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PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD
GERMÁN E. RINCÓN
CONCEPTOS BÁSICOS
Tipos de fenómenos: Fenómenos determinísticos Una acción un solo resultado posible Se puede pronosticar con precisión lo que va a
ocurrir ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre
en un tiempo determinado? ¿A qué temperatura se evapora el agua al nivel
del mar? ¿Qué le ocurre a un material ferroso en un
ambiente húmedo?
CONCEPTOS BÁSICOS
Tipos de fenómenos:
Fenómenos aleatorios Una acción varios resultados posibles de los
cuales ocurre solo uno
Los resultados ocurren “AL AZAR”
¿En qué numero caerá la lotería?
¿Qué resultado tendrá una nueva empresa?
¿Cuántos productos saldrán defectuosos de un lote de producción?
¿Qué numero saldrá al lanzar un dado?
CONCEPTOS BÁSICOS
Fenómenos determinísticos Certidumbre
Siempre se sabe que va a ocurrir, sí se realiza una actividad en unas condiciones determinadas
Fenómenos aleatorios Incertidumbre
Cuando se realiza una actividad no se sabe cuál de los posibles resultados va a ocurrir
CONCEPTOS BÁSICOS
Concepto de Experimento Aleatorio:
Cualquier acción que tenga varios resultados posibles conocidos de los cuales ocurre solo uno
Lanzar una moneda
Iniciar una empresa
Medir alguna característica de las piezas que salen de producción
Cuántas veces se avería una máquina en el mes
Qué va a responder una persona sobre un tema que se le pregunte
CONCEPTOS BÁSICOS
Definiciones de probabilidad:
Medida numérica de la posibilidad de que ocurra un resultado determinado en un experimento aleatorio
Medida numérica de la incertidumbre
Incertidumbre por falta de información
Necesidad de la probabilidad:
Medir la posibilidad o el riesgo de que algo ocurra o no ocurra
Cuantificar la incertidumbre
CONCEPTOS BÁSICOS
EL ESPACIO MUESTRAL
Concepto:
Lista de TODOS los posibles resultados de un experimento aleatorio
Símbolo S
Ejemplos de espacio muestral Lanzar una moneda
Lanzar un dado
El peso de estudiantes de un salón de clase
EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL
Lanzar un par de dados
Sacar, al azar, una ficha de una caja que tiene varias fichas de colores
Ingreso de profesionales recién egresados
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
CONCEPTOS BÁSICOS
Formas de describir el espacio muestral Con palabras espacio cualitativo
Con números enteros espacio discreto
Intervalos de valores espacio continuo
Resultado o punto muestral Concepto
Ejemplos
Evento o suceso Concepto
ejemplos
CONCEPTOS BÁSICOS
Simbología de las probabilidades :
Propiedades fundamentales de las probabilidades
si x = cualquier suceso
suma de las probabilidades de todos los resultados de s
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Asignación de probabilidades
Método clásico (a priori)
Método empírico o de la frecuencia relativa (a posteriori)
Método subjetivo
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
MÉTODO CLÁSICO
Supuesto: resultados equiprobables
Momento del cálculo: a priori (probabilidades teóricas)
Para un suceso E cualquiera:
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Ejemplos :
Calcular la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda
Calcular la probabilidad de que salga un 4 al lanzar un dado
Calcular la probabilidad de que la suma de los puntos al lanzar un par de dados sea mayor que 7
Calcular la probabilidad de sacar una ficha verde de una caja que contiene 2 fichas verdes, una roja y 3 blancas
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
MÉTODO EMPÍRICO O DE LA FRECUENCIA RELATIVA
Método de cálculo: a posteriori (probabilidades empíricas)
La probabilidad de que ocurra un suceso E cualquiera es igual a su frecuencia relativa
Principio
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Ejemplos:
Se lanza una moneda 500 veces con los siguientes resultados:
No. de RESULTADO veces FR
Cara 240 0,48 Sello 260 0,52 Suma 500 1,00
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Tiempo que demora una capa de pintura en secarse
Sí x = tiempo de secado en horas
??????
Horas por No. de
muestra muestras FR
0 - 0,5 10 0,14
0,5 - 1,0 22 0,30
1,0 - 1,5 15 0,21
1,5 - 2,0 10 0,14
2,0 - 2,5 7 0,10
2,5 - 3,0 5 0,07
Mas de 3,0 3 0,04
Suma 72 1,00
PRÁCTICA EN CLASE
De una caja que tiene unas tarjetas marcadas con las letras A, B, C. D, E, F, O, H y M, se escoge una tarjeta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta seleccionada corresponda a una consonante?
De una caja que contiene 10 fichas numeradas del cero al nueve se extrae una ficha al azar. ¿Cuál e s la probabilidad de que la ficha seleccionada sea un número mayor que 6?
PRÁCTICA EN CLASE
El número de accidentes, por día, que ocurrieron el año pasado, en una fábrica, se presenta en la siguiente tabla:
¿Cuál es la probabilidad de qué en un día cualquiera se presenten 2 accidentes?
Accidentes No. de por día días
0 180 1 60 2 35 3 21 4 5 5 4
mas de 5 3 TOTAL 308
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
MÉTODO SUBJETIVO
Sucesos que no han ocurrido antes
Sucesos que han ocurrido muy pocas veces
Sucesos que ocurren siempre en diferentes condiciones
P ( E ) = subjetivamente con base en toda la información disponible
Ejemplo
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
Se lanzó 1000 veces una moneda y se registró el numero de caras No. de No. de lanz. No. de No. de caras
lanzamientos acumulado caras acumulado FR
50 50 30 30 0,6000 50 100 23 53 0,5300 50 150 22 75 0,5000 50 200 23 98 0,4900 50 250 22 120 0,4800 50 300 24 144 0,4800 50 350 25 169 0,4829 50 400 25 194 0,4850 50 450 29 223 0,4956 50 500 23 246 0,4920 50 550 28 274 0,4982 50 600 17 291 0,4850 50 650 27 318 0,4892 50 700 18 336 0,4800 50 750 28 364 0,4853 50 800 26 390 0,4875 50 850 28 418 0,4918 50 900 23 441 0,4900 50 950 19 460 0,4842 50 1000 21 481 0,4810
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
FREC
UEN
CIA
REL
AT
IVA
NÚMERO DE LANZAMIENTOS
Probabilidad empírica
PRÁCTICA EN CLASE
Al lanzar un par de dados:
¿A qué número se debe apostar sí se quiere ganar?
¿Qué condición tiene esta afirmación?
MUESTREO
Concepto de muestra (repaso)
Muestreo: Acción de tomar muestras, métodos y técnicas para seleccionar a los elementos de una muestra (Inferencia estadística)
Muestreo experimento aleatorio
Muestreo de caja (concepto)
Muestreo de caja con reemplazamiento
Muestreo de caja sin reeplazamiento
ENSAYOS
Concepto: cada uno de los intentos o pruebas con los que se realiza un experimento aleatorio
Ejemplos
Lanzar una moneda No. de ensayos = ???
Lanzar 3 monedas al tiempo No. de ensayos =?
Lanzar simultáneamente un par de dados = ???
Extraer, al azar, una ficha de una caja = ???
Extraer, al azar, simultáneamente, 5 fichas de una caja = ???
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Espacio muestral de lanzar 2 monedas Espacio muestral de lanzar 3 monedas Diagrama de árbol: sucesos simultáneos en
sucesión Diagrama de árbol y espacio muestral para el
lanzamiento de 3 monedas Ejemplo: De una caja que tiene 3 fichas marcadas
con las letras A, B y C se sacan 2 fichas al azar Establecer el espacio muestral sí el muestreo es con
reemplazamiento Establecer el espacio muestral sí el muestreo es sin
reemplazamiento
PRÁCTICA EN CLASE
Al lanzar 3 monedas simultáneamente establecer las probabilidades de: Salga solamente una cara Salga como máximo una cara Salgan al menos 2 caras (como mínimo 2 caras)
De una caja que contiene 2 fichas verdes, una negra y una blanca, se extraen 2 fichas al azar sin reemplazamiento Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que la primera ficha sea
verde y la segunda blanca Establecer la probabilidad de que ambas fichas sean
verdes
PRÁCTICA EN CLASE
De una caja que tiene 3 fichas marcadas con los números 1, 2 y 3, se extraen al azar 2 fichas sin reemplazamiento: Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que el primer
número sea mayor que el segundo Establecer la probabilidad de que el número que
se forma sea par
Conclusión de la utilidad del diagrama de árbol en el cálculo de probabilidades teóricas
TÉCNICAS DE CONTEO
Limitaciones del diagrama de árbol:
Muestreo de mas de 3 ensayos
Caja con muchos elementos diferentes
Técnicas de conteo
Espacios muestrales grandes
Se usan en cálculos de probabilidades teóricas para establecer el tamaño del espacio muestral y el tamaño de cualquier suceso
TÉCNICAS DE CONTEO
Técnicas de conteo:
Principio Fundamental del conteo (PFC)
Permutaciones
Combinaciones
Concepto de muestreo ordenado y muestreo desordenado
Repaso: muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento
TÉCNICAS DE CONTEO
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO (PFC)
Condiciones: Muestreo ordenado (orden en que ocurren los
sucesos) Con reemplazamiento o sin reemplazamiento
Concepto:
Ensayo No. de No. Posibilidades
1 2 3 4 - - - - - - k
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Ejemplo:
Sí se lanzan simultáneamente 3 monedas: ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral?
Lanzamiento No. de
No. Posibilidades
1 2
2 2
3 2
PRÁCTICA EN CLASE
1. De una caja que contiene 2 fichas negras, una roja y una verde, se extraen, al azar 2 fichas con reemplazamiento: • Aplicando el PFC calcule el tamaño (No. de
resultados) del espacio muestral • Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: las
2 fichas extraídas son de color negro • Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: la
primera ficha extraída es de color negro y la segunda de color rojo
• Calcule las probabilidades de los dos últimos sucesos
• Verifique los resultados elaborando el diagrama de árbol
PRÁCTICA EN CLASE
2. Repita el ejercicio No.1 sí el muestreo es ahora sin reemplazamiento
3. De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas azules, se extraen, al azar, 3 fichas con reemplazamiento.
• Calcule el tamaño del espacio muestral
• Calcule la probabilidad de que las 3 fichas sean rojas
• Calcule la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean rojas y la tercera sea verde
4. Repita el ejercicio No.3 sí el muestreo es sin reemplazamiento
PERMUTACIONES
Condiciones: Muestreo ordenado y sin reemplazamiento
Concepto de permutación: Resultados con los mismos elementos en diferente orden
Ejemplo: de una caja que tiene 4 fichas marcadas con las letras A, B, C y D se extraen 3 fichas sin reemplazamiento
A B C B A C C A B D A B
A B D B A D C A D D A C
A C B B C A C B A D B A
A C D B C D C B D D B C
A D B B D A C D A D C A
A D C B D C C D B D C B
PERMUTACIONES
Cálculo del tamaño del espacio muestral o del tamaño de un suceso:
Ejemplo: Para el caso anterior n = 4 y r = 3
Cálculo con las funciones de la calculadora
CÁLCULOS CON PERMUTACIONES
La combinación de una cerradura está compuesta de 3 dígitos del cero al nueve que no se pueden repetir. ¿Cuál es el número de claves posibles? Resuelva el caso anterior aplicando el PFC Resuelva el caso por permutaciones Resuelva el caso anterior sí los dígitos se pueden
repetir Sí los dígitos no se pueden repetir ¿Cuál es la
probabilidad de que los 2 primeros números sean pares y el tercero impar?
Se tienen 5 tiras de los colores: rojo, negro, verde,
azul y naranja, para diseñar banderas tricolores. ¿Cuántas banderas diferentes se pueden diseñar?
PRÁCTICA EN CLASE
De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen , al azar, 2 fichas sin reemplazamiento. Sí el orden en que se extraen las fichas es importante ¿Cuántos resultados tiene este experimento aleatorio? ¿Cuántos resultados tiene el suceso: Las dos fichas
extraídas son de color rojo? Verifique esta respuesta con el diagrama de árbol ¿Cuál es la probabilidad de que las dos fichas
extraídas sean de color rojo? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera ficha
extraída sea verde y la segunda negra? Sí se extraen 3 fichas ¿Cuál es la probabilidad de que
la 2 primeras sean rojas y la tercera verde?
PRÁCTICA EN CLASE
De una caja que tiene 7 fichas numeradas del 3 al 9 se extraen, al azar, 3 fichas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean impares y la tercera sea par?
COMBINACIONES
Condición: El orden en que se extraen los elementos de una caja no es importante
Condición: muestreo sin reemplazamiento
Calculo de combinaciones:
A B C B A C C A B D A B
A B D B A D C A D D A C
A C B B C A C B A D B A
A C D B C D C B D D B C
A D B B D A C D A D C A
A D C B D C C D B D C B
COMBINACIONES
A B C A B D A C D B C D
CÁLCULOS CON COMBINACIONES
Cálculo con las funciones de la calculadora Ejemplo : En un grupo compuesto por 6 estudiantes
de administración, 5 estudiantes de ingeniería y 4 estudiantes de derecho, se van a rifar 3 tabletas idénticas: ¿De cuántas maneras se pueden ganar todos los
estudiantes las 3 tabletas? ¿De cuántas maneras se pueden ganar las 3 tabletas los
estudiantes de administración? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen
los estudiantes de administración? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen
2 estudiantes de ingeniería y uno de derecho?
PRÁCTICA EN CLASE
Para diseñar un examen de 5 preguntas un profesor dispone de una batería de 20 preguntas, de las cuales, 10 son de dificultad baja, 6 son de dificultad media y 4 son de dificultad alta. Sí el profesor escoge las preguntas al azar: ¿Cuántos exámenes diferentes puede diseñar? ¿Cuántos exámenes diferentes puede diseñar con las
preguntas de dificultad baja? Qué probabilidad existe de que diseñe un examen sólo con
preguntas de dificultad baja? ¿Cuál es la probabilidad de que el examen diseñado tenga
3 preguntas de dificultad baja y 2 de dificultad alta?
MAPA CONCEPTUAL DE TÉCNICAS DE CONTEO
Uso de las técnicas: MUESTREO
CON REEMPLAZAMIENTO
SIN REEMPLAZAMIENTO
DESORDENADO ORDENADO ORDENADO DESORDENADO
?
CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS
Un solo ensayo: Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos compatibles
Ejemplos
Mas de un ensayo:
Sucesos independientes
Sucesos dependientes
Ejemplos
OPERACIONES CON PROBABILIDADES
Suma
Complemento
Multiplicación o probabilidad conjunta
División o probabilidad condicional
SUMA DE PROBABILIDADES
La probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B:
SUCESOS COMPATIBLES
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
SUMA DE PROBABILIDADES
Ejemplo: Sacar una ficha de una caja que tiene 10 fichas numeradas de 0 al 9
clasif de suc
SUMA DE PROBABILIDADES
Ejemplo: En una caja se tienen fichas cuadradas, redondas y ovaladas. De estas algunas son negras y otras son verdes como se muestra en la siguiente tabla:
complemento
Sí se extrae una ficha al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea cuadrada u ovalada
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea redonda o verde
Cuadradas Redondas Ovaladas Total
Negras 8 4 3 15
Verdes 2 6 7 15
Total 10 10 10 30
PRÁCTICA EN CLASE
En un curso de estadística de 28 estudiantes de las facultades de administración, sicología e ingeniería hay 15 hombres, 9 estudiantes de administración y 12 estudiantes de sicología. De los hombres 6 estudian administración y 5 estudian ingeniería
a) Sí se escoge un estudiante al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que estudie administración o sicología?
b) Sí se escoge un estudiante al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o estudie ingeniería?
COMPLEMENTO
Concepto: Sí se tiene un suceso A cuya probabilidad de
ocurrencia se conoce, la probabilidad de que NO OCURRA EL SUCESO A, es:
COMPLEMENTO
Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un par de dados, la suma de las caras sea un número mayor que 8 es:
A = Suma de las caras > 8 (verificar)
suma de las caras ≤ 8
PRÁCTICA EN CLASE
De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen , al azar, 2 fichas sin
reemplazamiento. sea A = las 2 fichas extraídas son rojas
(Verificar)
Calcular la probabilidad de que las fichas extraídas no sean ambas de color rojo
PRÁCTICA EN CLASE
Del ejercicio se extrae una ficha al azar:
a) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea cuadrada
b) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea cuadrada
c) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea redonda o verde
d) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea redonda o verde
CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS
Mas de un ensayo Sucesos independientes:
• Se extraen 2 fichas con reemplazamiento
Sucesos dependientes: • Se extraen 2 fichas sin reeplazamiento
Suc. dep.
R R
R V V Primer ensayo
Segundo ensayo
Primer ensayo
Segundo ensayo
Sucesos independientes Sucesos dependientes
Clasif de suc
𝑃 𝑉 𝑅 = 1
2
PROBABILIDAD CONJUNTA
SUCESOS INDEPENDIENTES
Para 2 sucesos A y B independientes:
Probabilidad de que ocurran el suceso A y el
suceso B, simultáneamente o en sucesión
PROBABILIDAD CONJUNTA
Ejemplo No.1
• Experimento: Lanzar un par de dados (un dado 2 veces)
• Resultado : Que salga primero un 5 y después un 6
• Condición: los sucesos son independientes
PROBABILIDAD CONJUNTA
Ejemplo No.2 • Experimento: Se lanzan 3 monedas (una moneda
3 veces) • Resultado : Que salgan en su orden cara, cara,
sello
• Condición : los sucesos son independientes
PRÁCTICA EN CLASE
• Experimento: Se extraen con reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas
• Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco
PROBABILIDAD CONJUNTA
Sucesos dependientes
Para 2 sucesos A y B dependientes:
Probabilidad de que ocurran el suceso A y el
suceso B, simultáneamente o en sucesión
PROBABILIDAD CONJUNTA
Ejemplo:
En el ejercicio calcule la probabilidad de que la primera ficha sea verde y la segunda sea roja
PRÁCTICA EN CLASE
• Experimento: Se extraen sin reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas
• Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco
PRÁCTICA EN CLASE
Operaciones combinadas
Al lanzar u par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras de 8?
PRÁCTICA EN CLASE
Operaciones combinadas Las piezas que salen de una línea de producción se
empacan en cajas de 20 unidades. De registros anteriores se sabe que el 60% de estas unidades salen de buena calidad, el 30% se pueden reprocesar y el 10% salen desechables.
Sí se abre una caja y se escogen al azar 3 piezas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 piezas sean
de buena calidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las piezas
salgan de buena calidad y una reprocesable?
ÁRBOL DE DECISIÓN
Para muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento.
Diferencia entre diagrama de árbol y árbol de decisión:
De una caja que tiene 3 fichas rojas y 2 verdes se sacan 2 fichas sin reemplazamiento. ¿Cuál e s la probabilidad de que salga una roja y una verde?
PRÁCTICA EN CLASE
Un estudiante que está presentando una prueba de 3 preguntas. Cada pregunta se presenta con 4 posibles respuestas de las cuales sólo una es verdadera. Sí el estudiante escoge al azar la respuesta de cada pregunta:
a) ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las 3 preguntas?
b) Cuál es la probabilidad de que acierte 2 de las 3 preguntas?
PRÁCTICA EN CLASE
Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 2 fichas sin reemplazamiento:
¿Cuál es la probabilidad de que las 2 fichas extraídas
sean, ambas, del mismo color?
1 2
5 4
3 6
2
3 5
1
4
1
4
2
3
5
1 2
3
4
2
3 1
4
1 3
2
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Condición: un solo ensayo
Significado: Para dos sucesos A y B cualquiera
La probabilidad de que ocurra el suceso A sí el suceso B ya ocurrió
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo Una fábrica tiene en existencia, repuestos
comprados a 3 proveedores, con la calidad y cantidad que se muestran en la siguiente tabla:
Sí se escoge un repuesto al azar y sale de segunda
¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor C?
PROVEEDOR
CALIDAD A B C TOTAL
Primera 20 12 6 38
Segunda 10 8 4 22
TOTAL 30 20 10 60
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Método intuitivo
???
???
PRÁCTICA EN CLASE
En una caja hay 10 fichas rojas y 6 fichas verdes que están numeradas. 9 de las fichas tienen números pares y 4 de las fichas rojas tienen números impares. Sí se escoge una ficha al azar y tiene número impar ¿Cuál es la probabilidad de que sea verde?
TEOREMA DE BAYES
Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 1 ficha:
Sí la ficha que se extrajo es de color rojo: ¿Cuál es la
probabilidad de se haya tomado de la caja A1 ?
1 2
5 4
3 6
2
3 5
1
4
1
4
2
3
5
1 2
3
4
2
3 1
4
1 3
2
TEOREMA DE BAYES X
A1
A2
A3
R
V
R
V
R
V
TEOREMA DE BAYES
Ejemplo:
A1
A2
A3
R
V
R
V
R
V
PRÁCTICA EN CLASE
El 70% de los motores que salen de una línea de producción son ensamblados automáticamente, el 20% son ensamblados en un proceso mixto (automático y manual) y el 10% son ensamblados manualmente. De los registros de garantía se sabe que el 1% de los motores de ensamblado automático fallan antes de completar 1500 horas de uso, lo mismo que el 6% de los motores de ensamblado mixto y el 20% de los motores de ensamblado manual. Sí un motor falló antes de completar las 1500 horas de uso: ¿Cuál es la probabilidad de que se haya ensamblado manualmente?