Problema de Carga

8/18/2019 Problema de Carga

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Resumen: Este proyecto consiste en el envío de carga por vía aérea. Además de las

limitaciones de peso, la empresa tiene un volumen limitado de compartimentos de

almacenamiento en los aviones. Se proporciona información del promedio diario de

tres tipos de carga en términos de peso (toneladas) y volumen (ft 3 / tonelada). El

objetivo es encontrar la cantidad de cada tipo de carga tal que maximice los ingresos.

El problema se modela usando técnicas de optimización con restricciones y se

resuelve con multiplicadores de Lagrange. Los precios para cada tipo de carga se

calculan

Adicionalmente, se supone que la empresa está reacondicionando algunos de susantiguos aviones para ayudar a aumentar el tamaño de las zonas de carga. De esta

manera se pueden tomar decisiones sobre si se deben o no hacer modificaciones y en

qué medida. Los resultados numéricos se validan mediante la resolución de un

problema de programación lineal utilizando el paquete de software de ordenador y

lindo de la matemática MAPLE paquete de software.

La mayoría de los problemas de optimización requieren la consideración simultánea

de una serie de variables independientes. La categoría más simple de los problemasde optimización multivariable se puede resolver utilizando optimización. Sistemas de

álgebra computacional sin restricciones como MAPLE o MATHEMATICA resultan de

gran utilidad en el tratamiento de los cálculos algebraicos más complicados. El tipo

más sencillo de problemas de optimización multivariable consiste en encontrar el

máximo o mínimo de una función diferenciable de varias variables sobre una región

especificada. Las complicaciones surgen en la solución de modelos de optimización

multivariable cuando la región sobre la cual se optimiza es más compleja.

La mayoría de los problemas reales conducen a modelos complicados que implican la

existencia de limitaciones en las variables independientes. Esto nos lleva al área de laoptimización con restricciones. Una técnica importante para hacer frente a estos

problemas implica el uso de los multiplicadores de Lagrange. Esencialmente tenemos

una función objetivo y una serie de funciones de restricción. El conjunto formado por

las funciones de restricción se llama la región factible y la función objetivo es

maximizada o minimizada sobre este conjunto por el uso de técnicas de

multiplicadores de Lagrange. En el proceso de solución de la información importante

se puede encontrar mediante la búsqueda de los precios sombra para cada restricción.


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Un ejemplo simple de un problema de optimización multivariable con restricciones es

uno donde la función objetivo y las funciones de restricción son lineales. El estudio de

los métodos de cálculo para este tipo de problemas se llama programación lineal. Los

problemas típicos a gran escala implican miles de variables de decisión y miles de

limitaciones. El software para este tipo de problemas es muy flexible y fácil de usar y

permite al usuario modificar los datos y parámetros según sea necesario, que podríaproducir resultados que implican la toma de decisiones importantes.

Considere la posibilidad de una empresa de transporte de carga aérea que utiliza para

mover la carga que se almacena en los compartimentos del avión. La empresa cuenta

con la capacidad para mover 100

í por vía aérea y cobra 250

$

para el

transporte aéreo de mercancías. Aparte de la restricción de peso, la compañía sólo

puede moverse 50.000 ft 3 de carga por día a causa de volumen limitado decompartimentos de almacenamiento. La tabla muestra un desglose de la carga media

disponible en una base diaria.

Cargo Volumen (ft 3/tonelada) Peso (toneladas)A 550 39B 800 40C 400 50

A.

Formular un modelo matemático como un problema de optimización con

restricciones y resolver utilizando técnicas de multiplicadores de Lagrange.

Utilizar este método para determinar la cantidad de cada carga que debe ser

enviada por el aire cada día con el fin de maximizar los ingresos.

B. Por lo tanto calcular los precios sombra para cada restricción y explicar el

significado de estos resultados.

C.

Consideremos ahora la siguiente extensión del problema. La empresa cuenta

con la capacidad para reacondicionar algunos de sus aviones más viejos para

aumentar el tamaño de las zonas de carga. Las modificaciones costarían

$200,000 por avión y añadirían 2,500 ft 3 por avión. Los límites de peso serían

sin cambios. Haga la hipótesis de que los aviones vuelan 250 días por año y que

la vida útil restante de los aviones de más edad es de aproximadamente 5 años.¿Valdría la pena, económicamente, hacer las alteraciones y, en caso afirmativo,

a cuántos aviones?

D.

Validar los resultados anteriores mediante la resolución de un problema de

programación lineal utilizando un paquete de software apropiado.


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Para formular el modelo, en primer lugar definimos las variables que utilizaremos,

= ()

= ()

= () = ( )

= ()

= ($).

Se requieren los siguientes supuestos para garantizar la validez del modelo,

= 550 + 800 + 400

= + +

= 250

≤ 50,000

≤ 100 0 ≤ ≤ 30

0 ≤ ≤ 40

0 ≤ ≤ 50.

El objetivo del modelo es la optimizar el costo de flete F . Renombrando = ,

= (, , ) = 250 + 250 + 250,

y nuestro objetivo es optimizar en la región delimitada por

+ + ≤ 100

550 + 800 + 400 ≤ 50,000

0 ≤

≤ 30

0 ≤ ≤ 40

0 ≤ ≤ 50.

A.

Ahora se resuelve el modelo usando los multiplicadores de Lagrange. La función

objetivo es lineal y por lo que el gradiente de (, , ) nunca es cero. Esto

significa que no hay puntos extremos interiores. La restricción (, , ) a un

plano o una línea sigue siendo lineal. Esto significa que no hay extremos locales a

lo largo de cualquiera de las caras o los bordes de la región factible. De ahí que el

máximo debe ocurrir en una de las esquinas.

Ahora se comprueba cada esquina para determinar el óptimo. Está claro que x1, x2,

x3 no pueden ser cero. A continuación, hay cinco restantes restricciones lineales:

(, , ) = + + = 100


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(, , ) = 550 + 800 + 400 = 50,000

(, , ) = = 30

(, , ) = = 40

(, , ) = = 50.

Al resolver cualquier combinación de tres de estas ecuaciones obtenemos lascoordenadas de un punto de esquina. Si estas coordenadas satisfacen las

restricciones de desigualdad, entonces el punto de esquina representa una

solución factible. Al marcar los 10 puntos de esquina, nos encontramos con que el

óptimo se produce en la intersección de las líneas de las restricciones ,

en el punto

∗ = (30,16.875,50). Así ∗ = (∗) = 250(30 + 16.875 + 50) = 24,218.75.

Por lo que la estrategia óptima (envío máximo) es

Carga A 30 í

Carga B16.875

í

Carga B50

í

osto Total $24,218.75

Es importante tener en cuenta que la restricción de peso no es vinculante, es decir,

no tenemos un volumen suficiente en las bodegas de carga de enviar cada 100

toneladas de carga disponible.

B. A continuación se calcula y se discuten los precios sombra para cada restricción

Los gradientes para las restricciones obligatorias son las siguientes:

= ∇ = (500,800,400)

= ∇ = (1,0,0)

= ∇ = (0,0,1)

y = = (250, 250 250) para la función objetivo f .

Las ecuaciones de Lagrange son

= + +

así

250 = 550 +


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250 = 800

250 = 400 + .

Por lo tanto = 0.3125, = 78.125 y = 125.

Estas cifras dan los precios sombra, lo que significa efectivamente que la capacidadde carga adicional vale aproximadamente $ 0.31 por pie cúbico. La ventaja neta de

ser capaces de enviar más de la carga A es $ 78,13 por tonelada, y para la carga C,

la cifra es de $ 125 por tonelada.

Para todas las otras limitaciones, que son todos no vinculante, los precios sombra

son cero. Así, por ejemplo, la empresa no estaría dispuesta a pagar para aumentar

la capacidad de carga de los aviones, ya que la solución óptima actual no utiliza

toda la capacidad disponible de peso.

C.

A continuación, utilizamos los resultados de sensibilidad anteriores para resolver

la extensión del problema. Sabemos que el espacio de carga adicional vale $ 0.31

por pie cúbico. Durante la vida útil de los aviones (es decir, 5 años), la

modificación propuesta permitiría a la empresa enviar

5(250)(2000) = 2,500,000

pies cúbicos de carga adicional que equivaldría a

$0.31(2,500,000) = $775,000.

Dado que esta cifra está muy por encima del costo $ 200.000 de

reacondicionamiento, la empresa debe proceder con este plan.

La carga restante no enviada se compone actualmente de

40 − 16,875 = 23,125

toneladas diarias de carga B, que llenarían un volumen de

23.125(800) = 18,500

pies cúbicos. La carga diaria actual utiliza todo el volumen disponible y pesa

96.875 toneladas. Cada avión modificado puede llevar a un adicional de 2,500 pies

cúbicos de carga B, que pesa2,500

800 = 3.125 .


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Aunque hay suficiente carga adicional para llenar 7 u 8 aviones modificados, sólo

hay se tiene la capacidad de peso para llevar a un adicional de 3.125 toneladas por

día. Esto significa que sólo debemos modificar uno de los aviones. En caso de

modificar un plano las restricciones limitantes son g3, g5 y el g2 modificada como

≤ 52,500.

Ahora resolvemos

550 + 800 + 400 = 52,500

sujeto a

= 30, = 50.

Esto da x2 = 20 y por lo que en este caso se envían 20 toneladas de carga B

obteniendo los gastos de envío de $ 25.000

250 ( + + ) = 250 (30 + 20 + 50) = 25,000.

5. Validación del modelo

Ahora validamos los resultados obtenidos en la Sección 4 mediante la resolución de

un problema de programación lineal por el método simplex. Hemos elegido el paquete

de software LINDO para llevar a cabo el cálculo.

A. Por supuesto, la lista de variables y supuestos son los mismos que en la Sección 4.

Así pues, nuestro objetivo es maximizar

250 + 250 + 250,

sujeto a

+ + ≤ 100

550 + 800 + 400 ≤ 50,000

≤ 30

≤ 40

≤ 50.

El óptimo L. P. encontrado en el paso 3 utilizando LINDO es 24,218.75. Este máximo se

alcanza en x1 = 30, x2 = 16.875, x3 = 50 (véase la Figura B9.1 para deshacer y

resultados Figura B9.2 para obtener resultados MAPLE). Por lo tanto, se recomienda

que los buques de la compañía 30 toneladas de carga A, 16.875 toneladas de carga B y

50 toneladas de carga C por día. Esto debería hace merecedora a la empresa de un

cobro por cargo de envío de $ 24,218.75 por día.


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B.

A continuación vamos a validar los precios sombra para cada restricción que se

encuentra en la Sección 4. Los multiplicadores de Lagrange o precios sombra

ahora se calculan automáticamente por LINDO bajo el título de "DUAL PRICES". La

fila 2 es la restricción de volumen y el precio dual correspondiente es de 0,3125.

Este es el precio sombra para el volumen.

La fila 4 es el límite superior de la cantidad de la carga A disponible, y el precio dual

correspondiente es 78.125. Este es el precio sombra de una tonelada de carga. La fila 6

es el límite superior de la cantidad de carga C disponible, y el precio dual

correspondiente es 125. Este es el precio sombra de una tonelada de espacio de cargaC. El espacio de carga extra vale $ 0,3125 por pie cúbico. La carga adicional del tipo A

es digno de $ 78.13 por tonelada, y la carga adicional del tipo C es un valor de $ 125

por tonelada.

C.

Finalmente, validamos los resultados para la extensión al problema original. El

costo de actualización es de $ 160 por avión por día. Para determinar si es mejor

modificar un avión, modificamos la restricción de volumen así tenemos


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550 + 800 + 400 ≤ 52,500

y se reoptimiza. La modificación conviene mientras la función objetivo se

incremente en más de 160.

Usando LINDO (ver Figura 139.3) y MAPLE (ver Figura B9.4) nos encontramos con

que el nuevo óptimo es de 25.000, por lo que el nuevo ingreso neto es de $ 25.000 pordía. Esto es claramente mejor que el resultado de A. por lo que vale la pena la

modificación de un plano. El óptimo de 25.000 ocurre en x1=30, x2 = 20 y x3 = 50.

Como hay una restricción de 100 toneladas de la carga diaria total, no hay que

modificar más de un avión.

El paquete de software LINDO es muy fácil de usar y se puede ejecutar varias veces.

Por ejemplo, si deseamos que decidir si es mejor para modificar un segundo avión,

simplemente cambiamos la restricción de volumen por

550 + 800 + 400 ≤ 52,500

y reoptimizar. Otra ejecución LINDO daría el óptimo y los valores correspondientes de x1, x2 y

x3. El beneficio neto sería menor que antes. Tenga en cuenta también que a partir de ahora

usamos toda la capacidad disponible de peso y por lo tanto no hay ningún punto en la

consideración de la adición de capacidad de carga para los demás aviones.


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6. Interpretación y conclusiones

Este proyecto es interesante ya que implica el uso de transporte aéreo para el transporte de

carga por una compañía naviera. Ya que sólo se ocupa de tres tipos de carga y los parámetros

clave de peso y el volumen, el número de restricciones es pequeño y por lo tanto de fácil

manejo en una solución matemática. También la solución matemática fácilmente puede ser

validada por el uso de algún software de programación lineal. Cabe señalar que los

problemas más realistas de envío y transporte son por lo general mucho más complejos

debido a las mayores dimensiones y la complejidad de las restricciones. Así, por ejemplo,

técnicas gráficas no están disponibles para dimensiones n>3, y la solución de ∇ = 0 se

vuelve más complicada ya que el número de variables independientes aumenta. La

optimización con restricciones se vuelve también más difícil, la geometría de la región

factible puede ser más complicada. En general, los problemas de optimización multivariable

con restricciones casi siempre es difícil de resolver. Por supuesto, la programación lineal es

una herramienta importante en la solución de tales problemas en los que tanto la funciónobjetivo y las funciones de restricción son lineales. Los paquetes de software para

programación lineal están ampliamente disponibles y son de uso frecuente para los

problemas en la industria manufacturera, la inversión, el transporte, la agricultura y el

gobierno. Los problemas típicos a gran escala implican miles de variables de decisión y miles

de restricciones.

Aunque se han desarrollado variedad de técnicas computacionales para manejar tipos

especiales de problemas de optimización multivariable, aún no existen buenos métodos

generales, incluso en los niveles más sofisticados. El área de investigación que cubre el

desarrollo de nuevos métodos computacionales para este tipo de problemas se llamaprogramación no lineal y es muy activa.

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