Probabilidad y

Estadística

Probabilidad

●Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización.

●Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad:

“Quizá llueva mañana”

“Probablemente llegaremos tarde”

“Seguramente tendré notable en Métodos Matemáticos para la Física ...”

¿Pero, qué es la probabilidad ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

●Interpretación clásica de probabilidad:esta interpretación esta basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables).

Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n

Pero, el concepto de “igualmente probable” está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir !¿Qué hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...●Probabilidad como frecuencia de sucesos:

Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.

Pero, ¿cuánto es “mucho”?¿Qué significa condiciones similares ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

●Interpretación subjetiva de laprobabilidad:

Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo.

Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.

Teoría de Probabilidades

Aquí veremos/desarrollaremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad.

Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.

Conceptos preliminares

Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano.

Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

Teoría de conjuntosAlgunas definiciones:

Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento.Denotaremos por “S” al espacio muestral.

Un posible resultado “x” de “S” se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

Teoría de conjuntos

Cuando un experimento se realiza y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento.

Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

Teoría de conjuntos

Ejemplo: Dado de seis caras (once again)

Espacio muestral (lanzamiento de un dado) S

Sea A el evento de obtener un número par:

Teoría de conjuntos

Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2

Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que perte-ce al subconjunto que define a A, también pertenece al subconjunto que define B:

o bien

Teoría de conjuntosConjunto vacío

Algunos eventos son imposibles de obtener.

Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar undado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto deS sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por:

Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:

Teoría de conjuntos

Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3, ...}.

Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

Conjuntos finitos e infinitos

El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos

Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable

Diagramas de Venn

Una representación gráfica de los resultados de

un experimento son los diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Regiones:

i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al

evento B

ii) Resultados que pertencen al evento B, pero no al evento A

iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B

iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B

Teoría de conjuntos

Algunas relaciones entre las operaciones de unión e

intersección:● Conmutatividad● Asociatividad● Distributividad● Idempotencia

Teoría de conjuntos

Leyes de Morgan:

●

●

●

HomeworkUn experimento consiste en escoger al azar un número entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean A, B y C los eventos definido por

Encontrar los elementos de los siguientes eventos

Teoría de probabilidades

Teoría de Probabilidades

Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S.

Pr(A) indicará la probabilidad de que ése evento ocurra.

Teoría de probabilidadesAxioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,

Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S

Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes

Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que

Teoría de Probabilidades

Definición matemática de probabilidad:

Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

Teoría de ProbabilidadesAlgunos teoremas:

1)

2) Para cada serie finita de eventos disjuntos

3) Para cada evento A

Teoría de probabilidades

6) Para dos eventos A y B

4) Si entonces

5) Para cada evento A

Teoría de probabilidades

Ejemplo:

Un paciente visita al médico por un dolor de garganta y fiebre. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre o una infección bacteriana, o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral.

¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)

Un espacio muestral se le llama simple

si la probablidad asignada a cada posible resultado

es 1/n

Si un evento A en este espacio contiene m resultados, entonces

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)

Similarmente, sea el número de resultados de un

evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces

Ahora, si A y B son dos eventos en S:

Teoría de probabilidades

● Ejercicio:

Calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica de un paquete de cartas

Teoría de probabilidadesEjercicio: supongamos que se lanzan 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras?

Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):1- C C C2- R C C3- C R C4- C C R5- C R R6- R C R7- R R C8- R R R

Teoría de probabilidades

Ejercicio: calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica o un número par {2,4,6,8,10}

Solución:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una espada/picaSea C el evento de obtener un número par

Se nos pide entonces calcular

Teoría de probabilidades

que está dada por:

Métodos de conteo

Para espacios muestrales simples es muy importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de aquí podemos calcular la probabilidad de un evento dado

- Multiplicación

- Permutación

- Combinación

Métodos de conteoMultiplicación

Regla de multiplicación.Si en un experimento tenemos que:i) el experimento se realiza en dos partesii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados:

Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:

Métodos de conteo

De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados

Métodos de conteo

Ejemplo:

Lanzamiento de dos dados.

Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36

Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes.

Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i-ésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es

Ejemplo:

Lanzamiento de 6 monedas.

Como cada parte del experimento tiene 2 posibidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es

2x2x2x2x2x2 = 64

Métodos de conteo

Permutaciones

Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.

Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)

Métodos de conteoRespuesta:

Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces vimos que:

Métodos de conteo

Ejemplo: Sea

¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior ?

Respuesta:

Conteo con reemplazamiento

Considerando ahora un experimento en que una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja. A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.

Si se hace un total de k selecciones, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma

Como existen n posibles resultados para cada una de las selecciones, el número total de vectores en S es