12.9. El péndulo es un dispositivo para medir aceleraciones uniformes de magnitud razonable.

Calibrar el Angulo 𝜃 del péndulo para aceleraciones de 1.5 m/𝑠2, 3 m/𝑠2, 6𝑚/𝑠2. La bola pesa

5N y está conectada al poste mediante una cadena flexible.

SOLUCIÓN:

𝜃 =?

1. Aceleración = 1.5 m/𝑠2

2. Aceleración = 3 m/𝑠2

3. Aceleración = 6𝑚/𝑠2

L= 0,6

Del diagrama del cuerpo libre tenemos:

∑ 𝐹𝑦=0

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑊

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5

𝑇 = 5

cos 𝜃……. (1)

xf ma

Reemplazando en la fórmula (1) y (2)

.......(2)Tsen ma

Para 21.5 /a m s

5 5(1.5) * 5tan

9.81 cossen

55tan (1.5)

9.81

08.69

Para 23 /a m s

5 5(3) * 5 tan

9.81 cossen

55tan (3)

9.81

017

Para 26 /a m s

5 5(6) * 5 tan

9.81 cossen

55tan (3)

9.81

031.45

12.14. Se aplica de repente una fuerza F = 100 N sobre un bloque de 30 N de masa situado en

la posición que se muestra ¿Cuál es la velocidad después de recorrer 1 m? Además, ¿qué

distancia recorrerá el bloque antes de detenerse? La barra AB pesa 200 N.

SOLUCIÓN

DCL del bloque

DCL de la barra

𝐷𝑒𝑙 𝐷𝐶𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑖𝑎𝑖

−𝐹𝑎 + 𝐹 = 𝑚𝑎𝑥 … . (1)

∑ 𝐹𝑦 = 0

−𝑁𝑎 − 𝑊 − 𝑅𝑎 = 0 … . (2)

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎

∑ 𝑀𝐴 = ∑ 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑑𝑖

−𝑅𝑎(14,9 − 𝑥) + 200(7,5) + 225(3) = 20.38(0)(7,5)

𝑅𝑎 =2175

14.9 − 𝑥

𝑁𝑎 =2175

14.9 − 𝑥+ 30

𝐹 − 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑎𝑥

𝐹 − 𝐹𝑎 = 𝑚.𝑑𝑣

𝑑𝑡.𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝐹 − 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑣.𝑑𝑣

𝑑𝑥

[100 − (2175

14.9 − 𝑥+ 30) 0.4] 𝑑𝑥 = 3.058𝑣𝑑𝑣

∫ 100𝑑𝑥1

0− ∫

870

14.9−𝑥𝑑𝑥

1

0− ∫ 12𝑑𝑥 =

1

0 ∫ 3.058𝑣𝑑𝑣𝑣

0

𝑣 = 3.002𝑚/𝑠

Resolviendo (***):

− ∫ (2175

14.9 − 𝑥+ 30) × 0.4𝑑𝑥

𝑥

0

+ ∫ (2175

14.9 − 𝑥) × 0.4𝑑𝑥

𝑥

0

= −1

2(3.058)(4.63)2

−1740(ln(14.9 − 𝑥) − ln(14.9)) + 12𝑥 = 32.88

𝑥 = 9.37 𝑚

∴ 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎: 𝑑 = 1 + 9.37 = 10.37 𝑚

12.60. Un dispositivo denominado regulador de bolas se utiliza para regular la velocidad de

aparatos tales como máquinas y turbinas de vapor. El aparato a regular hace girar el regulador

a través de un sistema de engranajes, y las bolas adquieren una configuración dada por el ángulo

θ, el cual depende de la velocidad angular ω y de la fuerza P que actúa sobre el cojinete situado

en A. el movimiento hacia arriba y hacia abajo del cojinete A, como respuesta al cambio en ω,

se utiliza entonces para abrir y cerrar una válvula que regula la velocidad del aparato. Hallar la

velocidad angular requerida para mantener la configuración del regulador de bolas θ = 30°.

Despreciar el rozamiento.

SOLUCIÓN

i) D.C.L. del cojinete A:

Descomponer la fuerza P = 150N en dirección del ángulo θ = 30°.

Σ𝐹𝑦 = 0:

150 = 2(𝐹 ∗ 𝑠𝑒𝑛60°)

75 = 𝐹 ∗ 𝑠𝑒𝑛60°

𝐹 = 86.6025 𝑁

ii) D.C.L. de la bola:

𝑎 = 𝑎𝑛 = 𝑣

𝑟

2

=(𝜔 ∗ 𝑟)2

𝑟= 𝜔2 ∗ 𝑟

ΣFx = 𝑚𝑎

𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 86.6025 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° = 10(𝜔2 ∗ 𝑟) … (1)

Calculo de r:

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛30° ∗ 0.3

𝑟 = 0.15 𝑚

ΣFy = 0

𝑇𝑐𝑜𝑠30° − 86.6025 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° − 10 ∗ 98.1 = 0 … (2)

𝑇 = 199.8786 𝑁

Resolviendo la ecuación (1): reemplazando el valor de T

𝜔2 =199.8786 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 86.6025 ∗ 𝑠𝑒𝑛30°

10 ∗ 0.15

𝜔 = 9.77 𝑟𝑎𝑑/𝑠

12.95. Una varilla CD gira alrededor de un eje G-G con una velocidad angular de 300 r/min.

Un cojinete A de 500g de masa desliza sobre CD. Si no existe rozamiento entre A y CD. ¿Cuál

debe ser la distancia S para que no haya movimiento relativo entre A y CD?

( 30 cos30 )zN N sen e e

( cos30 30 )zf f e sen e

zeW mg

. 0sf u N ……………. (1)

Relaciones cinemáticas

2

0

0

s

5 /

0

rad s

0

0

z

z

2

/ 2

25( )

2A

s ma e

s

Relaciones cinéticas

F ma

3 250.5( )

2 2 2

fN s

3 12.5N f s ………….. (2)

0z zF ma

3

2 2

N fmg …………… (3)

(1) En (3)

(0.5)(9.81)2

N

9.81N ………….. (4)

(4) y (1) en (2)

16.99 12.5s

1.3593s m

12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica cuya

ecuación es 23.4y x un muelle lineal con 550 /k N m está conectado a la masa y no

presenta deformación cuando la masa está en su posición más baja teniendo en ese momento

una longitud0 1t . Cuando la directriz del muelle está a 30º de la vertical, como se muestra en

el diagrama, la masa se está moviendo a 2.8 /m s . En ese instante. ¿Cuál es la componente de

la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma?

SOLUCIÓN:

Datos

550 /k N m

3M Kg

2.8 /V m s

En la ecuación de la parábola:

0 0 21 cos30 3.4( 30 )f fL L sen

0.689fL m

1 0.689 0.3111x m (Deformación)

Hallando radio de Curvatura:

322[1 ( )́ ]

´́

y

y

322[1 (2*3.4 ) ]

2*3.4

x

Para x=0.3445

2.43m

Además para saber el ángulo θ:

6.8dy

tg xdx

Para x = 0.3445

0

(6.8*0.3445)

66.88

Arctg

N cF ma

2

0 0 2.8cos *cos(66.88 30 ) 3

2.43N RF N mg F

Donde:

* 0.3111*550 171.105RF x K

Reemplazando:

0 03*9.81cos(66.88 ) 171.105cos(36.88 ) 9.679N

115.63N N

12-60.- Dos bloques A y B están conectados mediante un cordón inextensible que pasa por una

polea sin masa ni rozamiento en E. Si el sistema parte del reposo ¿Cuál será la velocidad del

sistema después de haber recorrido 1 m? El coeficiente de rozamiento dinámico es μd = 0.22

para ambos bloques.

Solución

1).- D.C.L.:

(a) (b) (c)

2).- Relaciones cinéticas:

a).- Para (c):

4.636º459000º450 senNsenwNF BBBY N

iA

45º

1 m

fA

1.2 m

1.7 mL Sen 45º

(L-1) Sen 45º

L

B i

B f

1 m

1404.636*22.0 BdB Nf N

b).- Para (b):

04.2*º30cos4.2*0 CCD wXNM

XXNC

4.2

384.831

4.2

4.2*º30cos400 (1)

c).- Para (a):

º30cos0º30cos0 ACAACAV wNNwNNF

856.1944.2

384.831º30cos225

4.2

384.831

XXN A

(2)

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética para el sistema, en su forma alternativa.

a).- Grafico de las posiciones inicial y final.

b).- Por la forma alternativa:

iifffiFNC UEkUEkW

II

iBBiAAfBBfAAft

I

CBA hgmhgmhgmhgmVmdXfdXfdXf

21

0

1

0

1

0 2

1

Si:

1 1 1

0 0 0

831.384 831.3840.22* 194.856 140 0.22*

2.4 2.4I dX dX dX

X X

1

0

1

0 4.2

384.8312)4.636856,194(22.0 dX

XdXI

546.3104.2ln768.1662*22.0876.1821

0 XI J

º459002.1*225º451*9007.1*225

81.9

900225*

2

1 2 senLsenLVII f

846.52334.57 2 fVII (J)

Luego:

72.3846.52334.57546.310 22 ff VV → 929,1fV m/s

13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se suelta,

partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no presenta

deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido 50mm? La

constante del muelle es de 2N/m.

SOLUCIÓN

Datos:

K = 2 N/mm = 2000 N/m

M = 5 kg

Por ley de cosenos:

∆𝑥 = 299.13 − 200 = 29.13 𝑚𝑚

Planteando Ecuación de Energía:

𝐸𝐴 = 𝐸𝐴′

𝐸𝑐 + 𝐸𝐸 + 𝐸𝐺 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝐸 + 𝐸𝐺

0 + 𝑚𝑔ℎ =1

2𝑚𝑉2 +

1

2𝐾(∆𝑥)2 + 0

5 × 9.81 × 0.025 =1

2(5)𝑉2 +

1

2(2000)(0.02913)2

∴ 𝑽 = 𝟎. 𝟑𝟗 𝒎/𝒔

13.93.- Un anillo con cuatro radios, inicialmente en reposo, se suelta desde una posición vertical. El anillo

y cada uno de los cuatros radios tienen un peso por unidad de longitud de 15 N/m y se considera delgadas.

El alambre está enrollado alrededor del aro y es su único soporte. Hallar la velocidad del punto C después

de recorrer 1.3 m, usando la teoría de los sistemas de partículas.

Solución

Como la única fuerza que produce trabajo es el peso,

la energía total o mecánica se conserva.

1).- Relaciones cinemáticas:

a).- Velocidad del centro de masa:

RV

b).- Velocidades relativa al centro de masa de una

partícula iésima en el anillo y de sus cuatro radios:

i).- Para del anillo:

uRxk aicaiG

222 VRaiG

ii).- Para de los radios:

22 rerxk riGricriG

2).- Cálculo de la energía cinética del cuerpo, para un instante cualquiera:

Si:

GarelKGK

n

i

iGitK EEmVmE .

1

22

2

1

2

1

y es el peso específico por unidad de longitud

a).- Energía cinética del centro de masa:

2222 965.125.0*225.0*81.9

1542*

2

1

2

1VVVRR

gVmE tGK

b).- Energía cinética relativa al centro de masa:

Rn

i

iGiaGrelK rdrg

RdRg

mE0

22

0

2

1

2

.2

1*4

2

1

2

1

2

2

232

.3

2*

3**22***

2

1VR

gR

VR

gVR

gE GarelK

22

. 456.13

225.0*

81.9

15VVE GarelK

Luego:

JVVEK

22 421.3456.1965.1

3).- Por conservación de la energía total en el sistema (cuerpo):

21 MM EE

01 KE

JgRRg

hgmU tg 13.503.1*25.0*425.0*2153.1**421

JVEK

2

2 421.3

02 gU

Luego:

83.313.50421.3 2 VV m/s

13.95. Hallar la velocidad VA después de partir del reposo y recorrer 5 m. ¿Cuál es la fuerza de

rozamiento que se produce entre el plano inclinado y el cilindro A? Ambos cilindros ruedan sin

deslizar.

SOLUCION

D.C.L bloque C

0Fy

0*cos30N Wc

030*9.81*cos30N

254.871N N

* 0.2*254.871 50.97C Df u N N

Calculo de la energía cinética

2.21 1

( )2 2

K A B C G i GiE m m m V m

2.1

2i Gi

m

m

A

m A

dm dA

( )dm rdrd

2.2 2 2( )Gi wr w r

22.2 2

0 0

1 1( )( )

2 2

r

i Gim w r rdrd

=1

4𝑚𝑖𝑟𝑖

2𝑤𝑖2

2 2 2 2 21 1 1(280) (200)(0.5) ( ) (50)(0.2) ( )

2 4 4K G A BE V w w

2 2

2 2 2140 50(0.5) 12.5(0.2)0.5 0.2

K S

Vs VsE V

2202.5K SE V

0(280*9.81*5 30 )U mgh sen

6867U

1 2 1 2 1 2

ncW EM U EM

250.974.5 ( 6867) 202.5 sV

5.714 /Vs m s

Para la fuerza de rozamiento:

Sobre el centro de masas

2

2

1

1( )

2cFdr Mt Vs

0 21254.87 (5) (280)(9.81)(5 30 ) (280)

2sf sen V

2041.159 5 f

408.232f N