PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Cul es la probabilidad de que me saque la lotera o el melate?

Qu posibilidad hay de que me pase un accidente automovilstico ?

Qu posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

Existe alguna probabilidad de que repruebe el tercer parcial?

Dnde aplica

Medida de confianza representativa o prctica de que ocurra un evento futuro.PROBABILIDAD

Proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar.

Constituye la base de la estadstica inferencial.

CLCULO DE LA PROBABILIDAD

1) Fenmeno AleatorioNo se sabe qu es lo que va a ocurrir, estn relacionados con el azar o probabilidad.2) Fenmeno DeterministaDe antemano se sabe cual ser el resultado.

ALEATORIO o DETERMINISTA?

Accin que se realiza con el propsito de analizarla.

Tiene como fin ltimo determinar la probabilidad de uno o de varios resultados.

Se considera como aleatorio y estocstico, si sus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier nmero de veces esencialmente en las mismas condiciones.EXPERIMENTO ALEATORIO

Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. EXPERIMENTO ALEATORIO

A: que al nacer un bebe, ste sea nia

B: que una persona de 20 aos, sobreviva 15 aos ms

C: que la presin arterial de un adulto se incremente ante un disgustoEJEMPLOS DE EXPERIMENTO ALEATORIO

1) Se postulan dos candidatos al cargo de la presidencia de la Sociedad de Alumnos del Bachillerato Sur UPAEP, y se desea determinar si el candidato X puede ganar.

2) Poblacin de inters: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarn el da de las elecciones.

3) Criterio de gane: Si obtiene el ms del 50% de los votos.

EJEMPLO DE PROBABILIDAD E INFERENCIA

4) Supngase que todos los estudiantes del Bachillerato van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.

5) Si los 20 estudiantes apoyan al candidato Qu concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones?

EJEMPLO DE PROBABILIDAD E INFERENCIA1.- EL CANDIDATO X GANARA

2.- EL CANDIDATO Y GANARA

3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADAEJEMPLO DE PROBABILIDAD E INFERENCIA

1.- EL CANDIDATO X GANAR GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%LA FRACCIN QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCIN QUE LO FAVORECER EN LA POBLACIN SER IGUAL.

ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.EJEMPLO DE PROBABILIDAD E INFERENCIAPROBABILIDAD1.- EL CANDIDATO X GANARA

SERA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARA VOTAR POR L.

ES CORRECTA ESTA INFERENCIA?.

Espacio Muestral Conjunto de todos los posibles resultados de inters de un experimento dado, Se denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos:1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral S = { s, a }ESPACIO MUESTRAL

Se denotan normalmente con las letras maysculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C, S

Pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y tambin no contener ningn elemento.

Al nmero de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

EVENTOS ALEATORIOS

1) Evento seguroSiempre se verifica despus del experimento aleatorio.Contiene todos los resultados del espacio muestral. E = S y N(E) = N(S)

2) Evento ImposibleNunca se verifica como resultado del experimento aleatorio.Es subconjunto de S, y la nica posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vaco. S, y N() = 0EVENTO SEGURO y EVENTO IMPOSIBLE

Evento ElementalEvento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. Tambin se le denomina como punto muestral. Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

EVENTOS SIMPLES Y COMPUESTOS

2) Evento CompuestoEvento E que contiene ms de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1

3) Evento contrario a un evento ASe denomina tambin como complemento de A Evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

EVENTOS SIMPLES Y COMPUETOS

No tienen elementos en comn.No pueden ocurrir simultneamente, es decir, A B = EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

OPERACIN

EXPRESIN DESCRIPCINUNIN A B Unin de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden INTERSECCIN A B Interseccin de los eventos originales, es el evento que sucede si y slo si A y B suceden simultneamente. DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B. Operaciones bsicas con eventos aleatorios

A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4 A C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6B C = { 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B C) = 4 A B C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S, N(A B C) = 6SABC153426Operaciones bsicas UNIN

A B={ 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1 A C={ 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {}, N(A C) = N{) = 0B C={ 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {4}, N(B C) = 1 (A B) C = ({ 1, 3, 5 } { 3, 4 }) { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={}, N((A B) C) = N{) = 0A (B C) = { 1, 3, 5 } ({ 3, 4 } { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 } { 4 }={}, N(A (B C)) = N{) = 0SABC34Operaciones bsicas INTERSECCIN

A B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A B) = 2 A C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A C) = N(A) = 3 B C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1SABC153Operaciones bsicas DIFERENCIA

Ac = { 2, 4, 6} = C N(Ac ) = N( C )= 3Bc = {1, 2, 5, 6 } N(Bc ) = 4Cc = {1, 3, 5 } = A N(Cc ) = N(A) = 3SABC153426Operaciones bsicas COMPLEMENTO

Probabilidad Clsica o a Priori

Probabilidad frecuencial o a Posteriori

Probabilidad Matemtica o AxiomticaTIPOS DE PROBABILIDAD

Probabilidad clsica.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

dondeNCF - nmero de casos favorablesNCT - nmero de casos totales

PROBABILIDAD CLSICA

Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el nmero de observaciones se hace cada vez mayor. PROBABILIDAD FRECUENCIAL

dondeN(A) = nmero de elementos del evento AN() = nmero de elementos del espacio muestral .

Leyes De La ProbabilidadLas relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostracin.Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.PROBABILIDAD AXIOMTICAAxioma 1Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A S, entonces se cumple que 0 P(A) 1 AXIOMAS

AXIOMASAxioma 2La probabilidad del espacio muestral es un evento seguro, es uno P() = 1

Teorema 1.- Si es el conjunto vaco, entonces la probabilidad de es igual a 0

Ejemplos:Una persona que quiere ganar la lotera nacional, pero no compra boleto.Que aparezca un siete al lanzar un dadoQue una persona viva 250 aos

AXIOMAS

Axioma 3.- Sea un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A , B y A B = , es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A B) = P(A) + P(B). A BABaxiomas

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B , entonces P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)A BAXIOMAS

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y un espacio muestral, tal que AS, si Ac es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(Ac) = 1 P(A)AXIOMASRELACION ENTRE EVENTOS

Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral , con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

PROBABILIDAD CONDICIONALEVENTOS CONDICIONADOS

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

PROBABILIDAD CONDICIONALProbabilidades condicionales: P(A/B) = P(A B)/P(B) P(B/A) = P(A B)/P(A) P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B) P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

EVENTOS INDEPENDIENTES

EVENTOS INDEPENDIENTES

Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3E: que al lanzar un dado salga un imparEncontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. = {1,2,3,4,5,6}A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3},P(A) = 1/6 P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3) = 6/18 = 1/3EJEMPLO

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la poblacin y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres estn sin trabajo. Un economista estudia la situacin de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la poblacin total es de 8000 personas, Cul es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:EJERCICIOSa).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que est empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea DesempleadoE: Que sea EmpleadoEJERCICIOS

Desempleados DEmpleados ETotalMujeres M80032004000

Hombres H20038004000Total100070008000Tabla Nmero de elementos de los Eventos M, H, D, E y SDETotalM800/8000 = .13200/8000= .44000/8000= .5H200/8000= .0253800/8000= .4754000/8000= .5Total1000/8000= .1257000/8000= .8758000/8000= 1Tabla de Probabilidades PROBABILIDADP(M) = .50P(H) = .50P(E) = .875P(D) = .125P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2Eventos dependientes e independientesEn el ejemplo anterior se tiene queP(M) = .50P(H) = .50P(E) = .875P(D) = .125P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375EJEMPLOS

Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, E y H

son dependientes.EJEMPLOS

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una particin de . Esto es Ai Aj = para toda i y toda j, y adems = A1 A2 A3 AnA1A2A3A4A5A6AnPROBABILIDAD TOTALY sea E otro evento tal que E y E Ai A1A2A3A4A5A6AnEEProbabilidad totalEntonces E = E = (A1 A2 A3 An) E = (A1 E) (A2 E) (A3 E) (An E)

Al aplicar la funcin de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E) Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i jPROBABILIDAD TOTALComo (Ai E) = (E Ai) entonces P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)PROBABILIDAD TOTAL En una pequea empresa de tejidos se obtiene su produccin con tres mquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del nmero total de artculos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas mquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artculo al azar, Cul es la probabilidad de que el artculo sea defectuoso ?EJERCICIO PROBABILIDAD TOTALSea D el evento: Que sea un artculo defectuoso.P(M1) = .50 P(D/M1) = .03P(M2) = .30 P(D/M2) = .04P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037EJERCICIO PROBABILIDAD TOTALM1M2M3DNDDNDDNDP(M1)=.50P(M2)=.30P(M3)=.20P(D/M1)=.03P(ND/M1)=.97P(D/M2)=.04P(D/M3)=.05P(ND/M2)=.96P(ND/M3)=.95P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01P(D) = .015+.012+.01=.037Teorema de Bayes.- Supngase que A1, A2, A3,...,An es una particin de un espacio muestral . En cada caso P(Ai) 0. La particin es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

Probabilidad total

Teorema de bayesEjemploEn una pequea empresa de tejidos se obtiene su produccin con tres mquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del nmero total de artculos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas mquinas son 3%, 4% y 5%. Supngase que se selecciona un artculo al azar y resulta ser defectuoso. Cul sera la probabilidad de que el artculo haya sido producido por la mquina M1?Probabilidad totalteorema de bayesSea D: Que el artculo sea defectuosoND: Que el artculo no sea defectuosoM1: Que haya sido producido por la mquina 1M2: Que haya sido producido por la mquina 2M3: Que haya sido producido por la mquina 3

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03P(M2) = .30 P(D/M2) = .04P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

Probabilidad totalteorema de bayesM1M2M3DNDDNDDNDP(M1)=.50P(M2)=.30P(M3)=.20P(D/M1)=.03P(ND/M1)=.97P(D/M2)=.04P(D/M3)=.05P(ND/M2)=.96P(ND/M3)=.95P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01P(D) = .015+.012+.01=.037Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artculo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

Probabilidad totalteorema de bayes