PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES| FIEE-UNAC
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7/24/2019 PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES| FIEE-UNAC
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ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA:
Primera Prctica Calificada
PROFESOR:
Ral Castro Vidal
FECHA:
23/!/"#
$R%PO:
$&
'(TE$RA(TES:
) Cer*a+tes ,-a. 01is
) ,-a. 0a1ra erso+
) Me+do.a $1ti4rre. V-ctor
) Moli+a ,-a. A+to+5
) Pime+tel Mo+.6+ Ale7is
) Ro8as Salcedo 9ia+elli) Villa+1e*a Esi+o.a Art1r $a;riel
2"#)1eremos i+5ectar 1+ medicame+to e+ 1+ 6r?a+o 1ma+o@ S1o+?amos 1e el*ol1me+ de circ1laci6+ sa+?1-+ea del 6r?a+o es "B cm3 5 1e i+5ecta+ "cm3/mi+@ de a?1a destilada co+ @3 m?r/cm3de co+ce+traci6+ de medicame+tos@0a sa+?re e+tra al 6r?a+o a la misma ra.6+ 1e sale@ Si e+ el i+sta+te i+icial +oa5 rese+cia de medicame+to@ E+ 14 mome+to la co+ce+traci6+ delmedicame+to e+ el 6r?a+o ser de @B m?r/ cm3D
Solucin:
Si desi?+amos or X(t) la ca+tidad de medicame+te rese+te e+ el 6r?a+o e+ el
i+sta+te t
te+emos x (0 )=0 5 +1estra ec1aci6+ es:
dx
dt=0.3 (1 )
x
150(1)
E+to+ces la ec1aci6+ li+eal 1eda:
dx
dt+
x
150=0.3
150
x45dx+dt=0
Sol1ci6+ de *aria;le seara;le de la E,O:
x (t)=4545e1150
t
>1eremos e+co+trar t,
tal 1e:
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x (t,)150
=0.05
E+to+ces:
x (t, )=7510
=7,5
4545e1150
t
=7.5
e1150
t,
=37.5
45
t,=150 ln( 37.545)min27.34min
;= %+ rod1cto 1-mico C se rod1ce e+ 1+a reacci6+ 1-mica e+ 1e i+ter*ie+e+los rod1ctos A 5
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Sa;emos 1e:
R i( t)+Ld i (t)
dt +
1
CQ (0 )=V
,eri*a+do:
d2Q
dt +
R
L
dQ
dt+
Q
LC=V
S1stit15e+do los *alores de R 0 5 C e+ la ec1aci6+ difere+cial o;te+emos:
d2Q
dt +50
dQ
dt +
i
0,001=110
0a ec1aci6+ a17iliar es:
s2+50 s+1000=0
E+to+ces la sol1ci6+ caracter-stica ser:
s1=25+515i s2=255 15 i
Como las ra-ces so+ comle8as co+81?adas e+to+ces la res1esta del circ1ito es
s1;amorti?1ada
0a ec1aci6+ a17iliar es:
Qh(t)=A1 e25t
cos 515 t+A2e25 t
sen515 t
0a sol1ci6+ artic1lar es :
Qp(t)= 110
1000=0.11
E+to+ces
Q(t)=A1 e25t
cos515 t+A2 e25 t
sen515 t+0.11
,e las co+dicio+es i+iciales >G= 5 'G= o;te+emos:
A1+0.11=0
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25A1+515A2=0
E+to+ces:A1=0.11 5 A2=0.24
Por co+si?1ie+te:
Qt=0.11 e25 t
cos515t0.24e25tsen515 t
9 la corrie+te el4ctrica *ie+e dada or:
I( t)=7.22e25 t
sen515 t
;= S1o+?amos 1e decides matar al rofesor de a+lisis de circ1itos @%+a *e.eretrado el eco se e+c1e+tra el c1ero e+ el desaco del mismo 1e est a1+a temerat1ra de 2C a las I de la tarde@ 0a temerat1ra cororal de cad*erera de 3BC e+ dico mome+to@ %+a ora ms tarde la temerat1ra era de 33C@A 14 ora se rod18o el orriila+te 5 ;r1tal s1cesoD
Solucin:
>1eremos allar la ora 1e se rod18o el s1ceso a artir de la *elocidad de
e+friamie+to del cad*er@ 0a teor-a de e+friamie+to de (eJto+ se da 1e el calor
tra+sferido es roorcio+al a la *ariaci6+ de temerat1ra *ie+e descrita or la
ec1aci6+:
dT
dt=k(TTa)
C15a sol1ci6+ ?e+eral *ie+e dada or:
T=Tm+cekt
,etermi+aremos c ara esto se tie+e: ara t TT cT)Tm
T=Tm+(T Tm)ekt
,atos:
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T33 C Ta2 C
T3B C tI mi+
33=20+ (3520 ) ekt
13=15 ekt
13=15ek(60)
k 0.00238
Por lo ta+to la sol1ci6+ toma la forma:
T=20+15e0.00238t
Para determi+ar el i+sta+te de la m1erte te+dremos e+ c1e+ta 1e la temerat1ra +ormal
de 1+a erso+a *i*a es de 3& C 5 or ta+to:
37=20+15e0.00238 t
17=15e0.00238t
1.13=e0.00238t
t 51.35 51minutos
Por lo ta+to la ora de la m1erte f1e:18h51min=17.09h
5.09pm
Problema 4:
Res1el*a las si?1ie+tes ec1acio+es difere+ciales:
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a)xdy
dx+
y
Lnx=
x (x+Lnx )
y2Lnx
Solucin:
xdy
dx+
y
lnx=
x (x+lnx )y
2lnx
dy
dx+
1
xlnx. y=
x+ lnxlnx
. y2
Solucin de la EDOB:
y=
{(1) e
1 fx dx
[x e
1 fx dx dx+c
]}
1
1
Siendo =-2
y={3e3 1
x (lnx )dx[x+lnxlnx e
3 1x (lnx )
dx
dx+c ]}1
3
(x+lnx )lnx
.e3 ln (lnx ) dx+c
}{3e3 ln (lnx )
y=
y={3 ln3x [x+lnxlnx . ln3xdx+c ]}1
3
y=
{3 ln
3x [ (x+lnx ) ln2x dx+c ]
}
1
3
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x
x ln2x+ln3
3 ln3x
y=
x+6 lnx6x3 ln2 +C
ln3 }
x2
4(2 ln2x2 lnx+1)+x
{3 ln3x y=
x+6 lnx6x3 ln2 +C
ln3
x2
4(2 ln2x2 lnx+1)+x
y
3
=3 ln
3
x
b) (2x2y+2y+5 )dx+(2x3+2x)dy=0
Solucin:
!(x , y )=2x2y+2y+5"# !(x , y )
# y
=2x2+2
$(x , y )=2x3+2x"# $(x , y)
# x =6x2+2
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#!(x , y)# y
%# $ # (x , y )
#x (o es e7acta
Por factor de i+te?raci6+:
&(x )= 1$(x , y )(
# !(x , y )# y
# $(x , y)# x )
&(x )= 1
2x (x2+1)(2x2+2(6x2+2))=2x
x2+1
u (x)=e 2x
x2+1=eln(x
2+1)= 1
x2+1
Al m1ltilicar la ec1aci6+ difere+cial oru (x )=
1
x2+1
!(x , y )=2y+ 5
x2+1
"# !(x , y )
# y =2
$(x , y )=2x"# $(x , y)
# x =2
Como# !(x , y)
# y =
#$(x , y )# x la ec1aci6+ difere+cial es e7acta@
a
x
!(u , y ) du+'
y
$(a ,( ) d(=0
a
x
(2y+ 5u2+1 )du+'y
2ad(=0
(5a)ctan (u )+2yu )| xa+(2a( )|y'=C
5a)ctan (x )+2yx5a)ctan (a )2ya+2ay2a'=C
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y=k5a)ctan(x )
2x
c= Res1el*a el PV':
{yx2+y2 dxx (x2+y2 )dy=0
y (1 )=1
Solucin:
y x2+y2 dxx (x2+y2 )dy=0
x2+y2 (ydxxdy )=0
ydx
x . y
xdy
x . y=0"
dx
x
dy
y=0
dxxdy
y=C "LnxLny=C " ln (xy)=C
ln(xy )=ln (k) "x
y=k " y=
x
k
Para 9G"= "
y=x
k"1=
1
k"k=1"x=y
Problema 5:
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G"= Para el circ1ito de la Fi?1ra Ga= determi+e 5Gt= ara tK@
Solucin:
n|VcR1.V0R1+R2|= tR1.R2R1+R2
.C
+ln (k)
ln|VcR 1.V0
R1+R2k
|= tR1.R2
R1+R2.C
VcR1.V0
R1+R2
=e
tR1.R 2
R1+R2.C
Vc=k et(R1+R2)R1.R2.C +
R 1.V0
R1+R2
(alo) inicial Vc=0y el(alo) final es:
R1.V0
R1+R2,entoncesk=
R1.V0R1+R2
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1et(R1+R2)R1.R2.C
Vc=R1.Vo
R1+R2
=
G2= Para el circ1ito de la Fi?1ra G;= determi+e iGt= ara tK@
Solucin:
i=d*
dt
*=CV , i=d*
dt=c
dV( t)dt
,V( t)=20 i(t)
i1 (t)+i 2(t)+0.5 i (t)=i(t)
i1 (t)+i 2 (t)=0.5 i (t)
V1
40+C
V(t)dt
=0.5 i( t)
40V(t)
40
+20i(t)
dt
=0.5 i(t)
120i (t)40+20
i (t)dt=0.5i(t)
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1+20i(t)dt=i(t)
2i (t)dti (t)=1
i (t)dt0.05i ( t)=0.05++(1)
x=0.05
& . I=e0.05dt
=e0.05 t
E+@@ G"=
e0.05 ti(t)
dt0.05e0.05 ti (t)=0.05e0.05 t
d (i ( t)e0.05)dt
0.05 e0.05 t"i (t)=1+C e0.05 t
t=0
0=1+c" c=1
Fi+alme+te 1eda:
i (t)=1e0.05 t
Problema :
Sea la E,O:
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1
2
''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0, , : . ( ) ,
( ).
y x f x y x g x y x siendo f g I R R continuas Si y x es solucin hallar la
segunda solucin y x
+ + =
,ar dos e8emlos de alicaci6+@
Solucin:
() )=)2+ f(x ) )+(x)
R1=f(x )
2 +
f(x )24 (1 )( (x))
2 ,R2=
f(x )2 +
f(x )24 (1 )( (x ))
2
Un cambio de variable
u=f(x )
24 (1 )( (x ))
2
Entonces las races son:
y1(x )=e
x2cos(ux) , y
2(x )=e
x2 sen (ux)
Despeando ex2 :
ex2 =
y1(x)
cos (ux)
!eempla"ando en la se#unda solucin:
y2(x )=
y1
cos (ux )sen (ux )=y
1tan (ux )
!eempla"ando u:
y2 (x )=y1(x ) tan (f(x )
24 (1 )( (x ))
2 (x))
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Eemplo $:
y4y +4y=0
() )=)24 )+4=0
() )=()2 ) ()2 )=0
R1 ,R2=2
%ue#o el sistema de soluciones es: e2x
, xe2x
&or lo tanto:
y=c1e2x+c2xe
2x
Eemplo 2:
y+y=0
() )=)2+1=0
() )=(0)/0
24 (1)(1)2(1)
=0
R1=i ,R2=i
%ue#o el sistema de soluciones es: cos (x) ,sen (x)
&or lo tanto:
y=c1cos (x )+c2 sen(x )
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Problema !:
a= Res1el*a e i+terrete:
S1o+?a 1e e+ 1+ la?o 1+a o;laci6+ de eces PGt= es atacada or 1+a
e+fermedad e+ el tiemot=0 co+ el res1ltado de 1e los eces de8a+ de
rerod1cirseGla tasa de +acimie+tos es0=0 = 5 la tasa de mortalidad 1
Gm1ertes a la sema+a or e.= es a artir de ese mome+to roorcio+al a
1/ @ Si i+icialme+te a;-a ! eces e+ el esta+1e si des14s de I
sema+as 1eda+ ##" e+ c1+to tiemo morir+ todos los ecesD
Solucin:
d
dt= (01)
=(0k 1 )
=k
1
E+to+ces:
21
2=kt+c
LSi:(0 )=900
"2 (30 )=k(0 )+c
" c=60
LSi:(6 )=441
-
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"2 (21 )=k(6 )+60
"42=6k+60
"k=3
01e?o:
(t)=1
4(603 t)2
Para sa;er el tiemo 1e demorara+ e+ morir todos los eces(t)=0
"1
4(603 t)2
=0
"t=20 semanas
"206=14 semanas.
;= Res1el*a e i+terrete:
S1o+?a 1e 1+a com1+idad c1e+ta co+ "B erso+as 1e so+ s1sceti;lesde ad1irir el s-+drome de Mica1d 1+a e+fermedad co+ta?iosa@ E+ el tiemo
t=0 el +mero (Gt= de erso+as 1e a+ desarrollado el adecimie+to es de
B 5 este se i+creme+ta a 1+a tasa de B s18etos or d-a@ As1ma 1e (Gt= es
roorcio+al al rod1cto del +mero de a1ellos 1e a+ ad1irido la e+fermedad
5 el de a1ellos 1e +o@ C1+to tiemo tomara ara 1e otras B erso+as
desarrolle+ el s-+drome de Mica1dD
Solucin:
!esolviendo el problema con valores iniciales:
(15000 )dN
kN Ndt
=
'
(0) 5000x =
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(allando la epresin *nal' tenemos:
1500015000( )
(15000 ) 1 2 ktdN kdt N t
N N e= =
+ ' sea la ecuacin inmediata+
Usando el dato:
&ara t=,
(0) 5000x =
&ara t=$
(1) 5500x =
tiene un incremento de .,,)
Encontramos el valor de /:
15000
15000(1) 5500
1 2 k
N
= =+
1915000 ln( ) 15000 0.146
22k k = =
0inalmente:
1 t)=$,,,, ) incremento .,,)
0.146t
15000( )
1 2N t
e=
+
-
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0.146t
0.146
15000 110000 ln( )
1 2 4t e
e
= =
+
9.49t dias =