Problemas de Álxebra Linear

Carlos Gómez Bermúdez

2015

Santiago de Compostela, 2015

© Carlos Gómez Bermúdez© Andavira Editora, S. L.

Depósito legal: C 1905-2015ISBN: 978-84-8408-890-5

No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico, por fotocopia, por grabación u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del editor. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la

propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal).Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Puede contactar con CEDRO a través de la web www.conlicencia.com

o por teléfono en el 91 702 19 70 / 93 272 04 47.

Andavira, en su deseo de mejorar sus publicaciones, agradecerá cualquier sugerencia que los lectores hagan al departamento editorial por correo electrónico: info@andavira.com

Impreso en España/Printed in SpainImpresión: Tórculo Comunicación Gráfica, S. A.

Andavira Editora, S. L.Vía de Édison, 33-35 (Polígono del Tambre)15890 Santiago de Compostela (A Coruña)

www.andavira.com

Índice Xeral

1 Espazos vectoriais 11.1 Estructura de espazo . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Dependencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Ecuacións, bases, dimensión . . . . . . . . . . . . 10

2 Aplicacións lineais, matrices, determinantes 392.1 Operacións con matrices e determinantes . . . . . 392.2 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 Aplicacións lineais . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Sistemas de ecuacións 753.1 Sistemas con coe�cientes indeterminados . . . . . 753.2 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3 Pivote parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 Métodos iterativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Diagonalización de matrices 1194.1 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Xeometría a�n 1515.1 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 Posición relativa de rectas . . . . . . . . . . . . . 167

5.2.1 Rectas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.2 Rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.3 Posición relativa de planos . . . . . . . . . . . . . 1835.4 Posición relativa de rectas e planos . . . . . . . . . 1885.5 Feixes de rectas e planos . . . . . . . . . . . . . . 195

iii

iv ÍNDICE XERAL

6 Xeometría euclídea 2016.1 Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2 Distancias, áreas e volumes . . . . . . . . . . . . . 2096.3 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7 Transformacións ortogonais 2237.1 Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.1.1 Xiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.1.2 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8 Formas cuadráticas 2658.1 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.2 Cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Capítulo 1

Espazos vectoriais

1.1 Estructura de espazo

Nos seguintes exercicios, de 1.1 a 1.8, estudar se os conxuntosenunciados, coas operacións usuais con elementos de R3,teñenestructura de espazo vectorial sobre R:

Exercicio 1.1 V = f(x; x; x2) j x 2 Rg.

SoluciónDados dous elementos u = (x; x; x2), v = (y; y; y2) de V ,

temosu� v =

�x� y; x� y; x2 � y2

�e, para que u�v 2 V , debería ser u�v =

�x� y; x� y; (x� y)2

�,

pero, en xeral, (x� y)2 6= x2�y2, polo que V non ten estructurade espazo vectorial.

Exercicio 1.2 V = f(x; y; z) 2 R3 j z = x2 + y2g.

SoluciónDados dous elementos u = (x; y; x2 + y2), v = (a; b; a2 + b2)

de V , temos

u� v =�x� a; y � b; x2 + y2 � a2 � b2

�1

2 Capítulo 1. Espazos vectoriais

e, para que u� v 2 V , debería ser

u� v =�x� a; y � b; (x� a)2 + (y � b)2

�é dicir, debería ser:

x2 + y2 � a2 � b2 = (x� a)2 + (y � b)2

, x2 + y2 � a2 � b2 = x2 + y2 + a2 + b2 � 2xa� 2yb) a2 + b2 = xa+ yb

algo que non se da, en xeral, p.e. dados u = (0; 1; 1) 2 V ev = (1; 0; 1) 2 V , temos:

u� v = (�1; 1; 0) ; 0 6= (�1)2 + 12 ) u� v =2 V

así que V non ten estructura de espazo vectorial.

Exercicio 1.3 V = f(x; y; z) j x; y; z 2 Zg.

SoluciónDados dous elementos u = (x; y; z), v = (�; �; ) de V , temos

x; y; z; �; �; 2 Z)x� �; y � �; z � 2 Z

por tantou� v = (x� �; y � �; z � ) 2 V

pero dado un real comop2 2 R, resulta que

p2u =

p2 (x; y; z) =

�p2x;p2y;p2z�

ex; y; z 2 Z)

p2x;p2y;p2z =2 Z

polo que non se veri�ca que 8k 2 R, e 8u 2 V sexa ku 2 V , poloque V non ten estructura de espazo vectorial.

Exercicio 1.4 V = f(x; y; z) 2 R3 j x � 0; y � 0; z � 0g.

1.1. Estructura de espazo 3

SoluciónDados dous elementos u = (x; y; z), v = (�; �; ) de V , temos

u� v = (x� �; y � �; z � )

para que u� v 2 V debería ser x� � � 0, y� � � 0, z � � 0,ou ben x � �, y � �, z � , o que non se da, en xeral, p.e.:

u = (1; 0; 1) 2 Vv = (2; 3; 4) 2 V

�) u� v = (�1;�3;�3)) u� v =2 V

polo que V non ten estructura de espazo vectorial.

Exercicio 1.5 V = f(0; y; z) j y; z 2 Rg.

SoluciónDados dous elementos u = (0; y; z), v = (0; �; ) de V , temos

quey; z; �; 2 R) y � �; z � 2 R

por tanto:u� v = (0; y � �; z � ) 2 V

ademáis, para un real arbitrario k, e un elemento u = (0; y; z) 2V temos que y; z; k 2 R) ky, kz 2 R, polo que:

ku = (0; ky; kz) 2 V

Así V ten estructura de espazo vectorial sobre R.

Exercicio 1.6 V = f(x; y; z) 2 R3 j x+ 2y � z = 2g.

SoluciónDados dous elementos arbitrarios u = (x; y; z), v = (�; �; )

de V , temos que:

u 2 V ) x+ 2y � z = 2; v 2 V ) �+ 2� � = 2

por tanto, caso de ser V espazo teríamos

u� v = (x� �; y � �; z � ) 2 V

4 Capítulo 1. Espazos vectoriais

o que implica que 2 = (x� �) + 2 (y � �)� (z � ), pero

(x� �)+2 (y � �)�(z � ) = x+2y�z�(�+ 2� � ) = 2�2 = 0

co que teríamos 2 = 0, que é absurdo, polo que u � v =2 V , e Vnon ten estructura de espazo vectorial sobre R.

Exercicio 1.7 V = f(x; y; z) 2 R3 j x+ 2y � z = 0g.

SoluciónPara todo par de elementos u = (x; y; z), v = (�; �; ) de V ,

temos que:

x+ 2y � z = 0 ; � + 2� � = 0

por tanto:

u� v = (x� �; y � �; z � )(x� �) + 2 (y � �)� (z � ) = x+ 2y � z � (�+ 2� � ) = 0

) u� v 2 V

Para un k 2 R arbitrario:

ku = (kx; ky; kz))kx+2ky�kz = k (x+ 2y � z) = 0)ku2 V

Polo que V ten estructura de espazo vectorial sobre R.

Exercicio 1.8 V = f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z2 � 1g.

SoluciónDados ~u = (1; 0; 0) 2 V e 2 2 R, temos 2~u = (2; 0; 0) e

4 + 0 + 0 � 1 polo que 2~v =2 V , e V non é un espazo vectorialsobre R.En xeral, dado un ~u = (x; y; z) 2 V � f(0; 0; 0)g, para todo

escalar do tipo k = apx2+y2+z2

2 R, con a > 1, temos

k~u = apx2+y2+z2

(x; y; z) =

�axp

x2+y2+z2; ayp

x2+y2+z2; azp

x2+y2+z2

�) (ax)2+(ay)2+(az)2

x2+y2+z2= a2 > 1) k~u =2 V

Polo que V non é un espazo vectorial sobre R

1.1. Estructura de espazo 5

Exercicio 1.9 V =

��a bc d

�j a; b; c; d 2 R

�, coas operacións

usuais de suma de matrices, e producto de matrices por un es-calar.

Solución

Dadas dúas matrices M =

�a bc d

�, M 0 =

�a0 b0

c0 d0

�,

temos: �a bc d

���a0 b0

c0 d0

�=

�a� a0 b� b0c� c0 d� d0

�obviamente cumple que a�a0, b� b0, c� c0, d�d0 2 R. Ademáisdado un real arbitrario k

k

�a bc d

�=

�ka kbkc kd

�; ka; kb; kc; kd 2 R

Así que M � M 0 2 V , e kM 2 V , polo que V é un espazovectorial, denotado usualmente por M2 (R).

Exercicio 1.10 V = fa+ bi j a; b 2 Rg coas operacións usuaisdos números complexos.

SoluciónDados z = a+ bi; z0 = a0 + b0i 2 V , temos:

kz + lz0 = (ka+ la0) + (kb+ lb0) i 2 V

Xa que (ka+ la0), (kb+ lb0) 2 R, co que V sí é un espazo vecto-rial.

Exercicio 1.11 V = ff : R! R j f continuag coas operaciónsusuais con funcións reais de variable real.

SoluciónDado que a suma (e a diferencia) de funcións continuas,