Probabilidades

Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino

Temas a desarrollar

“Probabilidad. Experimento aleatorio, espaciomuestral, variable aleatoria. Probabilidad condicional.Sucesos mutuamente excluyentes e independientes.Variable aleatoria. Esperanza y varianza de unavariable aleatoria. Distribución de probabilidad.”


Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadascon fenómenos naturales, a los que se trata de

entender para luego poder predecir, se construyensiempre a partir de conceptos intuitivos,

suficientemente claros para que puedan ser aplicadosen las primeras etapa de la teoría, pero no

suficientemente rigurosos para que queden a salvode objeciones cuando la misma alcanza cierto gradode desarrollo. Se hace necesario, entonces, revisarlos fundamentos, precisar las definiciones y dar, si es

posible, una construcción axiomática.


Sin embargo, para comenzar a estudiar una teoría, nosiempre el camino axiomático es el mas recomendable.Los axiomas son elaborados por quienes conocen muybien la teoría, y su verdadero sentido se comprende confacilidad cuando se está familiarizado con el tema.Es mejor empezar por definiciones tal vez no muyexactas y con ejemplos simples, pero substanciales,para poder comprender luego el verdadero sentido delos axiomas, y para que los mismos aparezcan demanera natural como expresión sintética y firme de

conocimientos ya adquiridos.


• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidosestos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrenciade un evento.

• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.· Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtienesiempre el mismo resultado.

· Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticascondiciones se obtienen distintos resultados.

• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular deun experimento.

• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de unexperimento.


• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colecciónde uno o mas resultados de un experimento.· E1=Sacar un 5 al tirar un dado· E2=Sacar un número par al tirar un dado.· E3=Sacar un número menor que 7 al tirarun dado=EVENTO CIERTO

· E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar undado=EVENTO IMPOSIBLE


• Sucesos mutuamente excluyentes:· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentescuando la ocurrencia de uno de ellos impide laocurrencia del otro.

· P(A∩B)=P(AyB)=P(AB)=0• Sucesos colectivamente exhaustivos

· Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivoscuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempreque se realiza el experimento.

· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la sumade las probabilidades de todos los sucesos deberá serigual a 1.


• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posiblesresultados de un experimento.

• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de· Listas

–Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}· Diagramas de árbol

–Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedasC

CSC

SS

4-3


· Tablas rejilla–Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojoy uno azul

11 21 31 41 51 6112 22 32 42 52 6213 23 33 43 53 6314 24 34 44 54 6415 25 35 45 55 6516 26 36 46 56 66

4-3


· Conjuntos ( Diagramas de Venn)–Se pretende representar a las mujeres, a losuniversitarios pero es necesario tener en cuenta queexisten mujeres universitarias.

4-3

A B

mujeres universitarios

Mujeres universitarias


· Tablas de doble entrada–Cuando se tienen dos o mas variables con dos omas categorías cada una, por ejemplo hombres ymujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados enEconomía y Administración Agraria.

15555100903060H652540M

Lic.Ec. y Adm.Ing.Agr.

Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.


DEFINICIONCLASICA

PROBABILIDADCLASICA

DEFINICIONFRECUENCIAL

PROBABILIDADEMPIRICA

PROBABILIDADOBJETIVA

DEFINICIONSUBJETIVA

PROBABILIDADSUBJETIVA

TIPOS DE PROBABILIDAD

4-4


• Se basa en que todos los resultados son· igualmente probables o equiprobables.· Mutuamente excluyentes· Colectivamente exhaustivos

posiblesresultadosdeNúmerofavorablesresultadosdeNúmero=eventoundeadProbabilid

Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}•Consideremos el evento de que salga una sola cara.•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}=

= 2/4 = ½ = 0,5.


• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad deocurrencia de un evento se determina por observación del númerode veces que eventos similares ocurrieron en el pasado.(frecuencia relativa)

nesobservaciodeNúmeropasadoelenocurrióeventoelquevecesdeNúmero=eventoundeadProbabilid

Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que curacierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000vacunos y se curaron 700.•El espacio muestral será S = {curado; no curado}•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7


• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo,ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento,se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buensaber y entender estimará la probabilidad.

Ejemplos:•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de unacompañía se incremente en dos años.


• Independientemente de que definición de probabilidadutilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientestres axiomas.

Axiomas:•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un númeromayor o igual a cero

)(0 AP≤•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

P(S)=1•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes

P(A∪B)=P(A)+P(B)


φ

⊂ ≤

∀ ≤


• Si A y B son dos sucesos no mutuamenteexcluyentes, luego la probabilidad de la unión entreambos está dada por la siguiente fórmula.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A and BA

B

• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes,se cumple:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)


Un experimento generaun espacio muestral quecontiene ocho sucesosE1,...,E8 con p(Ei)=1/8,i=1,...,8. Los sucesos Ay B se definen así:A= {E1,E4,E6}B= {E3,E4,E5,E6,E7}Encuentre:(a) P(A)(b) P(Â)(c) P(A U B)

A B

E1E4E6

E7

E3E5

E8E1a) P(A)= 3/8(b) P(Â)= 5/8(c) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B)P(A U B)= 3/8 + 5/8 – 2/8= 6/8= 0,75

resultado que es muy fácil verificarvisualmente en el diagrama.


• Dos eventos A y B son independientes cuando secumple que la probabilidad conjunta es igual alproducto de las probabilidades marginales.

PROBABILIDAD CONDICIONAL• Probabilidad Condicional es la probabilidad deocurrencia de un evento en particular, dado queotro evento ha ocurrido. La probabilidadcondicional de el evento A dado que el evento Bha ocurrido se escribe P(A|B).


• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjuntade que ambos sucedan se calcula según lasiguiente fórmula:P(A ∩ B) = P(A)*P(B|A) = P(B ∩ A) = P(B)*P(A|B)

• Si los eventos A y B son independientes laprobabilidad conjunta de que ambos sucedanse calcula según la siguiente fórmula:P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)


Un experimento genera unespacio muestral quecontiene ocho sucesosE1,...,E8 con p(Ei)=1/8,i=1,...,8. Los sucesos A y Bse definen así:A= {E1,E4,E6}B= {E3,E4,E5,E6,E7}Resolver: (a)¿Son los sucesos A y Bmutuamente excluyentes?¿Por qué? (b) ¿Sonlos sucesos A y Bindependientes? ¿Por qué?(C) P(A∩B) (d)P(A/B)

A B

E1E4E6

E7

E3E5

E8E2(a) No, porque A∩B≠0(b) No, porque P(A)*P(B) ≠ P(A∩B)

3/8 * 5/8 ≠ 2/8(c) P(A∩B) = 2/8= 0,25(d) P(A/B)= P(A∩B) / P(B)= (2/8) / (5/8)= 2/5Esto puede verse en el diagrama, ya que saber queB ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a loscinco elementos de B. Y de ellos, sólo dospertenecen a A.


Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control deuna corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3,respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8;si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de laselecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.

A

B

N

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjuntaConsiderar todo el espacio muestral Datos:

P(A)= 0,7 P(N/A)= 0,8P(B)= 0,3 P(N/B)= 0,4

Solución:P(N)= P(N∩A) + P(N∩B)P(N)= P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)P(N)= 0,8*0,7 + 0,4*0,3= 0,68

P(N∩A)

P(N∩B)


El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de lavariedad A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbolal azar,a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?

10,660,340,460,15780,3022Â0,540,50220,0378A

-15+ 15Datos:P(+15)= 0,34 P(A)= 0,54P(+15/A)= 0,07

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjuntaConsiderar tablas de contingencia

Solución:a) P(+15∩A)= P(+15/A)*P(A)= 0,07*0,54= 0,0378b) P(A/-15)= P(A∩-15) / P(-15)

= 0,5022 / 0,66= 0,76


El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir unaenfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animalinfectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacunapreventiva?

Datos:P( I )= 0,7 P( R / I )= 0,2P( Î )= 0,3 P( R / Î )= 0,05Incógnita: P( I /R )

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjuntaRegla del producto.

9,03,0*05,07,0*2,07,0*2,0

)(*)/()(*)/()(*)/(

)()()(

)()()/(

=+

=+

=

=+

==

IPIRPIPIRPIPIRP

IRPIRPIRP

RPRIPRIP

II

II


Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espaciomuestral se denomina variable aleatoria a la función queasigna a cada elemento del espacio muestral un número real.

xsXRSX =→ )(/:Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas alarrojar dos monedas

¿Quá valores puede tomar x?X(SS)=0

X(CS)=X(SC)=1X(CC)=2

Se denomina recorrido Rx al conjuntode valores que puede tomar la variable.

S RxSSCCSCCS

0

2

1


Una variable aleatoria es discreta cuando toma un númerocontable de valores.Entonces entre dos valores

consecutivos de una variable aleatoria discreta no hayningún número que pertenezca al recorrido de la variableRx={X1;X2;…,Xn,…} donde cada Xi es un valor de la v.a.En general , estos valores no serán igualmente probables,

sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta esnecesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada

elemento del recorrido


Sigamos con el ejemplo X= Cantidad de caras altirar dos monedas

P(X=0)= P(SS)= ¼P(X=1)= P(SC;CS)= ½P(X=2)= P(CC)= ¼

Función de distribución de probabilidad

0

0,25

0,5

0 1 2 X

P(X) Propiedades1) P(Xi)≥0 ∀Xi

∈

=RiXi

XiP 1)()2


Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquiervalor perteneciente al intervalo.En general definiremos variables aleatorias continuas cuando lasexperiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo,temperatura, etc.En este caso se define (en lugar de la función de distribución) unafunción de densidad de probabilidad que tiene las siguientespropiedades

1) f(x)≥0 ∀XεR

=≤≤⇒<

=+∞

∞−ba

dxxfbxaPba

dxxf

)()()3

1)()2


La esperanza es un parámetro de la distribución.Es una medida de tendencia central.

iRx

i xpxXExi∈

==µ

== dxxfxXEµ

Si X es discreta

Si X es continua


La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólouna vez.Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X elpromedio de esos resultados estará cerca de E(x).Ejemplo:En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufriruna pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestreque la utilidad esperada en dicha operación es de $400.

Primero definimos la variable aleatoriaX= utilidad en operación comercial

)()( iRx

i xpxXExi∈

==µ E(X)=1000*0,6+(-500)*0,4E(X)=400


Sean X e Y variables aleatorias y c una constanteperteneciente a los reales:

1) E (c ) = c2) E (X+c ) = E(X) + c3) E (cX) = c E(X)

4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)

6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)


La variancia es un parámetro de la distribución. Esuna medida de dispersión de los valores de xalrededor de E(X)

222


Sean X e Y variables aleatorias y c una constanteperteneciente a los reales:

1) V (c ) = 02) V (X+c ) = V(X)3) V (cX) = c2 V(X)

4) Si X e Y son independientes V (X+Y) = V(X) + V(Y)5) Si X e Y son independientes V (X-Y) = V(X) + V(Y)


P A BP A P B A

P A P B A P A P B A1

1 1

1 1 2 2


• Permutaciones: Algunos arreglos de r objetosseleccionados de n posibles objetos.

• Nota: El orden de los arreglos es importanteen las permutaciones.

nn

n rr =

− !


• Combinaciones: El número de formas deelegir r objetos de un grupo de n objetos sinconsiderar el orden.

n rCn

r n r=

−

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