Problemas de Practica Del Cap 2 Del Libo de Taha

8/16/2019 Problemas de Practica Del Cap 2 Del Libo de Taha

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Solución de un modelo de maximización

Ejemplo 2.2-1

En este ejemplo se resolverá el modelo de Reddy Mikks, de la sección 2.1.

Paso 1. Determinación del espacio de soluciones factibles:

Primero, se tendrán en cuenta las restricciones de no negatividad y x1 ≥ x2 ≥En la !igura 2.1, el eje "ori#ontal x1 y el eje vertical x2 representan las varia$les Pintura para e%teriores y pintura para interiores, respectivamente. En consecuencia, lasrestricciones de no negatividad limitan el área del espacio de soluciones al primer cuadrante& arri$a del eje x1 y a la derec"a del eje x2Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero se sustituye cada desigualdadcon una ecuación, y a continuación se gra!ica la recta resultante, u$icando dos puntosdi!erentes de ella. Por ejemplo, despu's de sustituir ( x1 ) * x2 + 2* con la recta ( x1 ) * x2 2*, se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualando x1 para o$tener x2 2*-* ( y despu's igualando x2 para o$tener x1 2*-( *e este modo, la recta /ue pasa por los dos puntos 0, ( y 0*, es la /ue se identi!ica con

01 en la !igura 2.1. continuación consideraremos el e!ecto de la desigualdad. 3odo lo /ue"ace la desigualdad es dividir al plano 0 x1, x2 en dos semi espacios /ue en este caso sonsemiplanos, uno a cada lado de la l4nea gra!icada. 5ólo una de esas dos mitades satis!ace ladesigualdad. Para determinar cuál es el lado correcto, se elige cual/uier punto de referenciaen el primer cuadrante. 5i satis!ace la desigualdad, el lado en el /ue está es el semiplano!acti$le. En caso contrario, /uiere decir /ue es el otro lado. esde el punto

e vista de los cálculos, es cómodo seleccionar a 0, como el punto de re!erencia, a menos /ue larecta pase por el origen6 si as4 !uera, se de$er4a elegir otro punto. El uso del punto de re!erencia 0, seilustra con la restricción 6 x 1 + 4 x 2 ≤ 247omo 6 x 0 + 4 x 0 = 0 es menor /ue 2*, el semiplano /ue representa la desigualdad incluye alorigen 0lo /ue se indica con la !lec"a en la !igura 2.1. Para demostrar el uso de otros puntos de


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re!erencia, investigaremos 0(, . En este caso 6 x 0 + 4 x 0 = 36 /ue es mayor /ue el lado derec"ode la primera restricción, y eso indica /ue el lado en el /ue está 0(, no es !acti$le para la desigualdad.Este resultado es consistente con el /ue se o$tuvo usando 0, como punto de re!erencia. 7on laaplicación del procedimiento del punto de re!erencia a todas las restricciones del modelo se o$tiene elespacio !acti$le /ue se indica en la !igura 2.1.

Paso 2. Determinación de la solución óptima:El espacio !acti$le de la !igura 2.1 está delimitado por los segmentos de recta /ue unen alos v'rtices A, B, C, D, E y F . 3odo punto dentro o en la !rontera del espacio ABCDEF es!acti$le, por/ue satis!ace todas las restricciones. 8a /ue el espacio !acti$le ABCDEF está!ormado por una cantidad infinita de puntos, es o$vio /ue se necesita un procedimientosistemático para identi!icar la solución óptima.Para identi!icar la solución óptima se re/uiere identi!icar la dirección en la /ue aumenta la!unción utilidad. z 9 x1 ) * x2 0recu'rdese /ue se está maximizando a z .Para "acerlo seasignan valores arbitrarios crecientes a z . Por ejemplo, 5: #1 y # 19 e/uivaldr4a agra!icar las dos rectas 9 x1 ) * x2 1 y 9 x1 ) * x2 19 En consecuencia, la dirección deaumento en z es la /ue se ve en la !igura 2.2. ;a solución óptima se encuentra en C , /ue es

el punto, en el espacio de soluciones, más allá del cual cual/uier aumento en z saca a unode las !ronteras de ABCDEF .

;os valores de x1 y x2 correspondientes al punto óptimo C se calculan resolviendo las

ecuaciones asociadas a las rectas 01 y 02, esto es, resolviendo( x1 ) * x2 2* x1 ) 2 x2 (

;a solución es x1 < y x2 1.9 y en ese caso z 9 =< ) * = 1.9 21 Eso e/uivale a uname#cla de productos de < toneladas de pintura para e%teriores y 1.9 toneladas de pintura para interiores. ;a utilidad diaria correspondiente es >21,. ?o es por accidente /ue lasolución óptima se encuentre en un punto de esquina del espacio de soluciones, donde secru#an dos l4neas. En realidad, si se cam$ia la pendiente de la !unción utilidad z


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0cam$iando sus coe!icientes, se verá /ue la solución óptima siempre se encuentra en esos puntos de esquina. Esta o$servación es clave para desarrollar el algoritmo smplex general/ue se presenta en el cap4tulo


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;a !igura 2.< muestra la solución grá!ica del modelo. di!erencia del modelo de ReddyMikks 0Ejemplo 2.21, la segunda y la tercera restricciones pasan por el origen. Paragra!icar las rectas correspondientes sólo se necesita un punto adicional, /ue se puedeo$tener asignando un valor a una de las varia$les y despejando la otra. Por ejemplo, en la

segunda restricción x1 2 produce .21 = 2 F .


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C!"#!$ %E P&'E*S 2.2'

+. Huan de$e tra$ajar cuando menos 2 "oras a la semana para complementar sus ingresos,y al mismo tiempo asistir a la escuela. 3iene la oportunidad de tra$ajar en dos tiendas al

menudeo& en la tienda 1 puede tra$ajar entre 9 y 12 "oras por semana, y en la tianda 2 le permiten tra$ajar entre ( y 1 "oras. m$as tiendas le pagan el mismo sueldo por "ora. Enconsecuencia, Huan /uiere $asar su decisión acerca de cuántas "oras tra$ajar en cada tiendaen un criterio distinto& el !actor de tensión en el tra$ajo. 7on $ase en las entrevistas conotros empleados, Huan estima /ue en una escala de 1 a 1, los !actores de tensión son A y (en las tiendas 1 y 2, respectivamente. 7omo la tensión aumenta cada "ora, supone /ue latensión total al !inal de la semana es proporcional a la cantidad de "oras /ue tra$aja en lastiendas. I7uántas "oras de$er4a tra$ajar Huan en cada tiendaJ

,. Kil7o construye una re!iner4a para ela$orar cuatro productos& diesel, gasolina,lu$ricantes y com$usti$le para aviones. ;as demandas 0en $arriles-d4a de esos productosson 1*,,


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C!"#!$ %E P&'E*S 2.*

1. etermine grá!icamente el intervalo de optimalidad,C 1

C 2o C 2

C 1 para los pro$lemas

siguientes. 3enga en cuenta los casos especiales donde 71 o 72 puedan asumir un valor cero.

. ;a tienda NO vende dos clases de gaseosas& la 7ola 1 y la cola NO, menos costosa.El margen de utilidad apro%imado de 1 es 9 centavos por lata, y la de NO es G centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 9 latas diarias. un/ue 1 es una marcareconocida, los clientes tienden a comprar más NO, por/ue es $astante menos costosa. 5eestima /ue se venden cuando menos 1 latas de 1 diarias, y /ue NO se vende más /ue1 por un margen m4nimo de 2&1.a) I7uántas latas diarias de cada marca de$e tener en e%istencia la tienda para ma%imi#ar la

utilidadJb) etermine la relación de las utilidades por lata de 1 y de NO /ue mantengan sincam$iar la solución óptima en a.

+. Mue$les a$a emplea * carpinteros durante 1 d4as para armar mesas y sillas. 5enecesitan 2 "oras"om$re para armar una mesa, y .9 "oras "om$re para armar una silla.;os clientes suelen comprar una mesa y de cuatro a seis sillas. ;as utilidades son >19 por silla. ;a empresa tra$aja un turno diario de A "oras.


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a) etermine la proporción óptima de producciones de mesas y sillas en 1 d4as,grá!icamente.b) etermine el intervalo de la relación de utilidades óptimas /ue mantenga sin cam$iar alóptimo del punto a.c) 5i las utilidades actuales por mesa y por silla se reducen en 1B, am$as, use la respuesta

del punto $ para mostrar cómo puede a!ectar ese cam$io a la solución óptima o$tenida ena.d) 5i las utilidades actuales por mesa y por silla se cam$ian a >12 y a >29,respectivamente, use el resultado de sensi$ilidad en el punto $ para determinar si cam$ia lasolución en el punto a.

,. El anco de 7r'dito asigna un má%imo de >2, para pr'stamos personales y paraautomóviles durante el mes pró%imo. 7o$ra 1*B en los pr'stamos personales y 12B en losde automóvil. ;as dos clases de pr'stamo se pagan en 1 aLo. e acuerdo con la e%periencia,nunca se pagan apro%imadamente el ( por cada motor de tipo 1 y >* por cada uno de tipo 2.a) etermine la me#cla óptima de producción diaria.b) etermine el intervalo de optimalidad para la relación de utilidades unitarias /uemantenga inalterada la solución en el punto a.

/. 5e contrata a Enlatadora Popeye para /ue reci$a (, l$ de tomates maduros a Gcentavos por li$ra, con los cuales produce jugo de tomate y pasta de tomate, am$osenlatados. 5e empacan en cajas de 2* latas. En una lata de jugo se usa 1 l$ de tomates!rescos, y en una de pasta sólo de l$. ;a demanda de los productos en el mercado se limita a2 cajas de jugo y ( cajas de pasta. ;os precios al mayoreo por caja de jugo y de pasta son >1A y >D, respectivamente.a) edu#ca un programa óptimo de producción para Popeye.b) etermine la relación de precios de jugo entre pasta /ue permita a Popeye producir máscajas de jugo /ue de pasta.

0. Mue$les Modernos arma dos clases de alacenas a partir de madera cortada& normal y delujo. ;as alacenas normales se pintan de $lanco, y las de lujo se $arni#an. ;a pintura y el $arni#ado se "acen en un departamento. El departamento de ensam$le puede producir un


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má%imo de 2 alacenas normales y 19 de lujo por d4a. Para $arni#ar una unidad de lujose necesita el do$le de tiempo /ue para pintar una normal. 5i el departamento de pintura y $arni#ado sólo se dedicara a unidades de lujo, podr4a terminar 1A diarias. ;a empresaestima /ue las utilidades unitarias son>1 por alacena normal, y >1* por alacena de lujo.

a) ormule el pro$lema como programa lineal y determine el programa óptimo de producción diaria.b) 5uponga /ue, de$ido a la competencia, se de$en reducir las utilidades unitarias a >A por la unidad normal y a >11 por la de lujo. pli/ue el análisis de sensi$ilidad para determinar si permanece sin cam$io la solución óptima en a.

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