UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

HUANCAYO 2013 I

PROBABILIDAD

Ing. Eli Teobaldo Caro Meza

CURSO: ESTADISTICA

PROBABILIDAD• La probabilidad es una ciencia exacta que

se desarrollo en forma axiomática.• Tener en cuenta que mientras la teoría de

la probabilidad es una “ciencia exacta”, la estadística es una ciencia de aproximaciones, que para proyectar hacia la población los resultados obtenidos en una muestra de esta, aplica la probabilidad como una medida de la fiabilidad.

1. EXPERIMENTO ALEATORIO

Es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto (o prueba) una o mas veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.

Es decir un experimento es aleatorio, si cumple:

- Se puede repetir indefinidamente.

- Los resultados en cada repetición no son predecibles.

EJEMPLO: Lanzar un dado, contar objetos defectuosos producidos diariamente en cierto proceso, aplicar una encuesta para obtener opiniones, etc.

2. ESPACIO MUESTRAL (Ω)Se denomina así al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento (punto muestral) del especio muestral.

Ω = ω/ω es un punto muestralSi el espacio muestral tiene un numero finito de elementos es posible enlistar a todos, y si el numero de elementos es infinito se describen mediante un enunciado o regla

EJEMPLOS:

• El experimento de lanzar un dado y observar el resultado, el espacio muestral se puede escribir como el conjunto de puntos muéstrales:

Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6• El experimento de lanzar una moneda 3 veces (o lanzar

tres monedas a la vez) y observar el resultado global, el espacio muestral se puede escribir como el conjunto de ternas ordenadas:

Ω2 = CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS• Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda y un

dado a la vez, y observar ambos resultados, el espacio muestral es:

Ω3 = 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S

NOTA: Los espacios muéstrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o mas pruebas sucesivas se obtienen también de un diagrama de árbol.

• Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que aparezca la primera cara, su espacio muestral es el conjunto:

Ω4 = C, SC, SSC, SSSC, … etc.• Si el experimento aleatorio es medir la vida útil

(en años) de un componente electrónico, su espacio muestral es el conjunto:

Ω5 t Є R/ t ≥ 0• Si el experimento aleatorio consiste en

determinar la posición de caída de un dardo que es lanzado hacia un blanco circular de radio 5 cm., su espacio muestral es el conjunto:

Ω6 = (x, y) Є R/ x2 + y2 ≤ 25

CLSIFICACION DE LOS ESPACIOS MUESTRALES: Por el numero de elementos o puntos muéstrales se clasifican en:1. DISCRETOS FINITOS: consisten de un

numero finito de elementos. Ejemplo los espacios: Ω1, Ω2, Ω3

2. DISCRETOS INFINITOS: consisten de un numero infinito numerables de elementos. Ejemplo el espacio: Ω4

3. CONTINUOS: consisten de un numero infinito no numerables de elementos. Ejemplo los espacios: Ω5 y Ω6.

3. EVENTOSSe denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral.Por ejemplo en el espacio muestral finito Ω = w1, w2, …, w3 de n elementos se puede definir 2n eventos diferentes, también tenemos,El evento imposible Ø que no tiene puntos muéstrales, en consecuencia no ocurre nunca.Los eventos unitarios o elementales, wi que contienen un solo punto muestral.Los eventos compuestos que consisten de dos o mas eventos elementales.El evento seguro o cierto Ω que contiene a todos los elementos posibles.

VARIACIONESA. VARIACIONES SIMPLES

Es cada uno de los arreglos u ordenes que se hagan con los k objetos, de manera que, estos arreglos difieran en algún elemento o en el orden de colocación.

Ejemplo: las variaciones de 2 elementos del conjunto A = a, b, c, d son los siguientes arreglos: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.

El numero de variaciones esta dado por:

. )!(

!

kn

nV nk

2. VARIACIONES CON REPETICIONCada uno de los arreglos de los k objetos, puede ser uno mismo de los n objetos.Ejemplo: las variaciones con repetición de dos elementos tomados de los elementos a, b, c, son: aa, ab,ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.El numero de variaciones con repetición esta dado por:

.

knk nVR

EJERCICIO 1:

Cual es el numero de maneras diferentes en que se pueden formar números de 5 cifras con los dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de manera que empiecen con 6 o terminen en 8, si los dígitos:

a) no se repiten

b) se repiten

PERMUTACIONES1. PERMUTACIONES SIMPLES

Se denominan permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de los n objetos distintos.Ejemplo: son permutaciones de las letras a, b , c las siguientes variaciones sin repetición de todas: abc, acb, bac, bca, cab, cbaEl numero de permutaciones esta dado por:

. !nVP nn

n

2. PERMUTACIONES CIRCULARES

Son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni ultimo objeto, ya que todos forman un “circulo” (o cualquier otra figura plana cerrada)

El numero de permutaciones circulares esta dado por:

)!1( nPC n

3. PERMUTACIONES CON OBJETOS REPETIDOS

El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales entre si, n2 son iguales entre si, …, y nk son iguales entre si, esta dado por:

!!...!

!

21,..,2,1

k

nnknn nnn

nP

Ejemplo:

Las permutaciones de las 4 letras a, a, b, b son:

aabb, abab, abba, baba, baab, bbaa

El numero total es:

6!2!2

!442,2

xP

Ejercicio 2:• ¿De cuantas formas diferentes se pueden ordenar todos

los elementos del conjunto:

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

de manera que los elementos 1 y 9 no aparezcan juntos?

Ejercicio 3:• ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 9

personas alrededor de una mesa elipsoidal si dos personas determinadas deben estar uno al lado del otro?

Ejercicio 4:• El numero de formas diferentes de permutar 12 objetos

iguales en todo (salvo el color), de los cuales 3 son negro, 4 son blanco y 5 son rojo es: