UNIDAD TEMTICA I: ALGEBRA DE CANTIDADES VECTORIALES.

I.1. Introduccin.

I.1.1. Nmeros reales. I.1.2. Sistemas de coordenadas en una, dos y tres dimensiones.

I.1.3. Lugar geomtrico de una funcin.

I.2. Definicin de escalar y ejemplos de cantidades fsicas escalares.

I.3. Definicin de vector, su representacin geomtrica y ejemplos de cantidades fsicas vectoriales.

I.3.1. Igualdad de vectores.

I.3.2. Vector simtrico.

I.4. Sistemas de referencia, representacin geomtrica y analtica de un vector (componentes rectangulares).

I.4.1. Rosa de los vientos

I.4.2. Sistemas de coordenadas en una, dos y tres dimensiones.

I.5. Definicin de vector unitario

I.5.1. Notacin analtica de vectores unitarios: cartesiana por

componentes y como el producto de su magnitud y direccin.

I.6. Sistemas de vectores (Clasificacin).

I.6.1. Por su lnea de accin: colineales, concurrentes paralelos y arbitrarios.

I.6.2. Por el plano que ocupan: coplanares y no coplanares.

I.7. Operaciones del Algebra vectorial.

I.7.1. Suma o adicin por mtodos geomtricos: paralelogramo, tringulo y polgono; aplicaciones.

I.7.2. Suma o adicin por mtodos analticos: componentes

rectangulares, vectores unitarios y aplicaciones.

I.7.3. Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva.

I.7.4. Producto de un escalar por un vector y aplicaciones.

I.7.5. Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva.

I.7.6. ngulos directores y aplicaciones. .

I.7.7. Producto punto o escalar, caractersticas, propiedades

(conmutativa y distributiva) y aplicaciones.

I.7.7.1. ngulo entre dos vectores y aplicaciones.

I.7.7.2. Ilustracin de bases vectoriales, proyeccin de un vector y su magnitud; aplicaciones.

I.7.8. Producto cruz o vectorial, caractersticas, aplicaciones y

propiedades: no conmutativa y distributiva.

I.7.8.1. rea de un paralelogramo y un tringulo. Grficas y aplicaciones.

I.7.9. Triples productos entre vectores.

I.7.9.1. Triple producto escalar y aplicaciones.

I.7.9.2. Triple producto vectorial y aplicaciones.

I.8. Ecuaciones: vectorial, paramtrica y simtrica de la recta y aplicaciones.

I.8.1. Distancia de un punto a una recta.

I.9. Ecuacin de un plano, aplicaciones vectoriales.

I.9.1. Ecuacin de un plano, en funcin de uno de sus puntos y su vector normal.

I.9.2. Ecuacin de un plano, dados tres puntos.

I.9.3. ngulo entre planos.

I.9.4. Distancia a planos.

UNIDAD TEMTICA II: DIFERENCIACIN DE FUNCIONES VECTORIALES.II.1. Definicin de una funcin vectorial de una variable.

II.1.1. Grfica de funciones vectoriales en el plano y en el espacio.

II.2. Derivacin de una funcin vectorial o definicin de funciones

derivadas.

II.2.1. Derivadas de orden superior.

II.2.2. Funciones vectoriales para la velocidad y la aceleracin, como funciones derivadas.

II.2.3. Vectores unitarios: tangencial y norma. Ilustracin grfica.

II.3. Definicin de funcin vectorial de varias variables. (opcional)

II.3.1. Grfica de una funcin de dos variables independientes.

II.3.2. Curvas de nivel y aplicaciones.

II.3.3. Grfica de una funcin de tres variables independientes.

Superficies de nivel.

II.4. Derivas parciales y derivadas parciales de orden superior.

II.4.1. Aplicaciones.

II.5. Diferenciacin de funciones vectoriales. (opcional) II.5.1. Ilustrar diferenciales de lnea y de superficie.

II.6. Operador Nabla.

II.6.1. Definicin de campo vectorial.

II.6.2. Definicin diferencial del operador Nabla.

II.6.3. Gradiente de una funcin vectorial y aplicaciones.

II.6.4. Divergencia de una funcin escalar y aplicaciones.

II.6.5. Rotacional de una funcin vectorial y aplicaciones.UNIDAD TEMTICA III: INTEGRACIN DE FUNCIONES VECTORIALES.

III.1. Integracin de funciones vectoriales aplicando

Integracin de funciones de variable real.

III.2. Integracin de funciones vectoriales sobre trayectorias

Integrables (integral de lnea).

III.3. Coordenadas curvilneas.

BIBLIOGRAFA:Larson, Hostetler y Edwards, Clculo Esencial, Ed. Cengage Learning Editores, Mxico, 2010, ISBN-13: 978-0-618-87918-2.Thomas, Clculo varias variables, Decimosegunda edicin Ed. PEARSON, Mxico, 2010, ISBN: 978-607-32-0209-1.

Anton, Clculo multivariable, 2a edicin Limusa Wiley, Mxico, 2009, ISBN: 978-607-05-0119-7.

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz y Denis Spellman, Anlisis Vectorial 2a edicin Mc Graw Hill, Mxico, 2011, ISBN: 978-607-15-0550-7 (ISBN edicin anterior: 970-10-2096-0).UNIDAD TEMTICA I: ALGEBRA DE CANTIDADES VECTORIALES. UNIDAD DE COMPETENCIA: Aplica las cantidades vectoriales y su notacin analtica, representndolas geomtricamente mediante la comparacin de las cantidades vectoriales y con operaciones entre ellas en la solucin de problemas geomtricos y fsicos.I.1. Introduccin.1.- Represente los puntos siguientes en R2 y determine la distancia entre ellos:

a) A (3. 5), B (-2, 6); b) C (-4, -5), D (7, -8) y c) E (6, 9), F (-2, -2).

2.- Represente los puntos siguientes en R3, determine la distancia entre:

a) A (4. 3, 5), B (-3, 8, -2); b) C (5, -5, 5), D (6, -4, -3) y

c) E (5, 8, 10), F (-5, -3, 6).

3.- Realiza la grfica de cada una de las siguientes funciones:

a) y = x, b) x =-5, c) y = 5, d) , e) , f) , g) y = x2, h) x2 + y2 = 4, i) 9x2 + 4y2 = 100 y j) .

I.2. Definicin de escalar y ejemplos de cantidades fsicas escalares.

I.3. Definicin de vector, su representacin geomtrica y ejemplos de

cantidades fsicas vectoriales.

I.4. Sistemas de referencia, representacin geomtrica y analtica de un vector (componentes rectangulares).

I.5. Definicin de vector unitario

I.6. Sistemas de vectores (Clasificacin).

I.7. Operaciones del Algebra vectorial.

1.- Mencione todos los vectores iguales en el paralelogramo mostrado.

2.- Escriba cada combinacin de vectores como un solo vector:

a) , b) , c) y d) .

3.- Utilice la figura correspondiente para trazar el vector indicado:

a) , b) , c) y d)

4.- En el caso de los dos vectores y indicados en la figura obtenga geomtricamente:

a) +

b) -

c) 2 +

d) -

e) 2 -

.5.- En cada inciso realiza la suma de vectores por el mtodo analtico de las componentes rectangulares:

a) b)c)

6.- Dibuje los siguientes vectores en R2:a) , b) .7.- Dibuje los siguientes vectores en R3:

a) , b) y c)

8.- Dados los vectores y hallar los mdulos de: a) , b) y c)

9.- Encuentre las componentes del vector unitario en la direccin de la diagonal que se muestra en la figura: || = 1

10.- Realiza con los vectores que se proporcionan en cada uno de los siguientes casos:

a) , y .

b) , y .

c) , y .

11.- Como se muestra en las figuras, encuentre las componentes del vector y trace al vector con su punto inicial en el origen:

a) b)

12.- Obtenga el vector , grafquelo y determine su vector de posicin correspondiente: a) P1 (4, 5, 2), P2 (2, 0, 1); b) P1 (6, -4, -2), P2 (-3,-6. 7); c) P1 (0, 3, 5), P2 (-2, 4,-4) y d) P1 (5, 0, 2), P2 (-6, 3, 2).

13.- En cada uno de los incisos, determina: un vector unitario en la direccin del vector y un vector unitario en direccin opuesta al vector : a) , b) y c) .

14.- Sean los vectores y , determina un vector unitario que tenga la misma direccin del vector indicado: a) , b) , c) y d) .

15.- Determina, de manera analtica, cules de los siguientes vectores son paralelos a .

a) , b) , c) , d) , e) y f)

16.- Siendo halla: a) , b) ||, c) || y d) un vector unitario con la direccin y sentido del vector .

17.- Se da el vector y su punto inicial (u origen del vector), encuentra el punto final.

a) punto inicial:

b) punto inicial:

18.- Si

EMBED Equation.DSMT4 & Determina el vector y grafcalo en cada uno de los siguientes casos:

a) = + 2 b) = /6 y c) 2 - + 2 =

19.- Si

EMBED Equation.DSMT4 y Obtn los escalares a y b tales que: a) y b)

20.- En cada caso obtenga un vector:

a) de magnitud 3 en direccin opuesta a la direccin de

b) en la direccin opuesta de , pero que tenga de su magnitud.

21.- Usa vectores para encontrar el punto que se encuentra a dos tercios del camino de P a Q: a) P (4,3,0), Q (1,-3,3) y b) P(5,3,4), Q (2,-3,-4).

22.- Si se sabe que los vectores y forman los lados adyacentes de un paralelogramo, construye los lados de sus diagonales.

23- Dados los vectores y que son las diagonales de un paralelogramo, construye y expresa a los vectores que forman sus lados.

24.- Los puntos: P(-1,4), Q(3,0), R(2,-4), y S(-1,-3) definen un cuadriltero en un plano cartesiano, calcula: los vectores que definen a sus lados; los vectores de los puntos medios de sus lados; los vectores que unen los puntos medios de cada lado y; observa si estos ltimos forman un paralelogramo.

25.- Dados los vectores y comprueba que si y solo si son perpendiculares.

26.- El vector de posicin para un protn es inicialmente y luego es todo en metros. (a) Determina el vector desde la posicin inicial hasta la posicin final del protn? (b) A qu plano es paralelo el vector?

27.- Una semilla de sanda tiene las siguientes coordenadas: (-6,9,0)m. Encuentre su vector de posicin:

a) En notacin cartesiana (vectores unitarios).

b) Qu magnitud tiene este vector?

c) Cul es el ngulo director, es decir, el ngulo medido desde el eje x positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj?

d) Si la semilla se desplaza a las coordenadas xyz (3, 0, 0)m, cul es el desplazamiento en notacin de vector unitario y en notacin polar?

e) Realice un grfico del movimiento de la semilla colocando a los vectores correspondientes en la notacin polar.

28.- Se conduce un automvil al Este una distancia de 54 km, luego al Norte una distancia de 32 km y finalmente 27 km en la direccin 28 al Este del Norte. Trace un diagrama vectorial y determine el desplazamiento total del automvil desde el punto de partida.

I.7.7. Producto escalar o punto, caractersticas, propiedades (conmutativa y distributiva) y aplicaciones. 1.- Dados los vectores , y . Determina el escalar indicado: (a) , (b) , (c) , (d) , (e) , f) y g) .2.- Siendo , determine y qu se relacin tiene el resultado con el vector .

3.- Halla el ngulo formado entre los vectores de cada inciso:

a)

EMBED Equation.DSMT4 b)

EMBED Equation.DSMT4 y

c)

4.- Dados los vectores:

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 y Determina los ngulos que forman entre cada par de ellos.

5.- Determina el escalar m de manera que el ngulo entre y sea de 45.

6.- Prueba si los siguientes vectores pueden ser los lados de un tringulo y calcula la longitud de sus medianas: y

7.- Halla el valor de m de forma que: y sean perpendiculares.

8.- Considerando que los vectores indicados en cada inciso, son perpendiculares entre s, encuentra el valor de m, respectivamente: a) y y b) y . 9.- Halla un vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector:

10.- Dos lados de un tringulo son los vectores y Halla:

a) su permetro.

b) sus ngulos internos.

11.- Verifica que los siguientes vectores son unitarios y mutuamente perpendiculares entre s:

y

12.- Cules de los siguientes vectores, de cada inciso, son paralelos perpendiculares entre s?

a) .b)

13.- Determina y verifica cuales de los siguientes vectores son paralelos entre s (o antiparalelos, segn sea el caso):

y

14.- Sabiendo que los vectores: y son vectores unitarios contenidos en el plano xy & forman ngulos: y con el semieje x positivo. Con y , mediante la aplicacin del producto punto entre los vectores, muestra que:

15.- De las siguientes figuras, (a) expresa el vector mediante sus componentes, (b) determina la magnitud del vector , (c) sus cosenos directores y (d) halla el vector unitario en la direccin de .

16.- Determina un vector unitario que forme un ngulo de 450 con el vector representado por y un ngulo de 600 con el vector

17.- Dados los vectores: & Encuentra:

a) , b) la magnitud de QUOTE

y c) el ngulo que forman entre s, por estos vectores.

18.- Si y Halla: a) b) | || |, c) | | y d)

19.- Halla el trabajo realizado por la fuerza , en al desplazar un slido puntual a lo largo del vector

20.- Halla el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por (-8,7,-3) y (6,4,-8) en el campo de fuerza dado por .

21.- Halla la magnitud de la proyeccin en cada inciso:

a) del vector sobre el vector

b) del vector sobre el vector

c) del vector sobre el vector

d) del vector sobre la recta que pasa por los puntos (2,4,-2) y (-4,-6,4).

22.- Halla la proyeccin en cada inciso:

a) del vector sobre el vector

b) del vector sobre el vector

c) del vector sobre el vector

d) del vector sobre la recta que pasa por los puntos (2,4,-2) y (-4,6,4).

23.- Sean y , Determina el vector indicado:

a) y b) .I.7.8. Producto vectorial, cruz o externo, caractersticas, aplicaciones y propiedades: no conmutativa y distributiva.

1.- Determina y en cada inciso:

a) , b) y c) .

2.- Dados halla: a) , b) y c)

3.- En cada inciso, determina un vector unitario que sea perpendicular a ambos:

a) y y b) y

4.- En cada inciso, determina el rea tanto del paralelogramo o el tringulo que forman los vectores: (a) y (b) y .

5.- Los puntos PQ& Rrepresentan los vrtices de un tringulo. Determina el rea de dicho tringulo, considerando que las coordenadas que indican los puntos estn medidas en metros.

6.- Halla el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos:

a)

EMBED Equation.DSMT4 y

b) y

c)

EMBED Equation.DSMT4 y

d) y

7.- Determina el rea del paralelogramo cuyas diagonales estn dadas por los vectores: y

8.- Determina: a) b) y, c) el ngulo entre y d) el vector proy

EMBED Equation.DSMT4

e) vector proy

EMBED Equation.DSMT4 f) y g)

, para cada uno de los siguientes incisos:

a)

b)

c)

d)

9.- Determina la torca efectuada por la fuerza sobre un cuerpo rgido cuyo centro de momentos se localiza en el origen, si se aplica en el extremo del vector de posicin Siendo la torca:

10.- Determina la torca que produce una fuerza aplicada a un cuerpo irregular cuyo centro de momentos se localiza en el origen, si dicha fuerza es aplicada en uno de los puntos del cuerpo que coincide en el punto (-6,7,-4). Siendo la torca:

I.7.9. Triples productos entre vectores.

1.-Realice el triple producto escalar y triple producto vectorial [ y ] con los siguientes vectores dados:

a) , y .b) , y .2.- Halla el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son los vectores:

a) y

b) , y .

3.- Halla el volumen del paraleleppedo cuyos vrtices son:

a) (0,0,0), (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1).

b) (2,0,5), (5,0,5), (2,5,6), (5,5,6).

c) (0,0,0), (1,1,0), (1,0,2), (0,1,1).

d) (2,1,2), (1,1,3), (1,2,1), 2,2,3).

4.- Considerando que los vectores:

EMBED Equation.DSMT4 & estn en el mismo plano, determina el valor del escalar m.

5.- Halla el valor de la constante a de forma que los vectores: y sean coplanarios, es decir, estn simultneamente en un mismo plano.

6.- Sean los vectores

EMBED Equation.DSMT4 y Realiza la operacin indicada en cada uno de los incisos:

a)b) , c) d) e) y

f) la direccin de

7.- Sean

EMBED Equation.DSMT4 y Determina los resultados de las siguientes operaciones: a) b) c) d) y e)

8.- Para tres vectores cualesquiera: y prueba que:

9.- Dados los vectores:

EMBED Equation.DSMT4 y . Verifica que:

&

I.8. Ecuaciones: vectorial, paramtrica y simtrica de la recta y aplicaciones.

1.- Halla la ecuacin de la lnea recta que pasa por el punto A (4,-2,1) y es paralela al vector de posicin del punto B(3,1,0).

2.- Obtn las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto P (3,-4,-1) y que es paralela al vector

3.- Obtn la ecuacin de la recta que:

a) pasa por el punto Py es paralela a la recta:

b) pasa por el punto Q (0,-7,0) y es perpendicular al plano x+2y+2z = 13.

c) pasa por el punto R (2,3,0) y es perpendicular a los vectores: y

4.- Considerando que una lnea recta tiene al punto representado por el vector de posicin

y es paralela al vector Verifica que tiene por ecuacin:

5.- Determina la funcin vectorial que representa la lnea recta que pasa por los puntos: A y B e indica sus ecuaciones paramtricas.6.- Muestra que la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos: P & Q se puede representar como:

7.- Halla la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos: A (4,-2,1) y B (3,1,0).

8.- Determina la ecuacin de la recta que pasa por los extremos de los vectores:

a) y

b) y

9.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por: a) (2,3,0) y es perpendicular a los vectores: y

10.- Encuentra la distancia del punto Q (5,3,6) a la recta que pasa por los puntos: A (-2,2,1) y B (3,2,1).

11.- Calcula la distancia del punto a la recta que se indica en cada inciso:

a) A (2,1,3) a la recta , &

b) a la recta , &

12.- Encuentra la distancia del punto P (4,0,2) a la lnea recta que pasa por los puntos: A (-2,2-1) & B (3,2,1).

I.9. Ecuacin de un plano, aplicaciones vectoriales.

1.- Halla la ecuacin del plano formado por los puntos y

2.- Halla la ecuacin del plano que contiene a los vectores y y que pasa por el punto

3.- Halla la ecuacin del plano que es perpendicular al vector y que pasa por el origen.

4.- Halla la ecuacin del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector de posicin

5.- Obtn la ecuacin del plano que:

a) Pasa por el punto de coordenadas y es normal al vector b) Pasa por el punto y es perpendicular al vector que va del origen hasta el punto A.

c) Determinado por las rectas:

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 &

EMBED Equation.DSMT4

d) pasa por el punto B y es perpendicular a la lnea de interseccin de los planos:,

6.- Calcula la distancia del punto al plano formado por los puntos:

EMBED Equation.DSMT4 y .

7.- Los vectores de posicin de los puntos P, Q y R son los siguientes vectores correspondientemente: y Determina la distancia del punto P al plano OQR.

8.- Calcula la distancia del punto al plano que se indica en cada inciso:

a) (0, 1, 1) al plano 4y + 3z = -12.

b) (2, -3, 4) al plano x + 2y + 2z = 13.

c) (1, 5, -4) al plano 3x y + 2z = 6.

9.- Calcula los ngulos que forman los planos siguientes:

a)

EMBED Equation.DSMT4 y b)

EMBED Equation.DSMT4 10.- Determina si los planos son paralelos, ortogonales o sin ninguna de las relaciones anteriores. Si no son paralelos u ortogonales, encuentre el ngulo de interseccin:

a) 5x -3y - 4z = 3; x + 4y + 7z = 1.

b) 3x + y +z = 4; -9x - 3y + 12z = 4.

c) x - 3y + 6z = 4; 5x + y - z = 4.

d) x - 5y - z = 1; 5x - 25y - 5z = -3.

UNIDAD TEMTICA II: DIFERENCIACIN DE FUNCIONES VECTORIALES.

UNIDAD DE COMPETENCIA: Aplica las funciones vectoriales y sus funciones derivadas utilizando sus propiedades geomtricas y algebraicas en la solucin de problemas de la geometra espacial y de la Fsica.II.1. Definicin de funcin vectorial de una variable.

1.- Trace la curva en el plano representada por la funcin vectorial correspondiente a cada inciso:

a)

b)

c) 0 t 2.

d) 0 t 2.

e) 0 t 2.

f)

2.- Trace la curva en el espacio representada por la funcin vectorial correspondiente a cada inciso:

a)

b) 0 t 4

4.- Representa a la parbola y = x2 + 1 mediante una funcin vectorial, tomando como ecuacin paramtrica x = t y trace la curva.

5.- Representa a la circunferencia x2 + y2 = 1 mediante una funcin vectorial, tomando como ecuaciones paramtricas x = cost & y = sent y trace la curva.

II.2. Derivacin de una funcin vectorial o definicin de funciones derivadas.

1.- Calcula la derivada de las siguientes funciones vectoriales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2.-Sea el vector , determina:

,||, ||.

3.- Para el vector determina:

a) b) , c) y d) .

4.- Verifica si el vector es una solucin de la ecuacin:

5.- Dados los vectores y , halla:

y

6.- Dados los vectores y , halla:

y

7.- Si se tiene y calcula en t = 1:

8.- Si halla:

9.- Dada la funcin vectorial , encuentra: a) y b) 10.- Una partcula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = e-t, y = 2cos 3t y z = 2sen 3t. Determina: la velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.

11.- Si es la posicin de una partcula en el espacio en el instante t. Obtenga el ngulo entre los vectores de velocidad y aceleracin en el instante t = 0:

12.- Si es la posicin de una partcula en el plano xy en el instante t. Determina los vectores velocidad y aceleracin de la partcula en el valor dado para t, en cada inciso:

13.- Halla la velocidad, la rapidez y la aceleracin de una partcula que se mueve a lo largo de la curva C en el plano y y que est descrita por:

14.- Traza la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de una curva en el plano que est dada por: y encuentre la velocidad y aceleracin cuando t = 0 y cuando t =2.

15.- Calcula el vector unitario tangente a la curva, cuya funcin de posicin es:

16.- Halla un vector unitario tangente a la curva dada por:

a) para t = 1, trace un segmento de la parbola.

b) trace un segmento de la hlice.

17.- (a) Halla el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva x = t2 + 1, y = 4t -3, z = 2t2 6t. (b) Halla el vector tangente unitario en el punto correspondiente al instante t = 2.

18.- Halla el vector unitario normal principal a la curva:

(a) para t = 1. (b)

II.3. Definicin de funcin vectorial de varias variables. (opcional)

II.4. Derivas parciales y derivadas parciales de orden superior.

II.5. Diferenciacin de funciones vectoriales.

1- Sea:

2.- Halla la ecuacin del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 en el punto P (1,-1,2).

3.- Dados los vectores: Determina:

4- Sea halla:

5.- Halla las pendientes, en las direcciones x y y, de una superficie, expresada por una funcin escalar:

6.- Si (x, y, z) = xy2z y , halla: en el punto (2, -1, 1).

7.- Sea Encuentre:

a) b) c) d) e) y f) .

8.- Si (x,y,z) = x2yz y que Encuentre en el punto (2,-1,1)II.6. Operador Nabla.

II.6.1. Definicin de campo vectorial.

II.6.2. Definicin diferencial del operador Nabla.

II.6.3. Gradiente de una funcin vectorial y aplicaciones.

II.6.4. Divergencia de una funcin escalar y aplicaciones. II.6.5. Rotacional de una funcin vectorial y aplicaciones.

1.- Siendo = 3x2y y3z2, hallaen el punto (1,-2,-1).

2. Sean y . a)

QUOTE

en punto (0,2) y (b) 3. Siendo halla en (-1, 2, 1): (a) y (b) ||.

4.- Siendo = 2xz4 x2y, halla: (a) y (b) || en el punto (2, -2, -1)

5.- Halla un vector unitario normal a la superficie x2y + 2xz = 4 en el punto (2,-2,3).

6.- Halla la ecuacin del plano tangente a la superficie:

2xz2 3xy 4x = 7 en el punto (1,-1,2).

7.- Halla el ngulo agudo formado entre las superficies xy2z = 3x + z2 & 3x2 y2 +2z = 1 en el punto (1,-2,1).

8.- Halla la derivada direccional de = x2yz + 4xz2 en el punto (1,-2,-1) en la direccin y sentido de

9.- Halla la derivada direccional de = 3x2 2y2 en el punto (-3/4, 0) en la direccin de P (-3/4, 0) a Q (0, 1).

10. Siendo y halla en el punto (1, 0, -2): y .11.- Siendo , (div. ) en el punto (1,-1,1).

12. Si y , calcula en el punto (1,-1,1):

(a) , (b) , (c) y (d)

13.- Si (o rot ) en el punto (1,-1,1).

14.- Si y calcula: (a) y (b) .

15.- Sean y

QUOTE

= xyz. Calcula: (a) y b)

16.- Siendo y halla en el punto (1,-1,1): (a) y (b)

17.- Siendo, y = 2x2yz3, hallar: , , y

18.- Siendo = 2x3y2z4, hallar (div. grad ).

19.- Siendo , hallar , es decir rot rot.UNIDAD TEMTICA III: INTEGRACIN DE FUNCIONES VECTORIALES.

UNIDAD DE COMPETENCIA: Aplica las funciones integrales de una funcin vectorial utilizando los mtodos de integracin para la resolucin de problemas espaciales con aplicaciones en la Fsica.III.1. Integracin de funciones vectoriales aplicando integracin de funciones de variable real.

1.- Siendo:a) .

b)

c)

d)

e)

f)

2.- Halla

3.- Halla

4.- Dados

5.- Sean halla: a)

b)

6.- Sean halla: a)

b)

7.- La aceleracin de una partcula en funcin del tiempo t 0 viene dada por:

Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en t = 0, halla y en funcin del tiempo (Ley de velocidades y de espacios).8.- La aceleracin de una partcula en funcin del tiempo t 0 viene dada por:

Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en t = 0, halla y en funcin del tiempo (Ley de velocidades y de espacios).9.- La aceleracin de una partcula en cualquier instante t 0 est dada por: Si en t = 0 el desplazamiento es y la velocidad es halla y en un instante t cualquiera.

10.- La aceleracin de un objeto en funcin del tiempo viene dada por: siendo g una constante. Sabiendo que en el instante inicial t = 0, la velocidad es y que el desplazamiento halla y en funcin del tiempo t> 0. Este caso corresponde al lanzamiento de un proyectil, lanzado por una pieza de artillera con un ngulo de elevacin 0 y una velocidad inicial v0.11.- La aceleracin de una partcula en cualquier instante t 0 est dada por: Si en t = 0 el desplazamiento es y la velocidad es hallar y en un instante t cualquiera.

III.2. Integracin de funciones vectoriales sobre trayectorias integrables (integral de lnea).

1.- Calcular las siguientes integrales de lneaen el plano xy, en donde representa un campo de fuerzas y C es la trayectoria:a) C: y = 2x2, desde el punto (0,0) hasta el punto (1,2).

b) C: 0 t 1.

c) C: y = x3, desde el punto (0,0) hasta el punto (2,8).

d) C: x = cos3t, y = sen3t, desde el punto (1,0) hasta el punto (0,1).

e) C: y = desde el punto (2,0) hasta el punto (-2,0).

2.- Calcula la integral de lneasiendo:

C: y = 3x2, z = 0 desde el punto (0,0,0) hasta el punto (1,12,0).

3.- Calcule:a) C: y2 = x3, desde el punto (1,-1) hasta el punto (1,1).

b) C: y = x2, desde el punto (3,9) hasta el punto (0,0).

c) donde C es el segmento de recta de (1 , 1) a (3 , 5)

4.- Hallar el trabajo realizado para dar una vuelta a una partcula alrededor de una circunferencia en el plano xy, cuyo centro es el origen, sabiendo que el campo de fuerzas correspondiente es

Considera como ecuaciones paramtricas de la circunferencia a x = 3cost, y = 3sent en las que t varia de 0 a 2. Como se ve en la figura.

5.- Siendo desde (0,0,0) a (1,1,1) a lo largo de las siguientes trayectorias:

a) x = t, y = t2, z = t3.

b) Las rectas que unen el punto (0,0,0) con (1,0,0), y el (1,1,0) con el (1,1,1).

c) la recta que une los puntos (0,0,0) y (1,1,1).

6.- Siendo hallar a lo largo del tringulo C de la figura (a) en el sentido indicado, (b) en sentido contrario al anterior.

7.- Sea halla a lo largo de la trayectoria cerrada, mostrada en la figura.

8.- Halla a lo largo de la curva cerrada C de la figura, sabiendo que

III.3. Coordenadas curvilneas.

1.- Dada la siguiente convencin, convierte puntos que se dan a continuacin como se indica:

a) De coordenadas rectangulares, a coordenadas cilndricas y a coordenadas esfricas.

P

Q

R .

b) De coordenadas cilndricas a coordenadas rectangulares y a coordenadas esfricas.

S

T

U .c) De coordenadas esfricas a coordenadas rectangulares y a coordenadas cilndricas.

a) .

b)

c) .2.- Expresar en coordenadas esfricas los lugares geomtricos siguientes:

a) Esfera x2 + y2 + z2 = 9.

b) Cono z2 = 3(x2 + y2).

c) Paraboloide z = x2 + y2.

d) Plano z = 0.

e) Plano y = 0.

3.- (a) Halla los vectores unitarios del sistema de coordenadas esfricas en funcin de (b) Expresar en funcin de

4.- Representar en coordenadas esfricas al vector y hallar las componentes

ACADEMIAS DE FSICA

Marzo 2015

PROBLEMARIO

Z

X

Y

CLCULO VECTORIAL

INSTITUTO POLTECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERA Y CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

CONTENIDO TEMTICO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

CLCULO VECTORIAL

P

Q

R

S

TA

C

D

E

B

A

a

b

a

c

b

y

x

50

30

6

6

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

y

x

15

20

80

50

40

30

50

65

70

40

20

25

y

x

y

x

40

30

20

15

10

75

y

x

z

v

y

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

y

x

(6, 7)

(1, 5)

5

6

4

3

2

(2, 1)

1

-1

2

1

x

7

5

6

4

3

(6, -2)

-2

(4,2,1)

(2,4,3)

z

y

x

(4,0,2)

(0,5,2)

z

y

x

(2,6,4)

z

y

x

(-3,6,2)

y

x

z

y

t

x

0

y

x

0

(2,0)

(2,1)

y

x

0

y= x2

(2,2)

y = x

y

(1,1)

y2= x

y= x2

x

0

x

y

z

0

r

P(x,y,0)

P (,,)

Coordenadas esfricas de un punto

P (x,y,z)

Q

z

y

x

x

y

z

0

r

z

(r,,0)

P (r,,z)

Coordenadas cilndricas de un punto

r

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