PRIMEROS PASOS HACIA LA DETERMINACIÓN DE DERIVADAS

21/04/23Prof. María Cristina González

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PRIMEROS PASOS HACIA LA DETERMINACIÓN DE DERIVADAS

3º de Bachillerato Tecnológico


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Introducción

La llegada de la Geometría proporcionó un poderoso estímulo a la invención del cálculo diferencial puesto que , la representación gráfica de una función reveló muchas características importantes de la misma


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Pautas de crecimiento de una recta Las rectas tienen un crecimiento

constante, que se mide con su pendiente Si la pendiente es grande , el

crecimiento o decrecimiento es rápido Si la pendiente es pequeña entonces

crecen o decrecen lentamente Cuando la pendiente es nula, la recta no

crece ni decrece


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Pautas de crecimiento de una curva El crecimiento de una curva es

variable Varía en cada punto de la misma Para medir el crecimiento o

decrecimiento de una curva, determinaremos la pendiente de la recta tangente a la misma, en cada punto de ella


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Tasa de variación media

Llamaremos tasa de variación media de una función f(x) , en el intervalo [ a , b ] al cociente resultante de dividir, variación de ordenadas sobre variación de abscisas


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Tasa de variación media (continuación) Cuando se trabaja con una función

f(x) a la que quiere determinársele la tasa de variación media en un intervalo, [a,b], procedemos a trazar la cuerda que va del punto de abscisa a, al punto de abscisa b

La pendiente de la cuerda anterior, se determina haciendo : variación de ordenadas , f(b) – f(a), dividido la variación de abscisas, (b-a)


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Tasa de variación instantánea Cuando se estudia la tasa de variación

media (T.V.M) en intervalos variables de la forma [a,b], en que a permanece fijo y b va tomando valores cada vez más próximos a a, se obtiene lo que ha de llamarse la tasa de variación instantánea

Se llama tasa de variación instantánea al límite de la T.V.M en el intervalo [a,b] cuando b tiende a a


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Qué significa esto

La T.V.M de una función en un intervalo la interpretábamos como la pendiente de la cuerda correspondiente.


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Qué significa esto

Al determinar la tasa de variación instantánea se considera que el extremo derecho del intervalo se va aproximando al izquierdo. Por consiguiente, las cuerdas correspondientes van tendiendo hacia la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=a.

La derivada de la función , en el punto de abscisa x=a, representada por f´(a), no es más que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa mencionado.


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Algunas aplicaciones de la razón de cambio Velocidad promedio de un auto:

supóngase que la distancia recorrida por un automóvil, que transita por un camino recto, t segundos después de partir del reposo, está dada por: f(t) = 2.t2

a) Calcúlese la velocidad promedio del auto en los períodos [22 , 23] , [22 , 22.1] , [22 , 22.01]


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Algunas aplicaciones de la razón de cambio b) Calcular la velocidad

instantánea cuando t = 22

c) Comparar los resultados de las dos partes anteriores

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