Problemas que se resuelven con Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Problemas Con Ecuaciones
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Problemas con ecuaciones:
1) Un estanque se llena con la llave A en 4 horas y con la llave B en 8 horas. Cunto tardar en llenarse si se abren simultneamente las dos llaves? La llave A llena el estanque en 4 horas, por lo tanto, en una hora llena 1/4 del estanque. La llave B llena el estanque en 8 horas, por lo tanto, en una hora llena 1/8 del estanque. En consecuencia las dos llaves en una hora llenan 1/4 + 1/8 del estanque. Denominando X al tiempo en horas que ambas llaves emplean en llenar el estanque y 1 a todo el estanque lleno, se tiene: ( ( ( ) ) )
( )
El estanque demora 2 horas y 40 minutos en llenarse si se abren simultneamente las dos llaves.2) El doble de un nmero aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. Cul es el nmero? Si x es el nmero buscado se tiene:
El nmero es 173) Un padre tiene 20 aos ms que su hijo. Dentro de 12 aos, el padre tendr el doble de la edad del hijo. Cuntos aos tiene cada uno actualmente? Si: x = edad actual del padre y = edad actual del hijo Se tiene que: ( ) ( )
Reemplazamos el valor de ( ) ( ) ) (( ) (
de la primera ecuacin en la segunda )
Entonces reemplazando el valor y=8 en la primera ecuacin, tenemos:
Actualmente el padre y su hijo tienen 28 y 8 aos, respectivamente.4) Se compran 25 lpices, 32 cuadernos Torres y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $16.990 pesos. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $20 y cada lpiz cuesta el doble de cada goma, ms $8. Cunto cuesta cada material? Si: x = precio de un lpiz y = precio de un cuaderno Torre z = precio de una goma de borrar Se tiene: 1. 2. 3. Luego, reemplazamos los valores de x e y de las ecuaciones 2 y 3, en la ecuacin 1 y resolvemos ( ) ( )
Entonces si, z = 95 e y = 3z + 20, se tiene
Por ltimo si, z = 95 y x = 2z + 8, se tiene
Precio de un lpiz = $ 198.Precio de un cuaderno Torre = $ 305.Precio de una goma de borrar = $ 95.-
Problemas con sistemas de ecuaciones lineales:
Resolver por: i) igualacin
Despejamos el valor de x en ambas ecuaciones:
(
)
( Igualamos, ( ( ) )
)
( (
) )
Sustituimos el valor de y en la primera ecuacin
ii) sustitucin
Despejamos el valor de x en la segunda ecuacin:
(
)
y lo reemplazamos en la primera ( ( ) )
Sustituimos el valor de y obtenido en la expresin donde despejamos x ( ( ( ( ) ) ) )
iii) reduccin
Reemplazamos el valor obtenido en la segunda ecuacin ( )
Demostrar veracidad de las soluciones comprobando en las ecuaciones respectivas.
Comprobacin
(
)
(
)
2) Un cuarto de la suma de dos nmeros es 152 y un tercio de su diferencia es 66. Cules son los nmeros? Denominamos a los nmeros buscados x e y, tenemos:
(
)
Los nmeros buscados son 403 y 2053) Sergio tiene $1950 en monedas de $100 y de $50. En total tiene 24 monedas. Determine cuntas son de $100 y cuntas de $50. Si x = n de monedas de $100 y = n de monedas de $50
Despejamos el valor de y en la segunda ecuacin
y lo reemplazamos en la primera de ellas ( )
Ahora reemplazamos en valor de x donde habamos despejado y
Son 15 monedas de $100 y 9 monedas de $50
5) Las funciones de oferta y demanda de un determinado mercado son:
Q=cantidad P=precio
a) Calcule el precio y la cantidad de equilibrio (soluciones sistema).
Igualamos
Reemplazando en la primera ecuacin, tenemos:
El equilibrio se produce cuando a un precio de 140 unidades monetarias se demandan y ofrecen 20.700 unidades de producto
b) Grafique en primer cuadrante eje cartesiano.
c)(Opcional) Explique que ocurre si disminuye el precio respecto del precio de equilibrio. Qu ocurre con la cantidad demandada y la cantidad ofrecida. Qu genera ello en un mercado competitivo?