PROBLEMAS DE GEOMETRÍA CON ECUACIONES

1.- Busca las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, 34m, y su área, 60m2.

Solución:

Conocer las dimensiones de un rectángulo es saber su base y su altura.

Llamemos: “x” al valor de la base “y” al valor de la altura Tenemos dos incógnitas, entonces, tendremos que buscar dos ecuaciones que contengan esas dos incógnitas.

* Como el perímetro, que es la suma de todos sus lados, es 34m, entonces hay una ecuación que es inmediata: 3422 =+ yx

* Y con el dato del área, 60m2, sacamos otra ecuación: 60=xy

Ya tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas. Planteando un sistema, resolvemos:

( ) ⇒

=+−−=

⇒

=−−=

⇒

=−=

⇒

==+

⇒

==+

06017

17

6017

17

60

17

60

17

60

34222 xx

xy

xx

xy

xy

xy

xy

yx

xy

yx

==−=

⇒5,12

17

xx

xy.

Entonces tenemos dos posibilidades:

• Si 512 =⇒= yx

• Si 125 =⇒= yx

Podemos interpretar estos resultados como dos soluciones posibles, o como una, porque en realidad se trata del mismo rectángulo (de la misma figura) con las mismas dimensiones, pero, en posición horizontal o vertical.

Respondiendo entonces a lo que nos pedían, las dimensiones del rectángulo son 5m y 12m.

2.- Un triángulo isósceles mide 32cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8cm. Calcula los lados del triángulo.

Solución:

Vamos a llamar “a” a los lados iguales del triángulo isósceles.

Y “b” al lado desigual.

Como ocurría en el ejercicio anterior tenemos dos incógnitas, así que tenemos que buscar dos ecuaciones.

* Con el dato del perímetro obtenemos la primera: 322 =+ ba

* Ahora hay que buscar una ecuación en la que aparezcan el otro dato, la altura del triángulo, y las dos incógnitas:

Vemos que la altura del triángulo isósceles forma dos triángulos

rectángulos, de lados “a”, 8 y “2

b”. En la

figura tenemos marcado a color uno de ellos.

Y en un triángulo rectángulo hay una fórmula que relaciona sus lados: 2

22

28

+= b

a

Entonces ya tenemos el sistema que nos permitirá hallar los valores de los lados del triángulo:

( ) ⇒

+−+=−=

⇒

−+=

−=⇒

+=

−=⇒

+=

=+

222

22

2

222 3225664

232

4

23264

232

464

232

28

322

aaa

aba

a

ab

ba

ab

ba

ba

=−=

⇒

=−=

⇒10

232

32032

232

a

ab

a

ab

Entonces, sustituyendo, tenemos como solución 12,10 == ba

Por lo tanto, los lados del triángulo miden 10cm (cada uno de los iguales) y 12cm.

3.- El área total de un cilindro es π112 cm2, y entre su radio y la altura suman 14cm. Halla el volumen de dicha figura.

Solución:

Sea nuestro cilindro el que aparece en la figura, en donde: “h” representa la altura “r” el radio de las bases.

Para responder a lo que nos piden necesitamos saber el valor de la altura y del radio, pues la fórmula que nos permite calcular el volumen es hrV ⋅⋅= 2π

Como son dos incógnitas, busquemos de nuevo dos ecuaciones:

* El área total es π112 cm2, entonces, como dicha área es la suma del área lateral y de las dos bases tenemos

hrrhrrAAAA lateralbase ⋅⋅⋅+⋅⋅=⇒⋅⋅⋅+⋅⋅=⇒+⋅= πππππ 22112222 22

* La segunda ecuación es inmediata a partir del dato que nos dan: 14=+ hr

Entonces ya podemos resolver el sistema formado por las ecuaciones obtenidas:

( ) ⇒

−+=−=

⇒

−+=−=

⇒

+=−=

⇒

+==+

22222 1456

14

1456

14

56

14

22112

14

rrr

rh

rrr

rh

rhr

rh

rhr

hr

πππ

=−=

⇒

=−=

⇒4

14

1456

14

r

rh

r

rh

Entonces tenemos como solución del sistema: 10,4 == hr

Sustituyendo en la fórmula anterior los valores obtenidos 1042 ⋅⋅= πV , con lo cual,

el volumen del cilindro es π160 cm3.

4.- Si el lado de un cuadrado aumenta 5cm, su área se multiplica por 4. ¿Cuál era el lado inicial del cuadrado?

Solución:

Sea “x” el lado inicial del cuadrado, como indica la figura.

Para buscar la ecuación que nos permita averiguar el valor de “x”, vamos a ver si hay alguna relación entre las dos figuras que tenemos arriba.

Podemos expresar el área del cuadrado más pequeño como 2x .También el área del cuadrado más grande como ( ) 25+x .Y el enunciado nos dice que el área más grande es 4 veces mayor que la más pequeña, por lo tanto, la ecuación buscada es ( ) 22 45 xx =+ .

La resolvemos: ( ) 0251034251045 22222 =−−⇒=++⇒=+ xxxxxxx , que tiene como

soluciones 3

5,5

−== xx .

Como estamos calculando una distancia, la segunda solución no tiene sentido en nuestro problema, por lo tanto, el lado inicial del cuadrado era 5cm.

5.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 28cm y la hipotenusa es 14cm menor que la suma de los dos catetos. Calcula el cateto desconocido.

Solución:

La situación planteada es la de la figura adjunta, en donde: “h” es la hipotenusa “x” es el cateto desconocido

Para buscar el valor del cateto “x” tenemos que plantear una ecuación (por tener una incógnita). Pero los únicos datos que nos dan son los que hacen referencia a catetos e hipotenusa. Y la única fórmula que conocemos que nos relaciona estos conceptos es el teorema de Pitágoras, con lo cual, tenemos que 222 28+= xhY esta ecuación tiene dos incógnitas. ¿? Pero sabemos que la hipotenusa es 14cm menor que la suma de los dos catetos, y eso nos da la relación xh +=+ 2814 , es decir, xh +=14

Entonces, sustituyendo en el teorema de Pitágoras, resulta la ecuación:

( ) 2158828784281962814 22222 =⇒=⇒+=++⇒+=+ xxxxxxx

Por lo tanto, el cateto desconocido mide 21cm.

6.- El perímetro de un triángulo rectángulo es 36cm y un cateto mide 3cm menos que el otro. Halla los lados del triángulo.

Solución:

Tenemos que hallar el valor de los dos catetos y de la hipotenusa de este triángulo rectángulo, llamados “x”, “x-3” y “h” respectivamente, como se aprecia en el dibujo.

* El perímetro de este triángulo es 36cm, lo que nos da la ecuación ( ) 363 =+−+ hxx

* Y por estar en un triángulo rectángulo ( ) 222 3−+= xxh , por el teorema de Pitágoras.

Con estas dos ecuaciones formamos un sistema cuya solución nos permitirá responder a lo planteado.

( )

+−=−=

⇒

+−+==+

⇒

−+=

=+−+

962

239

96

392

3

36322222222 xxh

xh

xxxh

hx

xxh

hxx aplicando sustitución,

( )

=+−

−=⇒

+−=+−

−=⇒

+−=−

−=⇒

075675

239

96241561521

239

962239

23922222 xx

xh

xxxx

xh

xxx

xh

La ecuación de segundo grado tiene como soluciones 12,63 == xx . Que sustituyendo en la primera ecuación obtenemos: ** Si 8763 −=⇒= hx

** Si 1512 =⇒= hx

El primer par de valores nos da una cantidad negativa para la hipotenusa, que no puede ser.

Entonces, los tres lados del triángulo miden 12cm y 9cm los catetos, y 15cm la hipotenusa.

7.- Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80m y su altura aumenta en 40m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60m su base y su altura aumenta en 20m, entonces su área disminuye en 400m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

Solución:

Tenemos que calcular el largo y el ancho de la parcela, es decir, los valores de “x” y de “y” en los dibujos.

Planteamos las dos ecuaciones que nos permitirán hallar el valor de las incógnitas:

* Si al disminuir la base en 80m y aumentar la altura en 40m se convierte en un cuadrado quiere decir que los nuevos lados son iguales, es decir, 40y80x +=−

* El área original del rectángulo es xy . Si disminuye en 60m la base y aumenta en 20m la altura, el área de la figura resultante (que es un rectángulo) es ( )( )20y60x +− que es 400m2 más pequeño que el otro área, con lo cual la ecuación que tenemos es ( )( ) xy40020y60x =++−

Y con estas dos ecuaciones formamos el sistema:

( ) ( )

=−−+=

⇒

=+−−++=

⇒

=++−+=−

0800y60x20

120yx

xy4001200y60x20xy

120yx

xy40020y60x

40y80x

Que sustituyendo la primera ecuación en la segunda tenemos

( )

=+=

⇒

=+=

⇒

=−−++=

⇒

=−−++=

40y

120yx

1600y40

120yx

0800y602400y20

120yx

0800y60120y20

120yx

Y para 160x40y =⇒=

Entonces, las dimensiones de la parcela son 160m y 40m.

8.- Halla las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 13m, y su área, 60m2.

Solución:

Las dimensiones del rectángulo vienen dadas por las incógnitas “x” e “y”.

Tenemos que relacionar los lados del rectángulo con los datos que nos dan, área y diagonal.

* Si el área es 60m2, la primera ecuación es inmediata: 60xy =

* Y para la segunda, vemos que la diagonal del rectángulo forma con dos de los lados un triángulo rectángulo, con lo cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras 222 13yx =+

Entonces ya podemos formar el sistema que nos permitirá hallar el largo y el ancho de la figura

⇒

=+

=⇒

=+

=⇒

=

+

=⇒

=+

=⇒

=+=

242

22

222222

x1693600x

x

60y

169x

3600x

x

60y

169x

60x

x

60y

169yx

x

60y

13yx

60xy

−==−==

=⇒

=+−

=⇒

5x,5x,12x,12xx

60y

03600x169x

x

60y

24

** Si 5y12x =⇒= ** Si 5y12x −=⇒−=** Si 12y5x =⇒= ** Si 12y5x −=⇒−=

Automáticamente descartamos los pares de valores negativos por estar calculando lados de figuras. Ahora ocurre como en el ejercicio 1, parece que tenemos dos soluciones distintas, pero en realidad es la misma, con lo cual, las dimensiones del rectángulo son 5m y 12m.

9.- El lado de un rombo mide 5cm, y su área, 24cm2. Calcula la longitud de sus diagonales.

Solución:

Llamamos “d” y “D” a las diagonales menor y mayor del rombo respectivamente. Éstas se cortan perpendicularmente en su punto medio, lo cual nos invita a fijarnos en los triángulos rectángulos que se forman en el rombo.Como tenemos dos incógnitas tendremos que buscar dos ecuaciones en las que aparezcan “d” y “D”.

* La primera sale de aplicar la fórmula del área de un rombo 2

DdA

⋅= , que en nuestro

ejercicio queda 2

Dd24

⋅=

* Siguiendo la indicación que se dio al principio (de los triángulos rectángulos), conociendo

el lado del rombo podemos aplicar el teorema de Pitágoras: 22

2

2

d

2

D5

+

= . Y ya tenemos

las dos ecuaciones que nos permitirán averiguar el valor de las diagonales resolviendo el sistema.

⇒

+

=

=⇒

+=

=⇒

+=

=⇒

+

=

⋅=

22

222222

2 dd

48100

d

48D

dD100

d

48D

4

d

4

D25

d

48D

2

d

2

D5

2

dD24

−==−==

=⇒

=+−

=⇒

+=

=

6d,6d,8d,8dd

48D

02304d100d

d

48D

d2304d100

d

48D

2442

Que al hallar valores de distancias, 6d,8d −=−= no nos sirven en nuestro problema.

Ahora tenemos dos posibilidades: ** 6D8d =⇒= que al representar “d” la diagonal pequeña, esta solución no tiene sentido.

** 8D6d =⇒=

Por lo tanto, las diagonales del rombo miden: 6cm la pequeña y 8cm la mayor.