Probabilidades y Estadística 11

7/31/2019 Probabilidades y Estadstica 11

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Probabilidades y Estadstica (Computacin)

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos AiresAna M. Bianco y Elena J. Martnez 2004

Desigualdad de Chebyshev:

Para calcular la probabilidad de un evento descripto en trminos de una v.a. X esnecesario conocer la distribucin de la v.a. La desigualdad de Chebyshev provee una cotaque no depende de la distribucin sino slo de la varianza deX.

Proposicin: SeaXuna v.a. con E(X) = y V(X)= 2 < , entonces

( )2

2

,0

>> XP

Dem: Lo haremos para el caso continuo. La demostracin para el caso discreto es similar.

( ) ===

dxxfxXE )()()( 222

+= > }/{}/{

)()()()( 22

xxxx

dxxfxdxxfx

( )

>= >>

XPdxxfdxxfxxxxx

222 )()()(}/{}/{

Entonces,

( )

> XP

2

2

como queramos demostrar.

Observacin: La cota que provee la desigualdad de Chebyshev puede ser grosera o, peoran, no informativa, por ejemplo, si 2.

Ejemplo: SeaX~ U(0,10), entonces E(X) = 5 y V(X)= 100/12.

Aplicando la desigualdad de Chebyshev,

( ) 52.016

12/100

16

2

45 =>

XP

pero, si calculamos en forma exacta esa probabilidad,

( ) ( ) ( ) ====> )91(1454145145 XPXPXPXP

20.010

1

10

91)1()9(1 =+=+=

XF

XF

118


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120

En qu sentido converge X a ?

Sea (Xn ) (n 1) una sucesin de variables aleatorias, diremos que Xn converge enprobabilidada la v.a.X y lo notaremos XX p

n

, si

( ) 00limn

>=>

XXP n

Ley de los Grandes Nmeros: Sean X1, X2, .... v.a. independientes e idnticamentedistribuidas (muestra aleatoria) con E(X) = y V(X) = 2 < , entonces

pnX

siendo

n

X

X

n

i

i

n

== 1 el denominado promedio muestral.

Dem: Sabemos que )( =nXE yn

XV n

2

)(

= , entonces aplicando la desigualdad de

Chebyshev,

( ) 0)(2

2

2>=>

n

XVXP nn

y, por lo tanto

( ) 00limlim 22

nn >=>

nXPn

Luego, pnX , como queramos demostrar.

Versin Bernoulli de la Ley de los Grandes Nmeros: Consideremos n repeticionesindependientes de un experimento aleatorio y seaA un suceso con probabilidad P(A) =p,constante en las n repeticiones. Si llamamos nA a la frecuencia absoluta deA (nmero deveces que ocurreA en las n repeticiones) y fA = nA / n a la frecuencia relativa, entonces

pf pA

es decir,

( ) 00 > > nA pfP


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121

Dem: Como nA ~ Bi(n,p) conp = P(A), entonces E(nA) = np y V(nA) = np (1-p). Luego

n

pp

n

nVfVp

n

nEfE AAA

A

)1()()(

=

==

=

y, aplicando la desigualdad de Chebyshev,

( ) 0)1()(22

>

=>

n

ppfVpfP AA

Luego,

( ) 00)1(limlim2nn

>=

>

n

pppfP A


Ejemplo: Cuntas repeticiones del experimento deberan hacerse para que la frecuenciarelativa difiera dep en menos de 0.01 con probabilidad mayor o igual que 0.95?

En este caso, = 0.01 y queremos encontrar n tal que

( ) 95.001.0


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Distribucin de la suma de variables aleatorias independientes: En general esdifcil calcular la distribucin de la suma o de una combinacin lineal de n v.a.independientes, an cuando tengan la misma distribucin. Sin embargo, en algunos casosla distribucin de la suma o de combinaciones lineales es conocida. Recapitulemosalgunos resultados.

a) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ pnBiX ii , entonces

= =

n

i

n

i

ii pnBiX1 1

.,~

En particular, si ipBiXi ),1(~ , entonces =

n

i

i pnBiX1

).,(~

b) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que )(~ ii PX , entonces

= = n

i

n

i

ii PX1 1

~ .

c) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. i.i.d. tales que )(~ pGXi , entonces =

n

i

i pnBNX1

).,(~

d) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. i.i.d. tales que )(~ iX , entonces =

n

i

i nX1

).,(~

e) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ ii nX , entonces

= =

n

i

n

i

ii nX1 1

,~ .

f) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~2

iii NX y naaa ,...,, 21 son

nmeros reales, entonces = = =

n

i

n

i

n

i

iiiiii aaNXa1 1 1

22,~ .

En particular, si nXXX ,...,, 21 son v.a. i.i.d. tales que ),(~2NXi , entonces

=

=

n

i

i nnNXTn

NX1

22

),(~y,~

.

Dem: Todos estos resultados pueden demostrarse fcilmente usando funcionesgeneradoras de momentos. Como ejemplo, demostremos la propiedad e), es decir que si


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123

nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ ii nX , entonces

= =

n

i

n

i

ii nX1 1

,~ .

Por ser lasXi v.a. independientes, la funcin generadora de la suma es el producto de lasfunciones generadoras, entonces

= == =

=

==

=

=

n

i

n

i

ii

nn

i

n

i

n

XX

nXtt

tMtM

n

i

ii

in

i

i 1 11 1

,~)()(1

1


Veremos ahora que, cuando las v.a. no son normales, la distribucin normal resulta unabuena aproximacin para la distribucin de X y .T

Teorema Central del Lmite: Sean ,...., 21 XX v.a. i.i.d con =)( iXE y


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124

Supongamos inicialmente que = 0 y 2 = 1. En este caso, la funcin generadora de

momentos den

Test dada por

( )= =====

n

i

nXX

XTnT

ntMntMntMntMtMii

n

i

i 1/

)/()/()/()/()(

1

por ser lasXiindependientes. Sea )(ln)( uMuLiX

= , entonces

[ ][ ]

[ ][ ]

)()0(

)0()0()0(

)(

)()()()(ln)0(''

01)0(

)0(

)(

)()(ln)0('

0)1ln()0(ln)0(

2

2

2'''

2

2'''

2

2

''

00

00

=

=

=

=

=====

=

===

==

==

i

X

XXX

X

XXXX

X

X

X

XX

X

XEM

MMM

uM

uMuMuM

u

uML

M

M

uM

uM

u

uML

ML

i

iii

i

iiii

i

i

i

ii

i

uu

uu

Ahora, para probar el teorema, demostraremos que 2//

2

)( tnTetM o

equivalentemente, que .2/)/( 2tntnL Aplicando la regla de LHospital dos veces,

==

=

2/1n2

2/3

nn 2

)/('lim

2

)/('lim

/1

)/(lim

n

tntL

n

ntntL

n

ntL

.22

)/(''lim

2

)/(''lim

22

n2/3

2/32

n

ttntL

n

ntntL==

=

por lo tanto hemos probado el Teorema Central del Lmite para = 0 y 2 = 1. El caso

general resulta considerando las v.a. standarizadas *ii XX

=

y teniendo en cuenta

las propiedades de las funciones generadoras de momentos.

Observacin: Qu significa n suficientemente grande? Cmo sabemos si laaproximacin es buena? El tamao de muestra requerido para que la aproximacin sea

razonable depende de la forma de la distribucin de las Xi . Mientras ms simtrica yacampanada sea, ms rpidamente se obtiene una buena aproximacin.


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Figura 2: Distribucin de x para distintas distribuciones cuando n=2, 5 y 30.a) Distribucin discreta, b) Distribucin Uniforme, c) Distribucin Exponencial

Ejemplo: Al sumar nmeros, una calculadora aproxima cada nmero al entero msprximo. Los errores de aproximacin se suponen independientes y condistribucin U(-0.5,0.5).

a) Si se suman 1500 nmeros, cul es la probabilidad de que el valor absoluto del errortotal exceda 15?

Si llamamosXi al error correspondiente al i-simo sumando, el error total es =

=1500

1

1500

i

iXT .

Entonces,

( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP



125





=1500

1

1500

i

iXT .

Entonces,

( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP



125





=1500

1

1500

i

iXT .

Entonces,

( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP


9/15



126

=

+

=

12/1500

15

12/1500

151

12/1500

15

12/150012/1500

151 1500

TP

18.0)34.1()34.1(1 =+=

Hemos usado que 0)( =iXE y12

1)( =iXV y por lo tanto 0)( 1500 =TE y .

12

1500)( 1500 =TV

b) Cuntos nmeros pueden sumarse a fin de que el valor absoluto del error total seamenor o igual que 10 con probabilidad mayor o igual que 0.90?

Buscamos el valor de n tal que

( ) 90.010 nTP

( ) ( ) 90.012/

10

12/

1090.0101090.010

nT

nPTPTP nnn

Aplicando la aproximacin normal, debemos hallarn tal que

95.012/

1090.01

12/

10290.0

12/

10

12/

10

nnnn

44612.2164.112/

10 nn

n

es decir, que se pueden sumar a lo sumo 446 nmeros para que el valor absoluto delerror total sea menor o igual que 10 con probabilidad mayor o igual que 0.90.

Aproximacin de la distribucin binomial por la normal: SeaX~ Bi (n,p), entonces X es elnmero de xitos en n repeticiones de un experimento binomial con probabilidad de xitoigual ap, y X/ n es la proporcin muestral de xitos.

Definamos las siguientes variables aleatorias

=

iX

ii

repeticinlaenFracasoobtuvosesi

repeticinlaenxitoobtuvosesi

0

1

para i= 1, ..., n. Estas v.a. son independientes, Xi ~ Bi (1,p) i y =

=n

i

iXX1

.

Aplicando el Teorema Central del Lmite, si n es suficientemente grande,


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127

( )

n

pppN

n

XpnpnpNX

aa )1(,~)1(,~

)()(

Se considera que la aproximacin es buena si n p 5 y n (1-p) 5.

Figura 3: Distribucin den

X

Correccin por continuidad: Cuando se aproxima una distribucin discreta por unacontinua, como es el caso de la aproximacin de la distribucin binomial por la normal, esnecesario efectuar una correccin. Consideremos el siguiente ejemplo:

SeaX~ Bi (100, 0.6) y calculemos en forma aproximada P(X 50) y P(X 51).

Si aplicamos directamente el TCL, obtenemos:

( )

967.0)84.1(124

6051

24

60)51(

021.004.224

6050

24

60)50(

=

=

=

=

XPXP

XPXP

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4

0.

6Bi(5,0.10)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4Bi(10,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.

0

0.

15

Bi(20,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.

0

0.

10

Bi(50,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.

0

0.

06

0.

12

Bi(100,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.

0

0.

04

0.

08

Bi(200,0.10)



127

( )

n

pppN

n

XpnpnpNX

aa )1(,~)1(,~

)()(



X




( )

967.0)84.1(124

6051

24

60)51(

021.004.224

6050

24

60)50(

=

=

=

=

XPXP

XPXP

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4

0.

6Bi(5,0.10)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4Bi(10,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.

0

0.

15

Bi(20,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.

0

0.

10

Bi(50,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.

0

0.

06

0.

12

Bi(100,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.

0

0.

04

0.

08

Bi(200,0.10)



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( )

n

pppN

n

XpnpnpNX

aa )1(,~)1(,~

)()(



X




( )

967.0)84.1(124

6051

24

60)51(

021.004.224

6050

24

60)50(

=

=

=

=

XPXP

XPXP

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4

0.

6Bi(5,0.10)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.

0

0.

2

0.

4Bi(10,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.

0

0.

15

Bi(20,0.10)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.

0

0.

10

Bi(50,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.

0

0.

06

0.

12

Bi(100,0.10)

0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.

0

0.

04

0.

08

Bi(200,0.10)


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12/15



129

Por lo tanto, cualquier v.a. con distribucin (m, ) con parmetro m suficientementegrande puede ser aproximada por la distribucin normal.

Una aplicacin de suma de v.a. independientes y generacin de nmeros alazar:

Recordemos que un proceso de Poisson permite modelar una situacin en la que loseventos ocurren a lo largo del tiempo (o espacio, volumen, etc.).

Hemos visto, que bajo ciertos supuestos, si definimos la variable

Xt = cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]

entonces )(~ tPXt , donde es la tasa media de ocurrencias o intensidad del proceso.

Tambin hemos mencionado que, si denotamos

- T1 = tiempo que transcurre entre que empezamos a medir y el momento en queocurre el primer evento

- T2= tiempo que transcurre entre el primer evento y el segundo evento.

y, en general,

- Ti= tiempo que transcurre entre el (i-1)- simo evento y el i-simo evento ( Ni )

las Ti son variables aleatorias independientes y con distribucin exponencial, todas con elmismo parmetro .

Es claro que, si a uno le interesara el tiempo que transcurre desde el inicio hasta la k-sima ocurrencia, esta variable aleatoria podra expresarse como

=

k

i

iT1

Veamos la recproca, es decir, veamos como podemos construir un proceso de Poisson apartir de v.a. i.i.d. con distribucin exponencial.

Proposicin: Sean ,...,....,, 21 kWWW v.a. independientes con distribucin E(1).

Consideremos el siguiente proceso. Comenzamos a medir el tiempo en t = 0 yconsideramos que ocurre el primer evento en el instante W1, el segundo en elinstante W1 +W2, y en general el k-simo evento en el instante W1 + W2+.+ Wk. Sipara t > 0, definimos la variable aleatoria


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130


entonces Xt es una variable discreta y su distribucin es )(tP .

Dem: Sea }0{UNk y consideremos el evento [Xt k ]. Observemos que

[X t k ] hubo k ms eventos en el intervalo [0,t] hubo por lo menos k

eventos en el intervalo [0,t] tWk

i

i =1

Calculemos la probabilidad de dicho evento:

=

=

tWPkXPk

i

it

1

)(

Como las ,...,....,, 21 kWWW son variables aleatorias independientes y con distribucin

E(1)=(1,1) , entonces

=

k

i

iW1

~ (k,1)

y por lo tanto

dssftWPt

S

k

i

i )(

1

=

=

con ~1

=

=k

i

iWS (k,1) y en consecuencia )()!1(

1)( ),0(

1 sIesk

sf skS +

= . Entonces,

dsesk

tWPt

skk

i

i =

=

0

1

1 )!1(

1

Llamemos

dsesk

tA

t

sk

k =0

1

)!1(

1)(

a la funcin de distribucin acumulada de una (k,1). Integrando por partes una vez, siconsideramos

2)!-(k

s

)!1(

)1(

)!1(

2-k21

=

=

=

k

sku

k

su

kk

y



130






i

i =1


=

=

tWPkXPk

i

it

1

)(



=

k

i

iW1

~ (k,1)

y por lo tanto

dssftWPt

S

k

i

i )(

1

=

=

con ~1

=

=k

i


1)( ),0(

1 sIesk

sf skS +

= . Entonces,

dsesk

tWPt

skk

i

i =

=

0

1

1 )!1(

1

Llamemos

dsesk

tA

t

sk

k =0

1

)!1(

1)(


2)!-(k

s

)!1(

)1(

)!1(

2-k21

=

=

=

k

sku

k

su

kk

y



130






i

i =1


=

=

tWPkXPk

i

it

1

)(



=

k

i

iW1

~ (k,1)

y por lo tanto

dssftWPt

S

k

i

i )(

1

=

=

con ~1

=

=k

i


1)( ),0(

1 sIesk

sf skS +

= . Entonces,

dsesk

tWPt

skk

i

i =

=

0

1

1 )!1(

1

Llamemos

dsesk

tA

t

sk

k =0

1

)!1(

1)(


2)!-(k

s

)!1(

)1(

)!1(

2-k21

=

=

=

k

sku

k

su

kk

y


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132

Paso 1: generamos una v.a. W1 con distribucin E(1).

Paso 2: chequeamos si W1 t. Si sto ocurre, continuamos con el paso siguiente. Si, encambio, W1 t terminamos yX= 0.

Paso 3: generamos una v.a. W2 con distribucin E(1), independiente de W1.

Paso 4: chequeamos si W1 + W2 t. Si sto ocurre, continuamos con el paso siguiente. Sino, terminamos yX= 1.

Paso 2k-1: generamos una v.a. W k con distribucin E(1), independiente de W1, W2, .,W k-1.

Paso 2k: chequeamos si W1 + W2 +.+ W k t. Si sto ocurre seguimos, si noterminamos yX= k.

Probabilidades y Estadística 11

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