Principio de transmisibilidad

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un slido rgido permanecern inalterables si una fuerza F, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza F de igual magnitud, direccin y sentido, que acta sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la misma lnea de accin.

Elproducto vectorialdedos vectoreses otrovectorcuyadireccinesperpendiculara los dos vectores y susentidosera igual al avance de unsacacorchosal girar de u a v. Sumduloes igual a:

Elproducto vectorialse puede expresar mediante undeterminante:

Ejemplos:Calcular elproducto vectorialde los vectores= (1, 2, 3) y= (1, 1, 2).

Dados los vectoresy, hallar elproducto vectorialde dichos vectores. Comprobar que el vector hallado esortogonalay.

El producto vectorial dees ortogonal a los vectoresy.rea del paralelogramoGeomtricamente, elmdulo del producto vectorialde dos vectores coincide con elrea del paralelogramoque tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo:Dados los vectoresy, hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectoresy

rea de un tringuloLa diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulos iguales, por tanto el rea del tringulo ser la mitad del rea del paralelogramo.EjemploDeterminar elrea del tringulocuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).

Propiedades del producto vectorial1.Anticonmutativax= x2.Homognea(x) = () x=x ()3.Distributivax (+) =x+x4.Elproducto vectorialde dosvectores paralelosen igual alvector nulo.x=5.Elproducto vectorialxesperpendicularay a.

Sean dos vectoresyen elespacio vectorial. El producto vectorial entreyda como resultado un nuevovector,. El producto vectorial entreaybse denota medianteab, por ello se lo llama tambinproducto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letrax(equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:1

El producto vectorial puede definirse de una manera ms compacta de la siguiente manera:

dondees elvector unitarioyortogonala los vectoresayby su direccin est dada por laregla de la mano derechayes, como antes, el ngulo entreayb. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo tambin regla del sacacorchos.Producto vectorial de dos vectores[editar]

Sean los vectores concurrentes de, elespacio afntridimensional segn la base anterior. Se define el producto:

Dondewes el producto vectorial deuyv, definido as:

donde la ltima frmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notacin ms compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simblico de orden 3 (simblico ya que los trminos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamadaregla de la mano derechao regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ngulo ms pequeo, la direccin dees el de un sacacorchos que gire en la misma direccin.Ejemplo[editar]El producto vectorial de los vectoresyse calcula del siguiente modo:

Expandiendo eldeterminante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fcilmente quees ortogonal a los vectoresyefectuando elproducto escalary verificando que ste es nulo (condicin de perpendicularidadde vectores)

Impulso, momento de una fuerza, momento angularImpulsoConsideremos el movimiento en una dimensinLa definicin de fuerza esF=dpdtSi la masa es constante, integrandomvmv0=t0tFdt

Momento de una fuerzaSupongamos que tenemos tres llaves que actan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerzaFen el extremo de la llave. Es fcil contestar a las siguientes preguntas: En qu situaciones se enrosca el tornillo? En que situaciones se desenrosca el tornillo? Cules producen el mismo resultado o son equivalentes?.En la primera figura, el tornillo avanza en una direccin perpendicular al plano de la pgina, y hacia el lector. El mdulo del momento esFd.En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma direccin y sentido. El mdulo del momento esF/2(2d)=Fd. Con una llave ms larga estamos en una situacin ms favorable que con una llave ms corta.En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma direccin pero en sentido contrario. Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posicinrde la fuerza por el vector fuerzaF.M=rFEl vectorMtiene Por mdulo,M=Frsin=Fd. Siendodel brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la direccin de la fuerza) Direccin, perpendicular al plano determinado por la fuerzaFy el punto O. Sentido, la aplicacin de la regla del sacacorchosLa analoga de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado fsico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el mdulo, la direccin y el sentido del momento de una fuerza: El mdulo es el producto de la fuerzaFpor la longituddde la llave.M=Frsin=Fd La direccin, es la del eje del tornillo, eje Z El sentido viene determinado por el avance del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.EjemplosHallar el momento (mdulo direccin y sentido) de la fuerzaFde mdulo 6 N respecto del origen. El punto P de aplicacin de la fuerza se encuentra a 45 cm del origen.

Brazo de la fuerza,d=0.45sin20MMdulo6dDireccin,ejeZSentido,=-0.92kNm

Momento angularSe define momento angularLrespecto de un punto O como el vector producto vectorialL=rp=rmv(la direccin del vector velocidadves tangente a la trayectoria)El clculo del momento angular es similar al del momento de una fuerza respecto de un punto, sutituyendo el vector fuerza por el vector momento lineal.

2.1 Momento de una fuerzaEl momento de una resultante de fuerzas con respecto a un punto o un eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.A medida que aumenta la fuerza o la distancia, es mayor el efecto de rotacin causado; a esto tambin se le conoce como torca, pero ms a menudo tambin se denomina momento de una fuerza o simplemente momento.Considera una fuerzaFque acta sobre un cuerpo rgido. La fuerza est representada por un vector que define su magnitud y su direccin; sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rgido tambin depende de su punto de aplicacinA. La posicin deApuede definirse por medio del vectorrque une al punto de referencia fijoOconA, a este vector se le conoce como vector de posicin deA.

Para fines educativos.Beer (1997).El momento deFcon respecto aOse define como el producto vectorial deryFde la siguiente manera:

De acuerdo con la definicin de producto vectorial, el momento debe ser perpendicular al plano que contiene el puntoOy a la fuerzaF. El sentido deMoest definido por el sentido de la rotacin que hara al vectorrcolineal con el vectorF. Una manera sencilla de definir el sentido de rotacin es basarse en las manecillas del reloj, o bien utilizando la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha y mantnganla de tal forma que sus dedos estn doblados en el mismo sentido de la rotacin queFle impartir al cuerpo rgido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la lnea de accin deMo; su dedo pulgar indicar el sentido del momentoMo.

Finalmente, representada por el anguloentre las lneas de accin del vector de posicinry la fuerzaF, se encuentra que la magnitud del momento deFcon respecto aOesta dada por:

Dondedrepresenta la distancia perpendicular desdeOhasta la lnea de accin deF. La magnitud deMomide la tendencia de la fuerzaFa hacer rotar el cuerpo rgido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo deMo.En el sistema internacional de unidades la fuerza se deber expresar en Newtons (N) y la distancia en metros (m) por lo tanto el momentoMose deber expresar en Newtons-metro, es decir Joules.En el sistema ingls la fuerza se expresa en libras y la distancia en pies o pulgadas por lo tanto el momentoMose expresara en Lb-pie o Lb-in.2.2 Momento de una fuerza respecto a un eje especficoImagen obtenida de http://estaticaortegamorenomo.blogspot.comSlo para fines educativos.Se define a MOLcomo:Dondees el vector unitario a lo largo deOLyres el vector de posicin desde cualquier punto sobre la lneaOLhasta cualquier punto sobre la lnea de accin deF.Como en el caso del momento de fuerza con respecto a un punto, elegir el vector de posicin mas conveniente simplificar los clculos. Adems se debe recordar que los vectoresryFdeben tener el sentido correcto y ser colocados en la frmula en el orden apropiado.El procedimiento que se debe seguir cuando se calcula el momento de una fuerza con respecto a un eje es expresar primero a,ryFen trminos de sus componentes rectangulares para despus evaluar el triple producto escalar(rxF) con el fin de determinar el momento con respecto al eje. En la mayora de los problemas tridimensionales, la forma ms conveniente para calcular el triple producto escalar se obtiene empleando un determinante.2.3 Momento de un parSe dice que dos fuerzasFy Fque tienen la misma magnitud, lneas de accin paralelas y sentidos opuestos, forman un par. Obviamente la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es igual a cero. Sin embargo la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originaran una traslacin del cuerpo sobre el que estn actuando, stas si tendern a hacerlo rotar.Imagen obtenida de http://estaticaortegamorenomo.blogspot.comSlo para fines educativos.Representando conrAyrBrespectivamente a los vectores de posicin de los puntos de aplicacin deFy F, se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto aOes la siguiente:DefiniendorA-rB= rdonderes el vector que une los puntos de aplicacin de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos deFy F, con respecto aO, est representada por el vector:Elvector Mse conoce como el momento del par, se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud est dada por:

Dondedes la distancia perpendicular entre las lneas de accin deFy F. El sentido deFest definido por la regla de la mano derecha.A partir de la definicin de momento par tambin se concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzasF1y F1y el otro constituido por las fuerzasF2yF-2tendrn momentos iguales si:F1d1= F2d2Y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano), tendrn el mismo sentido.

Ejemplo:

Para fines educativos.Hibbeler (2004).Una fuerza vertical de 100 Lb se aplica en el extremo de una palanca que est unida a una flecha en el puntoO; determina lo siguiente:a. El momento de la fuerza de 100 Lb con respecto aO.b. La fuerza horizontal aplicada enAque origina el mismo momento con respecto aO.c. La mnima fuerza aplicada enAque origina el mismo momento con respecto aO.d. Qu tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 Lb para originar el mismo momento con respecto aO?e. Si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerza original.Solucin:a. La distancia perpendicular desdeOhasta la lnea de accin de la fuerza de 100 Lb es:

Para fines educativos.Hibbeler (2004).b.

Para fines educativos.Hibbeler (2004).c.

Para fines educativos.Hibbeler 2004.d. e. Ninguna de las fuerzas consideradas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerzas original de 100 Lb a pesar de que estas fuerzas tienen el mismo momento respecto aO, sus componentesxyyson diferentes.