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PROBLEMAS PROPUESTOS

SISTEMA COORDENADAS

RECTA

01. Determinar la naturaleza del triangulo cuyos vrtices son:

A(2,-2); B(-8,4) y C(5,3). Determinar su rea.

a) Issceles : 34u2 b) Rectngulo: 34u2

c) Escaleno : 21u2 d) Equiltero: 34u2

e) N.A.

02. Si ACBCAB , calcular m + 3n

y

0x

A(-3,4)

B(-3,-2)

C(m,n)

a) 3

b) 2 3

c) 3 3

d) 6

e) 3

03. Desde P(-10,0) se traza una perpendicular a la bisectriz del

segundo cuadrante, hallar las coordenadas de punto de interseccin.

a) (-5,10) b) (-10,10) c) (-10,5)

d) (-5,5) e) (5,5)

04. La distancia de los puntos A y B es 10u y de B y C es 17u.

Calcular la distancia de los puntos A y C. A(-1;1); B(x,9) y C(20,y).

a) 21 697 b) 21 691 c) 22 697

d) 22 691

e)N.A.

05. Un tringulo equiltero tiene dos vrtices con coordenadas (1,4) y (5,0). Hallar su rea

a) 2 3 u2 b) 4 3 u2 c) 6 3 u2

d) 8 3 u2 e) 6 u2

06. Del grfico, calcular el radio

(4,2)

x

y

R

a) 8

b) 10

c) 13

d) 14

e) 18

07. Del grfico, hallar b a, si AB = 10 y AD =5

A

y

37

D(a,y)

C(x,b)

B

a) 1

b) 3

c) 7

d) 17

e) 21

08. De la f igura calcular: tgtg

x

y

53

a) 1,5

b) 1,8

c) 2

d) 2,4

e) 3,3

09. A(-5;-2) y B(4,5) son dos vrtices de un triangulo. El tercer

vrtice c(x,y) es tal que 54AC y 25BC .Determinar

C.

a) (3,2) (-1,-2) b) (3,2) (-1,-10) c) (-3,-2); (1;10)

d) (4,2) (-1,10) e) N.A.

10. Dados los puntos A(2,2) y B(5,-2) encontrar en el eje de las

abscisas el punto M ms cercano al origen tal que el ngulo AMB, sea recto. Indicar la suma de sus coordenadas

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 3

11. Del grafico calcular las coordenadas de A: ABCD es un

cuadrado.

26,5B

D

R

C

5

a) ( 15;35 ) b)

2

15;25 )

c)

2

15;

2

35 d)

2

35;45

e) N.A.

12. Del grfico mostrado, determine la distancia PQ

A(2,3)

B(8,15)

Q(9,7)2n

n

a) 2

b) 5

c) 7

d) 3

e) 8

13. Hallar las coordenadas del punto R sobre el segmento PQ,

tal que: PQPR5

3 , donde P(3,5) y Q(9,-7).

a)

5

11;

5

1 b)

5

11;

5

11 c)

5

11;

5

33

d)

5

12;

5

26 e)

33 12;

5 5

14. Hallar el rea del tringulo AOB de la f igura:3

2

BC

AB

O

x

y

A

B

C(10,6)

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

15. En la f igura mostrada calcule las coordenadas del punto E

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(-3,-1)

(-2,4)(5,8)

n

2n

E

a) (1,2)

b) (3,-2)

c) (6,-3)

d) (6,-1)

e) (-3,6)

16. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado tiene por coordenadas (-6,1) y (1,3). Calcular su rea

a) 19u2 b) 21 c) 53 d) 31 e) 47

17. Tres de los vrtices de un paralelogramo son (-1,6); (2,1) y (4,8). Hallar las coordenadas del cuarto vrtice.

a) (1,13) (7,3) (-3,-1) b) (1,12) (6,-3) (-3,-1)

c) (1,13) (7,-3) (-3,-1) d) (-1,13) (6,4) (-3,1)

e) N.A.

18. En el grafico hallar la distancia entre los centros de los

cuadrados mostrados. Si A(0,14) y B(2,0).

y

x

A

B

a) 130

b) 150

c) 115

d) 3

e) N.A.

19. Calcular las coordenadas del centro del cuadriltero formado

por los puntos medios del cuadriltero cuyos vrtices son los puntos (1,-1); (3,3);(9,5) y (7,-3)

a) (1,1) b) (3,2) c) (5,1)

d) (7,3) e) (4,1)

15. Los vrtices de un tringulo son A(1,1) y B(-5,9) y C(5,4).

Exteriormente y relativo ala lado AB se ubica el punto P y en BC el punto R, tal que RB = 2 . RC.

Hallar la suma de las coordenadas de P. Si APRC es un paralelogramo .

a) b) 1/3 c) 2/3 d) e) N.A.

16. Calcular las coordenadas del incentro del tringulo ABC, A = (0,0), B = (8,0) y C = (4,3)

a) (4,1/3) b) (4,2/3) c) (4,1)

d) (4,4/3) e) (4,1/6)

17. Del grafico uOT 4 y 3TA=AN. Calcular y1.

y

xAT

O N

(12,y )1

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

18. Dados los vrtices consecutivos de un cuadrado : A(0,1);

B(3,5); C(7,2) y D(x,y). Hallar D y la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado.

a) (4,-2); 25 b) (-4, 2); 25 c) (4,-2); 210

d) (-3,1); 25 e) N.A.

19. Hallar la distancia entre el ortocentro y circuncentro del

triangulo ABC, cuyas coordenadas son: A(-6,-4); B(-5,3)

y C(-2,-1).

a) 4

25 b)

2

25 c)

5

26 d)

2

27 e) N.A.

20. Hallar la razn r en que el punto P(x,x+1) divide al

segmento FG, donde F(6,-2) y G(0,0).

a) 4 b) 6 c) 7 d) -9 e) -8

21. Uno de los vrtices de un tringulo es (2,-3) y su baricentro es

el punto (4,1). determinar la longitud de la mediana que parte de dicho vrtice

a) 5 b) 2 5 c) 3 5 d) 6 e) 7

22. En un tringulo rectngulo AOC, recto en O, m AOB = 30 y

A (0,2), calcular la distancia del baricentro de la regin triangular AOB al vrtice B (O es el origen de coordenadas)

a) 2

133

b) 2

33

c) 3

132

d) 1

133

e) 13

23. Determinar el producto de las coordenadas del punto de

interseccin de las medianas del tringulo de vrtices, A(1,2) , B(5,3) y C(3,4)

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

24. G(2,3) es el baricentro de un triangulo ABC . G1 (4,6) y

G2(3,-1) son los baricentros de dos tringulos formados

uniendo G con los vrtices A, B y C. Determinar estos

vrtices.

a) (10,0) ; (3,6); (-7,3) b) (-4,5); (6,-1); (4;5)

c) (-4,3); (-2,-1); (7,0) d) (11,0); (-1,15); (-4,-6)

e) N.A.

25. La base de un triangulo issceles ABC son los puntos A(1,5)

y C(-3,1). Sabiendo que B pertenece al eje x. Hallar el rea

del triangulo.

a)10u2 b) 11 u2 c) 12 u2 d) 13 u2 e) N.A.

26. El rea de un triangulo es 3u2 , dos de sus vrtices son los

puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vrtice esta sobre el eje x.

Determinar las coordenadas de C.

a) (4,0) (-1,0) b) (6,0) (-2,0) c) (4,0) (1,0)

d) (-5,0) (1,0) e) N.A,

27. En el grafico mostrado hallar el rea mxima de la regin

triangular mostrada

x

y

a) 2,5u2

b) 3,5 u2

c) 4,0 u2

d) 4,5 u2

e) 5,0 u2

28. El rea de un paralelogramo es 12u2; dos de sus vrtices son

los puntos (-1,3) y (-2,4). Hallar los otros dos vrtices de este

paralelogramo, si el punto de interseccin de sus diagonales est ubicado en el eje de las abscisas

a) (-6,-4) y (-7,-3) b) (-3,-6) y (-1,-7) c) (-3,-1) y (-6,-1)

d) (-7,-6) y (-9,-3) e) (-3,4) y (4,5)

29. El rea de un triangulo es 1u2 , dos de sus vrtices son los

puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vrtice esta sobre el eje x.

Determinar las coordenadas de C.

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a) (2,0) (3,0) b) (-2,0) (3,0)

c) (4,0) (3,0) d) (-2,0) (-3,0)

e) N.A,

30. Sean A(1,4); B(3,1) ; (12,7) y D, vrtices de un paralelogramo

ABCD, calcular la inclinacin de OD , si O es el origen de

coordenadas .

a) 41 b) 37 c) 53 d) 16 e) 8.

31. Hallar la pendiente de la recta que forma un ngulo de 45 con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5,3)

a) 2 b) 2 c) 1 d) e) N.A

32. En el grfico calcular la pendiente de la recta L, si ON = a, BA = b y NUBE es un cuadrado.

U

B

N A

E

x

y

O

a) a

b a b)

b

a b c)

a

b d)

a

a b e)

b

b a

33 . Hallar en el eje de las abscisas, un punto P de manera que la

suma de sus distancias a los puntos M(1,2) y N(3,4) sea mnima.

a) (-5/3,0) b) (5/3,0) c) (1,0) d) (3,0) e) (-3,0)

34. Sean los puntos A(0,6), B(4,8) y C(x,0). Calcular la abscisa de

C, para que el recorrido de A a B pasando por C sea la menor posible.

652 ) 4

5 )

5

12 )

7

12 )

12

7 )

ed

cba

35.. Los extremos de un segmento son: A(2,-2) y B(5,3). Hallar la

pendiente del segmento BC . Si las coordenadas de C son

(x,8); adems (-8,x), y A y B forman un triangulo rectngulo

(recto en A).

a) 1 b) 3 c) 5 d) -7 e) N.A.

36. Hallar los valores de "a" de manera que las siguientes ecuaciones:

ax + (a 1 )y 2(a+2) = 0

3ax - (3a + 1)y (5a + 5) = 0; representen a dos rectas:

a) paralelas b) coinicidentes

37. En la f igura la ecuacin de la recta L es 4x + (3-b)y 7=0. Hallar b

45 x

O

L y

a) 7

b) 5

c) 3

d) 1

e) 1

38.. El valor del ngulo que forman las rectas L1 y L2 del grafico

mostrado es:

LL

1

2

0

a) arc cos

776

625 b) arc cos

625

336

c) arc cos

97

136 d) arc cos

625

49

e) arc cos

776

144

39. Dada la recta L1: 3x 2y = - 12, hallar la ecuacin de la recta L2 que es paralela a L1 y que forma con L1 y los ejes coordenados un trapecio de rea igual a 15u2.

L1

L2

O

x

y

a) 2y 3x = 18 b) 2y 3x = 1

c) 2y x = 8

d) 2y 3x = 8 e) N.A.

40. Hallar el rea sombreada segn la f igura:

xO

y

y- 5x - 4 = 0

x=2

M

N

a) 9u2

b) 10

c) 18

d) 20

e) 5

41. Determinar un punto Q simtrico al punto (2,8), respecto a la recta L: 6x 4y 12 =0

a) (-2,10) b) (2,10) c) (-2,2)

d) (-1,10) e) N.A.

42. La pendiente de la recta L que pasa por los puntos A(a,a+1) y

B(1,-2) es 3, hallar la ecuacin de la recta L1 que es perpendicular a L y que pasa por el punto A.

a) x + 3y + 15 = 0 b) x + 3y + 16 = 0

c) x + 3y 1 = 0 d) x + 3y 15 = 0

e) x + 3y 16 = 0

43. De la grafica. Calcular el rea del circulo, si se tienen las

rectas.

1L : x = 8 2 : 6L y

L1

L2

x

y

0

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) N.A.

44. Si el punto P(a,1) pertenece al segmento de extremos A(-3,2) y

B(11,-3/2). Hallarla ecuacin de la recta que pasa por P

perpendicular a AB

a) x 4y + 3 = 0 b) 4x y 3 = 0

c) x 3y + 1 = 0 d) 3x 2y 1 = 0

e) 4x 3y 1 = 0

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45. Calcular la ecuacin de la recta L mostrada en la siguiente

f igura.

x

y

(2,2)

L

a) y = x- 4

b) y = x 5

c) x = y 4

d) x = y 5

e) N.A.

46. Sean las rectas :

L1: 3x + y 4 = 0

L2: -3x + 4y + 3 = 0

3

7L : (a) x y 4 0

19

Calcule el valor de a; si L3 contiene al punto de interseccin de L1 y L2

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

47. Hallar los valores de a y b si el punto de interseccin de las

rectas L1: ax + ( 2 b ) y = 23; L2: (a 1)x + by = - 15, en el punto (2, - 3)

a) a = 4; b = 3 b) a = 4; b = 7 c) a = 5; b = 7

d) a = 4; b = 6 e) N.A

48. Del grafico, calcular la ecuacin de la recta paralela a OL y

que contiene a E, sabiendo que el lado del cuadrado OLAS

es 8.

x

y

0

53

EA

LS

a) 113

4

xy b) 10

3

4

xy

c) 104

3

xy d) 11

3

4

xy

e) 103

4

xy

49. En la f igura mostrada, calcular la pendiente de la recta L1, si

la recta L2 tiene por ecuacin y=3x.

x

yL1 L2

0

6

9

a) 2

3m b)

3

2m

c) 2

3m d)

3

4m

e) 3

2m

50. Los puntos A(2,3), B(8,6) y C(6,-2) son los vrtices del

tringulo ABC. Hallar la tangente del mayor ngulo formado por

la mediatriz del lado AB y el lado BC

A) 4/5 b) 5/4 c) 5/4 d) 6/7 e) 6/7

51. Los puntos A y B pertenecen a la recta de ecuacin x y + 4 =

0 y forman con el punto )323,321( C un tringulo

equiltero. Hallar la suma de las coordenadas de A y B

a) 2 b) 4 c) 6 d) 11/2 e) 15/2

52. En el triangulo cuyos vrtices son A=(2,5) , B=(4,2) y C(6,-

3). Encontrar la distancia del ortocentro de dicho triangulo al

lado AC .

a) 96 5

5 b)

96 6

6 c)

95 5

5

d) 95 6

6 e) N.A.

53. En la f igura mostrada determine la ecuacin de L1 y L2 respectivamente.

A(1,2)

B(7,4)

C(6,-3)

L1

L2

a) x + 2y = 10; 2x y = 10 b) x + 2y = 5; 2x y = 10

c) 2x + y = 10; x 2y = 5 d) 2x + y = 10; x 2y = 10

e) x + y = 5; x y = 5

54.. Sean A=(0,0); B=(6,6) y C=(a,0) vrtices de un triangulo,

calcular la ecuacin general de la recta que contiene a la

altura relativa al lado AB, si: M(4,3) es punto medio del BC .

a) x - y 3=0 b) x + y + 4=0 c) x + y 4=0

d) x + y + 2=0 e) x + y 2=0

55. Del grafico 1L : y = ax + b y 2L : 2y = x + c

Calcular: a+b + c.

L1L2

x

y

P(8,7)

0

a) 24

b) 25

c) 26

d) 27

e) N.A.

56. Se tiene una circunferencia de centro O1 y dimetro AB que

pertenece a la recta L: y = x (O es origen de coordenadas) en

la circunferencia se ubica el punto P (4,3) y OA = 2 . Calcular

la ecuacin cartesiana de la recta que contiene a O1 y que es

perpendicular a 1O P

a) x + 7y 23 = 0 b) 7x + 7y 23 = 0 c) 7x + y 23 = 0 d) 17x + 7y 23 = 0

e) N.A.

57. Los vrtices de un cuadriltero son A(-3,1); B(0,3); C(3,4) y

D(6,-3), encontrar la ecuacin que contiene al vrtice D y el

punto medio del segmento que contiene a los baricentro de los tringulos ABC y ACD

a) 4y + 5x 9 = 0 b) 3y + 4x 1 = 0

c) 4y + 5x + 9 = 0 d) 5x 4y 9 = 0

e) 5y + 4x 9 = 0

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58. Calcular el rea de la regin triangular determinada por una

recta cuya pendiente es 2, con los ejes coordenados. Si la

distancia del punto (1,3) a dicha recta es 5 cm.

a) 9cm2 b) 7 cm2 c) 8 cm2 d ) 10 cm2 e) N.A.

59. En el plano cartesiano se tiene la recta 3x 4y + 24=0 y el

punto P(1,10). Calcular la suma de las coordenadas del

centro de un cuadrado donde un lado es paralelo a dicha

recta y el punto P es vrtice del cuadrado cuyo lado es 5.

a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15

60. Dado P=(6,4), calcular la ecuacin de la mediatriz del OP en

el plano cartesiano.

Si O es el origen de coordenadas.

a) 2y + x 11= 0 b) 2y + 2x 12= 0

c) 2y + 3x 13= 0 d) 2y + 4x 14= 0

e) N.A.

61. Una recta pasa por el punto 8

,43

P

y forma con los ejes

coordenadas un triangulo de permetro 24u y rea 24u2.

Hallar su ecuacin.

a) 3x + 2y = 22 b) 3x + 3y = 23

c) 3x + 4y = 24 d) 3x + 5y = 25

e) N.A.

62. Dados los vrtices de un cuadriltero ABCD, A(2,3), B(3,6),

C(5,4) y D(5,0), donde las diagonales se intersectan en el

punto Q. Hallar la pendiente de la recta que es bisectriz del ngulo BQC.

a) 1 b) 2 c)3 d) 2,5 e) 4

63. En el grfico L1 L2, calcule la distancia del punto P a la recta

L2

(0,8)

(6,0)

P(15,5)

L1

L2

a) 2

b) 3

c) 5

d) 4

e) 6

64. El rea de una regin triangular es 8u2.Calcular la suma de las

coordenadas de uno de los vrtices, si son nmeros enteros y

se encuentran en la recta de ecuacin: 2 y

x2

, sabiendo

que los otros vrtices tienen coordenadas (1, -2) y (2, 3)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

65. En el grfico mostrado. Hallar la ecuacin de L, si T es punto de tangencia, PERU es un cuadrado y P( -3 , 0 ), E( 0 , 2 )

P

E

R

U

L

y

x

T

a) 17x 6y +64 = 0 b) 7x 6y +64 = 0

c) x 3y +64 = 0 d) 17x 5y +64 = 0

e) 17x 6y +32 = 0

66. En un plano cartesiano X Y de origen O se tiene un

cuadrado OABC de modo que A ( 0, m ), en BC se ubica el

punto P (12,3). Hallar la ecuacin de la recta que contiene a

la bisectriz del ngulo PAB.

a) x + 3y 36 = 0 b) x - y 6 = 0

c) x + 3y 3 = 0 d) x - 2y 36 = 0

e) x - 3y 36 = 0

67. Un nio ubicado en su casa A(-7,1) desea traer agua de un ro

representado por la recta L:2x-y-5=0 y llevarla hasta un lugar

ubicado en el punto B(-5,5). Hallar un punto sobre el ro de manera que la distancia que recorra sea mnima.

a) (-2,1) b) (1,-3) c) (3,-1) d) (2,-1) e) (4,3)