Capítol 8 1

Probabilitat

Introducció 2

Un objectiu de l’estadística és l’estudi de les característiques d’unapoblació, en general “desconeguda”, a partir de les dadesassociades a una mostra d’aquesta.

Cens: La mostra és tota la població.

Models estadístics: Permeten obtenir informació a partir de lesdades obtingudes en la mostra.

Càlcul de probabilitats: Eina per a la construcció i l’estudi demodels estadístics.

Definicions 3

Experiment aleatori: qualsevol procés d’observació de larealitat que es pot repetir en idèntiques condicions tants copscom vulguem, on el resultat depèn de l’atzar.Espai mostral: Conjunt Ω de tots els resultats possibles d’unexperiment.Succés: Qualsevol subconjunt de l’espai mostral.Succés elemental: Succés amb un únic element.Succés compost: Succés amb més d’un element.Parts de Ω: Conjunt de tots els successos P(Ω).

Definicions 4Exemples

Exemple: Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar unamoneda. L’espai mostral és Ω = cara(−), creu(+). Un exemple desuccés seria S = cara.

Exemple: Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar undau. L’espai mostral és Ω = 1,2,3,4,5,6. Exemple de succesosserien S1 = 2,4,6 (parell) i S2 = 1,3,5 (senar).

Exemple: Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar unamoneda dues vegades. L’espai mostral és Ω = ++,+−,−+,−−.Un exemple de succés seria S = ++,−−.

Definicions 5

Suposem que hem fet un experiment i hem obtingut el resultatω ∈ Ω. Direm que un succés A ⊂ Ω s’ha realitzat si ω ∈ A.

Ω és el succés segur.

∅ és el succés impossible

Operacions 6

Siguin A,B ∈ P(Ω). Tenim definides les operacionsUnió (∪): El succés A ∪ B es realitza si i només si es realitza A oes realitza B.Intersecció (∩): El succés A ∩ B es realitza si i només si esrealitza A i es realitza B.Complementació (c): El succés Ac es realitza si i només si noes realitza A.

Definició i propietats de la probabilitat 7

Una probabilitat P sobre un espai mostral Ω és una aplicació

P : P(Ω) −→ [0,1]

que satisfà1 P(Ω) = 1.2 Per a tot A,B ∈ P(Ω) tals que A ∩ B = ∅ (successos

mútuament excloents) es té

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propietats de la probabilitat

1 P(∅) = 0.2 Si A ⊆ B aleshores P(A) ≤ P(B).3 P(Ac) = 1− P(A).4 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

Definició de probabilitat 8Observació i exemple

Observació: Suposem que els successos elementals sónequiprobables i l’espai mostral Ω té un nombre finit d’elements.Aleshores si A ∈ P(Ω) tenim que

P(A) =nombre d’elements en Anombre d’elements en Ω

=#A#Ω

és una probabilitat.

Exemple: Volem saber quina és la probabilitat que al llençar duesvegades una moneda surti almenys una cara.L’espai mostral és Ω = ++,+−,−+,−−. Si suposem que lamoneda no està trucada, tots els successos elementals tenen lamateixa probabilitat. El succés consistent en sortir almenys una cara

és A = −−,+−,−+. Per tant, P(A) =34

.

Probabilitat condicionada i successos independents 9

Siguin A,B ∈ P(Ω).Si P(B) 6= 0, definim la probabilitat de A condicionada a Bcom

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).

Diem que A i B són independents si es compleix

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Notem que si A i B són successos independents, aleshores

P(A|B) = P(A).

Probabilitat condicionada i successos independents 10Exemple

ExempleLlencem un dau. Tenim que Ω = 1,2,3,4,5,6. Considerem elssuccessos A = 1,2,5, B = 1,3,5,6 i C = 1,3,5.

Aleshores P(A) =12

, P(B) =23

i P(C) =12

.

A més, A ∩ B = A ∩ C = 1,5 i P(A ∩ B) = P(A ∩ C) =13

. Per tant,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

12

= P(A),

P(A)P(B) =13

= P(A ∩ B).

Per tant, A i B són successos independents. D’altra banda,

P(A|C) =P(A ∩ C)

P(C)=

23, P(A)P(C) =

14.

Per tant, A i C són successos dependents.

Variables aleatòries 11Definició i exemples

Definició: Una variable aleatòria és una aplicació X : Ω −→ R queassigna al resultat d’un experiment aleatori (a cada succéselemental) un nombre real.

Exemples:1 Si llencem un dau podem definir una variable aleatòria que sigui

el valor que surt.2 Si llencem dos daus podem definir una variable aleatòria que

sigui la suma dels valors que han sortit en les dues tirades.3 Si llencem una moneda, podem definir una variable aleatòria

mitjançant X (+) = 1 i X (−) = −1.

Variables aleatòries 12Variables aleatòries discretes

X és una variable aleatòria discreta si pren valors a un conjuntdiscret (de fet als exemples que veurem el conjunt serà, a més, finit).Denotarem aquests per X = X (Ω) = x1, . . . , xn.

Una distribució de probabilitat de la variable X és una aplicacióP : X −→ [0,1] tal que si P(xi ) = pi aleshores

∑ni=1 pi = 1. El valor pi

és la probabilitat que X prengui el valor xi

pi = P(X = xi ) = P(ω ∈ Ω : X (ω) = xi).

Paràmetres de la distribució de probabilitat:Mitjana o esperança: µ(X ) = E(X ) =

∑ni=1 xipi .

Variància: Var(X ) =∑n

i=1(xi − µ)2pi =∑n

i=1 x2i pi − µ2.

Desviació típica o estàndard: σ(X ) =√

Var(X ).

Variables aleatòries discretes 13Exemple

Exemple

Llencem dos daus no trucats i X assigna a cada resultat el valor de lasuma. Llavors, X = x1, . . . , x11 = 2,3,4, . . . ,12. Sigui pi laprobabilitat que X = xi . Aleshores, donat queΩ = (i , j) : 1 ≤ i , j ≤ 6 i per tant #Ω = 36.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pi

136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Tenim que µ = 7, Var =356

= 5.833333 i σ = 2.415229.

Variables aleatòries 14Variables aleatòries contínues

X és una variable aleatòria contínua si el conjunt de valors quepot prendre és un subconjunt continu (no discret) de la recta realR.Diem que f (x) és una funció de densitat si satisfà

f (x) ≥ 0.∫ +∞−∞ f (x)dx = 1.

Per a [a,b] ⊂ R, amb −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, definim laprobabilitat que X estigui entre a i b com

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx .

Definim la funció de distribució acumulada com

F (t) = P(−∞ ≤ X ≤ t) =

∫ t

−∞f (x)dx .

Variables aleatòries contínues 15Paràmetres

Mitjana o esperança: µ(X ) = E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx .

Variància: Var(X ) =

∫ +∞

−∞(x − µ)2f (x)dx =

∫ +∞

−∞x2f (x)dx − µ2.

Desviació típica o estàndard: σ(X ) =√

Var(X ).

Distribucions de probabilitat discretes 16Distribució Bernoulli

Sigui X una variable aleatòria definida a l’espai mostral Ω quenomés prengui els valors 0,1.Donat p ∈ (0,1). La distribució de probabilitat ve donada per

P(X = 1) = P(ω ∈ Ω : X (ω) = 0) = p,

P(X = 0) = P(ω ∈ Ω : X (ω) = 1) = 1− p = q.

Exemple: Considerem l’experiment que consisteix en llençar unamoneda (perfecta), i la variable aleatòria que val 1 si surt cara i 0 sisurt creu.

Ω = +,−, P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2

La mitjana i la desviació típica són µ(X ) = p i σ(X ) =√

p(1− p),respectivament.

Distribucions de probabilitat discretes 17Distribució binomial

Sigui A un succés de probabilitat p ∈ (0,1).Considerem n proves independents, on es pot o no realitzar elsuccés A.Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de vegadesque es realitza A.X és una variable aleatòria finita i X = 0,1, . . . ,n.Es diu que X segueix una distribució binomial de paràmetresn i p i escriurem X ∼ B(n,p).La distribució de probabilitat ve donada per

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , 0 ≤ k ≤ n.

La mitjana i la desviació típica són µ(X ) = np iσ(X ) =

√np(1− p), respectivament.

Distribucions de probabilitat 18Distribució binomial: Exemple

Exemple

Llencem cinc vegades una moneda. Volem calcular la probabilitatd’obtenir cara tres cops.

Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de vegades quesurt cara. Tenim que X ∼ B(5,1/2). Aleshores,

P(X = 3) =

(53

)(12

)3(1− 1

2

)5−3

=516

= 0.3125.

Distribucions de probabilitat 19Distribució binomial: Un altre exemple

Exemple

Llencem cinc vegades una moneda. Quina és la probabilitat d’obteniral menys una cara?

Si X és la variable aleatòria que compta el nombre de vegades quesurt cara, tenim que X ∼ B(5,1/2). Noteu que si p1c és la probabilitatde que surti al menys una cara i p0c és la de que no surti cap cara,tenim que

p1c = 1− p0c .

Com

p0c = P(X = 0) =

(50

)(12

)0(1− 1

2

)5−0

=125 =

132,

llavorsp1c = 1− 1

32=

3132

= 0.96875.

Distribucions de probabilitat 20Distribució Normal

DefinicióDiem que una variable aleatòria contínua X segueix una llei normalde paràmetres µ ∈ R i σ > 0 si la seva funció de densitat és

f (x) =1

σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2

.

Escriurem X ∼ N(µ, σ).Si µ = 0 i σ = 1 la distribució N(0,1) s’anomena normal estàndard.

Observacions: Sigui X ∼ N(µ, σ).La mitjana és µ i la desviació típica és σ.f és simètrica respecte µ.

Si a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) =1

σ√

2π

∫ ba e−

12 ( x−µ

σ )2

dx .

Notació: Sigui Z ∼ N(0,1). Fixat 0 ≤ α ≤ 1 denotem per zα elnombre real que compleix P(zα ≤ Z ) = α.

Distribucions de probabilitat 21Distribució Normal estàndard: Càlcul

Suposem que X ∼ N(0,1).Tenim una taula que ens dóna un valor aproximat de la funció dedistribució acumulada P(X ≤ a) per a tots els valors dea ∈ [0,3.89] amb dues xifres decimals. Noteu queP(X ≤ a) = P(X < a).Si a ≥ 3.9 posarem P(X < a) = 1.Sigui a > 0. P(X < −a) = P(X > a) = 1− P(X < a).

Si a < b, P(a < X < b) = P(X < b)− P(X < a).

Exemple:

P(−2 < X < 1.23) = P(X < 1.23)− P(X ≤ −2) =

= P(X < 1.23)− 1 + P(X ≤ 2) = 0.8907− 1 + 0.9773 = 0.8680

Distribucions de probabilitat 22Distribució Normal: Càlcul

Suposem que Z ∼ N(µ, σ).

La variable X =Z − µσ

segueix una distribució N(0,1).

Si a ≤ b,

P(a ≤ Z ≤ b) = P(

a− µσ≤ X ≤ b − µ

σ

)

Exemple: Si Z ∼ N(2,3) tenim que X = (Z − 2)/3 ∼ N(0,1) i

P(8 ≤ Z ≤ 17) = P(

8− 23≤ X ≤ 17− 2

3

)=

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X < 5)− P(X < 2) =

= 1− 0.9773 = 0.0227

Distribucions de probabilitat 23Distribució Normal: Exemple

Exemple:Suposem que la concentració de plom en les aigües residuals de lesindústries de paper segueix una distribució normal amb una mitjanade 71.2 micrograms per litre i una desviació típica de 8.5 microgramsper litre. Si analitzem un litre d’aigua residual d’una empresa depaper, quina és la probabilitat que contingui més de 56 microgramsde plom?

Solució:Sigui Z la concentració de plom. Tenim que

Z ∼ N(71.2,8.5)⇒ X =Z − 71.2

8.5∼ N(0,1).

Aleshores

P(Z ≥ 56) = P(X ≥ −1.79) = P(X ≤ 1.79) = 0.9633.

Distribucions de probabilitat 24Distribució t–Student

DefinicióDirem que una variable aleatòria contínua T segueix una distribuciót–Student amb ν > 0 graus de llibertat si la seva funció de densitatés

f (x) = cν

(1 +

x2

ν

)− ν+12

,

on cν és una constant tal que∫∞−∞ f (x)dx = 1. Escriurem T ∼ t(ν).

ObservacionsLa funció de densitat és simètrica respecte x = 0.

Si a ≤ b, P(a < T < b) = cν∫ b

a

(1 +

x2

ν

)− ν+12

dx .

Es pot construir una taula per a calcular la funció de distribucióP(−∞ < T < a) per a cada valor ν.Es pot veure que si fem tendir ν a infinit, la distribució t–Studenttendeix a la distribució normal N(0,1).

Distribucions de probabilitat 25Distribució t–Student

Notació: Sigui T ∼ t(ν). Fixat 0 ≤ α ≤ 1 denotem per tα,ν el nombrereal tal que

P(tα,ν < T ) = α.

La taula dóna el valor de tα,ν per a determinats valors de α i ν.

Exemple

Donada T ∼ t(3). Volem calcular a tal que P(T > a) = 0.25. Tenimque a = t0.25,3 = 0.7649.

Distribucions de probabilitat 26Distribució F d’Snedecor

Definició: Direm que una variable aleatòria contínua F segueix unadistribució F d’Snedecor amb ν1, ν2 > 0 graus de llibertat si laseva funció de densitat és

f (x) = cν1,ν2

xν1/2−1

(ν2 + ν1x)(ν1+ν2)/2 ,

on cν1,ν2 és una constant tal que∫ +∞

0 f (x)dx = 1. Observeu que unavariable aleatòria que segueix una distribució F d’Snedecor noméspren valors positius.

Escriurem F ∼ F (ν1, ν2).

Observació: Si a < b i F ∼ F (ν1, ν2),

P(a < F < b) = cν1,ν2

∫ ba

xν1/2−1

(ν2+ν1x)(ν1+ν2)/2 dx .

Distribucions de probabilitat 27Distribució F d’Snedecor

Notació: Fixat 0 ≤ α ≤ 1 denotem per fα,ν1,ν2 el nombre real quecompleix que per a F ∼ F (ν1, ν2)

P(fα,ν1,ν2 < F ) = α.

Exemple: Sigui F ∼ F10,12. Tenim que P(F > a) = 0.025. Aleshores,a = f0.025,10,12 = 3.374.