Probabilidad
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Probabilidad
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Cuando realizamos un experimento, diremos que es:
DetermínistIco: dadas unas condiciones iniciales , el resultado es siempre el mismo.
Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.
SUCESOS DETERMINÍSTICOS Y ALEATORIOS
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Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es:
P(A) = nA/n Ejemplos:
Con un juego de baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3?
12/40 = 3/10
Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar?
3/6 = 1/2
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La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.
CLASIFICACION OMS
469 46,9%
467 46,7%
64 6,4%
1000 100,0
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
Total
VálidosFrecuencia Porcentaje
OSTEOPOROSIS
OSTEOPENIA
NORMAL
0 10 20 30 40 50
Porcentaje
CLASIFICACION OMS
P(Normal) = 0,469 P(Osteopenia) = 0,467 P(Osteoporosis) = 0,064
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Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas:
En todas las definiciones nos referimos a sucesos. Recordemos qué son y cuáles las operaciones típicas.
Ejemplo: Dos individuos apuestan Bs 5 por el equipo A y Bs 12 por el equipo B, respectivamente, entonces La probabilidad de que gane A es: 5/(5+12) La probabilidad de que gane B es: 12/(5+12)
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Suceso es cada posible resultado de un experimento aleatorio
El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (Ω)
Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral
Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (o AC), es el formado por los elementos que no están en A
Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).
Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B
Ω espacio muestral
Ω espacio muestral
A
A’
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
Unión Intersección
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Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es
Ω = 1,2,3,4,5,6
Algunos eventos: Sacar un número impar: A = 1,3,5 Sacar un número primo: B = 1,2,3,5 Sacar un número que no sea impar: A’= 2,4,6 Sacar un número primo no impar: B ∩ A’= 2
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Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado”, el espacio muestral es
Ω = 1,C, 1,S, 2,C, 2,S, 3,C, 3,S, 4,C, 4,S, 5,C, 5,S, 6,C, 6,S
Algunos eventos: Sacar sello y un número par: A = 2,S, 4,S, 6,S Sacar cara: B = 1,C, 2,C, 3,C, 4,C, 5,C, 6,C Sacar un número par:
D = 2,C, 2,S, 4,C, 4,S, 6,C, 6,S Sacar cara o un número par:
B U C = 2,C, 2,S, 4,C, 4,S, 6,C, 6,S, 1,C, 3,C, 5,C Sacar cara y un número par:
B ∩ C = 2,C, 4,C, 6,C
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Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas):
P(S) = 1 (S es el evento seguro)
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(AUB) = P(A)+P(B) si A∩B = Ø Ø es el conjunto vacío.
S espacio muestral
100%
B
S espacio muestral
A
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A
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B:
)(
)()|(
BP
BAPBAP
S espacio muestral
B
“tam
año”
de
uno
resp
ecto
al
otro
Error frecuentísimo: No confundir probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
En P(A∩B) con respecto a P(S)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)
Concepción clásica:
¿casos
posibles?
¿casos
favorables?
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B
A
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B) = 1 P(A|B) = 0,8
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08
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A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B) = 0,05 P(A|B) = 0
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0
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Los problemas de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A)
P(S)=1 , P(Ø)=0
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)(Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada)
P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)
P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)
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Ejemplo: Considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.Calcular la probabilidad de que el sistema filtre de manera eficaz.
P(A) = 0,9
P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956
P(C) = 0,7P(B) = 0,8
Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 del tipo A y 10 del tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar, ¿cuál es la probabilidad de los tres sean del tipo A?
Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A.P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28) = 0,28079
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Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro.
A es independiente de B
P(A|B) = P(A)
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
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Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer
tenga osteoporosis? P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 (6,4%)
Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No
menopausia)
Es la probabilidad marginal (de la osteoporosis. respecto de la menopausia) o probabilidad total.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
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¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 467/1000+64/1000 = 0,531
Son sucesos disjuntos Osteopenia ∩ Osteoporosis = Ø
¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia) = 64/1000+697/1000 - 58/1000 =
0,703 No son sucesos disjuntos
¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? P(Normal) = 469/1000 = 0,469 P(Normal) = 1- P(Normal’) = 1- P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 1-
10,531= 0,469
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
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Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098
¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058
Otra forma:
058,01000/58697
58
1000
697
)|(.)().(
MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
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¿Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo
P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098
La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. No son independientes.
¿Otra forma? P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop.) P(Osteoporosis) = (697/1000) x (64/1000) =
0,045 La probabilidad de la intersección no es el producto de
probabilidades. No son independientes.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
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A1 A2
A3 A4
Es una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4…
tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral , y sus intersecciones son disjuntas.
¿Recordar cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
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A1 A2
A3 A4
B
Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
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A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4)
= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
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Ejemplo (I): En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 (13%)
Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
Hombre
MujerFuman
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ii
P(B A )P(A |B)
P(B)
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
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Se elije una persona fumadora al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?.
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( )
( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
0,3 0,2 0,3 0,20,46
0,3 0,2 0,7 0,1 0,13
P H F P H P F HP H F
P F P F
P H P F H
P H P F H P M P F M
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
FumanHombre
Mujer