PRINCIPIO O TEORÍA DE LA DUALIDAD

El físico francés Louis de Broglie en 1924, considero, que la luz no solo es un efecto corpuscular sino también ondulatorio. La dualidad onda-corpúsculo es la posesión de propiedades tanto ondulatorias como corpusculares por parte de los objetos subatómicos. La teoría de la dualidad de la materia considera que la materia tiene un comportamiento corpúsculo-onda ó partícula-onda.

= longitud de onda h = constante de Planck

m = masa del electrón v = velocidad de la partícula-onda

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG

El físico alemán Werner Heisenberg en 1926, expreso que es imposible conocer con presión y simultáneamente la posición y velocidad del electrón, ya que al determinar la velocidad se altera el valor real de su posición.

ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRÖDINGER

El físico austriaco Erwin Schrödinger en 1927, establece la relación entre la energía de un electrón y la distribución de este en el espacio deacuerdo con sus propiedades ondulatorias. Propuso una ecuación que no señala órbitas discretas, sino la onda asociada al electrón. Su ecuación es:

² ð ² ð ² ð ² ð

x² y² z² h²

= Derivación parcial de la función de onda

ð = (psi) Amplitud de la función de onda del electrón

E = Energía total del sistema

v = Energía potencial del sistema

m = Masa del electrón

h = Constante de Planck

(x, y, z) = Coordenadas cartesianas

Al resolver la ecuación de Schrödinger se encontró solución a los siguientes números cuánticos, con excepción del cuarto parámetro que fue agregado por Dirac:

Núm. Cuánt. Principal ( n ).-Define el tamaño de la nube electrónica.

Núm. Cuánt. Secundario ó azimutal ( ! ).-Determina la forma del órbital.

Núm. Cuánt. Magnético ( m ).-Señala las orientaciones del órbital.

Núm. Cuánt. Spin ( s ).- Indica el giro del electrón y la posición.

Si ! = 0, n=1 su órbital es s, m es igual 0 y s es igual a +½, -½ con 2 e- como máximo.

Si ! = 0,1, n=2 su órbital es p, es igual -1,0,+1 y s es igual a +½,-½ con 6 e- como máximo.

Si ! = 0,1,2, n=3 su órbital es d, es igual -2,-1,0,1,2 y s es igual a +½,-½ con 10 e- como máximo.

Si ! = 0,1,2,3, n=4 su órbital es f, es igual -3,-2,-1,0,1,2,3 y s es igual a +½,-½ con 14 e- como máximo.

Cuando n=5,6,7 son los mismos orbítales que n=4.

LA ECUACION DE ONDA DE SCHRÖDINGER 

El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios científicos desarrollados por Erwin Schrodinger, llamádola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.

Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.

 

POSTULADOS DE LA ECUACION DE ONDA DE SCHRODINGER

1. - Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por

una funcio denotada por Y(x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples.

2. - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.

. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:

Donde  *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de  (x, y, z, t) y se

cumple que

DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRODINGER 

La energía total de la partícula se expresa como:

E = Ep + Ec

donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética:

Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:

Multiplicando por la función de onda  (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r:

 

Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:

Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:

DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN: 

Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente:

 

 (x,t) =  (x) f(t)

 (x) : Depende del espacio.

f(t): Depende del tiempo. Por lo tanto:

 agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:

  Co es una constante independiente.

 ECUACION DE SCHRÖDINGER DEPENDIENTE DEL ESPACIO

La solucion de esta ecuación diferencial es la siguiente:

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

Co es energía, de acuerdo al resultado:

 

DETERMINACION DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

PARA UNA PARTÍCULA LIBRE

 

Una partícula libre es aquella que se encuentra en un medio donde no existen campos externos que distorsionen el campo de materia de la partícula, por lo tanto su energía potencial es cero y su energía total es de movimiento:

 

De la física cuántica se obtuvo el vector de onda o numero de onda K expresado de la siguiente manera:

 

Esta es la ecuación diferencial de onda plana

 

La solución a la ecuación de Scrödinger independiente del tiempo es:

como  (r, t) =  (r) f(t), entonces:

Onda incidente + Onda plana reflejada

sta es la solución general de la ecuación de Schrödinger.

 

LA PARTÍCULA EN EL POZO DE POTENCIAL UNIDIMENSIONAL

Partiendo de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

Dentro de un Pozo de Potencial, la partícula se analiza como libre, entonces es válida la función de onda plana:

Siguiendo las condiciones de borde se obtiene lo siguiente:

 

Por lo tanto la energía de la partícula dentro del pozo de potencial toma solo valores discretos, lo que está de acuerdo con la física cuántica.

Con estos resultados, se obtiene para la función de onda plana la siguiente expresión:

 

FUNCIÓN DE ONDA PLANA DE LA PARTÍCULA LIBRE EN EL POZO DE POTENCIAL