El Problema De Los Tres Cuerpos Restringido O De Euler.

Leonardo Lopez Hernandez.Fsica Computacional.

Laboratorio De Ensenanza En Computo En Fsica.

Abstract

Se estudia el problema de los tres cuerpos restringido o de Euler. Se plantean las ecuaciones del sistemautilizando la formulacion de Hamilton-Lagrange, dichas ecuaciones se resuelven numericamente por elmetodo de Runge-Kutta de orden cuatro, encontrando con ello las trayectorias que describe una pariculalocalizada en algun punto del espacio en presencia de dos masas relativamente grandes en comparacion conla partcula anterior.

1. Introduccion

Uno los problemas que mas ha inquietado a fsicosy matematicos es el problema de los tres cuerpos.Tiene su origen en la ley de gravitacion universal yla segunda ley de Newton, la primera dicta que doscuerpos espaciados interactuan mediante una fuerzaproporcional al producto de sus masas e inversa-mente proporcinal al cuadrado de sus distancias,la segunda estipula que, dada una fuerza sobre uncuerpo, esta produce aceleracion sobre el mismo.

Dado esto, el problema de los tres cuerpos consisteen determinar las posiciones espaciales de trescuerpos en cualquier instante dadas sus posicionesy velocidades iniciales, considerando que entretales cuerpos solo hay interaccion gravitacional yademas, que la aceleracion producida por la fuerzade interaccion es igual a la derivada de la velocidad.

La solucion a este problema es muy complica-da, sin embargo, existen planteamientos massimples, por ejemplo, el problema de Euler, el cualse basa en colocar dos masas relativamente grandes,fijas en una posicion y otra masa de magnitudpequena comparada a las anteriores con libertadde moverse, el problema consiste entonces, endeterminar las posiciones y velocidades a cualquiertiempo de la partcula que se mueve libremente.

Las consideraciones anteriores reducen el siste-ma de 6 ecuaciones diferenciales de segundo ordenno lineales a solamente 2, lo cual simplifica loscalculos.

2. Marco Teorico

2.1. El Problema De Euler.

Considerese el problema de los tres cuerposrestringido o de Euler, esto es, dos masas fijasespaciadas una distancia d, por comodidad coloca-das sobre el eje x y con el origen en una de ellas;ademas, una tercera masa pequena en una posicionarbitraria como en la figura.

Figura 1: Configuracion de las masas.

Considerese ademas que la unica interaccion entrelas tres masas es del tipo gravitatorio. Las masasm1 y m2 se suponen fijas en su posicion, as que,la unica masa que se puede mover debido a lapresencia de las otras dos es m.

Es necesario encontrar las ecuaciones de movi-miento en coordenadas cartesianas que caracterizanel sistema, utilizando la formulacion de Hamilton-Lagrange [?].

1

Para ello notese que el Lagrangiano del sistemaesta dado por:

L = T V (1)Mientras que el Hamiltoniano del sistema ser encoordenas cartesianas:

H = xPx + yPy L (2)

La energa cinetica del sistema es solamente laenerga de la masa m, la cual esta dada por:

T =1

2m(x2 + y2) (3)

La energa potencial del sistema es solamente laenerga potencial de la masa m, esta a su vez es lasuma de la energa potencial debido a la fuerza sobrem por efecto de la masa m1 y la masa m2, considere-se primero, la contribucion de m y m1. De la figurapuede verse que la energa potencial asociada al sis-tema m,m1 es:

V1 = Gmm1x2 + y2

(4)

Donde G es la constante de gravitacion universal,cuyo valor es G = 6,693x1011 m

3

kgs2 ; Ahora, la con-tribucion al potencial del sistema m,m2 puede en-contrarse como sigue: la masa m, esta a una distan-cia radial dada por

x22 + y

22, donde x2 = x d y

y2 = y, por tanto se escribe la energa potencial deeste subsistema como:

V2 = Gmm2(x d)2 + y2 (5)

La energa potencial total esta dada por la suma deV1 y V2, de tal forma que:

V = Gmm1x2 + y2

Gmm2(x d)2 + y2 (6)

Por tanto el Lagrangiano del sistema se escribe como:

L =1

2m(x2+y2)+

Gmm1x2 + y2

+Gmm2

(x d)2 + y2 (7)

Los momentos generalizados en x y en y estan dadospor:

Px =L

x(8)

Py =L

y(9)

Realizando los calculos se obtiene que:

Px = mx (10)

Py = my (11)

Introduciendo lo anterior en la ecuacion (2) se es-cribe finalmente el Hamiltoniano del sistema como:

H =P 2x2m

+P 2y2m Gmm1

x2 + y2 Gmm2

(x d)2 + y2 (12)

Notese que este Hamiltoniano tiene la formade H = T +V , por lo cual el sistema es conservativo.

Tomando la expresion del Lagrangiano (eq.7),se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrangepara x y para y, utilizando la expresion

d

dt(L

q1) L

qi(13)

Haciendo calculos se tienen las siguientes dos ecua-ciones diferenciales de orden dos, no lineales y aco-pladas:

d2xdt2

= Gm1(x2+y2)3/2

x Gm2((xd)2+y2)3/2 (x d)

d2ydt2

= Gm1(x2+y2)3/2

y Gm2((xd)2+y2)3/2 y

(14)

Estas ecuaciones se resolveran utilizando el metodode RungeKutta de orden cuatro.

2.2. Metodo de Runge-Kutta de ordencuatro. [?][?]

Uno de los metodos numericos mas utilizadospara la resolucion de ecuaciones diferenciales es elmetodo de Runge-Kutta de orden cuatro.

Este metodo consiste en aproximar la soluciony(t) de una ecuacion diferencial dada a un problemade la forma dydt = f(t, y), para t en el intervalo [a, b],sujeto a la condicion inicial y(a) = .

En forma explcita este metodo consiste en ha-cer la division del intervalo temporal y para cadapunto obtenido hacer las iteraciones de acuerdo a losiguiente:

2

0 =

K1 = hf(ti, i)

K2 = hf(ti +h2 , i +

12K1)

K3 = hf(ti +h2 , i +

12K2)

K4 = hf(ti+1, i +K3)

i+1 = i +16(K1 + 2K2 + 2K3 +K4)

(15)

Para cada i = 0, 1, . . . , n 1. La notacion deKi se introduce para prescindir de las anidacionessucesivas en la segunda variable de f(t, y).

2.2.1. Metodo de Runge-Kutta de ordencuatro para un sistemas de ecuacio-nes. [?]

Un sistema de ecuaciones de orden p, sujetas a pcondiciones iniciales puede expresarse como:

du1dt = f1(t, u1, u2, . . . , up)du2dt = f1(t, u1, u2, . . . , up)

. . . . = . . . .

. . . . = . . . .

. . . . = . . . .dupdt = f1(t, u1, u2, . . . , up)

(16)

u1(a) = 1

u2(a) = 2

... . . . = ... . . .

... . . . = ... . . .

... . . . = ... . . .

up(a) = p

(17)

Para t [a, b]. Dado un entero n, la particiondel intervalo [a, b] esta dada por tj = a + jh, paraj = 1, 2, . . . , n; mientras que las aproximacionespara ui(tj) seran dadas por i,j .

Extendiendo el metodo a p ecuaciones se tendra en-tonces que:

1,0(a) = 1

2,0(a) = 2

... . . . = ... . . .

... . . . = ... . . .

... . . . = ... . . .

p,0(a) = p

(18)

K1,j = hfi(tj , 1,j , 2,j , . . . , p,j)

K2,i = hfi(tj +h2 , 1,j +

12K1,1, . . . , p,j +

12K1,p)

K3,i = hfi(tj +h2 , 1,j +

12K2,1, . . . , p,j +

12K2,p)

K4,i = hfi(tj + h, 1,j +K3,1, . . . , p,j +K3,m)

i,j+1 = i,j +16(K1,i + 2K2,i + 2K3,i +K4,i)

(19)

Para i = 1, 2, . . . , p.

3. Desarrollo

Para trabajar de forma mas comoda es necesariohacer unos ajustes a las ecuaciones a resolver (eq.13); para ello considerese establecer un sistema enel cual se eviten numeros muy grandes o demasiadopequeos.

Tomese tal sistema como el sistema en dondelas distancias se midan en unidades astronomicas yel tiempo en unidades de aos. Ademas, es necesasiollevar a cabo un reescalamiento para evitar numerosdemasiado pequeos como G, para ello consiedeseun cambio de variable en el lagrangiano, de talforma que x

=Lx, y=y y t

= tP , donde L es el semieje

mayor de la orbita de m2 a m1 (o viceversa),y P es el periodo que tarda en completar unaorbita; supongase ademas, que se cumple la relacionm2 = m1, entonces se tiene que:

El conjunto de ecuaciones (13), se resolvieron uti-lizando el metodo de Runge-Kutta,con p = 2, ha-ciendo G igual a 1, con el argumento de que losresultados seran semejantes, solo que mas grandes,utilizando un sencillo cambio de notacion, u1 = x,u2 = y, u3 = Px y u4 = Py, con lo cual se tiene el

3

siguiente sistema de ecuaciones:u1 =

u3m

u2 =u4m

u3 = mm1u1(u21+u22)(3/2) mm2(u1d)

((u1d)2+u22)(3/2)u3 = mm1u2(u21+u22)(3/2)

mm2u2((u1d)2+u22)(3/2)

(20)

Se implemento el programa Euler.f90 en len-guaje fortran90, el codigo es el siguiente:

program Euler

!este programa resuelve el sistema de cuatro ecuaciones dife-renciales!del problema de los tres cuerpos de Euler, no lineales y acopladas!sujeto a las condiciones iniciales y10 y y20 para las posiciones,!y30 y y04 para las velocidades.

implicit none

!definicion de variables realesreal (8) :: x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34real (8) :: x41, x42, x43, x44, f, g, u, v, t, a, b, h, d, Px, Pyreal (8) :: w1, w2, w3, w4, y10, y20, y30, y40, m1, m2, alphareal, parameter :: pi=3.14159integer :: i, n

!descripcion del programaprint*, print*, El Problema De Los Tres Cuerpos De Euler print*, print*print*, Este programa resuelve el problema de losprint*, tres cuerpos de Euler, dada una de lasprint*, masas como multiplo de la otra m2=alpha*m1print*, dadas las posiciones y velocidades inicialesprint*, de la masa pequena; utilizando el metodoprint*, de Runge-Kutta.

!introduccion de los valores a usarprint*, Da los valores de las masas m1 y m2 read*, m1, m2print*, Da el intervalo de tiempo read*, a, bprint*, Da el numero de divisiones de tu intervalo read*, nprint*, Da las posiciones iniciales de la masa m read*, y10, y20print*, Da las velocidades iniciales de la masa mread*, y30, y40print*, Da la separacion entre m1 y m2 read*, d

!apertura de ficherosopen(unit=1, file=x.dat, status=replace)open(unit=2, file=xprima.dat, status=replace)open(unit=3, file=y.dat, status=replace)open(unit=4, file=yprima.dat, status=replace)open(unit=5, file=txy.dat, status=replace)open(unit=6, file=xy.dat, status=replace)

!definicion de algunos valoresalpha=m1/m2h=(b-a)/nt=a

w1=y10w2=y20w3=y30w4=y40

!inicio del ciclo del algoritmo de Runge-Kuttado i= 1, n

t=a+(i-1)*h

x11=h*f(t,w1,w2,w3,w4)x12=h*g(t,w1,w2,w3,w4)x13=h*u(t,w1,w2,w3,w4)x14=h*v(t,w1,w2,w3,w4)

x21=h*f(t+h/2,w1+x11/2,w2+x12/2,w3+x13/2,w4+x14/2)x22=h*g(t+h/2,w1+x11/2,w2+x12/2,w3+x13/2,w4+x14/2)x23=h*u(t+h/2,w1+x11/2,w2+x12/2,w3+x13/2,w4+x14/2)x24=h*v(t+h/2,w1+x11/2,w2+x12/2,w3+x13/2,w4+x14/2)

x31=h*f(t+h/2,w1+x21/2,w2+x22/2,w3+x23/2,w4+x24/2)x32=h*g(t+h/2,w1+x21/2,w2+x22/2,w3+x23/2,w4+x24/2)x33=h*u(t+h/2,w1+x21/2,w2+x22/2,w3+x23/2,w4+x24/2)x34=h*v(t+h/2,w1+x21/2,w2+x22/2,w3+x23/2,w4+x24/2)

x41=h*f(t+h,w1+x31,w2+x32,w3+x33,w4+x34)x42=h*g(t+h,w1+x31,w2+x32,w3+x33,w4+x34)x43=h*u(t+h,w1+x31,w2+x32,w3+x33,w4+x34)x44=h*v(t+h,w1+x31,w2+x32,w3+x33,w4+x34)

w1=w1+(x11+2*x21+2*x31+x41)/6w2=w2+(x12+2*x22+2*x32+x42)/6w3=w3+(x13+2*x23+2*x33+x43)/6w4=w4+(x14+2*x24+2*x34+x44)/6

!salida en pantalla de los resultadosprint*, La solucion numerica para x, y, xprima y yprima, es: print*, w1, w2, w3, w4

write(1,*) t, w1write(2,*) t, w2write(3,*) t, w3write(4,*) t, w4write(5,*) t, w1, w2write(6,*) w1, w2

end do

print*

!salida de datos en graficas de gnuplotcall system (gnuplot trescuerpos1.gp)callsystem(gnuplottrescuerpos2.gp)callsystem(gnuplottrescuerpos3.gp)callsystem(gnuplottrescuerpos4.gp)callsystem(gnuplottrescuerpos5.gp)callsystem(gnuplottrescuerpos6.gp)

print end program Euler

real(8)functionf(t, x, y, Px, Py)real(8) :: t, x, y, Px, Pyf = Pxend function f

real(8)functiong(t, x, y, Px, Py)real(8) :: t, x, y, Px, Pyg = Pyend function g

real(8)functionu(t, x, y, Px, Py)real(8) :: t, x, y, Px, Pyu=-((4*pi*pi*x/(x**2+y**2)**(3/2))-(4*pi*pi*alpha*(x-d)/(((x-d)**2+y**2)**(3/2))))end function u

real(8)functionv(t, x, y, Px, Py)real(8) :: t, x, y, Px, Pyv=-(4*pi*pi*y/((x**2+y**2)**(3/2)))-(4*pi*pi*alpha*y/(((x-d)**2+y**2)**(3/2)))end function v

Las ecuaciones

4. Resultados.

5. Conclusiones.

Referencias

[1] Classical Dynamics Of Particles And Systems,Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion, Fith

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Edition, Thomson Brooks/Cole 2004.

[2] Analisis Numerico, Richard L. Burden, J. Dou-glas Faires, 7ma. Edicion, Editorial ThomsonLearning, Mexico D.F. 2004.

[3] An Introduction To Computational Physics,Tao Pang, Second Edition, Editorial Cambrige,New York 2006.

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