Primer Trabajo de Investigacion fisica 3
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TRABAJO-FISICA 3
TONY CARDENAS ALVARADO 1
Gradiente
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo
vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio
de , ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y
su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector
gradiente. El gradiente se representa con el operador
diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente
con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre
el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o
usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a
campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
Definición
Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una
presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un
punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará
más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel
de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas
latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso
el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima
inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a
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las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define
como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas
parciales del campo escalar, esto es:
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las
derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional
según un vector:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que,
multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El
gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal
(perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese
(x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:
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Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un
campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la
temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con
respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el
gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura
aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido
aumenta la temperatura en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como
H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que
hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará
cuán empinada se encuentra la pendiente.
Propiedades
El gradiente verifica que:
Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional,
esto es,
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Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de
coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores
de escala, mediante la expresión
Para coordenadas cilíndricas ( , ) resulta
y para coordenadas esféricas ( , , )
En un sistema de coordenadas curvilíneo general el gradiente tiene la forma:
donde en la expresión anterior se usa el convenio de sumación de Einstein.
Gradiente de un campo vectorial
Ver también Tensor_deformación#Tensores_finitos_de_deformación
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En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de gradiente también
puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente
de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento:
Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz
3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas
parciales de las tres componentes del campo vectorial. El gradiente de
deformación estará bien definido sólo si el límite anterior existe para todo y
es una función continua de dicho vector.
Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación
lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.
Ejemplos
1. Dada la función su vector gradiente es
el siguiente:
2. Dada la función su vector
gradiente es el siguiente:
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3. Dada la función su vector
gradiente es el siguiente:
Aplicaciones
Aproximación lineal de una función
El gradiente de una función definida de Rn → R caracteriza la
mejor aproximación lineal de la función en un punto particular en Rn. Se
expresa así:
donde es el
gradiente evaluado en
Aplicaciones en física
La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de
variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un
gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede
presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande
uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o
nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.
El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en
física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular,
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existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de
un potencial escalar.
Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:
Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo
escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una
fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:
Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que
verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por
ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas
siendo la conductividad térmica.
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Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo
saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que
rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la
divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será
negativa.
La Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen
conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
donde es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.
El símbolo representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del
campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es
positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es
negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo
dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico,
siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del
campo eléctrico.
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Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene
a partir de la divergencia de
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través
del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
Coordenadas cartesianas
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo
expresado en coordenadas cartesianas,
el resultado es sencillo:
Coordenadas ortogonales
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas
ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión
se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la
posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:
Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas,
relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de
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coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas
cartesianas ( ) se reduce a la expresión anterior.
Para coordenadas cilíndricas ( ) resulta:
Para coordenadas esféricas ( ) resulta
Coordenadas generales
En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales,
la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las
derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante
del tensor métrico:
Divergencia de un campo tensorial
El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de
orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor
T completamente simétrico
Se define como:
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Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema
se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya
divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la
energía relativista toma la forma:
Teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss,
relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie
cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del
volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante
tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en
la mecánica de fluidos.
El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable
definida sobre un conjunto y sea un conjunto
cerrado limitado por una frontera o superficie de contorno (que sea
una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la
superficie, entonces se cumple que:
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Rotacional
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que
muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un
punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del
campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva , que se reduce a un
punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un
vector), sino solo su componente según la dirección normal a y orientada
según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas
en planos perpendiculares.
Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de
cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo
encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por
una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en
todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
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La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el
interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre
la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro
de la rueda.
Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial, , que se obtiene calculando el rotacional de un campo en
cada punto,
se conoce como las fuentes vectoriales de (siendo las fuentes escalares las
que se obtienen mediante la divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se
denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está
definido sobre un dominiosimplemente conexo entonces dicho campo puede
expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el
campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):
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Expresión en coordenadas cartesianas
Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la
expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del
operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante
un determinante:
Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues
los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de
sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera
fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar
fácilmente la expresión del rotacional.
En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:
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Expresión en otros sistemas de coordenadas
Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión
debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la
posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas,
las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de
escala:
(donde, en cartesianas, y reobtenemos la expresión
anterior. En coordenadas cilíndricas y en coordenadas
esféricas ).
Expresión mediante formas diferenciales[editar]
Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:
Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da
lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito
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correctamente como . Sin
embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos
intuitivos que los vectores ordinarios, elR³-dual se utiliza comúnmente en lugar
de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que
adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.
Propiedades
Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial
escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,
Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro)
es irrotacional.
En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición,
cualquier campo electrostático) es irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto
es, su divergencia siempre es nula:
Ejemplos
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Un campo vectorial sencillo
Sea el campo vectorial:
que depende linealmente de x e y, que se muestra a continuación:
Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando. Si indicara la
dirección de un fluido y se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que
se utilizaban en los barcos de vapor, tendería a rotar en el sentido de las agujas
del reloj. Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a
la parte negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el
eje x o y.
Calculando el rotacional:
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Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba. En este caso, el
rotacional es constante, independientemente de su posición. La "cantidad" de
rotación es el mismo en todo punto del espacio. La siguiente figura muestra el
rotacional del campo vectorial en tres dimensiones.
Un ejemplo más complejo
Supongamos otro campo vectorial un poco más complejo:
Su gráfica es:
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No se observa con facilidad que este campo sea rotacional, pero investigando
un poco se puede observa que, por ejemplo, el campo es mayor en x=4 que en
x=3. Al igual que en el caso anterior, si pusiéramos de nuevo una rueda de
palas en la zona derecha del gráfico, la «corriente» más fuerte a la derecha
haría rotar a la rueda en el sentido de las agujas del reloj, lo cual corresponde
a un rotacional en la dirección negativa del eje z. En la parte izquierda del gráfico
se observa que la corriente más fuerte esta hacia la izquierda por lo que las
palas girarían en el sentido contrario a las agujas del reloj y el rotacional, en
este caso, apuntaría hacia la parte positiva el eje z. Computando el rotacional
podemos comprobar las suposiciones realizadas.
Efectivamente, el rotacional apunta a la dirección positiva del eje z para x
negativa y a la parte negativa del eje z para x positivo. Obsérvese que el
rotacional ya no es uniforme en todos los puntos:
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Obsérvese que el rotacional solamente depende de la coordenada x.
Otros ejemplos
En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que
muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el
ojo, y posiblemente en otras partes (véase vorticidad).
En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte
individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante
en todas las partes del disco.
Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles
tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre
los carriles sería diferente de cero.
La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de
las ecuaciones de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando
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el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico
es igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con
signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional
de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes
y la derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.
Operador laplaciano
En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador
diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos
problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El
operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que
estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que
aparecía dicho operador.
Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las
segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable.
Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ)
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o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un
campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en
términos del operador nabla como:
Problemas relacionados con el operador laplaciano
En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del
potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución
de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa
un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la
electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en
la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de
la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma.
En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un
determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas
funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de
variable compleja. Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de
la teoría de Hodge y los resultados de lacohomología de De Rham.
Motivación de la ubicuidad del operador laplaciano
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Una de las motivaciones por las cuales el Laplaciano aparece en numerosas
áreas de la física es que las soluciones de la ecuación en una
región U son funciones que minimizan el funcional de energía:
Para ver esto supóngase que es una función, y es una
función que se anula sobre la frontera de U. Entonces,
donde la última igualdad se sigue usando la primera identidad de Green. Este
cálculo muestra que si , entonces el funcional de energía E es
estacionario alrededor def. Recíprocamente, si E es estacionario alrededor de f,
entonces por el teorema fundamental del cálculo integral.
Otra razón de su ubicuidad es que cuando uno escribe la ecuación de Laplace
en forma diferencias finitas se aprecia que el Laplaciano en un punto es la
diferencia entre el valor de la función en el punto y el valor de la función
alrededor. Es decir, cualquier magnitud que puede expresarse como una
magnitud flujo que se conserva satisface la ecuación de Laplace.
Propiedades del operador laplaciano
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El laplaciano es lineal:
La siguiente afirmación también es cierta:
Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una
función f es:
En coordenadas cartesianas tridimensionales:
En coordenadas cartesianas en :
Coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas :
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Coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas :
Coordenadas curvilíneas ortogonales
En coordenadas ortogonales generales :
Donde son los factores de escala del sistema de coordenadas, que
en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas
curvilíneas.
D'Alembertiano
El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a
un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y
métrica arbitraria. Se suele representar como , o simplemente como .
Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de
Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha
función.
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Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de , el producto
escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad
(pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:
Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador
frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda
electromagnética.
En el espacio de Minkowski
La métrica es la métrica plana , y por tanto
el D'Alambertiano es
En un espacio curvo
Se puede hacer que el operador D'Alembertiano sea también invariante frente
a una transformación general de coordenadas si se define en relación a
la derivada covariante:
Ejemplos
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Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon,
que describe campos escalares de spin cero:
Wronskiano
En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 18121 por el
matemático polaco Józef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 18822 por
el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de
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las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para
mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.
Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f1, ..., fn, el
wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:
El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones
en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo
renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas
veces llamada matriz fundamental.
En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser
calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.
El wronskiano y dependencia lineal (DAMA
El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones
es linealmente independiente en un intervalo dado:
si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo,
entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el
intervalo.
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Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos
soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes,
quizás podamos usar el wronskiano. Notése que si el wronskiano es cero
uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente
independientes.
si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo,
esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente
es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo
primero.
Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos
textos) es que si en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo
que es incorrecto. Sin embargo si ... son funciones analíticas y en
todas partes, entonces ... son linealmente dependientes.
Ejemplos
Considérese las funciones y definidas para un número real x.
Obténgase el wronskiano:
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Se ve que no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente
independientes.
Considérese las funciones , , y . Estas funciones son
claramente dependientes, ya que . Así, el
wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:
Como se mencionaba anteriormente, si el wronskiano es cero,
esto no significa en general que las funciones involucradas son
linealmente dependientes. Considerando las funciones y ; esto es,
el valor absoluto de . La segunda función puede ser escrita así:
Se puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre
el conjunto de número reales, sin embargo, su wronskiano parece ser cero:
Definición abstracta
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Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de
orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se
debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales
son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el
lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.
Comprobación: el wronskiano y dependencia lineal[editar]
El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda
declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente
dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la
matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal);
consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del
intervalo.
Jacobiano
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En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante
jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana
como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl
Gustav Jacobi.
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a
la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde
la curva puede serembebida.
Matriz jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de
primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta
matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En
este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial
jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz
dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases
diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún
tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz"
jacobiana es la siguiente, dada una aplicación
cualquiera continua, es decir se dirá que
es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:
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(1)
Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar . En este
caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide
con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable
puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:
Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en
este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.
Función vectorial
Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-
dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está
determinada por m funciones escalares reales:
Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de
estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz
jacobiana de F:
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Esta matriz es notada de diversas maneras:
Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi,
para i = 1,...,m.
Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada
por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la
mejor aproximación linealde F cerca del punto p, de esta manera:
para x cerca de p. O con mayor precisión:
En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones,
puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación
lineal jacobiana.
Ejemplos
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Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:
es:
No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:
Aplicando la definición de matriz jacobiana:
Determinante jacobiano
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Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro.
En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su
determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente
jacobiano.
El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante
sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una
función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo.
Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el
cual F expande o contrae su volumen cerca de p.
Ejemplos
Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:
es:
El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible
en todo el dominio excepto quizá donde ó (es decir, los valores
para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño
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centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto
aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.
Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:
El determinante jacobiano quedará:
En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado
, y por otro:
con
Invertibilidad y jacobiano
Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de
cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema de la función
inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho
punto.
TRABAJO-FISICA 3
TONY CARDENAS ALVARADO 38
El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya
que por ejemplo la función tiene por jacobiano que se anula en el
punto , aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo
inversa aún cuando el jacobiano es nulo en el origen.