

a) Calcula a y b. b) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

14.07.- Sea f la función definida por xx

xf ln2

1)( para x > 0.

a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. 14.08.- Sea RRf : la función definida por f(x) = x3 + bx2 + cx + d. Halla b, c y

d sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = -1 y que 41

)(

1

x

xflímx

.

14.09.- Calcula xsenx

xsenxlímx

tan

0

.



14.10.- Considera la función RRf : definida por 2

2)(

xexxf

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f.

14.11.- Sabiendo que xsenx

axexlím

x

x

)3(cos

0 es finito, calcula a y el valor del límite.

14.12.- De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su

inverso da suma mínima.

13.01.- Sabiendo que 30

)()cos(

x

xsenbxxlímx

es finito, calcula b y el valor del límite.

13.02.- Sea la función definida por

10

02)(

xsixba

xsiexxf

x

a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el

punto de abscisa x = 0.

13.03.- Sea g la función definida por 2

3

)(nx

mxxg

para nx .

a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 2x – 4 es una asíntota de la gráfica de g.

b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.

13.04.- Sea RRf : la función definida por cbxaxxxf 23)( . Se sabe que

un punto de inflexión de la gráfica de f tiene de abscisa x = 1 y que f tiene un mínimo relativo en x = 2 de valor -9. Calcula a, b y c.

13.05.- Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo

isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

13.06.- Sea f la función definida por xexxf

1

)( para 0,1 xx .

a) Calcula los límites laterales de f en x = 0. b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

13.07.- Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos

se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

13.08.- Sea Rf ),0(: la función definida por 2

)ln(2)(

x

xxf (donde ln

denota el logaritmo neperiano).



a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

13.09.- Sea f la función definida por )ln(

)(x

xxf para x > 0, 1x (donde ln

denota el logaritmo neperiano). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en

el punto de abscisa x = e.

13.10.- Sea f la función definida por )12)((

)(

xax

kxf para ax y

2

1x .

a) Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto ( 0, 2) y que la recta x = 2 es una asíntota de dicha gráfica.

b) Para k = 4 y a = 2 halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

13.11.- Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm. de radio, de forma que

uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.

13.12.- Considera la función RRf : dada por cbxaxxxf 23)( .

Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es y + x = -3 y que el punto de inflexión tiene de abscisa x = 1.

12.01.- Sea la función R),(:f 0 definida por )xln(x

)x(f 1

donde ln

denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan) en el intervalo

e,

e

1.

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e.

12.02.- Sea f la función definida por )x)(x(

x)x(f

21

22

para 21 xyx .

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal.

12.03.- Sea la función Re,:f 1 definida por )xln(x)x(f 82 donde ln

denota la función logaritmo neperiano.



a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función (abscisas donde se

obtienen y valores que se alcanzan). c) Estudia los intervalos de concavidad y convexidad.

12.04.- Sea la función RR:f definida por )xx(e)x(fx

12 .

a) Calcula )x(flímx

y )x(flímx

.

b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.

c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f. 12.05.- Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se

forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.

12.06.- Sea la función RR:f definida por x)xxln()x(f 332 donde

ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de

f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

x = -2.

12.07.- Sabiendo que 20 x

ex)x(senalím

x

x

es finito, calcula el valor de a y el de

dicho límite.

12.08.- la función RR:f definida por )x(e)x(fx

2 .

a) Calcula las asíntotas de f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de f.

12.09.- Sea la función continua RR:f definida por

0

1

0

2

2

xsix

e

xsikx

)x(f x

a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de

abscisa x = -1.

12.10.- Sea la función f definida por x

e)x(f

x

1 para x ≠ 1.

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.



12.11.- Se considera la función derivable RR:f definida por

1

12

1

xsix

ba

xsix

a

)x(f

Calcula los valores de a y b. 12.12.- De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima. 11.01.- Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un

semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m., halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

11.02.- Sea Re

f

4,

1: la función definida por

42)2ln(1

21

)ln(:

xsibx

xe

siaxxf

a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo )4,1

(e

.

b) Para a = 0 y b = 1/2 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

11.03.- Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área

máxima.

11.04.- Sea f la función definida por 3

413

x

x)x(f

para 0x .

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

11.05.- Dada la función RR:f definida por cxbxax)x(f 23 , determina a,

b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en ( 1, 0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = -3 x + 3.

11.06.- En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un

vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola 32 xy .

Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. 11.07.- Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos

en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el



metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?

11.08.- En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de

18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula xx 702 , mientras que

para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la

expresión 30

400

x

x.

Calcula cuál es el máximo de ingresos y a qué edad se alcanza.

11.09.- Un alambre de 100 m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

11.10.- Sea RR:f la función definida por 24 x)x(f .

a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la

recta 022 yx .

11.11.- Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m2.

Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

11.12.- Sea R,:f 1 la función definida por 1 x)x(f . Determina el

punto P de la gráfica de f que se encuentra a la menor distancia posible del punto A ( 2,0). ¿Cuál es esa distancia?

10.01.- Sea f la función definida por xa

bax)x(f

2

para ax .

a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto ( 2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente -4.

b) Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

10.02.- Calcula 2

xsenx

0x x

eelím

.

10.03.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor

de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?

(Recuerda que el volumen del cono es: hr3

1V

2 ).

10.04.- Sea f la función definida como 1x

x)x(f

2

3

para 1x .



a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Esboza la gráfica de f. 10.05.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 m. de hipotenusa, determina los

catetos del de área máxima.

10.06.- Sea f: ( 0, +∞ ) R la función definida por )x3xln()x(f2 .

a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación 01y2x .

b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

10.07.- Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e

inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

10.08.- Sea la función f: [ 0, 4] R definida por

4x2sicx

2x0sibaxx)x(f

2

a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica que f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

10.09.- Sea la función f: R R dada por

0xsi

1x

cbx

0xsi)axx(e

)x(f 2

2x

.

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

10.10.- Sea f: R R la función definida como 3 x3)1x()x(f . Halla las

ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -5 y en el punto de abscisa x = 2.

10.11.- Dada la función f: R R definida como dxcxb)x(sena)x(f2 ,

determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto ( 0, 4) y que la segunda derivada de f es f’’ (x) =3 sen (x) – 10.

10.12.- Considera la función f: R R definida por

x1si1x

2

1x0six1

0xsie

)x(f2

x

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f.



09.01.- Sea f: R R la función definida por dcxbxax)x(f23 . Calcula los

valores de a, b, d y d sabiendo que f verifica:

El punto ( 0, 1) es un punto de inflexión de la gráfica de f.

f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1.

La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 1.

09.02.- Se divide un segmento de longitud L = 20 cm. en dos trozos. Con uno de los

trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

09.03.- Se considera la función f: [ 1, +∞ ) R definida por xxx)x(f2 .

Determina la asíntota de la gráfica de f. 09.04.- De todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del

que tiene diagonal de menor longitud.

09.05.- Calcula el siguiente límite (ln denota logaritmo neperiano),

1x

2

xln

1lím

21x

09.06.- Sea f: R R la función definida por

0xsi1x3x

0xsi1x

1

)x(f2

a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. c) Esboza la gráfica de f.

09.07.- Sea f: R R la función definida por 3xx)x(f2

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

09.08.- Sea f: ( 0, +∞ ) R la función dada por

1xsia

1xsi1x

)x(lnx

)x(f 2

2

a) Sabiendo que f es continua, calcula a (ln denota el logaritmo neperiano) b) Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En

caso de que exista, determina su ecuación.

09.09.- Se sabe que la función f: R R definida como

1xsia2x5ax

1xsi1bxx)x(f

2

2

es derivable. Determina los valores de a y b.



09.10.- Se sabe que la función f: R R definida como dcxbxax)x(f23

tiene extremos relativos en ( 0, 0) y en ( 2, 2). Calcula a, b, c y d.

09.11.- Sea f: R R la función definida por xex)x(f .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f.

b) Determina las asíntotas de la gráfica de f. c) Esboza la gráfica de f. 09.12.- De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm. ¿qué base tiene el de

área máxima?

08.01.- Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por

bxax)x(f2 y )1x(

ec)x(g .

Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.

a) Calcula los valores de a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

08.02.- Considera la función f: R R definida por

2xsi4xbx

2xsix3xa)x(f

2

2

.

a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 3. 08.03.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto ( 1, 2), encuentra

aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.

08.04.- Sea f la función definida, para x ≠ 0, por x

1

ex)x(f . Determina las

asíntotas de la gráfica de f. 08.05.- De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm. determina las dimensiones

del que tiene diagonal de menor longitud.

08.06.- Dada la función f: R R definida por x

e

1x)x(f

, determina la ecuación

de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.

08.07.- Sea la función f: [ 0, 4] R definida por

4x2si1xc

2x0sibxax)x(f

2

.

a) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [ 0, 4], derivable en el intervalo abierto ( 0, 4) y que f(0) = f(4).



b) ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

08.08.- Sea f: [ 0, 2π] R la función definida por )xcosxsen(e)x(fx .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.

08.09.- Sea f: R R la función definida por x2e)x2x3()x(f .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan).

08.10.- Dada la función f definida, para x ≠ 0, por 1e

1e)x(f

x

x

determina las

asíntotas de su gráfica.

07.01.- Sea R,0:f definida por x

1x3)x(f

.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.

07.02.- Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por

6xx)x('f2 y que el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo)

es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). 07.03.- Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el

producto de sus cuadrados es máximo.

07.04.- Sea f: R R la función definida por baxx12x2)x(f23 . Determina

a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta de ecuación y = 2x + 3.

07.05.- Dada la función f: R R definida por )x1(Ln)x(f2 , halla la primitiva

de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

07.06.- Sea R),0(:f la función definida por )x(Lnx)x(f2 .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa

ex .

07.07.- Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El

precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados



tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?

07.08.- De entre todos los rectángulos situados en el

primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de

ecuación 1y2

x (ver figura), determina el que

tiene mayor área.

07.09.- Sea f: R R definida por x2ex)x(f .

a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

07.10.- Sea f: R R la función definida por xe)3x()x(f .

a) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.

07.11.- Sea f la función definida, para x ≠ -2 y x ≠ 2, por 4x

3x)x(f

2

2

.

a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos

relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f.

07.12.- Determina la función f: R R sabiendo que 1x)x(''f2 y que la

recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1. 07.13.- Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin

tapadera que tenga una capacidad de 500 m3. ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?

06.01.- Sea f: R R definida por f(x) = Ln(x2 + 1). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos

relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión

de abscisa negativa.

06.02.- Calcula

1x

1

xLn

1lím

1x.

06.03.- Sea f: R R la función definida por xx)x(f2 .

a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.



c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

06.04.- Un alambre de longitud 1 m. se divide en dos trozos; con uno se forma un

cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.

06.05.- Halla la función f: R R sabiendo que f’’(x) = 12x – 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x – y – 7 = 0.

06.06.- Determina un punto de la curva de ecuación 2

xexy en el que la pendiente

de la recta tangente sea máxima.

06.07.- Sea f la función definida por x

3x)x(f

4 para x ≠ 0.

a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de

f. c) Esboza la gráfica de f.

06.08.- Sea f: R R definida por 1xx

1xx)x(f

2

2

.

a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y

los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f.

06.09.- Sea f: (1, +∞) R la función dada por 2

2

)1x(

)xLn(x)x(f

. Estudia la

existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala.

06.10.- Sea f: [0, 4] R una función tal que su función derivada viene dada por:

4x3si8x2

3x0six3

2

)x('f

a) Determina la expresión de f sabiendo que 3

16)1(f .

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

06.11.- Se sabe que la función f: [0, 5] R definida por:

5x2si1x4

2x0sibxax)x(f

2

es derivable en el intervalo (0, 5). a) Calcula las constantes a y b.



b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

06.12.- Sea f: R R definida por f(x) = x3 + a x2 + b x + 1. a) Determina a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y

tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el

punto de inflexión. 06.13.- Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que

tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.

05.01.- De la función f: R R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx +d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

05.02.- Sea f la función definida para x ≠ 0 por x

1x)x(f

2 .

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus

extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) Esboza la gráfica de f.

05.03.- Sea f la función definida para x ≠ 1 por 1x

e)x(f

x

.

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. d) Esboza la gráfica de f. 05.04.- Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 – x2 que están más

próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas.

05.05.- Se sabe que 20x x

xsenxlím

es finito. Determina el valor de α y calcula el

límite. 05.06.- Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x

≠ 0 por

xLn)x(h,e)x(g,x

1x)x(f x

12

a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h.



b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Gráfica 4

05.07- Sea f: R R definida por 1xx

8x5)x(f

2

.

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus


d) Esboza la gráfica de f. 05.08.- De un terreno se desea vender un solar rectangular de

12800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones entre las parcelas) determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

05.09.- Sea f la función definida para x ≠ 2 por 2x

3x4x)x(f

2

.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [ 0, 2)

(puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

05.10.- De la función R),0(:f definida por x

bax)x(f

2 se sabe que la

recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1 viene dada por y = -2. a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

05.11.- Sea f: R R definida por f(x) = ( x – 1)2 e-x. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si

existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

c) Esboza la gráfica de la función f.



05.12.- De una función f: [0, 5] → R se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada

está dada por

5x1si8x6x

1x0si2x5)x('f

2

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

04.01.- Sea f: R R definida por 2

x2ex)x(f .

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus


c) Esboza la gráfica de f.

04.02.- Halla una función f: R R tal que su gráfica pase por el punto M ( 0, 1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x – y + 3 = 0 y que f’’(x) = 3x2.

04.03.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80

cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€/cm2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

04.04.- De una función f: [ 0, 4] R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo.

a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto

alcanza la función f su máximo absoluto? c) Estudia la concavidad y convexidad de f.

04.05.- Se sabe que la función f: (-1, 1) R definida por

1x0six1

0x1sicx2

1x2

)x(f

2

es derivable en el intervalo (-1, 1). a) Determina el valor de la constante c.



b) Calcula la función derivada f’. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a

la recta de ecuación y = -x.

04.06.- Sea la función f: [ 0, 2π] R definida por f(x) = ex ( cos x + sen x ) a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. 04.07.- a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 que es paralela a la

recta de ecuación -4x + y + 3 = 0. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = x2 que pasan por

P ( 2, 0). 04.08.- Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de

capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa menor cantidad de chapa.

04.09.- Sea f: R R la función definida por f(x) = 2 – x/x/. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en x = 0. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =

2.

04.10.- Se sabe que

x2

a

1e

1lím

x0x es finito. Determina el valor de a y calcula

el límite.

04.11.- Considera f: R R la función definida por f(x) = ( x + 1)( x – 1)( x – 2). a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto x

= 1. b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos de

inflexión la gráfica de f? 04.12.- Se sabe que la función R),1(:f definida por

0xsi

1x

ax

0x1si3x4x

)x(f 2

2

es continua en ),1( .

a) Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0? b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

1.- Estudia la derivabilidad de la función f: R R definida por

0xsi1

0xsix

xsen

)x(f



2.- De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de

coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva 1x

x2y

2

2

(x>1), uno de sus

lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima.

3.- Calcula x·senx

xsen)x1ln(lím

0x

4.- Considera la función f definida por 1x

2x2x)x(f

2

para x≠1.

a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.

5.- Estudia la derivabilidad de la función f: ( 0, +∞ ) R definida por

1xsi

2

x

x

1

1x0six3

)x(f 2

2

Calcula la función derivada de f.

6.- Considera la función f: R R definida por x2x

3x9)x(f

2

para x≠0 y x≠ 2.

a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f.

7.- Considera la función f: R R definida por

0xsie

0xsibax3)x(f

)bax(x

Determina a y b sabiendo que f es derivable.

8.- Considera el recinto limitado por la curva 2x

3

1y y la recta y = 9.

De entre los rectángulos situados como en la figura, determina el que tiene área

máxima.

9.- Considera la función f: R R definida por 1x

x2

2

e)x(f

a) Calcula las asíntotas de f.



b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de f ( puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

10.- Sea f: R R definida por f(x) = x3 - 5x2 + 5x + 3 y sea la recta de ecuación 2x + y = 6. a) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente

sea r. b) ¿ Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r?.

Justifica la respuesta.

11.- Considera la curva de ecuación 3x2x

x2xy

2

3

a) Determina sus asíntotas. b) ¿ Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta.

12.- De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que

son tangentes a la curva de ecuación 4x4x4

1y

2 .Calcula los puntos de

tangencia correspondientes.

13.- Considera la función f: R R definida por 2

x

2ex)x(f .

a) Calcula )x(flímx

y )x(flímx

.

c) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de f ( puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

14.- Calcula a y b sabiendo que la función f: R R definida por

2xsibx

x

a

2xsix5ax

)x(f

2

es derivable.

15.- De entre todos los rectángulos de 40 km de perímetro, calcula las dimensiones del

que tiene área máxima.

16 .- Considera la función f: R R definida por

0xsi0

0xsi

e1

1

)x(f x

1

a) Calcula los límites laterales de f en x=0. ¿Es f continua en x=0? b) Calcula el valor de la derivada de f en x=1.

17.- Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un

máximo en x=1, que su gráfica pasa por el punto ( 1 , 1) y que la recta de ecuación y = x es tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=0.



18.- Sea f la función definida para x ≠ -2 por 2x

x)x(f

2

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos

locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de

la gráfica de f. 19.- Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de

los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por v(t) = t3 - 15t2 + 72t + 8

para t [ 2,6 ]. a) ¿ A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta. b) ¿ A qué hora circulan los coches con menor velocidad?. Justifica la respuesta.

20.- Una empresa quiere fabricar vasos de cristal de forma cilíndrica con una capacidad de 250 cc. Para utilizar la mínima cantidad posible de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mínima. ¿ Cuáles deben ser dichas medidas?. Justifica la respuesta.

21.- Considera la función f: R R definida por

x1si3

2xx

3

1

1x2si0

2xsi3

2xx

3

1

)x(f

3

3

Estudia la derivabilidad de f.

22.- Sea f: [- 1, 4] R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura:

a) Estudia el crecimiento y el

decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.

b) Estudia la concavidad y la convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?.

23.-Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función f:

R R definida por f(x) = x3 + 3x2 + cx + d tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta y= 3x + 4.

24.- Calcula 2

1x ))x(Ln(

)1xcos(1lím

.



25.- Una compañía aérea ofrece vuelos para grupos de estudiantes con las siguientes condiciones: para organizar un vuelo, el número mínimo de pasajeros debe ser de 80, los cuales pagarían 210 euros cada uno. Esta tarifa se reduce en un euro por cada pasajero que exceda el número de 80. Suponiendo que la capacidad de cada avión es de 105 pasajeros y que el coste para la compañía es de 100 euros por plaza ocupada, ¿qué número de pasajeros ofrecen el máximo y, respectivamente, el mínimo beneficio para la compañía?

26.- Se quiere construir un envase cerrado con forma de cilindro cuya área total

(incluyendo las tapas) sea de 900 cm2. ¿Cuáles deben ser el radio de la base y la altura para que el volumen del envase sea lo más grande posible? ¿Cuánto vale ese volumen máximo?

27.- Considera la función f: R R definida por f(x) = ( 3x – 2x2) ex. a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula los máximos y los mínimos relativos de f.

28.- Sea f: (-π, π ) R la función derivable que para x ≠ 0 verifica

)x(sen

)x1(Ln)x(f

2 .

a) ¿Cuánto vale f(0)? b) ¿Cuánto vale f´(0)?

29.- Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un

semicírculo (como en la figura ), sabiendo que tiene perímetro mínimo entre las que tienen de área igual a 2 m2.

30.- Un hilo de alambre de 1 m. de longitud se corta en dos trozos formando con uno de

ellos una circunferencia y con otro un cuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia.

31.- Considera la función f: [0,3] R definida por f (x) = 3x – 2 . Calcula el punto de la gráfica de f más cercano al punto ( 2 , 6 ) y calcula también el más alejado.

32.- Considera la función

10x2si5x

2xsi6a)x(f

x

a) Determina el valor de a sabiendo que f es continua y que a>0. b) Esboza la gráfica de f. c) Estudia la derivabilidad de f.

33.- Determina a sabiendo que existe y es finito el límite xsenx

axeelím

xx

0x

34.- Estudia la continuidad de la función f: R R definida por

x23x2)x(f y represéntala gráficamente.



35.- En una circunferencia de radio 4 se inscribe un rectángulo (mira la figura). ¿Cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área?

36.- a) Halla los puntos de la gráfica de la función f definida por f(x) = 2x4 – x2 + x

en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

b) Calcula el límite )x(Ln)x(tglím0x

37.- Dados tres números reales, a, b y c sea f la función real definida por

cxsibax

cxsixx(f

2

.

a) Determina a y b en función de c para que sea derivable en c. b) Para c = 2 y sabiendo que f es derivable en 2, halla un punto del intervalo [

1, 3] en el que la tangente de la gráfica de f sea paralela a la recta que pasa por los puntos ( 1, f(1)) y ( 3, f(3)).

38.- ¿Cómo hay que doblar un trozo de alambre de 4 metros de longitud para que forme

un rectángulo cuya área sea lo más grande posible? 39.- Calcula :

a) 2

2

0x x

x11lím

b) x32

xe·xlím

40.- Calcula 2

32

0x x

6

x)0´´´(f

2

x)0´´(fx)0´(f)0(f)x(f

lím

en cada uno de los

casos siguientes:

a) f(x) = sen x b)

)x(cosx2

)x(sen1x)x(sen)xx()x(f

22

27

2

41.- Sea f: R R la función definida por 1x

x2x)x(f

2

3

. Sea P el punto

de corte de la gráfica de f con su asíntota. Determina la recta tangente a la gráfica de f en el punto P.

42.- Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos

y absolutos de la función f dada por 2x4x)x(f en el intervalo cerrado

en que está definida.

43.- Considera f: R R definida por f(x) = / x + 3 /. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Dibuja las gráficas de f y f´.



44.- a) Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de f: R R

definida por

0

0)(

xsibax

xsiexf

x

admite recta tangente en el punto ( 0 , 1 ).

b)¿ Existen constantes c y d para las cuales la función

0

0)(

2 xsidcx

xsiexg

x

admita recta tangente en el punto ( 0 , 1 )?. ( Justifica la

respuesta).

45.- Sea f: R R la función definida por 2xxex)x(f .

a) Halla los máximos y los mínimos relativos de esta función. b) Calcula )x(flím

x .

46.- Dada la función f: R R definida por f(x) = x3 – 6x2 + 2x halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en su punto de inflexión.

47.-a) Si el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra

que siempre se pierde valor al partirlo en dos trozos. b) Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos de múltiples formas. Determina la partición que origina la máxima pérdida de valor. Razona tu respuesta.

48.- Se considera la función f: [ 1, +∞ ) R definida por 1x2x)x(f .

Calcula, de manera razonada, su función derivada. 49.- Sobre un terreno con forma de triángulo rectángulo,

cuyos catetos miden, respectivamente, 100 y 200 metros, se quiere construir un edificio de planta rectangular como se muestra en la figura. Halla las dimensiones que debe tener dicha planta para que su superficie sea máxima.

50.- Fíjate en la gráfica siguiente y deduce

de ella todos los datos que puedas sobre la función que representa.

Justifica si puede pertenecer a alguna

de las funciones f, g o h, definidas como sigue:

4

3

x1

x)x(f

1x

1x)x(g

2



2x1

x)x(h

.

51.- Determina el punto de la curva cuya ecuación es y = x2 que está más cerca del

punto A ( 3, 0). 52.- Halla todas las posibles rectas tangentes a la curva y = x4 que pasan por el punto

( 2, 0) (ten en cuenta que este punto no está en la curva).

53.- Considera la función f definida por

1xsi1

1xsi)x(Ln

1

1x

x

)x(f .

a) Determina el dominio de definición de f. b) Determina el conjunto de puntos en los que f es continua. c) Determina las asíntotas de f.

54.- Calcula de forma razonada el valor de a sabiendo que se cumple que

.0x3x

a

x

x3senlím

20x

55.- En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual AC mide 2a y la altura

correspondiente a ese lado mide h. Determina el punto P sobre la altura mencionada de forma que la suma de las distancias desde P a los tres vértices sea mínima.

56.- El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia existente como uno de los lados y dispone de 300 m. de tela metálica para hacer los otros tres. a) ¿Podrías indicar las dimensiones del recinto acotado de esa forma cuya área es la

mayor posible? b) La comisión de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones,

pista de baile, etc., necesitan 8.000 m2. Teniendo en cuenta los cálculos realizados en el apartado anterior, ¿será suficientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde?

57.- De una función f se sabe que es polinómica de tercer grado, que sus primeras

derivadas en los puntos x = 3 y x = -1 son nulas, que f(2) = 5, que f(1) = 2 y que

)x(flím

x. Haz un esbozo de la gráfica de f sin realizar ningún cálculo

justificando cómo lo haces a partir de los datos.

58.- Considera la función f definida para x ≠ 0 por la relación x

4x3x4)x(f

2 .

a) Halla sus asíntotas. b) Determina sus extremos locales. c) Dibuja la gráfica de f indicando su posición respecto de las asíntotas.



59.- Dada una circunferencia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. ¿Qué longitud debe tener cada uno de esos diámetros para que sea máxima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores y la exterior (la región rayada en la figura)?

60.- Determina el valor de la constante k sabiendo que la curva de la ecuación

determinada por 1x

1kxxy

2

23

posee una asíntota que pasa por el punto ( 1, 3).

61.- Dado un triángulo isósceles de base 8 cm. y

altura 5 cm., calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse dentro de dicho triángulo como se indica en la figura:

62.- Una cierta función p se define como el cociente de dos funciones derivables f y

g, es decir, p(x) = f(x)/g(x). En un punto a de su dominio la función p tiene un mínimo relativo y sabemos que f´(a)=6 y g´(a)=2. ¿Puedes obtener el valor de p(a)? Razona tu respuesta.

63.- Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen de coordenadas del plano, se

observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuación xy = 16 (donde las distancias se miden en años-luz ). ¿Cuáles son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mínima y cuánto vale dicha distancia?

64.- La gráfica de la función derivada de una función f: [- 4, 9] R es:

a) ¿Dónde es la función f creciente, dónde es decreciente y dónde es constante?



b) ¿Dónde tiene f, si los tiene, sus máximos locales, sus mínimos locales y sus puntos de inflexión?

65.- Sea f: R R la función dada por 28)( xxf

a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f ( dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores).

b) Calcula los puntos de corte de la gráfica con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = -2.

66.- Una partícula que se mueve en el plano XOY baja deslizándose a lo largo de la

curva de ecuación 9xy 2 . En el punto P ( 4, 5) abandona la curva y sigue

por la recta tangente a dicha curva. a) Calcula el punto R del eje OY por el que pasará la partícula. b) Contesta razonadamente a la siguiente pregunta: ¿existe otro punto Q de la

curva tal que la recta tangente a la curva en el punto Q corte al eje OY en el mismo punto R anterior?

67.- La recta de ecuación y = ax + b se llama asíntota de la gráfica de la función f si

se cumple que 0)bax()x(flímx

.

a) Encuentra α de manera que y = 2x + α sea asíntota de 1x

5x3x2)x(f

2

.

b) Para dicho valor de α analiza si la gráfica de la función está por encima, por debajo o corta a la asíntota en el intervalo ( 0, 3).

68.- Determina los números reales m y n para los que la función f : ( 0, ∞) R

definida por xnx

m)x(f tiene en el punto ( 1, 4) un punto de inflexión.

69.- Calcula

230

sen1lím

xx

xe x

x

70.- Sabemos que la temperatura en el interior de una cámara frigorífica viene dada por

la expresión f(t) = at2 + bt + c donde t representa las horas transcurridas desde que fue conectada a la red eléctrica y a, b y c son constantes reales. Al conectarla, por efecto del calor del motor, la temperatura asciende y alcanza su máximo a los tres cuartos de hora. A partir de ese momento comienza a descender y, transcurrida una hora desde su conexión, alcanza los cero grados centígrados. A las dos horas de su conexión la temperatura es de –3º C. A partir de estos datos, determina razonadamente los valores de a, b y c.

71.- Halla los límites laterales, cuando x tiende a 1, de la función f definida para x ≠ 1

por 2xx

2x)x(f

2

. ¿Existe el límite en dicho punto?

72.- Si para el curso Octubre 2000-Septiembre 2001 expresamos el tiempo t en días,

correspondiendo t=0 al día primero de Octubre de 2000, el número de horas



dedicadas al estudio por un estudiante, de un país lejano, a lo largo del curso y hasta el 30 de Mayo sigue la ley:

3t91

4t

)91(

2)tdíaelestudiadohaquehorasdenúmero()t(N 2

2 .

a) ¿A qué fecha corresponde el día del curso en el que menos ha estudiado y cuántas horas estudió dicho día?

b) ¿En qué fecha de 2001 el número de horas de estudio es el mismo que el primer día del curso?

73.- Se quiere construir un depósito cilíndrico abierto de 3 m3 de capacidad. La chapa

para hacer la base cuesta 300 pts. el m2 y la chapa de la pared lateral 100 pts. el m2. Calcula las dimensiones más económicas.

74.- Sea f: R R la función dada por f(x) = a x3 + b x2 + c x +d. Calcula, a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene un punto de inflexión en Q = (-1, 3) y que la tangente a dicha gráfica en el punto M ( 0, 1) es horizontal.

75.- Sea f: (0, +∞) R la función logaritmo neperiano, f (x) = Ln (x). a) Prueba que la función derivada f´ es decreciente en todo su dominio. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g: (0,

+∞) R dada por x

)x(f)x(g .

76.- Calcula

xx

x

x ln

1

1lím

1

77.- Se sabe que la función f: [ 0, 5] R dada por

5x2si1xc

2x0sibxax)x(f

2

es derivable en el intervalo ( 0, 5) y verifica f(0) =

f(5). ¿Cuánto valen a, b y c? 78.- Dos partículas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo

t las posiciones de las partículas son respectivamente,

0,t2By)t1(2

3,)1t(

2

1A

. Determina el instante t0 en el que las

partículas están más próximas entre sí y a qué distancia se halla una de otra en ese instante.

79.- La función f: R R dada por

0xsix

)1x(Ln

0xsicbxx)x(f

2

es derivable

en el punto x=0. ¿Cuánto valen b y c?

80.- Sea función f: R R definida por f(x) = 2 x3 – 5 x2 + 2 x. a) Demuestra que la recta de ecuación y = -2x + 1 es tangente a la gráfica de la

función y halla el punto de tangencia correspondiente.



b) ¿Corta esta recta tangente a dicha gráfica en algún punto distinto del de tangencia?

81.- Sea k un número real y sea función f: R R definida por f(x) = cos (x) + k x. a) Determina todos los valores de k para los que la función anterior es creciente en

todo su dominio. b) Para k=1 halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en

el punto de abscisa x=0. 82.- De todos los rectángulos inscritos, como indica la

figura, entre la gráfica de la función f: R R

definida por 2x1

1)x(f

y el eje OX, halla el de

mayor área.

83.- Sea f la función definida para cada x Є R, x ≠ -2, por 2x

4x)x(f

2

.

a) Determina si existen y, en ese caso halla, el valor de los límites )x(flím2x

y

)x(flím2x

.

b) Representa gráficamente la función f.

84.- Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva 2x1

x2y

para

x>1. En el punto P ( 2, - 4/3 ) la abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de dicha recta tangente. b) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, encuentra el punto en el que la

partícula encuentra al eje OX. c) Si el desplazamiento es de derecha a izquierda, encuentra el punto en el que la

partícula encuentra a la asíntota vertical más próxima al punto P. 85.- En un terreno llano, se desea acotar una parcela rectangular usando 80 m. de tela

metálica para vallarla, pero dejando en uno de sus lados una abertura de 20 m. sin vallar tal y como se muestra en la figura:

abertura



Halla las dimensiones de la parcela rectangular de área máxima que puede acotarse de esa manera y el valor de dicha área.

86.- Se toma una cuerda de 5 metros de longitud y se unen los extremos. Entonces

podemos construir con ella triángulos isósceles de diferentes medidas. Calcula, de manera razonada, las dimensiones del que tiene mayor área.

87.- Sea f´ la función derivada de una función derivable f: R R. Se sabe que es f´ continua y que i) f´(0) = 0 ; f´( 2 ) = 1 ; f´( 3 ) = 0 ; f´( 4 ) = -1 ; f´( 5 ) = 0. ii) f´ es estrictamente creciente en los intervalos ( -∞, 2 ) y ( 4, +∞). iii) f´ es estrictamente decreciente en el intervalo ( 2, 4 ). iv) La recta de ecuación y = 2x + 3 es una asíntota oblícua de f´ cuando x

+∞.

a) Esboza la gráfica de f´. b) ¿En qué valores de x alcanza f sus máximos y mínimos relativos?

88.- Determina el dominio y la expresión de la función derivada de cada una de las

siguientes funciones:

a) f: R R es la función cuya gráfica es la recta que pasa por los puntos P ( 0, 5) y Q ( 5, 0).

b) g: R R dada por g (x) = /x + 1/ x.

c) h: R R dada por h (x) = x /x/. 89.- a) Halla el punto P de la gráfica de la función f definida para x≥ -3 por

6x2)x(f que está más próximo al origen de coordenadas.

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en P. 90.- Las gráficas (a), (b) y (c) corresponden, respectivamente, a tres funciones

derivables f, g y h. ¿Podrían representar las gráficas (r), (s) o (t) a las gráficas de f´, g´ o h´ (no necesariamente en ese orden)?. Justifica la respuesta en cada caso.

(a) (b) (c)



(r) (s) (t) 91.- Calcula las asíntotas de la gráfica de la función f definida para x ≠ -1 por

1x

1x3x)x(f

2

y estudia la posición de dicha gráfica con respecto a ellas.

92.- Una partícula se desplaza a lo largo de la curva de ecuación y = f (x), siendo f (x)

la función dada por

0xsiex

0xsi0)x(f

x.

a) Hay algún punto en la trayectoria de la partícula en el que dicha curva no admite recta tangente?

b) Determina las coordenadas del punto de la trayectoria en el que se alcanza la máxima altura.

c) ¿A qué recta se aproxima la trayectoria cuando x ∞? Justifica la respuesta. 93.- La población de una colonia de aves evoluciona con el tiempo t, medido en años,

según la función P: [ 2, 12] R dada por

12t10si228

10t2si)6t(10)t(P

9t

2

.

a) Representa gráficamente la función P e indica en qué periodos de tiempo crece o decrece la población. b) Indica los instantes en los que la población alcanza los valores máximo y mínimo. c) Si la población evolucionara a partir de t = 12 con la misma función que para 10 < t ≤ 12 ¿llegaría a extinguirse? Justifica la respuesta dando, en caso afirmativo, el instante de la extinción.

94.- Calcula )(tan

)(20 x

xxsenlímx

.

95.- Determina el valor de las constantes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f definida por f(x) = x (a x2 + b x + c ) tiene un punto de inflexión en (-2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.

96.- Dada la función f: [ 1, e ] R definida por f (x) = 1/x + Ln (x), determina cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máxima pendiente.

97.- Considera la curva de ecuación y = x2 – 2x + 3 .



a) Halla una recta que sea tangente a dicha curva y forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

b) ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? En caso afirmativo, halla la ecuación de dicha recta tangente; en caso negativo, explica por qué.

98.- a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para x > 0 por . b) Halla las regiones de crecimiento y decrecimiento de f, indicando sus máximos y

mínimos locales y globales, si los hay. c) Esboza la gráfica de f.

99.- Sea la función definida para x ≠ 1 por 1

2)(

2

x

xxf

a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos

relativos de f. c) Esboza la gráfica de f.

100.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde determinado punto. La altura

en metros alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por h (t) = 5 – 5t – 5e-2t. a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta. b) Teniendo en cuenta que la velocidad es v (t) = h´(t), halla la velocidad al cabo

de 2 segundos. 101.- Se dispone de 288.000 pts. para vallar un terreno rectangular colindante con un

camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 800 pts./metro y el de la valla de los restantes lados 100 pts./metro, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar?

102.- Determina a, b y c para que la curva cbxx

ay

2 sea la siguiente:

103.- La capacidad de concentración de una saltadora de altura en una reunión atlética

de tres horas de duración viene dada por la función f: [ 0, 3 ] R definida por f (t) = 300 t ( 3 – t ) donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los

intervalos de tiempo en los que disminuye. ¿Cuándo es nula?

x

xxf

21)(



b) ¿Cuál es el mejor momento, en términos de capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?

c) Representa gráficamente la función de la capacidad de concentración.

Problemas de selectividad...donde se encuentran y valores que se alcanzan). 14.04.- Se desea...

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