PRINCIPIOS UTILIZADOS EN EL MODELADO

No es posible suministrar reglas según las cuales se construyan modelos matemáticos, aunque sí se puede expresar una diversidad de principios de guía. No describen los pasos claros que se realizan en la construcción de un modelo, sino que describen los distintos puntos de vista desde los cuales se puede juzgar la información a incluir en el modelo.

A) FORMACIÓN EN BLOQUES

La descripción del sistema se debe organizar en una serie de bloques, o subsistemas. El propósito de formar los bloques es simplificar la especificación de las interacciones dentro del sistema.

Cada bloque describe parte del sistema que depende de pocas, preferiblemente una, variables de entrada y produce unas pocas variables de salida. Luego puede describirse al sistema como un todo en términos de las interconexiones entre los bloques. En forma correspondiente, se puede representar gráficamente al sistema como un diagrama simple de bloques.

B) RELEVANCIA

El modelo sólo debe de incluir los aspectos del sistema relevantes a los objetivos del estudio. A manera de ejemplo, si el estudio del sistema de la fábrica pretende comparar los efectos de distintas reglas de operación en la eficiencia, no es relevante considerar la contratación de los empleados como una actividad.

Aunque la información irrelevante en el modelo no perjudica, se debe de excluir debido a que aumenta la complejidad del modelo y genera más trabajo en la solución del modelo.

c) EXACTITUD

Debe de tenerse en cuenta la exactitud de la información que se recabe. Por ejemplo, en el sistema de la aeronave, la exactitud con que se describe el movimiento de la misma depende de la representación de la estructura.

Puede bastar considerar a la estructura como un cuerpo rígido y deducir una relación muy simple entre el movimiento de la superficie de control y la dirección a donde va la aeronave, o puede ser necesario reconocer la flexibilidad de la estructura y dar cabida a las variaciones en la misma.

El ingeniero responsable de estimar el consumo de combustible se sentirá satisfecho con la representación simple. En cambio, otro ingeniero, responsable de tomar en cuenta la comodidad de los pasajeros, necesita tomar en cuenta las vibraciones, por lo que querrá la descripción detallada de la estructura.

D) AGREGACIÓN

Un factor adicional que debe de considerarse es el grado con que pueden agruparse las distintas entidades individuales en entidades más grandes.

El gerente general de la fábrica estará satisfecho con la des-cripción que se ha dado. Sin embargo, el gerente de control de la producción querrá considerar los talleres de los departamentos como entidades individuales.

En algunos estudios puede ser necesario construir entidades. Artificiales mediante el proceso de agregación. Por ejemplo, por lo general un estudio económico o social considera a una población como una cantidad de clases sociales y realiza un estudio como si cada una de estas fuera una entidad distinta.

A la representación de actividades se debe de dar consideraciones semejantes de agregación.

Por ejemplo, al estudiar un sistema de defensa con proyectiles, puede no necesitarse incluir los detalles del cómputo de una trayectoria de proyectiles para cada disparo. Será" suficiente con representar el resultado de muchos disparos mediante una función de probabilidad

Distribución hipergeométrica

La distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernoulli con probabilidades no constantes (sin reemplazamiento) .

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

    Modeliza , de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución .fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde es el tamaño de población, es el tamaño de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha

categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

La distribución Normal

Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En

realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo.

Su función de densidad viene dada por la fórmula:

que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N(μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N(0, 1)..

Propiedades del modelo Normal

1. Su esperanza es μ.

2. Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ.

3. Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la representación anterior.

4. Media, moda y mediana coinciden (μ).

5. Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá también el modelo Normal. Si X ~ N(μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0), entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ.

6. Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también una distribución Normal. Es decir, dadas n variables aleatorias independientes con distribución  Xi ~ N(μi, σi) para i = 1, 2, ..., n la combinación lineal: Y = anXn + an−1Xn−1+ ... + a1X1 + a0 sigue también el modelo Normal: