CAPITULO 1: PRINCIPIOS BSICOS DE ELECTRICIDAD YELECTRNICAIntroduccinPara un correcto desarrollo y entendimiento de la ctedra Electrnica Automotriz de lamaestra en Sistemas Vehiculares se presenta este captulo como una nivelacin entre losestudiantes.Si bien es cierto, en los ltimos aos las materias de electricidad y en menor medida laelectrnica han sido introducidasen los planes de estudio de los ingenieros automotrices, esnecesario partir de los principios bsicos para que los estudiantes recuerden, afiancen yformen una base slida para el desarrollo de la ctedra.Se pretende cubrir las bases de electricidad como son: la ley de ohm, anlisis de circuitos serie,paralelo y mixto, as como el anlisis de circuitos elctricos. Adems, se cubrir los principiosde electrnica digital y sistemas electrnicos (analgicos y digitales); si bien el uso decompuertas digitales es casi obsoleto en sistema de electrnicos automotrices, son basefundamental de los sistemas embebidos (microcontroladores, procesadores, FPGA).LeyesbsicasEnloprofundodelinconscientehumanohayunagrannecesidaddeununi-versolgicoquetengasentido.Peroeluniversosiempreestunpasomsalldelalgica.FrankHerbertC a p t u l o2MejoredesushabilidadesysucarreraCriterios de ABET EC 2000 (3.b), capacidad para disear un sis-tema,componenteoprocesoparasatisfacernecesidadesde-seadas.Losingenierosdebensercapacesdedisearyrealizarexperimentos,asco-modeanalizareinterpretardatos.Lamayoradelosestudianteshadedica-domuchashorasarealizarexperimentosenlapreparatoriaylauniversidad.Paraestosmomentosyaselehapedidoanalizareinterpretardatos. As,yadeberaestarcalificadoparaesasdosactividades.Mirecomendacinesque,enelprocesoderealizacindeexperimentosenelfuturo,dediquemstiem-poaanalizareinterpretardatosenelcontextodelexperimento.Qusigni-ficaesto?Siobservaunagrficadetensincontraresistenciaodecorrientecontraresistencia o de potencia contra resistencia, qu es lo que realmente ve? Lacurvatienesentido?Escongruenteconloquelateoraledice?Difieredelas expectativas y, de ser as, por qu? Evidentemente, la prctica del anlisiseinterpretacindedatosdesarrollarestahabilidad.Dadoquelamayorade,sinoesquetodos,losexperimentosquedebehacercomoestudianteimplicanescasaonulaprcticaeneldiseodelexpe-rimento,cmopuedegenerareincrementarestahabilidad?Enrealidad,desarrollaresahabilidadbajotalrestriccinnoestandifcilcomoparece.Loquedebehacerestomarelexperimentoyanalizarlo.Des-componerlo en sus partes ms simples, reconstruirlo tratando de entender porqu cada elemento est ah y, finalmente, determinar qu est tratando de en-searelautordelexperimento.Aunquequiznosiempreparezcaas,todoslosexperimentosquehagafuerondiseadosporalguienqueestabasincera-mentemotivadoaensearlealgo.29Fotografa de Charles Alexander.30 Captulo 2 Leyes bsicasIntroduccinEnelcaptulo1sepresentaronconceptosbsicoscomocorriente,tensinypotencia en un circuito elctrico. Determinar realmente los valores de esas va-riables en un circuito dado requiere que se conozcan algunas leyes fundamen-talesquegobiernanaloscircuitoselctricos.Estasleyes,conocidascomolaleydeOhmylasleyesdeKirchhoff,sonlabaseenlaqueseapoyaelan-lisisdecircuitoselctricos.En este captulo, adems de esas leyes, se expondrn algunas tcnicas co-mnmenteaplicadaseneldiseoyanlisisdecircuitos.Estastcnicasinclu-yen la combinacin de resistores en serie o en paralelo, la divisin de tensin,la divisin de corriente y las transformaciones delta a estrella y estrella a del-ta. La aplicacin de estas leyes y tcnicas se restringir en este captulo a cir-cuitosresistivos.Porltimo,seaplicarntalesleyesytcnicasaproblemasrealesdeiluminacinelctricaydediseodemedidoresdecd.LeydeOhmLosmaterialesengeneralposeenelcomportamientocaractersticodeoponerresistencia al flujo de la carga elctrica. Esta propiedad fsica, o capacidad pa-raresistiralacorriente,seconocecomoresistencia yserepresentaconelsmboloR.Laresistenciadecualquiermaterialconunreadeseccintrans-versal uniforme A depende de sta y su longitud , como se muestra en la fi-gura2.1a).Sepuederepresentarlaresistencia(medidaenellaboratorio),enformamatemtica,comoR (2.1)donde sellamaresistividad delmaterial,enohm-metros.Losbuenoscon-ductores,comoelcobreyelaluminio,tienenbajaresistividad,mientrasquelos aislantes, como la mica y el papel, tienen alta resistividad. En la tabla 2.1sepresentanlosvaloresde dealgunosmaterialescomunesyseindicaqumaterialesseempleancomoconductores,aislantesysemiconductores.Elelementodecircuitoqueseusaparamodelarelcomportamientoderesistenciaalacorrientedeunmaterialeselresistor.Paraefectosdefabri-A2.22.1lrea de seccintransversal Aa)Material conresistividad vRi+b)Figura 2.1a) Resistor, b) Smbolo de circuito para laresistencia.TABLA2.1 Resistividaddematerialescomunes.Material Resistividad (m) UsoPlata 1.64 108ConductorCobre 1.72 108ConductorAluminio 2.8 108ConductorOro 2.45 108ConductorCarbn 4 105SemiconductorGermanio 47 102SemiconductorSilicio 6.4 102SemiconductorPapel 1010AislanteMica 5 1011AislanteVidrio 1012AislanteTefln 3 1012AislanteGeorgSimonOhm (1787-1854),fsicoalemn,determinexperimental-mente en 1826 la ley fundamental que relaciona a la tensin y la corriente enunresistor.LaobradeOhmfuealprincipiorechazadaporloscrticos.NacidoenhumildescondicionesenErlangen,Baviera,Ohmseconsagralainvestigacinelctrica.Susesfuerzosdieronfrutoensufamosaley.LaRoyalSocietyofLondonlogalardonen1841conlaMedallaCopley.En1849 se le otorg la ctedra de profesor de fsica de la Universidad de Munich.Parahonrarlo,launidaddelaresistenciallevasunombre.Perfileshistricos2.2 Ley de Ohm 31cacindecircuitos,losresistoressuelenhacersedealeacionesmetlicasycompuestosdecarbono.Elsmbolodecircuitodelresistorsepresentaenlafigura2.1b),dondeR significalaresistenciadelresistor.Elresistoreselele-mentopasivomssimple.Se acredita a Georg Simon Ohm (1787-1854), fsico alemn, el descubri-miento de la relacin entre corriente y tensin en un resistor. Esta relacin seconocecomoleydeOhm.LaleydeOhm establecequelatensinv alolargodeunresistoresdirec-tamenteproporcionalalacorrientei quefluyeatravsdelresistor.Estoes,v i (2.2)Ohm defini la constante de proporcionalidad de un resistor como la resisten-cia,R.(Laresistenciaesunapropiedadmaterialquepuedecambiarsiseal-teranlascondicionesinternasoexternasdelelemento;porejemplo,sihaycambiosenlatemperatura.) As,laecuacin(2.2)seconvierteenv i R (2.3)lacualeslaformamatemticadelaleydeOhm.R enlaecuacin(2.3)semideenlaunidadllamadaohm,designadacomo. As,Laresistencia R deunelementodenotasucapacidadpararesistirsealflujodelacorrienteelctrica;semideenohms().Delaecuacin(2.3)sededucequeR (2.4)demodoque1 1 V/APara aplicar la ley de Ohm como se establece en la ecuacin (2.3), se de-beprestarcuidadosaatencinaladireccindelacorrienteylapolaridaddelatensin.Ladireccindelacorrientei ylapolaridaddelatensinv debenajustarsealaconvencinpasivadelossignos,comoseindicaenlafiguravi32 Captulo 2 Leyes bsicas2.1b).Estoimplicaquelacorrientefluyedeunpotencialmayoraunome-nor,afindequev i R.Silacorrientefluyedeunpotencialmenoraunomayor,v i R.PuestoqueelvalordeR puedeirdeceroalinfinito,esimportantecon-siderarlosdosposiblesvaloresextremosdeR.UnelementoconR 0sellamacortocircuito,comosesealaenlafigura2.2a).Enelcasodeuncor-tocircuito,v i R 0 (2.5)loqueindicaquelatensinesdeceroperoquelacorrientepodraserdecualquiervalor.Enlaprctica,uncortocircuitosueleserunalambreconec-tado,quesesuponequeesunconductorideal. As,Uncortocircuito esunelementodecircuitoconresistenciaqueseaproximaacero.De igual forma, un elemento con R se conoce como circuito abierto, co-mosesealaenlafigura2.2b).Enelcasodeuncircuitoabierto,i Rlm 0 (2.6)lo que indica que la corriente es de cero aunque la tensin podra ser de cual-quiera. As,Uncircuitoabierto esunelementodelcircuitoconresistenciaquetiendealinfinito.Unresistoresfijoovariable.Lamayoradelosresistoressondeltipofijo,loquesignificaquesuresistenciasemantieneconstante.Losdostiposms comunes de resistores fijos (el bobinado y el compuesto) se presentan enlafigura2.3.Losresistoresvariablestienenunaresistenciaajustable.Elsm-bolodecircuitodelafigura2.1b)correspondeaunresistorfijo.Losresisto-resvariablestienenresistenciaajustable.Elsmbolodeunresistorvariableaparece en la figura 2.4a). Un resistor variable comn se conoce como poten-cimetro o pot, cuyo smbolo se muestra en la figura 2.4b). El potencimetroesunelementodetresterminalesconuncontactodeslizante. Aldeslizardi-chocontacto,lasresistenciasentrelaterminaldelcontactodeslizanteylasterminalesfijasvaran.Comolosresistoresfijos,losvariablespuedenserdeltipobobinadooelcompuesto,comoseobservaenlafigura2.5. Aunquere-sistores como los de las figuras 2.3 y 2.5 se usan en diseos de circuitos, hoyvRa)b)R = 0iR = i = 0v = 0+v+Figura 2.2a) Cortocircuito (R 0), b) circuitoabierto (R ).a)b)Figura 2.3Resistores fijos: a) tipo bobinado, b) tipopelcula de carbn.Cortesa de Tech America.a) b)Figura 2.4Smbolos de circuitos de: a) un resistorvariable en general, b) un potencimetro.a) b)Figura 2.5Resistores variables: a) tipo compuesto, b) potencimetrodeslizable.Cortesa de Tech America.2.2 Ley de Ohm 33la mayora de los componentes de circuito que incluyen resistores montandossuperficialmenteointegrados,porlogeneralcomoseindicaenlafigura2.6.CabesealarquenotodoslosresistorescumplenconlaleydeOhm. AunresistorquecumpleconlaleydeOhmseleconocecomoresistorlineal.Tieneunaresistenciaconstante,yporlotantosucaractersticadecorriente-tensinescomoseilustraenlafigura2.7a):sugrficadei-v esunalnearectaquepasaporelorigen.Unresistornolineal nocumpleconlaleydeOhm.Suresistenciavaraconlacorrienteysucaractersticadei-v eshabi-tualmentecomolaqueapareceenlafigura2.7b).Ejemplosdedispositivosconresistencianolinealsonlabombillayeldiodo. Aunquetodoslosresis-toresprcticospuedenexhibircomportamientonolinealenciertascondicio-nes,enestelibrosesupondrquetodosloselementosdiseadoscomoresistoressonlineales.Unacantidadtilenelanlisisdecircuitoeselrecprocodelaresisten-ciaR,conocidocomoconductancia ydenotadoporG:G (2.7)La conductancia es una medida de lo bien que un elemento conducir co-rrienteelctrica.Launidaddeconductanciaeselmho (ohmescritoalrevs)uohmrecproco,conelsmbolo,laomegainvertida. Aunquelosingenie-ros suelen usar el mho, en este libro se prefiere utilizar el siemens (S), la uni-daddeconductanciadelSI:1 S 1 1A/V (2.8)As,Laconductancia eslacapacidaddeunelementoparaconducircorrienteelctrica;semideenmhos( )osiemens(S).Lapropiaresistenciapuedeexpresarseenohmsosiemens.Porejemplo,10 equivalea0.1S. Apartirdelaecuacin(2.7)esposibleescribiri Gv (2.9)LapotenciaquedisipaunresistorpuedeexpresarseentrminosdeR.Conbaseenlasecuaciones(1.7)y(2.3),p vi i2R (2.10)LapotenciaquedisipaunresistortambinpuedeexpresarseentrminosdeG comop vi v2G (2.11)Cabesealardoscosasrespectodelasecuaciones(2.10)y(2.11):1. La potencia disipada en un resistor es una funcin no lineal de la corrien-teolatensin.2. Puesto que R y G son cantidades positivas, la potencia disipada en un re-sistorsiempreespositiva.As,unresistorsiempreabsorbepotenciadelcircuito.Estoconfirmalaideadequeunresistoresunelementopasivo,incapazdegenerarenerga.i2Gv2Riv1Rinterruptor lser resistoresamp op conductorFigura 2.6Resistores en un circuito de pelculagruesa.G. Daryanani, Principles of ActiveNetwork Synthesis and Design (NuevaYork, John Wiley, 1976), p. 461c.Pendiente = Ra)viPendiente = Rb)viFigura 2.7Caracterstica de i-v de: a) un resistor li-neal, b) un resistor no lineal.34 Captulo 2 Leyes bsicas30 Vi+5 kv+Figura 2.8Para el ejemplo 2.2.Figura 2.9Para el problema de prctica 2.2.2 mAi10 kv+Ejemplo 2.1 Unaplanchaelctricarequiere2 Aa120 V.Hallesuresistencia.Solucin:ConbaseenlaleydeOhm,R 60 1202viEjemplo 2.2Problema de prctica 2.1Paraelcircuitomostradoenlafigura2.9,calculelatensinv,laconductan-ciaG ylapotenciap.Respuesta: 20 V,100S,40mW.Problema de prctica 2.2El componente esencial de un tostador es un elemento elctrico (resistor) queconvierte energa elctrica en energa trmica. Cunta corriente toma un tos-tadorconresistenciade12 a110 V?Respuesta: 9.167 A.Enelcircuitoqueapareceenlafigura2.8,calculelacorrientei,laconduc-tanciaG ylapotenciap.Solucin:Latensinenresistoreslamismaquelatensindelafuente(30 V),porqueambosestnconectadosalmismopardeterminales. As,lacorrienteesi 6 mALaconductanciaesG 0.2 mSEsposiblecalcularlapotenciadevariasmaneras,mediantelasecuaciones(1.7),(2.10)o(2.11).p vi 30(6 103) 180mWoseap i2R (6 103)25 103 180mWoseap v2G (30)20.2 103 180mW15 1031R305 103vR2.3 Nodos, ramas y lazos 35Nodos,ramasylazosDado que los elementos de un circuito elctrico pueden interconectarse de va-rias maneras, es necesario conocer algunos conceptos bsicos de topologa deredes.Paradiferenciarentreuncircuitoyunared,sepuedeconsideraraunared como una interconexin de elementos o dispositivos, mientras que un cir-cuito es una red que proporciona una o ms trayectorias cerradas. La conven-cin, al hacer referencia a la topologa de red, es usar la palabra red ms quecircuito. Se hace as pese a que las palabras red y circuito signifiquen lo mis-mocuandoseusanenestecontexto.Entopologaderedesseestudianlaspropiedadesrelativasaladisposicindeelementosenlaredylaconfigura-cingeomtricadelamisma.Taleselementossonramas,nodosylazos.Unarama representaunsoloelemento,comounafuentedetensinounre-sistor.Enotraspalabras,unaramarepresentaacualquierelementodedostermina-les.Elcircuitodelafigura2.10tienecincoramas,asaber:lafuentedeten-sinde10 V,lafuentedecorrientede2 Aylostresresistores.Unnodo eselpuntodeconexinentredosomsramas.Unnodosueleindicarseconunpuntoenuncircuito.Siuncortocircuito(unalambredeconexin)conectaadosnodos,stosconstituyenunsolonodo.Elcircuitodelafigura2.10tienetresnodos,a,b yc.Ntesequelostrespuntosqueformanelnodob estnconectadosporalambresperfectamenteconductores,yconstituyenporlotantounsolopunto.Lomismopuedede-cirsedeloscuatropuntosqueformanelnodoc.Sedemuestraqueelcircui-to de la figura 2.10 slo tiene tres nodos volviendo a trazarlo en la figura 2.11.Loscircuitosdelasfiguras2.10y2.11sonidnticos.Sinembargo,enafnde mayor claridad, los nodos b y c se exhiben con conductores ideales, comoenlafigura2.10.2.310 V 2 Aabc5 +2 3 Figura 2.10Nodos, ramas y lazos.bca10 V5 2 3 2 A+Figura 2.11Nuevo trazo del circuito de tres nodos de la figura 2.10.Una fuente de tensin de 20 sen t V est conectada a travs de un resistor de5k.Hallelacorrienteatravsdelresistorylapotenciaquesedisipaenl.Solucin:i 4 sen t mAAs,p vi 80sen2t mW20sent5 103vREjemplo 2.3Unresistorabsorbeunapotenciainstantneade20cos2t mWcuandoseco-nectaaunafuentedetensinv 10cost V.Hallei yR.Respuesta: 2cost mA,5k.Problema de prctica 2.336 Captulo 2 Leyes bsicasUnlazo escualquiertrayectoriacerradaenuncircuito.Un lazo es una trayectoria cerrada que se inicia en un nodo, pasa por un con-juntodenodosyretornaalnodoinicialsinpasarporningnnodomsdeuna vez. Se dice que un lazo es independiente si contiene al menos una ramaquenoformapartedeningnotrolazoindependiente.Loslazosotrayecto-rias independientes dan por resultado conjuntos independientes de ecuaciones.Esposibleformarunconjuntodelazosindependientesenelqueunodeloslazosnocontengaunaramaas.Enlafigura2.11,abca,conelresistorde 2, es independiente. Un segundo lazo, con el resistor de 3 y la fuente decorriente, es independiente. El tercer lazo podra ser aquel con el resistor de 2enparaleloconelresistorde3.Estoformaunconjuntodelazosindepen-dientes.Una red con b ramas, n nodos y l lazos independientes satisfar el teore-mafundamentaldelatopologaderedes:b l n 1 (2.12)Comolodemuestranlasdosdefinicionessiguientes,latopologadecir-cuitos es de enorme valor para el estudio de tensiones y corrientes en un circui-toelctrico.Dosomselementosestnenserie sicompartenexclusivamenteunsolono-doyconducenenconsecuencialamismacorriente.Dos o ms elementos estn en paralelo si estn conectados a los dos mismosnodosytienenenconsecuencialamismatensinentresusterminales.Loselementosestnenseriecuandoestnconectadosencadenaosecuen-cialmente,terminalconterminal.Porejemplo,doselementosestnenseriesicompartenunnodoyningnotroelementoestconectadoal.Elementosen paralelo estn conectados al mismo par de terminales. Los elementos pue-denestarconectadosdetalformaquenoestnenserienienparalelo.Enelcircuitoqueapareceenlafigura2.10,lafuentedetensinyelresistorde5-estnenserie,porqueatravsdeellosfluirlamismacorriente.Elresistorde2-,elresistorde3- ylafuentedecorrienteestnenparalelo,yaqueestnconectadosalosdosmismosnodos(b yc),yenconsecuenciatienenlamismatensinentreellos.Losresistoresde5y2- noestnenserienienparaleloentres.Ejemplo 2.4 Determine el nmero de ramas y nodos en el circuito que se muestra en la fi-gura2.12.Identifiquequelementosestnenserieyculesenparalelo.Solucin:Puesto que hay cuatro elementos en el circuito, ste tiene cuatro ramas: 10 V,5,6 y2A.Elcircuitotienetresnodos,loscualesseidentificanenlafigura2.13.Elresistorde5 estenserieconlafuentedetensinde10 V,porqueenambosfluiralamismacorriente.Elresistorde6 estenpara-leloconlafuentedecorrientede2 A,porqueambosestnconectadosalosmismosnodos2y3.2.4 Leyes de Kirchhoff 37LeyesdeKirchhoffLa ley de Ohm no es suficiente en s misma para analizar circuitos. Pero cuan-do se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y efi-cazdeherramientasparaanalizargranvariedaddecircuitoselctricos.Lasleyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el fsico alemn Gustav Robert Kirch-hoff(1824-1887).SelesconoceformalmentecomolaleydelacorrientedeKirchhoff(LCK)ylaleydetensindeKirchhoff(LTK).LaprimeraleydeKirchhoffsebasaenlaleydelaconservacindelacarga,deacuerdoconlacuallasumaalgebraicadelascargasdentrodeunsistemanopuedecambiar.LaleydecorrientedeKirchhoff(LCK) establecequelasumaalgebraicadelascorrientesqueentranaunnodo(ofronteracerrada)esdecero.Matemticamente,laLCKimplicaque(2.13)donde N es el nmero de ramas conectadas al nodo e ines la nsima corrien-te que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que en-aNn1in 02.45 6 2 A 10 V+12 5 6 2 A 10 V+3 Figura 2.12Para el ejemplo 2.4.Figura 2.13Los tres nodos del circuito de la figura2.12.5 1 2 4 10 V+3 31 2 4 10 V+1 2Figura 2.14Para el problema de prctica 2.4. Figura 2.15Respuesta del problema de prctica 2.4.Cuntas ramas y nodos tiene el circuito de la figura 2.14? Identifique los ele-mentosqueestnenserieyenparalelo.Respuesta: Cinco ramas y tres nodos se identifican en la figura 2.15. Los re-sistoresde1y2 estnenparalelo.Elresistorde4 ylafuentede10 Vtambinestnenparalelo.Problema de prctica 2.438 Captulo 2 Leyes bsicastranaunnodopuedenconsiderarsepositivas,mientrasquelascorrientesquesalendelnodolleganaconsiderarsenegativas,oviceversa.Para comprobar la LCK, supngase que un conjunto de corrientes ik(t), k 1, 2, , fluye en un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el no-doesiT(t) i1(t) i2(t) i3(t) (2.14)Laintegracindeambosmiembrosdelaecuacin(2.14)produceqT(t) q1(t) q2(t) q3(t) (2.15)dondeySinembargo,laleydelaconser-vacin de la carga elctrica requiere que no cambie la suma algebraica de lascargaselctricasenelnodo;estoes,queelnodonoalmaceneningunacarganeta. As,loqueconfirmalavalidezdelaLCK.Considrese el nodo de la figura 2.16. La aplicacin de la LCK da comoresultadoi1 (i2) i3 i4 (i5) 0 (2.16)puestoquelascorrientesi1,i3ei4entranalnodo,mientrasquelascorrien-tesi2ei5salendel.Delareordenacindelostrminosseobtienei1 i3 i4 i2 i3(2.17)Laecuacin(2.17)esunaformaalternadelaLCK:Lasumadelascorrientesqueentranaunnodoesigualalasumadelasco-rrientesquesalendel.Obsrvese que la LCK tambin se aplica a una frontera cerrada. Esto po-drajuzgarseuncasogeneralizado,porqueaunnodoselepodraconsiderarunasuperficiecerradacontradaenunpunto.Endosdimensiones,unafron-teracerradaesigualaunatrayectoriacerrada.Comoloilustrarepresentati-vamente el circuito de la figura 2.17, la corriente total que entra a la superficiecerradaesigualalacorrientetotalquesaledeella.Una aplicacin simple de la LCK es la combinacin de fuentes de corrien-teenparalelo.Lacorrientecombinadaeslasumaalgebraicadelacorrientesuministrada por las fuentes individuales. Por ejemplo, las fuentes de corrien-qT(t) 0 S iT (t) 0,qT (t) iT (t)dt. qk(t) ik(t)d ti1i5i4i3i2Figura 2.16Corrientes en un nodo que ilustran la LCK.Frontera cerradaFigura 2.17Aplicacin de la LCK a una frontera cerrada.PerfileshistricosGustavRobertKirchhoff (1824-1887),fsicoalemn,enuncien1847dosleyesbsicasconcernientesalarelacinentrecorrientesytensionesenuna red elctrica. Las leyes de Kirchhoff, junto con la ley de Ohm, forman labasedelateoradecircuitos.HijodeunabogadodeKnigsberg,Prusiaoriental,KirchhoffingresalaUniversidaddeKnigsbergalos18aosdeedadydespusfuemaestroenBerln.SucolaboracinenespectroscopiaconelqumicoalemnRobertBunsenderiveneldescubrimientodelcesioen1860ydelrubidioen1861.AKirchhofftambinseleacreditlaleydelaradiacindeKirchhoff.As,esfamosoentrelosingenieros,losqumicosylosfsicos.Se dice que dos fuentes (o circuitosen general) son equivalentes si tienenla misma relacin i-v en un par de terminales.2.4 Leyes de Kirchhoff 39tequeaparecenenlafigura2.18a)puedencombinarsecomoenlafigura2.18b).LafuentedecorrientecombinadaoequivalentepuededeterminarseaplicandolaLCKalnodoa.IT I2 I1 I3oseaIT I1 I2 I3(2.18)Uncircuitonopuedecontenerdoscorrientesdiferentes,I1eI2,enserie,amenosqueI1 I2;delocontrario,seinfringirlaLCK.LasegundaleydeKirchhoffsebasaenelprincipiodelaconservacindelaenerga:La ley de tensin de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de to-daslastensionesalrededordeunatrayectoriacerrada(olazo)escero.Expresadamatemticamente,laLTKestableceque(2.19)dondeM eselnmerodetensiones(oelnmeroderamasenellazo)yvmeslamsimatensin.Para ilustrar la LTK, considrese el circuito de la figura 2.19. El signo encadatensineslapolaridaddelaprimeraterminalencontradaalrecorrerellazo.Sepuedecomenzarconcualquierramayrecorrerellazoenelsentidodelasmanecillasdelrelojoenelsentidocontrario.Supngasequeseiniciaconlafuentedetensinyquerecorreellazoenelsentidodelasmanecillasdelreloj,comosemuestraenlafigura;as,lastensionesseranv1,v2,v3,v4yv5,eneseorden.Porejemplo,alllegaralarama3,laprime-raterminalencontradaeslapositiva,ydeahquesetengav3.Encuantoalarama4,sellegaprimeroalaterminalnegativa,ydeahquev4.Porlotanto,laLTKestablecev1 v2 v3 v4 v5 0 (2.20)Lareordenacindelostrminosproducev2 v3 v5 v1 v4(2.21)loquepuedeinterpretarsecomoSuma de cadas de tensin = Suma de aumentos de tensin (2.22)staesunaformaalternativadelaLTK.Advirtasequesisehubierareco-rrido el lazo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado ha-brasidov1,v5,v4,v3yv2,igualqueantes,salvoquelossignosestninvertidos. As,lasecuaciones(2.20)y(2.21)permaneceniguales.Cuandofuentesdetensinseconectanenserie,laLTKpuedeaplicarseparaobtenerlatensintotal.Latensincombinadaeslasumaalgebraicadelas tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en relacin con las fuen-tesdetensinqueaparecenenlafigura2.20a),lafuentedetensincombi-nadaoequivalenteenlafigura2.20b)seobtieneaplicandolaLTK.Vab V1 V2 V3 0aMm1vm 0aa)b)I1I2I3baIT= I1 I2 + I3 bITITFigura 2.18Fuentes de corriente en paralelo: a)circuito original, b) circuito equivalente.Figura 2.19Circuito de un solo lazo que ilustra laLTK.v4v1+ +v3v2v5+ + + La LTK puede aplicarse de dos mane-ras: recorriendo el lazo en el sentidode las manecillas del reloj o en el con-trario alrededor del lazo. De una u otraforma, la suma algebraica de las ten-siones a lo largo del lazo es de cero.40 Captulo 2 Leyes bsicasoseaVab V1 V2 V3(2.23)ParanoinfringirlaLTK,uncircuitonopuedecontenerdostensionesdife-rentesV1yV2enparaleloamenosqueV1 V2.Solucin:Parahallarv1 yv2,seaplicalaleydeOhmylaleydetensindeKirchhoff.Supngase que la corriente i fluye a travs del lazo como se muestra en la fi-gura2.21b).ConbaseenlaleydeOhm,v1 2i, v23i (2.5.1)LaaplicacindelaLTKalrededordellazoproduce20 v1 v2 0 (2.5.2)Alsustituirlaecuacin(2.5.1)enlaecuacin(2.5.2)seobtiene20 2i 3i 0 o 5i 0--> i 4 ALasustitucindei enlaecuacin(2.5.1)originafinalmentev1 8 V,v212 VFigura 2.20Fuentes de tensin en serie: a) circuito original, b) circuito equivalente.V1V2V3aba)VS = V1 + V2 V3 abb)+++Vab+Vab++Figura 2.21Para el ejemplo 2.5.a)20 V+3 v22 v1+ +b)20 V+3 v22 v1+ +iEjemplo 2.5 Enreferenciaalcircuitodelafigura2.21a),hallelastensionesv1yv2.2.4 Leyes de Kirchhoff 41Solucin:SeaplicalaLTKalolargodellazocomoseindicaenlafigura2.23b).Elresultadoes12 4i 2vo 4 6i 0(2.6.1)LaaplicacindelaleydeOhmalresistorde6 producevo6i (2.6.2)Lasustitucindelaecuacin(2.6.2)enlaecuacin(2.6.1)da16 10i 12i 0 1 i 8 Ayvo 48 V.Figura 2.22Para el problema de prctica 2.5.10 V+8 V+4 v12 v2+ + Figura 2.24Para el problema de prctica 2.6.35 V2vx++10 vx5 vo+ + Problema de prctica 2.5Ejemplo 2.6Problema de prctica 2.6Hallevoyv2enelcircuitodelafigura2.22.Respuesta: 12 V,6 V.Figura 2.23Para el ejemplo 2.6.4 a)12 V2voi4 Vi+ + +4 b)12 V2vo4 V+ + +6 vo6 vo+ + Determinevoei enelcircuitoqueapareceenlafigura2.23a).Hallevxyvoenelcircuitodelafigura2.24.Respuesta: 10 V,5 V.42 Captulo 2 Leyes bsicasSolucin:Se aplica la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de Ohm,v1 8i1, v2 3i2, v3 6i3(2.8.1)a0.5io 3 Aio4 vo+Figura 2.25Para el ejemplo 2.7.Figura 2.26Para el problema de prctica 2.7.io46 Aio2 8 vo+Figura 2.27Para el ejemplo 2.8.8 30 V+a)v1 i2i3i1a6 v33 v2+ ++8 30 V+b)v1 i2i3i1a6 v33 v2+ ++Lazo 2 Lazo 1Ejemplo 2.7 Hallelacorrienteioylatensinvoenelcircuitoqueapareceenlafigura2.25.Solucin:AlaplicarlaLCKalnodoa seobtiene3 0.5io io1 io 6 AEncuantoalresistorde4,laleydeOhmdacomoresultadovo 4io 24 VEjemplo 2.8 Hallelascorrientesytensionesenelcircuitoquesepresentaenlafigura2.27a).Problema de prctica 2.7Hallevoyioenelcircuitodelafigura2.26.Respuesta: 8 V,4 A.2.5 Resistores en serie y divisin de tensin 43PuestoquelatensinylacorrientedecadaresistorestnrelacionadosporlaleydeOhmcomoseindica,enrealidadseestnbuscandotrescosas(v1,v2,v3)o(i1,i2,i3).Enelnodoa,laLCKdacomoresultadoi1 i2 i3 0 (2.8.2)AlaplicarlaLTKallazo1comoenlafigura2.27b),30 v1 v2 0Seexpresaestoentrminosdei1ei2comoenlaecuacin(2.8.1)paraob-tener30 8i1 3i2 0oseai1 (2.8.3)AlaplicarlaLTKallazo2,v2 v3 0 1 v3 v2(2.8.4)comoeradeesperar,yaquelosdosresistoresestnenparalelo.Seexpresav1y v2en trminos de i1e i2como en la ecuacin (2.8.1). La ecuacin (2.8.4)seconvierteen6i3 3i21 i3 (2.8.5)Lasustitucindelasecuaciones(2.8.3)y(2.8.5)enlaecuacin(2.8.2)pro-duce i2 = 0oi2 2 A.Conelvalordei2,ahoraseusanlasecuaciones(2.8.1)a(2.8.5)paraobteneri1 3 A, i3 1 A, v1 24 V, v2 6 A, v3 6 Ai2230 3i28i2230 3i28Figura 2.28Para el problema de prctica 2.8.5 V 3 V+i2i3i18 v2+2 v14 v3++ + Resistoresenserieydivisin detensinLa necesidad de combinar resistores en serie o en paralelo ocurre tan frecuen-tementequejustificaespecialatencin.Elprocesodecombinarlosresistoressevefacilitadoporsucombinacindedosalavez.Conestopresente,con-sidreseelcircuitodeunsololazodelafigura2.29.Losdosresistoresestn2.5Problema de prctica 2.8Hallelascorrientesytensionesdelcircuitoqueapareceenlafigura2.28.Respuesta: v1 3V,v2 2V,v3 5V,i1 1.5A,i2 0.25A, i3 1.25 A.44 Captulo 2 Leyes bsicasen serie, ya que en ambos fluye la misma corriente i. Al aplicar la ley de Ohmacadaunodelosresistoresseobtienev1 iR1, v2 iR2(2.24)SiseaplicalaLTKallazo(desplazndonosenelsentidodelasmanecillasdelreloj),setienev v1 v2 0 (2.25)Delacombinacindelasecuaciones(2.24)y(2.25)seobtienev v1 v2 i(R1 R2) (2.26)oseai (2.27)Ntesequelaecuacin(2.26)puedeescribirsecomov iReq(2.28)lo que implica que los dos resistores pueden remplazarse por un resistor equi-valenteReq;estoes,Req R1 R2(2.29)As,lafigura2.29puederemplazarseporelcircuitoequivalentedelafigura2.30. Los circuitos de ambas figuras son equivalentes porque exhiben las mis-mas relaciones tensin-corrienteen lasterminalesa-b. Uncircuitoequivalen-tecomoeldelafigura2.30estilenlasimplificacindelanlisisdeuncircuito.Engeneral,Laresistenciaequivalente decualquiernmeroderesistoresconectadosenserieeslasumadelasresistenciasindividuales.As,enelcasodeN resistoresenserie,(2.30)Paradeterminarlatensinalolargodecadaresistordelafigura2.29,sesustituyelaecuacin(2.26)enlaecuacin(2.24)yseobtienev1 v, v2 v (2.31)Obsrvesequelatensinenlafuentev sedivideentrelosresistoresenpro-porcindirectaasusresistencias;amayorresistencia,mayorcadadeten-sin.Estosellamaprincipiodedivisindetensin,yelcircuitodelafigura2.29sellamadivisordetensin.Engeneral,siundivisordetensintieneNresistores(R1,R2,...,RN)enserieconlatensinenlafuentev,elnsimoresistor(Rn)tendrunacadadetensindevn v (2.32)RnR1 R2 RNR2R1 R2R1R1 R2Req R1 R2 p RNaNn1RnvR1 R2Figura 2.30Circuito equivalente al circuito de lafigura 2.29.vReqv+i+ abFigura 2.29Circuito de un solo lazo con dos resistoresen serie.v+R1v1R2v2i+ + abLos resistores en serie se comportancomo un resistor nico, cuya resisten-cia es igual a la suma de las resistenciasde los resistores individuales.2.6 Resistores en paralelo y divisin de corriente 45Resistoresenparaleloydivisin decorrienteConsidreseelcircuitodelafigura2.31,dondedosresistoresestnconecta-dosenparaleloyporlotantotienenlamismatensin.ConbaseenlaleydeOhm,v i1R1 i2R2oseai1 , i2 (2.33)LaaplicacindelaLCKalnodoa producelacorrientetotali comoi1 i1 i2(2.34)Alsustituirlaecuacin(2.33)enlaecuacin(2.34)seobtieneni v() (2.35)dondeReqeslaresistenciaequivalentedelosresistoresenparalelo: (2.36)oseaoseaReq (2.37)As,Laresistenciaequivalente dedosresistoresenparaleloesigualalproductodesusresistenciasdivididoentresusuma.Debesubrayarsequeestosloseaplicaadosresistoresenparalelo.Conba-seenlaecuacin(2.37),siR1 R2,entoncesReq R12.Esposibleextenderelresultadodelaecuacin(2.36)alcasogeneraldeuncircuitoconN resistoresenparalelo.Laresistenciaequivalentees (2.38)NtesequeReqsiempreesmenorquelaresistenciadelresistormenorenlacombinacinenparalelo.SiR1 R2 RN R,entoncesReqRN(2.39)1RN1R21R11ReqR1R2R1 R2R1 R2R1R21Req1R21R11ReqvReq1R21R1vR2vR1vR2vR12.6Figura 2.31Dos resistores en paralelo.Nodo bNodo av+R1R2i1i2i46 Captulo 2 Leyes bsicasPorejemplo,sicuatroresistoresde100 secontectanenparalelo,suresis-tenciaequivalenteesde25.A menudo es ms conveniente usar la conductancia en vez de la resisten-cia al tratar con resistores en paralelo. Partiendo de la ecuacin (2.38), la con-ductanciaequivalenteparaN resistoresenparaleloesGeq G1 G2 G3 GN(2.40)dondeGeq 1Req,G1 1R1,G2 1R2,G3 1R3,...GN 1RN.Laecuacin(2.40)establecequeLaconductanciaequivalente deresistoresconectadosenparaleloeslasu-madesusconductanciasindividuales.Estosignificaqueesposibleremplazarelcircuitodelafigura2.31poreldelafigura2.32.Advirtaselasemejanzaentrelasecuaciones(2.30)y(2.40).Laconductanciaequivalentederesistoresenparaleloseobtienedelamismamaneraquelaresistenciaequivalentederesistoresenserie.Deigualforma,la conductancia equivalente de resistores en serie se obtiene de la misma ma-nera que la resistencia equivalente Geqde N resistores en serie (como se mues-traenlafigura2.29)es (2.41)Dadalacorrientetotali queentraalnodoa enlafigura2.31,cmoseobtienen las corrientes i1e i2? Se sabe que el resistor equivalente tiene la mis-matensin,oseav iReq (2.42)Lacombinacindelasecuaciones(2.33)y(2.42)dai1 , i2 (2.43)loqueindicaquelacorrientetotali escompartidaporlosresistoresenpro-porcininversaasusresistencias.Estoseconocecomoprincipiodedivisindecorriente,yelcircuitodelafigura2.31seconocecomodivisordeco-rriente.Ntesequelacorrientemayorfluyeporlaresistenciamenor.Comouncasoextremo,supngasequeunodelosresistoresdelafigura2.31 es de cero, digamos R2 0; esto es, R2es un cortocircuito, como se ob-servaenlafigura2.33a).Delaecuacin(2.43),R2 0implicaquei1 0,i2 i.Estosignificaquelacorrientetotali sesalteaR1yfluyaporelcor-tocircuitoR2 0,latrayectoriademenorresistencia. As,cuandouncircui-R1 iR1 R2R2 iR1 R2iR1R2R1 R21GN1G31G21G11GeqR2 = 0a)R1ii1 = 0i2 = iR2 = b)R1ii1 = ii2 = 0Figura 2.33a) Cortocircuito, b) circuito abierto.Figura 2.32Circuito equivalente al de la figura 2.31.bav+Req o GeqviLas conductancias en paralelo se com-portan como una conductancia nica,cuyo valor es igual a la suma de lasconductancias individuales.2.6 Resistores en paralelo y divisin de corriente 47to se pone en cortocircuito, como se muestra en la figura 2.33a), se deben te-nerencuentadoscosas:1. LaresistenciaequivalenteReq 0.[VaseloqueocurrecuandoR2 0enlaecuacin(2.37).]2. Lacorrientetotalfluyeporelcortocircuito.Comootrocasoextremo,supngasequeR2 ;esdecir,queR2esuncircuitoabierto,comosemuestraenlafigura2.33b).Lacorrientesigueflu-yendoporlatrayectoriademenorresistencia,R1.Suponiendoellmitedelaecuacin(2.37)comoR2 ,seobtieneReq R1enestecaso.Si se divide tanto el numerador como el denominador entre R1R2, la ecua-cin(2.43)seconvierteeni1 i (2.44a)i2 i (2.44b)As,engeneral,siundivisordecorrientetieneN conductores(G1,G2,...,GN)enparaleloconlacorrienteenlafuentei,elnsimoconductor(Gn) ten-drunacorrientein i (2.45)En general, a menudo es conveniente y posible combinar resistores en se-rieyenparaleloyreducirunaredresistivaaunasolaresistenciaequivalen-teReq.Unaresistenciaequivalentedeestetipoeslaresistenciaentrelasterminalesdesignadasdelaredydebeexhibirlasmismascaractersticasdei-v quelaredoriginalenlasterminales.GnG1 G2 GNG2G1 G2G1G1 G2Figura 2.34Para el ejemplo 2.9.2 5 Req4 8 1 6 3 Ejemplo 2.9 HalleReqenelcircuitoquesemuestraenlafigura2.34.Solucin:ParaobtenerReqsecombinanresistoresenserieyenparalelo.Losresistoresde6y3 estnenparalelo,asquesuresistenciaequivalentees6 || 3 2 (El smbolo || se usa para indicar una combinacin en paralelo.) De igual for-ma,losresistoresde1y5 estnenserie,ydeahquesuresistenciaequi-valentesea1 5 6 As,elcircuitodelafigura2.34setransformaeneldelafigura2.35a).Enesta ltima figura se advierte que los dos resistores de 2 estn en serie, asquelaresistenciaequivalentees2 2 4 6 36 348 Captulo 2 Leyes bsicasEsteresistorde4 estahoraenparaleloconelresistorde6 delafigu-ra2.35a);suresistenciaequivalentees4 || 6 2.4 El circuito de la figura 2.35a) es remplazado ahora por el de la figura 2.35b).En esta ltima figura, los tres resistores estn en serie. As, la resistencia equi-valentedelcircuitoesReq 4 2.4 8 14.4 4 64 6Solucin:Los resistores de 3 y 6 estn en paralelo, porque estn conectados a los mis-mosdosnodosc yb.Suresistenciacombinadaes3 || 6 2 (2.10.1)3 63 66 Req4 a)8 2 2 2.4 Req4 b)8 Figura 2.35Circuitos equivalentes para el ejemplo2.9.Figura 2.36Para el problema de prctica 2.9.5 4 6 Req2 1 3 4 3 Figura 2.37Para el ejemplo 2.10.abb bc d6 12 5 4 10 1 1 Rab3 Ejemplo 2.10 CalculelaresistenciaequivalenteRabenelcircuitodelafigura2.37.Problema de prctica 2.9Combinandolosresistoresdelafigura2.36,halleReq.Respuesta: 6.2.6 Resistores en paralelo y divisin de corriente 49Deigualmanera,losresistoresde12y4 estnenparalelo,yaqueestnconectadosalosdosmismosnodosd yb.Porlotanto,12 || 4 3 (2.10.2)Asimismo,losresistoresde1y5 estnenserie,ydeahquesuresisten-ciaequivalentesea1 5 6 (2.10.3)Con estas tres combinaciones, se puede remplazar el circuito de la figura 2.37por el de la figura 2.38a). En esta ltima figura, 3 en paralelo con 6 pro-duce2,comosecalculenlaecuacin(2.10.1).Estaresistenciaequiva-lente de 2 est ahora en serie con la resistencia de 1 , lo que produce unaresistenciacombinadade1 2 3. As,seremplazaelcircuitodelafigura2.38a)poreldelafigura2.38b).Enestaltimafigurasecombinanlosresistoresde2y3 enparaleloparaobtener2 || 3 1.2 Esteresistorde1.2 estenserieconelresistorde10,demaneraqueRab 10 1.2 11.2 2 32 312 412 4a)b bdbc3 6 2 10 1 abb )b bc3 2 10 abFigura 2.38Circuitos equivalentes para el ejemplo2.10.Figura 2.39Para el problema de prctica 2.10.1 9 18 20 20 2 5 8 abRabHallelaconductanciaequivalenteGeqdelcircuitodelafigura2.40a).Solucin:Losresistoresde8y12Sestnenparalelo,asquesuconductanciaes8 S 12 S 20 SElresistorde20Sestahoraenserieconelde5S,comoseadvierteenlafigura2.40b),asquelaconductanciacombinadaes 4 SEstoestenparaleloconelresistorde6S.Enconsecuencia,Geq 6 4 10 SCabesealarqueelcircuitodelafigura2.40a)esigualaldelafigura2.40c). Mientras que los resistores de la figura 2.40a) se expresan en siemens,20 520 5Ejemplo 2.11HalleRabenelcircuitodelafigura2.39.Respuesta: 11.Problema de prctica 2.1050 Captulo 2 Leyes bsicaslosdelafigura2.40c)loestnenohms.Parademostrarqueesoscircuitossoniguales,sehallaReqparaelcircuitodelafigura2.40c).Estoesigualaloobtenidoanteriormente.Geq1Req 10 S 16 1416 14110 Req16g a15 18g112b 16g a15 120b 16g1412 S 8 S 6 Sa)5 SGeq20 S 6 Sb)5 SGeqc )Req151618112Figura 2.40Para el ejemplo 2.11: a) circuito original,b) su circuito equivalente, c) el mismo cir-cuito que en a), aunque los resistores seexpresan en ohms.Figura 2.41Para el problema de prctica 2.11.4 S6 S8 S2 S12 SGeqEjemplo 2.12 Halleioyvoenelcircuitomostradoenlafigura2.42a).Calculelapotenciadisipadaenelresistorde3.Solucin:Losresistoresde6y3 estnenparalelo,asquesuresistenciacombinadaes6 || 3 2 Enconsecuencia,elcircuitosereducealmostradoenlafigura2.42b).Nte-sequevonoseveafectadoporlacombinacindelosresistores,porquelosresistoresestnenparalelo,yporlotantotienenlamismatensinvo.Enlafigura2.42b)sepuedeobtenervodedosmaneras.UnadeellasesaplicarlaleydeOhmparaobtener i 2 A124 26 36 3Problema de prctica 2.11CalculeGeqenelcircuitodelafigura2.41.Respuesta: 4S.2.6 Resistores en paralelo y divisin de corriente 51yporlotantovo 2i 2 2 4 V.Otramaneraesaplicarladivisindetensin,yaquelos12Vdelafigura2.42b)sedividenentrelosresistores de4y2. As,vo (12 V) 4 VDeigualforma,iopuedeobtenersededosmaneras.Unmtodoesapli-carlaleydeOhmalresistorde3 delafigura2.42a)ahoraqueseconocevo;as,vo 3io 4 1 io AOtromtodoesaplicarladivisindecorrientealcircuitodelafigura2.42a)ahoraqueseconocei,escribiendoio i (2 A) ALapotenciadisipadaenelresistorde3 espo voio 4 ( ) 5.333 W43432366 34322 4aba)12 V4 i io6 3 vo+abb)12 V4 i+2 vo++Figura 2.42Para el ejemplo 2.12: a) circuito original,b) su circuito equivalente.Figura 2.43Para el problema de prctica 2.12.15 Vi1+40 v2+10 12 v16 i2+ Enreferenciaalcircuitoquesemuestraenlafigura2.44a),determine:a)latensin vo, b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c) la poten-ciaabsorbidaporcadaresistor.Solucin:a)Losresistoresde6y12 estnenserie,asquesuvalorcombinadoesde6 12 18k.Deestemodo,elcircuitodelafigura2.44a)setrans-formaenelquesemuestraenlafigura2.44b). Ahoraseaplicalatcnicadedivisindecorrienteparahallari1ei2.i1 (30 mA) 20 mAi2 (30 mA) 10 mA90009000 18000180009000 18000Ejemplo 2.13Problema de prctica 2.12Hallev1yv2enelcircuitoqueapareceenlafigura2.43. Tambincalculei1ei2ylapotenciadisipadaenlosresistoresde12y40.Respuesta: v1 5 V,i1 416.7mA,p1 2.083 W,v2 10 V,i2 250mA,p2 2.5 W.52 Captulo 2 Leyes bsicasAdvirtasequelatensinalolargodelosresistoresde9y18k eselmis-mo,yquevo 9000i1 18000i2 180 V,comoseesperaba.b)Lapotenciasuministradaporlafuenteespo voio 180(30) mW 5.4 Wc)Lapotenciaabsorbidaporelresistorde12k esp iv i2(i2R) i22R (10 103)2(12 000) 1.2 WLapotenciaabsorbidaporelresistorde6 esp i22R (10 103)2(6 000) 0.6 WLapotenciaabsorbidaporelresistorde9k esp 3.6 Woseap voi1 180(20) mW 3.6 WNtesequelapotenciasuministrada(5.4 W)esigualalapotenciaabsorbida(1.2 0.6 3.6 5.4 W).staesunamaneradecomprobarresultados.(180)29000vo2RRespuesta: a)15 V,20 V,b)75mW,20mW,c)200mW.Transformaciones estrella-deltaEnelanlisisdecircuitossuelensurgirsituacionesenlasquelosresistoresnoestnenparalelonienserie.Porejemplo,considreseelcircuitopuentedelafigura2.46.CmosecombinanlosresistoresR1aR6cuandonoestnenserienienparalelo?Muchoscircuitosdeltipomostradoenlafigura2.46puedensimplificarseusandoredesequivalentesdetresterminales.stasson2.7a)30 mA 9 kvo+12 k6 kb)30 mA 9 kvo+18 ki1ioi2Figura 2.44Para el ejemplo 2.13: a) circuito original,b) su circuito equivalente.10 mA 3 k 5 k 20 k1 kv1+v2+Figura 2.45Para el problema de prctica 2.13.vs+R1R4R2R5R3R6Figura 2.46Red puente.Problema de prctica 2.13En referencia al circuito que aparece en la figura 2.45, halle: a) v1y v2, b) lapotenciadisipadaenlosresistoresde3y20k yc)lapotenciasuministra-daporlafuentedecorriente.2.7 Transformaciones estrella-delta 53laredenestrella(Y)oente(T)queapareceenlafigura2.47ylareddelta()opi()queapareceenlafigura2.48.Estasredessepresentanporsmismasocomopartedeunaredmayor.Seusanenredestrifsicas,filtroselctricos y redes de acoplamiento. El principal inters es cmo identificarlascuandoaparecen comoparte deunaredy cmo aplicar la transformacin es-trella-deltaenelanlisisdeesared.Conversin delta a estrellaSupngasequeesmsconvenientetrabajarconunaredenestrellaenunlu-gardondeelcircuitocontieneunaconfiguracinendelta.Sesuperponeunaredenestrellaenlaredendeltaexistenteysehallanlasresistenciasequiva-lentes en la red en estrella. Para obtener las resistencias equivalentes en la redenestrella,hayquecompararlasdosredesycerciorarsedequelaresisten-ciaentrecadapardenodosenlared (o)seaigualalaresistenciaentreelmismopardenodosenlared Y(o T).Paralasterminales1y2delasfi-guras2.47y2.48,porejemplo,R12(Y) R1 R3(2.46)R12() Rb || (Ra Rc)DejandoR12(Y) R12(),seobtieneR12 R1 R3 (2.47a)Deigualmanera,R13 R1 R2 (2.47b)R34 R2 R3 (2.47c)Alsustraerlaecuacin(2.47c)delaecuacin(2.47a)seobtieneR1 R2 (2.48)Lasumadelasecuaciones(2.47b)y(2.48)originaR1 (2.49)RbRcRa Rb RcRc(Rb Ra)Ra Rb RcRa(Rb Rc)Ra Rb RcRc(Ra Rb)Ra Rb RcRb(Ra Rc)Ra Rb Rc1 32 4R3R2R1a)1 32 4R3R2R1b)Figura 2.47Dos formas de la misma red: a) Y, b) T.Figura 2.48Dos formas de la misma red: a) , b) .1 32 4Rca)1 32 4b)RaRbRcRaRb54 Captulo 2 Leyes bsicasylasustraccindelaecuacin(2.48)delaecuacin(2.47b)originaR2 (2.50)Alrestarlaecuacin(2.49)delaecuacin(2.47a)seobtieneR3 (2.51)Noesnecesariomemorizarlasecuaciones(2.49)a(2.51).Paratransformarunared en Y,secreaunnodoextran,comoseindicaenlafigura2.49,ysesigueestaregladeconversin:CadaresistordelaredYeselproductodelosresistoresdelasdosramasadyacentesdivididoentrelasumadelostresresistoresde.Se puede seguir esta regla y obtener las ecuaciones (2.49) a (2.51) a partir delafigura2.49.Conversin estrella a deltaParaobtenerlasfrmulasdeconversinquetransformenunaredenestrellaen una red delta equivalente, en las ecuaciones (2.49) a (2.51) se advierte queR1R2 R2R3 R3R1(2.52)Ladivisindelaecuacin(2.52)entrecadaunadelasecuaciones(2.49)a(2.51)conducealassiguientesecuaciones:Ra (2.53)Rb (2.54)Rc (2.55)Conbaseenlasecuaciones(2.53)a(2.55)ydelafigura2.49,laregladeconversinpara Yen eslasiguiente:Cadaresistordelared eslasumadetodoslosproductosposiblesdelosresistoresYtomadosdedosendos,divididoentreelresistoropuestoenY.R1R2 R2R3 R3R1R3R1R2 R2R3 R3R1R2R1R2 R2R3 R3R1R1RaRbRcRa Rb RcRaRbRc(Ra Rb Rc)(Ra Rb Rc)2RaRbRa Rb RcRcRaRa Rb RcFigura 2.49Superposicin de redes Y y como ayudaen la transformacin de una en otra.R3RaRbR1R2Rcbnac2.7 Transformaciones estrella-delta 55Sedicequelasredes Yy estnequilibradascuandoR1 R2 R3 RY, Ra Rb Rc Rd(2.56)Enestascondiciones,lasfrmulasdeconversinvienenaserRY o sea R 3 RY(2.57)EsposiblequeprovoquesorpresaqueRYseamenorqueR. Aesterespec-to,obsrvesequelaconexinen Yescomounaconexinenserie,mien-trasquelaconexinen escomounaconexinenparalelo.Ntese que al hacer la transformacin, no se quita nada del circuito ni seagregaalgonuevoenl.Solamenteseestnsustituyendopatronesdered,detres terminales diferentes, equivalentes matemticamente para crear un circui-to en el que los resistores estn en serie o en paralelo, lo que nos permite cal-cularlaReqdesernecesario.R3Solucin:Alusarlasecuaciones(2.49)a(2.51)seobtieneR1 5 R2 7.5 R3 3 Lared Yequivalentesemuestraenlafigura2.50b).15 1050RaRbRa Rb Rc25 1550RcRaRa Rb Rc2505010 2515 10 25RbRcRa Rb RcFigura 2.50Para el ejemplo 2.14: a) red original, b) red Y equivalente.cb a10 15 a)RbRaRc25 cb a5 3 7.5 R2R1R3b)Ejemplo 2.14Conviertalared delafigura2.50a)enunared Yequivalente.56 Captulo 2 Leyes bsicasFigura 2.51Para el problema de prctica 2.14.20 R2b ac10 R1R340 a aib bc n120 V5 30 12.5 15 10 20 +Figura 2.52Para el ejemplo 2.15.Ejemplo 2.15Problema de prctica 2.14Transformelaredenestrelladelafigura2.51enunareddelta.Respuesta: Ra 140,Rb 70,Rc 35.Obtenga la resistencia equivalente Rabpara el circuito de la figura 2.52 y se-laparahallarlacorrientei.Solucin:1. Definir. El problema est definido con claridad. Tenga en cuenta, sin em-bargo,quenormalmenteestaparteconsumirdemaneramerecidamu-chomstiempo.2. Presentar.Esobvioquesiseeliminalafuentedetensin,seterminaconuncircuitopuramenteresistivo.Dadoquesteestcompuestopordeltasyestrellas,setieneunprocesomscomplejodecombinacindeloselementos.Sepuedenusartransformacionesestrella-deltacomounmtodoparahallarunasolucin.Estillocalizarlasestrellas(haydosdeellas,unaenn ylaotraenc)ylasdeltas(haytres:can,abn,cnb).3. Alternativas.Puedenusarsevariosmtodospararesolveresteproblema.Puesto que el tema de la seccin 2.7 es la transformacin estrella-delta, s-ta debera ser la tcnica por usar. Otro mtodo sera determinar la resisten-ciaequivalenteinyectandounacorrientedeunamperioenelcircuitoyhallandolatensinentreay b;estemtodoseaprenderenelcaptulo4.Elmtodoquesepuedeaplicaraqucomocomprobacinserausaruna transformacin estrella-delta como la primera solucin del problema.Despussepuedecomprobarlasolucincomenzandoconunatransfor-macindelta-estrella.4. Intentar. En este circuito hay dos redes Y y una red . La transformacindeslounadeellassimplificarelcircuito.Siseconviertelared Ycom-prendidaporlosresistoresde5,10y20,sepuedeseleccionarR1 10 , R2 20 , R3 5 As,conlasecuaciones(2.53)a(2.55)setieneRa 35 Rb 17.5 Rc 70 3505R1R2 R2R3 R3R1R335020R1R2 R2R3 R3R1R23501010 20 20 5 5 1010R1R2 R2R3 R3R1R12.7 Transformaciones estrella-delta 57Conla Yconvertidaen,elcircuitoequivalente(conlafuentedetensineliminadaporahora)sepresentaenlafigura2.53a).Alcombi-narlostresparesderesistoresenparaleloseobtiene70 || 30 21 12.5 || 17.5 7.292 15 || 35 10.5 por lo que el circuito equivalente es el que se muestra en la figura 2.53b).Deestemodo,sehallaRab (7.292 10.5) || 21 9.632 Entonces,i 12.458 AObsrvese que se ha resuelto exitosamente el problema. Ahora se de-beevaluarlasolucin.5. Evaluar. Ahora se debe determinar si la respuesta es correcta, y despusevaluarlasolucinfinal.Es relativamente fcil comprobar la respuesta; se hace resolviendo elproblemaapartirdeunatransformacindelta-estrella.Setransformaladelta,can,enestrella.SeanRc 10,Ra 5 yRn 12.5.Estoconducira(con-cediendoqued representalapartemediadelaestrella):Rad 4.545 Rcd 2.273 Rnd 1.8182 5 1027.5RaRc27.55 12.527.5RaRn27.510 12.55 10 12.5RcRnRa Rc Rn1209.632vsRab17.792 2117.792 2115 3515 3512.5 17.512.5 17.570 3070 30ab30 70 17.5 35 12.5 15 a)ab21 b )7.292 10.5 abc nd30 4.545 20 1.8182 2.273 15 c)Figura 2.53Circuitos equivalentes para la figura 2.52, con la fuente de tensin eliminada.58 Captulo 2 Leyes bsicasEstoconduceahoraalcircuitoquesemuestraenlafigura2.53c).Siseexaminalaresistenciaentredy b,setienenenparalelodoscombinacio-nesenserie,loqueproduceEstoestenserieconelresistorde4.545,losqueasuvezestnenparalelo con el resistor de 30 . Esto proporciona entonces la resistenciaequivalentedelcircuito.EstoconduceahoraaAdvirtase que el empleo de las dos variantes de la transformacin estre-lla-delta ofrece el mismo resultado. Esto representa una muy buena com-probacin.6. Satisfactorio? Dado que se ha hallado la respuesta deseada determinan-do primero la resistencia equivalente del circuito y comprobando despuslarespuesta,esevidentequelasolucinessatisfactoria.Estoquierede-cirqueselepodrapresentaraquienplanteelproblema.i vsRab1209.631 12.46 ARab(9.642 4.545)309.642 4.545 30 425.644.19 9.631 Rdb(2.273 15)(1.8182 20)2.273 15 1.8182 20 376.939.09 9.642 AplicacionesLosresistoresseusanconfrecuenciaparamodelardispositivosqueconvier-tenenergaelctricaentrmicaoenotrasformasdeenerga. Talesdispositi-vosincluyenalambreconductor,bombillaselctricas,calentadoreselctricos,estufasyhornoselctricosyaltavoces.Enestaseccinconsideraremosdosproblemasrealesenlosqueseaplicanlosconceptostratadosenestecaptu-lo:sistemasdeiluminacinelctricaydiseodemedidoresdecd.2.8.1 Sistemas de iluminacinLos sistemas de iluminacin, como el de una casa o un rbol de Navidad, sue-lenconstardeN lmparasconectadasyaseaenparalelooenserie,comoseindicaenlafigura2.55.Cadalmparaesmodeladacomoresistor.Suponien-do que todas las lmparas son idnticas y que Voes la tensin de la lnea elc-trica,latensinencadalmparaesVoenelcasodelaconexinenparaleloyaVo/N enlaconexinenserie.Estaltimaesfcildefabricar,peroraravezseusaenlaprctica,poralmenosdosrazones.Primero,esmenoscon-fiable;cuandounalmparafalla,todasseapagan.Segundo,esmsdifcildemantener; cuando una lmpara est daada, deben probarse todas una por unaparadetectarladefectuosa.2.824 100 Vi30 10 50 13 20 +baFigura 2.54Para el problema de prctica 2.15.Hasta aqu se ha supuesto que losalambres de conexin son conductoresperfectos (es decir, conductores de re-sistencia cero). Pero en los sistemas fsi-cos reales, la resistencia del alambre deconexin puede ser apreciablementegrande, y la modelacin del sistemadebe incluir esa resistencia.Problema de prctica 2.15Enreferenciaalaredpuentedelafigura2.54,halleRabei.Respuesta: 40,2.5 A.2.8 Aplicaciones 59Vo+Toma decorriente1 2 3 NLmparaa)Vo+123Nb)Figura 2.55a) Conexin en paralelo de bombillas elctricas, b) conexin en serie de bombillaselctricas.a)9 V10 W15 W20 Wb )9 V+++I1I2V3V2V1R1IR3R2Figura 2.56a) Sistema de iluminacin con tres bombillas, b) modelo del circuito equivalente resistivo.Tresbombillaselctricasestnconectadasaunabaterade9 V,comosein-dicaenlafigura2.56a).Calcule:a)lacorrientetotalsuministradaporlaba-tera,b)lacorrientequecirculaporcadabombilla,c)laresistenciadecadabombilla.Ejemplo 2.16ThomasAlvaEdison (1847-1931)fuequizelmayorinventorestadouni-dense.Patent1093inventos,detantatrascendenciahistricacomolabom-billaelctricaincandescente,elfongrafoylosprimerosfilmescomerciales.NacienMilan,Ohio,yfueelmenordesietehijos.Edisonslorecibitresmesesdeeducacinformal,puesdetestabalaescuela.Sumadreloedu-cencasa,yprontoleaporssolo.En1868leyunodeloslibrosdeFara-day y encontr su vocacin. En 1876 se traslad a Menlo Park, Nueva Jersey,donde administr un laboratorio de investigacin bien abastecido de personal.Lamayoradesusinventossalideeselaboratorio,elcualsirvicomomo-delo para modernas organizaciones de investigacin. A causa de la diversidaddesusinteresesydelabrumadornmerodesusinventosypatentes,Edisonempez a establecer compaas manufactureras para la fabricacin de los apa-ratosqueinventaba.Diselaprimeraestacindeenergaelctricaparaelsuministro de luz. La educacin formal en ingeniera elctrica comenz a me-diadosdeladcadade1880,conEdisoncomomodeloylder.Perfileshistricos60 Captulo 2 Leyes bsicasSolucin:a) La potencia total suministrada por la batera es igual a la potencia total ab-sorbidaporlasbombillas;esdecir,p 15 10 20 45 WPuestoquep VI,lacorrientetotalsuministradaporlabateraesI 5 Ab)Lasbombillaspuedenmodelarsecomoresistores,comosemuestraenlafigura 2.56b). Dado que R1(la bombilla de 20 W) est en paralelo con la ba-teralomismoqueconlacombinacinenseriedeR2yR3,V1 V2 V3 9 V LacorrienteatravsdeR1esI1 2.222 APor la LCK, la corriente a travs de la combinacin en serie de R2y R3esI2 I I1 5 2.222 2.778 Ac)Puestoquep I2R, R3 p3I32 102.777 2 1.297 R2 p2I22 152.777 2 1.945 R1 p1I12 202.222 2 4.05 209p1V1459pV2.8.2 Diseo de medidores de cdPorsupropianaturaleza,losresistoresseusanparacontrolarelflujodeco-rriente.Estapropiedadseaprovechaenvariasaplicaciones,comoenunpo-tencimetro(figura2.57).Lapalabrapotencimetro,derivadadelaspalabraspotencial ymedidor,implicaqueelpotencialpuedemedirse.Elpotencime-tro(opotparaabreviar)esundispositivodetresterminalesqueoperaconbase en el principio de la divisin de tensin. Es en esencia un divisor de ten-sinajustable.Ensucalidaddereguladordetensin,seutilizacomocontroldevolumenonivelenradios,televisoresyotrosaparatos.Enlafigura2.57,Vsal Vbc Vent(2.58)dondeRac Rab Rbc.As,Vsaldisminuyeoaumentacuandoelcontactodeslizantedelpotencimetrosemuevehaciac oa,respectivamente.RbcRac++VentVsalabcMxMnFigura 2.57Niveles de potencial controlados por elpotencimetro.Problema de prctica 2.16Remtasealafigura2.55ysupngasequehay10bombillaselctricasquepuedenconectarseenparaleloy10quepuedenconectarseenserie,cadaunade ellas con un valor nominal de potencia de 40 W. Si la tensin en la toma decorriente es de 110 V para las conexiones en paralelo y en serie, calcule la co-rrientequecirculaatravsdecadabombillaenamboscasos.Respuesta: 0.364 A(enparalelo),3.64 A(enserie).2.8 Aplicaciones 61Considrese la figura 2.59, en la que un voltmetro y un ampermetro ana-lgicosestnconectadosaunelemento.Elvoltmetromidelatensinenunacarga, y por lo tanto, est conectado en paralelo con el elemento. Como se ob-servaenlafigura2.60a),elvoltmetroconstadeunmecanismodedArson-valenserieRmsehacedeliberadamentemuygrande(infinitaenteora),paraminimizar la corriente tomada del circuito. Para ampliar el intervalo de tensinquepuedemedirelmedidor,suelenconectarseresistoresmultiplicadoresenserieconlosvoltmetros,comosemuestraenlafigura2.60b).Elvoltmetrode intervalo mltiple de dicha figura puede medir tensiones de 0 a 1 V, 0 a 10Vo0a100V,dependiendodequeelinterruptorestconectadoaR1,R2oR3,respectivamente.Ahora se presenta el clculo del resistor multiplicador Rnpara el voltme-trodeunsolointervalodelafigura2.60a),oRn R1,R2oR3paraelvolt-metro de intervalo mltiple de la figura 2.60b). Se necesita determinar el valordelRnquesevaaconectarenserieconlaresistenciainternaRmdelvoltme-tro.Encualquierdiseoseconsideralacondicindelpeordeloscasos.Enestacircunstancia,elpeordeloscasosocurrecuandolacorrientedeescalamximaIfs Imfluyeporelmedidor.EstodeberacorresponderalalecturadetensinmximaoalatensindeescalamximaVfs.*Dadoquelaresis-tenciamultiplicadoraRnestenserieconlaresistenciainternaRm,Vfs Ifs(Rn Rm) (2.59)Otraaplicacinenlaqueseutilizanlosresistoresparacontrolarelflujodecorrienteesladelosmedidoresdecdanalgicos:elampermetro,elvol-tmetro y el hmetro, los cuales miden corriente, tensin y resistencia, respec-tivamente.EntodosesosmedidoresseempleaelmecanismodelmedidordedArsonval, que se muestra en la figura 2.58. Este mecanismo consta en esen-ciadeunabobinadencleodehierromvilmontadasobreunpivoteentrelospolosdeunimnpermanente.Cuandofluyecorrienteporlabobina,staproduceunmomentodetorsinquecausaquelaagujasedesve.Lacanti-daddecorrientequecirculaatravsdelabobinadeterminaladesviacindela aguja, la cual es registrada en una escala unida al movimiento del medidor.Porejemplo,sielmecanismodelmedidortieneunaespecificacinde1mA,50,senecesitara1mAparacausarunadesviacindemximaescalaenel mecanismo del medidor. Mediante la introduccin de circuitera adicional almecanismodelmedidordedArsonvalesposibleconstruirunampermetro,voltmetrouhmetro.escalaagujaresorteimn permanentebobina rotatoriancleo de hierro estacionarioresorteNSVAVI+VoltmetroAmpermetroElementoFigura 2.58Mecanismo del medidor de dArsonval.Figura 2.59Conexin de un voltmetro y un amper-metro a un elemento.Un instrumento capaz de medir ten-sin, corriente y resistencia se llamamultmetro o medidor de volt-ohm.Una carga es un componente que reci-be energa (un receptor de energa),en oposicin a un generador, que su-ministra energa (una fuente de ener-ga). En la seccin 4.9.1 se explicarms sobre la carga.*NotadeRT:VfstambinseconocecomoVemenalgunospasesdehablahispana.62 Captulo 2 Leyes bsicasDeestoseobtieneRn Rm(2.60)Deigualforma,elampermetromidelacorrientequecirculaporlacar-gayestconectadaenserieconl.Comoseindicaenlafigura2.61a),elampermetroconstadeunmecanismodedArsonvalenparaleloconunre-sistor, cuya resistencia Rmse hace deliberadamente muy pequea (tericamen-tecero)paraminimizarlacadadetensinensusterminales.Conelfindepermitirlosintervalosmltiples,casisiempreseconectanresistoresenderi-vacinenparaleloconRm,comoseadvierteenlafigura2.61b).Estosresis-tores permiten al medidor realizar mediciones en el intervalo 0-10 mA, 0-100mA o 0-1 A, dependiendo de que el interruptor se conecte a R1, R2o R3, res-pectivamente.AhoraelobjetivoesobtenerlaRnenderivacinmultiplicadoraparaelampermetro de un solo intervalo de la figura 2.61a), o Rn R1, R2o R3pa-ra el ampermetro de intervalo mltiple de la figura 2.61b). Obsrvese que RmyRnestnenparaleloyquelalecturadeescalamximaI Ifs Im In,dondeIneslacorrientequepasaporelresistorenderivacinRnenderiva-cin.LaaplicacindelprincipiodedivisindecorrienteproduceIm IfsoseaRm Im(2.61)La resistencia Rxde un resistor lineal puede medirse de dos maneras. UnamaneraindirectaesmedirlacorrienteI quefluyeporlaresistenciaalconec-ImIfs ImRnRn RmVfsIfsFigura 2.61Ampermetros: a) tipo de una escala, b) ti-po de escala mltiple.ImISondasa)Rn Inb)R1R2R310 mA100 mA1 AInterruptorImISondas RmMedidorRmMedidorSondasV+R1R2R31 V10 V100 VInterruptorImb )RnImMultiplicadorSondas V+a)RmMedidorRmMedidorFigura 2.60Voltmetros: a) tipo de una escala, b) tipo de escala mltiple.2.8 Aplicaciones 63taralamismaunampermetroenserie,ylatensin Vensusterminalesco-nectndoleunvoltmetroenparalelo,comosemuestraenlafigura2.62a).Aspues,Rx (2.62)Elmtododirectoparamedirlaresistenciaesusarunhmetro.steconstabsicamente de un mecanismo de dArsonval, un resistor variable o potenci-metro y una batera, como se advierte en la figura 2.62b). La aplicacin de laLTKalcircuitodeestaltimafiguradacomoresultadoE (R Rm Rx)ImoseaRx (R Rm) (2.63)ElresistorR esseleccionadodemaneraqueelmedidorregistreunadesvia-cindeescalamxima;estoes,Im IfscuandoRx 0.EstoimplicaqueE (R Rm)Ifs(2.64)Lasustitucindelaecuacin(2.64)enla(2.63)conduceaRx( 1)(R Rm) (2.65)Comoyasemencion,lostiposdemedidoresexpuestosseconocenco-momedidoresanalgicos ysebasanenelmecanismodelmedidordedAr-sonval.Otrotipodemedidor,llamadomedidordigital,sebasaenelementosdecircuitosactivoscomolosamplificadoresoperacionales.Porejemplo,unmultmetrodigitalpresentacomonmerosdiscretosalasmedicionesdeten-sin de cd o ca, en vez de utilizar la desviacin de la aguja en una escala con-tinuacomoocurreconelmultmetroanalgico.Losmedidoresdigitalessonlosqueconmayorprobabilidadutilizaraellectorenunlaboratoriomoder-no.Sinembargo,eldiseodemedidoresdigitalesescapaalalcancedeestelibro.IfsImEImVIImRE Rxhmetro b)a)VA+VRxIRmFigura 2.62Dos maneras de medir la resistencia: a) con un ampermetro y un voltmetro, b) con un hmetro.Samuel F. B. Morse (1791-1872), pintor estadounidense, invent el telgra-fo,laprimeraaplicacinprcticacomercializadadelaelectricidad.MorsenacienCharlestown,Massachusetts,yestudienYaleyenlaRoyal Academyof ArtsdeLondresparaserartista.Enladcadade1830seintereseneldesarrollodeuntelgrafo.Yatenaunmodelofuncionalen1836,ysolicitunapatenteen1838.ElsenadodeEstadosUnidosleasignfondosparalaconstruccindeunalneatelegrficaentreBaltimoreyWas-hington D.C. El 24 de mayo de 1844 envi el famoso primer mensaje: QuhahechoDios!Morsetambinelaboruncdigodepuntosyrayasenre-presentacindeletrasynmeros,paraelenvodemensajesporeltelgrafo.Lacreacindeltelgrafollevalainvencindeltelfono.Perfileshistricos64 Captulo 2 Leyes bsicasResumen1. Unresistoresunelementopasivoenelcualsutensinv esdirectamen-teproporcionalalacorrientei quecirculaporl.Esdecir,esundispo-sitivoquecumplelaleydeOhm,v iRdondeR eslaresistenciadelresistor.2.9Ejemplo 2.17 Siguiendo el arreglo del voltmetro de la figura 2.60 disee un voltmetro pa-ralossiguientesintervalosmltiples:a)0-1 V b)0-5 V c)0-50 V d)0-100 VSupongaquelaresistenciainternaRm 2k ylacorrientedeescalamxi-maIfs 100A.Solucin:Seaplicalaecuacin(2.60)ysesuponequeR1,R2,R3yR4correspondenalosintervalos0-1 V,0-5 V,0-50 Vy0-100 V,respectivamente.a) Paraelintervalo0-1 V,1R1 2000 10000 2000 8k100 106b) Paraelintervalo0-5 V,5R2 2000 50000 2000 48k100 106c) Paraelintervalo0-50 V,50R3 2000 500000 2000 498k100 106d) Paraelintervalo0-100 V,100 VR4 2000 1000000 2000 998k100 106Ntesequelaproporcinentrelaresistenciatotal(Rn Rm)ylatensinaescalamximaVfsesconstanteeiguala1Ifsenloscuatrointervalos.Estaproporcin(dadaenohmsporvolt,oV)seconocecomosensibilidaddelvoltmetro.Cuantomayorsealasensibilidad,mejoreselvoltmetro.Problema de prctica 2.17Siguiendoelarreglodelampermetrodelafigura2.61,diseeunaparatodeestetipoparalossiguientesintervalosmltiples:a)0-1 A b)0-100mA c)0-10mASupongalacorrientedeescalamximadelmedidorcomoIm 1mAylaresistenciainternadelampermetrocomoRm 50.Respuesta: Resistoresenderivacin:0.05,0.505,5.556.2.9 Resumen 652. Un cortocircuito es un resistor (un alambre perfectamente conductor) conresistenciacero(R 0).Uncircuitoabiertoesunresistorconresisten-ciainfinita(R ).3. LaconductanciaG deunresistoreselrecprocodesuresistencia:G 4. Unaramaesunelementodedosterminalesenuncircuitoelctrico.Unnodo es el punto de conexin entre dos o ms ramas. Un lazo correspon-de a una trayectoria cerrada en un circuito. El nmero de ramas b, el n-merodenodosn yeldelazosindependientesl enunaredserelacionandelasiguientemanera:b l n 15. LaleydecorrientedeKirchhoff(LCK)establecequelasumaalgebrai-cadelascorrientesencualquiernodoesigualacero.Enotraspalabras,lasumadelascorrientesqueentranaunnodoesigualalasumadelascorrientesquesalendel.6. LaleydetensindeKirchhoff(LTK)establecequelasumaalgebraicadelastensionesalrededordeunatrayectoriacerradaesigualacero.Enotraspalabras,lasumadelosaumentosdetensionesesigualalasumadelascadasdetensin.7. Doselementosseencuentranenseriecuandoestnconectadossecuen-cialmente,terminalconterminal.Cuandoloselementosestnenserie,circulaporelloslamismacorriente(i1 i2).Seencuentranenparalelosi estn conectados a los dos mismos nodos. Elementos en paralelo siem-pretienenlamismatensin(v1 v2).8. CuandodosresistoresR1(1G1)yR2(1G2)estnenserie,suresis-tenciaequivalenteReqysuconductanciaequivalenteGeqson9. CuandodosresistoresR1(1G1)yR2(1G2)estnenparalelo,sure-sistenciaequivalenteReqysuconductanciaequivalenteGeqson10. Elprincipiodedivisindetensindedosresistoresenseriees11. Elprincipiodedivisindecorrienteparadosresistoresenparaleloco-rrespondea12. LasfrmulasparaunatransformacindeltaaestrellasonR3Ra RbRa Rb RcR1Rb RcRa Rb Rc,R2RcRaRa Rb Rci1R2R1 R2 i,i2R1R1 R2 iv1R1R1 R2 v,v2R2R1 R2 vReqR1R2R1 R2,Geq G1 G2Req R1 R2,GeqG1G2G1 G21R66 Captulo 2 Leyes bsicas13. Lasfrmulasparaunatransformacinestrellaadeltason14. Las leyes bsicas incluidas en este captulo pueden aplicarse a problemasdeiluminacinelctricaydiseodemedidoresdecd.Rc R1 R2 R2 R3 R3 R1R3Ra R1 R2 R2 R3 R3 R1R1,Rb R1R2 R2 R3 R3 R1R22.1 El recproco de la resistencia es:a) tensin b) corrientec) conductancia d) coulombs2.2 Un calefactor elctrico toma 10 A de una lnea de 120 V.La resistencia del calefactor es:a) 1 200 b) 120 c) 12 d) 1.2 2.3 La cada de tensin en un tostador de 1.5 kW que tomauna corriente de 12 A es:a) 18 kV b) 125 Vc) 120 V d) 10.42 V2.4 La corriente mxima que un resistor de 2 W y 80 kpue-de conducir con seguridad es:a) 160 kA b) 40 kAc) 5 mA d) 25 A2.5 Una red tiene 12 ramas y 8 lazos independientes. Cun-tos nodos hay en ella?a) 19 b) 17 c) 5 d) 42.6 La corriente I en el circuito de la figura 2.63 es de:a) 0.8 A b) 0.2 Ac) 0.2 A d) 0.8 A2.7 La corriente Iode la figura 2.64 es de:a) 4 A b) 2 Ac) 4 A d) 16 A2.8 En el circuito de la figura 2.65, V es igual a:a) 30 V b) 14 Vc) 10 V d) 6 V3 V5 V++4 I6 Figura 2.63Para la pregunta de repaso 2.6.10 A4 A 2 AIoFigura 2.64Para la pregunta de repaso 2.7.+++ + 10 V12 V 8 VVFigura 2.65Para la pregunta de repaso 2.8.Preguntasderepaso2.9 Cul de los circuitos de la figura 2.66 producir Vab7 V?2.10 En el circuito de la figura 2.67, un decremento en R3lle-va a un decremento de:a) corriente a travs de R3b) tensin alrededor de R3c) tensin alrededor de R1d) potencia disipada en R2e) ninguno de los casos anterioresProblemas 673 Vab5 V1 Va)++ + 3 Vab5 V1 Vb)++ + 3 Va5 V1 Vc)++ + b3 Va5 V1 Vd )++ + bFigura 2.66Para la pregunta de repaso 2.9.VsR1R2R3+Figura 2.67Para la pregunta de repaso 2.10.+150 100 3 V1 2iFigura 2.68Para el problema 2.4.Figura 2.69Para el problema 2.5.Figura 2.70Para el problema 2.6.ProblemasRespuestas:2.1c,2.2c,2.3b,2.4c,2.5c,2.6b,2.7a,2.8d,2.9d, 2.10b, d.Seccin 2.2 Ley de Ohm2.1 La tensin en un resistor de 5 k es de 16 V. Halle la co-rriente que circula por el resistor.2.2 Halle la resistencia en caliente de una bombilla elctricade valor nominal de 60 W y 120 V.2.3 Una barra de silicio es de 4 cm de largo con seccin trans-versal circular. Si su resistencia es de 240 a temperaturaambiente, cul es el radio de su seccin transversal?2.4 a) Calcule la corriente i en la figura 2.68 cuando el inte-rruptor est en la posicin 1.b) Halle la corriente cuando el interruptor est en la po-sicin 2.Seccin 2.3 Nodos, ramas y lazos2.5 Para la grfica de la red de la figura 2.69, halle el nmerode nodos, ramas y lazos.2.6 En la grfica de la red que se muestra en la figura 2.70,determine el nmero de ramas y nodos.68 Captulo 2 Leyes bsicas2.7 Determine el nmero de ramas y nodos en el circuito dela figura 2.71.2.11 En el circuito de la figura 2.75, calcule V1y V2.Figura 2.72Para el problema 2.8.Figura 2.73Para el problema 2.9.Figura 2.74Para el problema 2.10.4 1 8 5 12 V 2 A+Figura 2.71Para el problema 2.7.8 mA9 mA12 mAi1i3i210 A4 A8 A2 AA BC14 Ai1i3i212 A3 A4 A 2 Ai2i15 V+ +++ 1 V+ 2 VV1V2Figura 2.75Para el problema 2.11.+20 V+v1+v325 V 10 V15 Vv2+ + + + Figura 2.76Para el problema 2.12.I1I2I4I37 A2 A4 A 3 AFigura 2.77Para el problema 2.13.V2V4V1V33 V4 V 5 V+ ++2 V+ ++ + + Figura 2.78Para el problema 2.14.Seccin 2.4 Leyes de Kirchhoff2.8 Aplique la LCK para obtener las corrientes i1, i2e i3en elcircuito que se muestra en la figura 2.72.2.9 Halle i1, i2e i3en la figura 2.73.2.10 Determine i1e i2en el circuito de la figura 2.74.2.12 En el circuito de la figura 2.76, obtenga v1, v2y v3.2.13 En referencia al circuito de la figura 2.77, aplique la LCKpara hallar las corrientes de las ramas I1a I4.2.14 Dado el circuito de la figura 2.78, aplique la LTK para ha-llar las tensiones de las ramas V1a V4.2.15 Calcule v e ixen el circuito de la figura 2.79. 2.19 En el circuito de la figura 2.83, halle I, la potencia disipa-daporelresistorylapotenciasuministradaporcadafuente.Problemas 69Figura 2.79Para el problema 2.15.2 V++ 8 V12 V+12 +3ixv+ ix+9 V 3 V++6 2 VoFigura 2.80Para el problema 2.16.24 V12 V10 Vv3v2++ +++v1+ Figura 2.81Para el problema 2.17.5 3 +++Vab30 V 8 Vba+ 10 VIFigura 2.82Para el problema 2.18.8 V10 V12 V 3 ++ + IFigura 2.83Para el problema 2.19.Figura 2.84Para el problema 2.20.36 V+4 +5ioio+15 V+1 2 5 Vx+ 2VxFigura 2.85Para el problema 2.21.Figura 2.86Para el problema 2.22.10 A 6 2Vo+ 4 Vo2.16 Determine Voen el circuito de la figura 2.80.2.17 Obtenga v1a v3en el circuito de la figura 2.81.2.18 Halle I y Vaben el circuito de la figura 2.82.2.22 Halle Voen el circuito de la figura 2.86 y la potencia disi-pada por la fuente controlada.2.21 Halle Vxen el circuito de la figura 2.85.2.20 Determine ioen el circuito de la figura 2.84.70 Captulo 2 Leyes bsicas2.23 En el circuito que se muestra en la figura 2.87, determinevxy la potencia absorbida por el resistor de 12 .2.27 Calcule Voen el circuito de la figura 2.91.6 A 2 4 3 6 8 12 1.2 1 vx+ Figura 2.87Para el problema 2.23.Vo++R4R3R1R2IoVsIoFigura 2.88Para el problema 2.24.0.01VoVo+20 k 5 k 10 k 5 mAFigura 2.89Para el problema 2.25.16 2 4 8 ixioFigura 2.91Para el problema 2.27.Figura 2.90Para el problema 2.26.16 V+6 4 + Vo40 V14 15 v1v2++ +10 v3+Figura 2.92Para el problema 2.28.ReqFigura 2.93Para el problema 2.29.Req6 6 2 2 Figura 2.94Para el problema 2.30.2.24 En referencia al circuito de la figura 2.88, halle VoVsentrminos de a, R1, R2, R3y R4. Si R1 R2 R3 R4,qu valor de a producir |VoVs| 10?2.25 Para la red de la figura 2.89, halle la corriente, tensin ypotencia asociados con el resistor de 20 k.Secciones 2.5 y 2.6 Resistores en serie y en paralelo2.26 Para el circuito de la figura 2.90, io2 A. Calcule ixy lapotencia total disipada por el circuito.2.30 Halle Reqpara el circuito de la figura 2.94.2.28 Halle v1, v2y v3en el circuito de la figura 2.92.2.29 Todoslosresistoresdelafigura2.93sonde1.HalleReq.Problemas 712.31 Para el circuito de la figura 2.95, determine i1a i5. 2.35 Calcule Voy Ioen el circuito de la figura 2.99.40 V1 2 4 +3 i2i1i4i5i3Figura 2.95Para el problema 2.31.20 A10 40 i4i320 30 i2i1Figura 2.96Para el problema 2.32.9 A 2 S 1 S4 S 6 S3 S+viFigura 2.97Para el problema 2.33.40 20 8 12 10 10 40 20 12 V+Figura 2.98Para el problema 2.34.50 V30 70 +5 20 +VoIoFigura 2.99Para el problema 2.35.25 10 24 50 20 60 20 30 15 V+i+VoFigura 2.100Para el problema 2.36.20 V 30 V+ +R 10 + 10 VFigura 2.101Para el problema 2.37.6 60 15 20 80 io5 40 V+Req12 Figura 2.102Para el problema 2.38.2.32 Halle i1a i4en el circuito de la figura 2.96.2.33 Obtenga v e i en el circuito de la figura 2.97.2.34 Usando la combinacion de resistencias en serie/en parale-lo, halle la resistencia equivalente vista por la fuente en elcircuito de la figura 2.98. Halle la potencia total disipada.2.36 Halle i y Voen el circuito de la figura 2.100.2.37 Halle R en el circuito de la figura 2.101.2.38 Halle Reqe ioen el circuito de la figura 2.102.72 Captulo 2 Leyes bsicas2.39 Evale Reqen cada uno de los circuitos que aparecen enla figura 2.103.2.43 CalculelaresistenciaequivalenteRabenlasterminalesa-b de cada uno de los circuitos de la figura 2.107.10 V 6 2 +3 1 2 4 IReqFigura 2.104Para el problema 2.40.Req30 10 60 R12 12 12 Figura 2.105Para el problema 2.41.5 4 8 5 10 4 2 3 a bb)Figura 2.106Para el problema 2.42.40 10 5 20 a)ab30 80 60 b)ab10 20 Figura 2.107Para el problema 2.43.5 10 20 20 abFigura 2.108Para el problema 2.44.8 5 20 30 a ba)2 k1 k1 k 2 ka)12 k 4 k6 k12 kb)Figura 2.103Para el problema 2.39.2.44 Para el circuito de la figura 2.108, obtenga la resistenciaequivalente en las terminales a-b.2.40 Para la red en escalera de la figura 2.104, halle I y Req.2.41 Si Req 50 en el circuito de la figura 2.105, halle R.2.42 Reduzca cada uno de los circuitos de la figura 2.106 a unsolo resistor en las terminales a-b.2.45 Hallelaresistenciaequivalenteenlasterminalesa-b decada circuito de la figura 2.109.2.47 Halle la resistencia equivalente Raben el circuito de la fi-gura 2.111.Problemas 7310 40 20 30 50 a)5 abb)5 20 25 60 12 15 10 30 Figura 2.109Para el problema 2.45.a d efbc6 3 5 20 10 8 Figura 2.111Para el problema 2.47.10 10 10 baca)20 30 50 ab)bcFigura 2.112Para el problema 2.48.15 15 5 20 5 24 8 15 4 48 V+IFigura 2.110Para el problema 2.46.12 12 12 a)a bc60 30 10 b)a bcFigura 2.113Para el problema 2.49.2.46 Halle I en el circuito de la figura 2.110.Seccin 2.7 Transformaciones estrella-delta2.48 Convierta los circuitos de la figura 2.112 de Y a .2.49 Transforme los circuitos de la figura 2.113 de a Y.74 Captulo 2 Leyes bsicas2.50 Qu valor de R en el circuito de la figura 2.114 causaraque la fuente de corriente suministrara 800 mW a los re-sistores?2.51 Obtengalaresistenciaequivalenteenlasterminalesa-bde cada uno de los circuitos de la figura 2.115.*2.52 Enreferenciaalcircuitoquesemuestraenlafigura2.116, halle la resistencia equivalente. Todos los resisto-res son de 1 .*Unasteriscoindicaunproblemadifcil.*2.53 Obtenga la resistencia equivalente Raben cada uno de loscircuitos de la figura 2.117. En b), todos los resistores tie-nen un valor de 30 .2.54 Considere el circuito de la figura 2.118. Halle la resisten-cia equivalente en las terminales: a) a-b, b) c-d.2.55 Calcule Ioen el circuito de la figura 2.119.30 mAR RRRRFigura 2.114Para el problema 2.50.a)ba30 10 10 20 20 10 20 10 30 25 b)ba15 5 Figura 2.115Para el problema 2.51.ReqFigura 2.116Para el problema 2.52.b)40 50 10 60 30 20 a)ba80 30 abFigura 2.117Para el problema 2.53.50 60 100 150 150 100 a cd bFigura 2.118Para el problema 2.54.20 40 60 50 10 20 24 V+IoFigura 2.119Para el problema 2.55.2.56 Determine V en el circuito de la figura 2.120.Seccin 2.8 Aplicaciones2.58 La bombilla elctrica de la figura 2.122 tiene el valor no-minal de 120 V, 0.75 A. Calcule Vspara conseguir que labombilla opere en las condiciones establecidas.2.59 Tres bombillas estn conectadas en serie a una batera de100 V,comoseobservaenlafigura2.123.Hallelaco-rriente I que circula por las bombillas.2.60 Si las tres bombillas del problema 2.59 estn conectadasen paralelo a la batera de 100 V, calcule la corriente a tra-vs de cada bombilla.2.61 Como ingeniero de diseo, se le pide disear un sistema de iluminacinconsistenteenunafuentedealimentacin de 70 W y dos bombillas, como se advierte en la figura2.124.Debeseleccionarlasdosbombillasentrelostressiguientes tipos disponibles:R1 80 , costo 0.60 dlares (tamao estndar)R2 90 , costo 0.90 dlares (tamao estndar)R3 100 , costo 0.75 dlares (tamao no estndar)El sistema debe disearse en funcin de un costo mnimo,de modo que I 1.2 A 5 por ciento.2.62 Un sistema de tres hilos alimenta a dos cargas A y B, co-mo se muestra en la figura 2.125. La carga A consta de unmotor que toma una corriente de 8 A, mientras que la car-ga B es una PC que toma 2 A. Suponiendo 10 h/da de usodurante365dasy6centavosdedlar/kWh,calculeelcosto anual de energa del sistema.2.63 Si un ampermetro con una resistencia interna de 100 yuna capacidad de corriente de 2 mA debe medir 5 A, de-termine el valor de la resistencia necesaria.Problemas 75+40 Vs80 BombillaFigura 2.122Para el problema 2.58.100 V30 15 10 16 35 12 20 +V+Figura 2.120Para el problema 2.56.2 4 12 6 1 8 2 3 10 5 4 20 V+ReqIFigura 2.121Para el problema 2.57.Figura 2.123Para el problema 2.59.30 W 40 W 50 W100 V+IIRxRy+Fuente de alimentacinde 70 WFigura 2.124Para el problema 2.61.BA110 V110 V++Figura 2.125Para el problema 2.62.*2.57 Halle Reqe I en el circuito de la figura 2.121.76 Captulo 2 Leyes bsicasCalcule la potencia disipada en el resistor en derivacin.2.64 El potencimetro (resistor ajustable) Rxde la figura 2.126debe disearse para ajustar la corriente ixde 1 A a 10 A.Calcule los valores de R y Rxpara conseguir ese objetivo.2.65 Un medidor de dArsonval con una resistencia interna de1 krequiere 10 mA para producir una desviacin de es-cala mxima. Calcule el valor de una resistencia en serienecesaria para medir 50 V de escala mxima.2.66 Un voltmetro de 20 k/V lee 10 V como escala mxima.a) Qu resistencia en serie se requiere para hacer quelea una escala mxima de 50 V?b) Qu potencia disipar el resistor en serie cuando elmedidor registre la escala mxima?2.67 a) ObtengalatensinVoenelcircuitodelafigura2.127a).b) Determine la tensin Vo medida cuando un voltme-tro con resistencia interna de 6 k se conecta comose muestra en la figura 2.127b).c) La resistencia finita del medidor introduce un erroren la medicin. Calcule el error porcentual comod) Halle el error porcentual si la resistencia interna fue-ra de 36 k.`Vo VoVo` 100%2.68 a) Halle la corriente I en el circuito de la figura 2.128a).b) Un ampermetro con una resistencia interna de 1 se inserta en la red para medir I, como se advierteen la figura 2.128b). Cul es el valor de I?c) Calcule el error porcentual introducido por el medi-dor como`I II ` 100%2.69 Un voltmetro se usa para medir Voen el circuito de la fi-gura2.129.Elmodelodelvoltmetroconstadeunvoltmetro ideal en paralelo con un resistor de 100 k. SiVs 40 V, Rs 10 k y R1 20 k. Calcule Vocon ysin el voltmetro cuandoa) R2 1 k b) R2 10 kc) R2 100 k+ixRRxix110 VFigura 2.126Para el problema 2.64.+2 mA1 k5 k 4 kVoa)b)2 mA+1 k5 k 4 k VoltmetroVoFigura 2.127Para el problema 2.67.+I4 V16 40 60 a)+I'4 V16 40 60 b)AmpermetroFigura 2.128Para el problema 2.68.++V 100 k VoVsRsR1R2Figura 2.129Para el problema 2.69.2.70 a) Considere el puente de Wheatstone que se muestra enla figura 2.130. Calcule va, vby vab.b) Repita el inciso a) si la tierra se pone en a en vez deen o.2.71 Lafigura2.131representaunmodelodeunpanelfoto-voltaicosolar.DadoqueVs 30 V,R1 20 eiL 1 A, halle RL.2.72 HalleVoenelcircuitodivisordepotenciabidireccionalde la figura 2.132.2.73 Unmodelodeampermetroconstadeunampermetroideal en serie con un resistor de 20 . Est conectado conuna fuente de corriente y con un resistor desconocido Rx,como se muestra en la figura 2.133. Se registran las lectu-rasdelampermetro. AlaadirseunpotencimetroR yajustarse hasta que la lectura del ampermetro disminuyaa la mitad de su lectura anterior, R 65 . Cul es el va-lor de Rx?2.74 El circuito de la figura 2.134 sirve para controlar la velo-cidad de un motor de modo que tome corrientes de 5 A, 3A y 1 A cuando el interruptor est en las posiciones alta,media y baja, respectivamente. El motor puede modelar-secomounaresistenciadecargade20m.Determinelas resistencias de cada en serie R1, R2y R3.Problemas 7725 Vo8 k15 k12 k 10 k+ a bFigura 2.130Para el problema 2.70.Vs RLR1+iLFigura 2.131Para el problema 2.71.IARRx20 ModelodeampermetroFigura 2.133Para el problema 2.73.1 1 1 1 1 2 10 V+VoFigura 2.132Para el problema 2.72.6 VAlta MediaBajaFusible de 10-A, 0.01- R1R2R3MotorFigura 2.134Para el problema 2.74.11111111111111baFigura 2.135Para el problema 2.75.2.75 Halle Raben el circuito divisor de potencia tetradireccio-nal de la figura 2.135. Suponga que cada elemento es de1 .111111111111111111111111111111baFigura 2.136Para el problema 2.76.78 Captulo 2 Leyes bsicas2.76 Repita el problema 2.75 en relacin con el divisor octadi-reccional que aparece en la figura 2.136.2.77 Suponga que su laboratorio de circuitos tiene en grandescantidades los siguientes resistores estndar comerciales:1.8 20 300 24 k 56 kUsando combinaciones en serie y en paralelo y un n-mero mnimo de resistores disponibles, cmo obtendralas siguientes resistencias en un diseo de circuito elec-trnico?a) 5 b) 311.8 c) 40 k d) 52.32 k2.78 En el circuito de la figura 2.137, el contacto deslizante divide la resistencia del potencimetro entre R y (1 )R, 0 1. Halle vovs.2.81 En cierta aplicacin, el circuito de la figura 2.140 debe di-searse para satisfacer estos dos criterios:a) VoVs 0.05 b) Req 40 kSi el resistor de carga de 5 k es fijo, halle R1y R2parasatisfacer esos criterios.2.80 Unaltavozestconectadoaunamplificadorcomosemuestra en la figura 2.139. Si un altavoz de 10 tomala potencia mxima de 12 W del amplificador, determine lapotencia mxima que tomar un altavoz de 4 .2.79 Un sacapuntas elctrico de especificaciones a 240 mW,6 V, est conectado a una batera de 9 V, como se indicaen la figura 2.138. Calcule el valor del resistor de reduc-cin en serie Rxnecesario para activar al sacapuntas.vo++ RRRvsFigura 2.137Para el problema 2.78.9 VInterruptorRxFigura 2.138Para el problema 2.79.AmplificadorAltavozFigura 2.139Para el problema 2.80.Vs++5 k VoR2R1ReqFigura 2.140Para el problema 2.81.Problemasdemayorextensin2.82 El diagrama de conexiones de un arreglo de resistenciasse presenta en la figura 2.141. Halle la resistencia equiva-lente para los siguientes casos:a) 1 y 2b) 1 y 3c) 1 y 42.83 Dos dispositivos delicados se especifican como se indicaen la figura 2.142. Halle los valores de los resistores R1yR2necesarios para alimentar los dispositivos con una ba-tera de 24 V.Problemas de mayor extensin 7920 20 40 10 10 1 23 480 Figura 2.141Para el problema 2.82.Dispositivo 1Dispositivo 224 VR1R2Fusible de 60 mA, 2-9 V, 45 mW24 V, 480 mWFigura 2.142Para el problema 2.83.81MtodosdeanlisisNunca alguna gran obra se ha hecho de prisa. Lograr un gran descubrimien-tocientfico,imprimirunaexcelentefotografa,escribirunpoemainmortal,convertirseenministrooenungeneralfamoso:hacercualquiergranlogrorequieretiempo,pacienciayperseverancia.Estoslogrossehacengradual-mente,pocoapoco.W.J. WilmontBuxtonC a p t u l o3Identificacin de problemas de untablero de circuitera electrnica. Michael Rosenfeld/Getty ImagesDesarrollodesucarreraCarrera en electrnicaUn rea de aplicacin para el anlisis de circuitos elctricos es la electrnica.Eltrminoelectrnica seusoriginalmenteparadistinguircircuitosdemuybajosnivelesdecorriente.Estadistincinyanoprocede,puestoquelosdis-positivossemiconductoresdeenergaelctricaoperananivelesaltosdeco-rriente. Hoy la electrnica se considera la ciencia del movimiento de cargas enun gas, en el vaco o en semiconductores. La electrnica moderna implica tran-sistores y circuitos transistorizados. Los primeros circuitos electrnicos se en-samblaronapartirdecomponentes.Ahoramuchoscircuitoselectrnicosseproducen como circuitos integrados, fabricados en un sustrato o pastilla semi-conductor.Loscircuitoselectrnicosseaplicanenmuchasreas,comoautomatiza-cin,transmisin,computacineinstrumentacin.Lavariedaddelosdispo-sitivosqueusancircuitoselectrnicosesenormeysloestlimitadaporlaimaginacin.Radio,televisin,computadorasysistemasestereofnicossonapenasunoscuantos.El ingeniero elctrico usualmente desempea diversas funciones y es pro-bablequeuse,diseeoconstruyasistemasqueincorporenalgunaformadecircuitoselectrnicos.As,esesencialparaelingenieroelctricoelconoci-mientodelaoperacinyanlisisdelaelectrnica.stasehaconvertidoenunaespecialidaddistintaaotrasdisciplinasdentrodelaingenieraelctrica.Acausadequeelcampodelaelectrnicaestenpermanenteavance,unin-geniero electrnico debe actualizar sus conocimientos peridicamente. La me-jormaneradehacerloesintegrarseaunaorganizacinprofesionalcomoelInstitute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Con ms de 300 000miembros, el IEEE es la mayor organizacin profesional del mundo. Sus miem-brossebeneficianenormementedelasnumerosasrevistas,publicaciones,ac-taseinformesdeconferenciasysimposiosanualmenteeditadosporelIEEE.Usted debera considerar la posibilidad de convertirse en miembro de este ins-tituto.82 Captulo 3 Mtodos de anlisisIntroduccinYacomprendidaslasleyesfundamentalesdelateoradecircuitos(laleydeOhm y las leyes de Kirchhoff), se est listo para aplicarlas al desarrollo de doseficacestcnicasdeanlisisdecircuitos:elanlisisnodal,elcualsebasaenuna aplicacin sistemtica de la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), y el an-lisisdelazo,elcualsebasaenunaaplicacinsistemticadelaleydeten-sin de Kirchhoff (LTK). Estas dos tcnicas son tan importantes que este captulodebera considerarse el ms relevante del libro. Por lo tanto, se debe prestar de-tenidaatencin.Conlasdostcnicasporpresentarenestecaptulo,esposibleanalizarcualquiercircuitolinealmediantelaobtencindeunconjuntodeecuacionessimultneas que despus sean resueltas para obtener los valores requeridos decorrienteotensin.UnmtodoparalaresolucindeecuacionessimultneasimplicalaregladeCramer,lacualpermitecalcularlasvariablesdecircuitocomouncocientededeterminantes.Losejemplosdeestecaptuloilustrarnestemtodo;enelapndiceAtambinseresumenbrevementelosaspectosesencialesqueellectordebeconocerparaaplicarlaregladeCramer.OtromtodoparalaresolucindeecuacionessimultneasesusarMATLAB,soft-waredecomputacinqueseexplicaenelapndiceE.EnestecaptulosepresentarasimismoelusodePSpiceforWindows,programadesoftwaredecomputacinparalasimulacindecircuitosqueseusaralolargodeltexto.Porltimo,seaplicarnlastcnicasaprendidasenestecaptuloparaanalizarcircuitostransistorizados.AnlisisnodalElanlisisnodalbrindaunprocedimientogeneralparaelanlisisdecircui-tosconelusodetensionesdenodocomovariablesdecircuito.Laeleccinde las tensiones de nodo en vez de tensiones de elemento como las variables decircuito es conveniente y reduce el nmero de ecuaciones que deben resolver-seenformasimultnea.Parasimplificarlascosas,enestaseccinsesupondrqueloscircuitosnocontienenfuentesdetensin.Circuitosquecontienenfuentesdetensinseanalizarnenlasiguienteseccin.Enelanlisisnodal interesahallarlastensionesdenodo.Dadouncir-cuitoconn nodossinfuentesdetensin,elanlisisnodaldelcircuitoimpli-calostrespasossiguientes.3.23.1Pasosparadeterminarlastensionesdelosnodos:1. Seleccioneunnodocomonododereferencia. Asignelastensionesv1, v2, . . . , vn1, a los n 1 nodos restantes. Las tensiones se asig-nanrespectoalnododereferencia.2. ApliquelaLCKacadaunodelosn 1nodosdenoreferencia.UselaleydeOhmparaexpresarlascorrientesderamaentrmi-nosdetensionesdenodo.3. Resuelvalasecuacionessimultneasresultantesparaobtenerlastensionesdenododesconocidos.Ahoraseexplicarnyaplicarnestostrespasos.El primer paso del anlisis nodal es seleccionar un nodo como nodo de re-ferenciao debase.Elnododereferenciasellamacomnmentetierra,puesse El anlisis nodal tambin se conocecomo mtodo de la tensin de nodo.3.2 Anlisis nodal 83suponequetienepotencialcero.Elnododereferenciaseindicaconcualquie-radelostressmbolosdelafigura3.1.Eltipodetierradelafigura3.1b)sellama tierra de chasis (armazn) y se usa en dispositivos en los que la caja, re-cipiente o chasis acta como punto de referencia para todos los circuitos. Cuan-do el potencial de la tierra se usa como referencia, se emplea la tierra fsica delafigura3.1a)oc). Aquseusarsiempreelsmbolodelafigura3.1b).Unavezseleccionadoelnododereferencia,sehacendesignacionesdetensin a los nodos de no referencia. Considrese, por ejemplo, el circuito de lafigura3.2a).Elnodo0eselnododereferencia(v 0),mientrasquealosnodos 1 y 2 se les asignan las tensiones v1y v2, respectivamente. Tngase encuentaquelastensionesdenodosedefinenrespectoalnododereferencia.Como se ilustra en la figura 3.2a), cada tensin de nodo es la elevacin de latensinrespectoalnododereferenciadesdeelnodocorrespondientedistintodetierra,osimplementelatensindeesenodorespectoalnododereferencia.Comosegundopaso,seaplicalaLCKacadanododenoreferenciaenelcircuito.Paranorecargardeinformacinelmismocircuito,elcircuitodelafigura3.2a),seharedibujadoenlafigura3.2b),dondeahoraseaadeni1,i2ei3,comolascorrientesatravsdelosresistoresR1, R2yR3,respectiva-mente.Enelnodo1,laaplicacindelaLCKproduceI1 I2 i1 i2(3.1)Enelnodo2,I2 i2 i3(3.2)Ahora se aplica la ley de Ohm para expresar las corrientes desconocidas i1, i2ei3, en trminos de tensiones de nodo. La idea clave por tener en cuenta es que,puesto que la resistencia es un elemento pasivo, por la convencin pasiva de lossignoslacorrientesiempredebefluirdeunpotencialmayoraunomenor.Lacorrientefluyedeunpotencialmayor aunpotencialmenor enunresistor.Esteprincipiosepuedeexpresarcomoi (3.3)Ntese que este principio concuerda con la manera en que se defini la resis-tencia en el captulo 2 (vase figura 2.1). Con esto presente, de la figura 3.2b)seobtiene,i1 o i1 G1v1i2 o i2 G2(v1 v2) (3.4)i3 o i3 G3v2Lasustitucindelaecuacin(3.4)enlasecuaciones(3.1)y(3.2)da,respec-tivamente, I1 I2 (3.5)I2 (3.6)v2R3v1 v2R2v1 v2R2v1R1v1 0R3v1 v2R2v1 0R1vmayor vmenorRFigura 3.1Smbolos comunes para indicar el nodo dereferencia: a) tierra comn, b) tierra, c)tierra de chasis.a) b) c)Figura 3.2Circuito usual para el anlisis nodal.a)b)1 2v1i1i2i2i3v2I20R3v2+R3R1v1+R1I1I2R2R2I1El nmero de nodos de no referenciaes igual al nmero de ecuaciones inde-pendientes que se derivar.84 Captulo 3 Mtodos de anlisisEn trminos de las conductancias, las ecuaciones (3.5) y (3.6) se convierten en I1 I2 G1v1 G2(v1 v2) (3.7)I2 G2(v1 v2) G3v2(3.8)Eltercerpasodelanlisisnodalesdeterminarlastensionesdenodo.Sise aplica la LCK a los n 1 nodos de no referencia, se obtienen n 1 ecua-ciones simultneas como las ecuaciones (3.5) y (3.6) o (3.7) y (3.8). En el ca-sodelcircuitodelafigura3.2,seresuelvenlasecuaciones(3.5)y(3.6)o(3.7)y (3.8) para obtener las tensiones de nodo v1y v2, usando cualquier mtodo es-tndar, como el mtodo de sustitucin, el mtodo de eliminacin, la regla de Cra-mer o la inversin de matrices. Para emplear alguno de los dos ltimos mtodos,las ecuaciones simultneas deben enunciarse en forma matricial. Por ejemplo, lasecuaciones(3.7)y(3.8)puedenenunciarseenformamatricialcomo (3.9)lacualpuederesolverseparaobtenerv1y v2.Laecuacin3.9segeneraliza-renlaseccin3.6.Lasecuacionessimultneastambinpuedenresolversecon calculadora o con paquetes de software como MATLAB, Mathcad, MapleyQuattroPro.I1 I2I2v1v2G1 G2G2G2G2 G3En el apndice A se analiza la aplicacin de la regla de Cramer.Figura 3.3Para el ejemplo 3.1: a) circuito original,b) circuito para anlisis.215 A10 A 2 6 4 a)5 A10 A 2 6 4 b)i1 = 5i1 = 5i4 = 10i2i3i2 i5v2v1Ejemplo 3.1 Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a).Solucin:Considreselafigura3.3b),dondeelcircuitodelafigura3.3a)sehaprepara-doparaelanlisisnodal.Ntesecmosehanseleccionadolascorrientesparala aplicacin de la LCK. Excepto por las ramas con fuentes de corriente, la ro-tulacindelascorrientesesarbitraria,perocoherente.(Porcoherenteentende-mosquesi,porejemplo,sesuponequei2entraalresistorde4 porelladoizquierdo, i2debe salir de ese resistor por el lado derecho.) Se selecciona el no-dodereferenciaysedeterminanlastensionesdenodov1y v2.Enelnodo1,laaplicacindelaLCKydelaleydeOhmproducei1 i2 i31 5 Almultiplicarcadatrminodeestaltimaecuacinpor4seobtiene20 v1 v2 2v1osea3v1 v2 20 (3.1.1)Enelnodo2sehacelomismoyseobtienei2 i4 i1 i51 10 5 Lamultiplicacindecadatrminopor12produce3v1 3v2 120 60 2v2osea3v1 5v2 60 (3.1.2)v2 06v1 v24v1 02v1 v243.2 Anlisis nodal 85Ahorahaydosecuacionessimultneas,(3.1.1)y(3.1.2).Sepuedenresolverconcualquiermtodoparaobtenerlosvaloresdev1y v2. MTODO1 Siseaplicalatcnicadeeliminacin,sesumanlasecua-ciones(3.1.1)y(3.1.2).4v2 80 1 v2 20 VLasustitucindev2 20enlaecuacin(3.1.1)produce3v1 20 20 1 v1 13.33 V MTODO 2 Si se aplica la regla de Cramer, se deben enunciar las ecua-ciones(3.1.1)y(3.1.2)enformamatricial,deestamanera: (3.1.3)Ladeterminantedelamatrizes 15 3 12Ahoraseobtienen v1yv2deestaforma:v1 13.33 Vv2 20 Vloquedaelmismoresultadoqueconelmtododeeliminacin.Sisenecesitanlascorrientes,sepuedencalcularfcilmenteapartirdelosvaloresdelastensionesdenodo.i1 5 A, i2 1.6667 A, i3 6.666 Ai4 10 A, i5 3.333 AElhechodeque i2seanegativaindicaquelacorrientefluyeenladireccincontrariaalasupuesta.v26v12v1 v24180 60123 203 602100 601220 160 513 13 52060v1v23 13 5403Figura 3.4Para el problema de prctica 3.1.1 A 4 A6 2 7 1 2Problema de prctica 3.1Obtengalastensionesdenodoenelcircuitodelafigura3.4.Respuesta: v12V,v214V.86 Captulo 3 Mtodos de anlisisDeterminelastensionesenlosnodosdelafigura3.5a).Solucin:Elcircuitodeesteejemplotienetresnodosdenoreferencia,adiferenciadelejemplo anterior, en el que haba dos nodos de no referencia. Se asignan ten-sionesalostresnodoscomosesealaenlafigura3.5b)yserotulanlasco-rrientes.Figura 3.5Para el ejemplo 3.2: a) circuito original, b) circuito para anlisis.4 4 2 8 ix1 3203 A 2ixa)ixixi34 4 2 8 i1v1v2i2i2i1v33 A3 A2ixb )Ejemplo 3.2Enelnodo1,3 i1 ix1 3 Almultiplicarpor4yreordenarlostrminosseobtiene3v1 2v2 v3 12 (3.2.1)Enelnodo2,ix i2 i31 Almultiplicarpor8yreordenarlostrminosseobtienen4v1 7v2 v3 0 (3.2.2)Enelnodo3,i1 i2 2ix1 Almultiplicarpor8,reordenarlostrminosydividirentre3seobtiene2v1 3v2 v3 0 (3.2.3)Setienetresecuacionessimultneasporresolverparaobtenerlastensionesdenodov1,v2yv3.Seresolvernlasecuacionesdetresmaneras. MTODO 1 Aplicando la tcnica de eliminacin, se suman las ecuacio-nes(3.2.1)y(3.2.3).5v1 5v2 12oseav1 v2 2.4 (3.2.4)Lasumadelasecuaciones(3.2.2)y(3.2.3)daporresultado2v1 4v2 0 1 v1 2v2(3.2.5)1252(v1 v2)2v2 v38v1 v34v2 04v2 v38v1 v22v1 v22v1 v343.2 Anlisis nodal 87Lasustitucindelaecuacin(3.2.5)enlaecuacin(3.2.4)produce2v2 v2 2.4 1 v2 2.4, v1 2v2 4.8 VDelaecuacin(3.2.3)seobtienev3 3v2 2v1 3v2 4v2