Presion Lateral de Suelo-zenon
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PRESIÓN LATERAL DE TIERRA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
SECCIÓN DE POSTGRADO
Dr. ZENÓN AGUILAR BARDALES
CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONESSÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES - CISMID
PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSON DE TIERRA EN REPOSO
o
hoK
''
σσ
=
Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ
σ´h = Koσ´o
z
A
B
yoo σσ =′
hh σσ =′
oσ ′
Como σ´o = γz, tenemos
σ´h = Ko (γz)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)
Ko = 1 – sen φ
Donde φ = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=
100(%)42.044.0 IPKo
Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como
OCR = presión de preconsolidaciónpresión de sobrecarga efectiva presente
La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valoresmayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
( ) ( ) OCRKK daeconsolidanormalmentodadapreconsolio =
PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSO N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECOPARA UN SUELO SECO
H
Peso específico del suelo = γ
Ko γ H
2
21 HKP oo γ=
3H
H
H1
H2
Ko( γH1 + γ’H2)
Peso específico saturadodel suelo = γsat
Peso específico del suelo = γ
γwH2
KoγH1
Nivel de Agua freática
-(a) (b)
F
E
J K
A
B
I
G
z
+
C
PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDOSUMERGIDO
=
H1
H2
KoγH1
DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergidon de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido
Ko( γH1 + γ’H2) + γwH2
(c)
Presión efectiva vertical = )( 11 HzHo −′+=′ γγσ
[ ])( 11 HzHKK oooh −′+=′=′ γγσσ
)( 1Hzu w −= γ
uhh +′= σσ
[ ] )()( 111 HzHzHK wo −+−′+= γγγ
2221
21 )(
21
21 HKHHKHKP woooo γγγγ +′++=
[ ] 22
2221
21 2
21 HHHHHKP woo γγγγ +′++=
o
Presión efectiva horizontal =
Presión total horizontal =
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA
Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ
σ´h
z
A
B
A´
B´
∆L
σ´O
PresiPresióón activa de tierra de Rankinen activa de tierra de Rankine
PresiPresióón activa de tierra de Rankinen activa de tierra de Rankine
Esfuerzo normal
c
Aφφ
Esf
uerz
o no
rmal
D´
D
OC
τ f = c + σ tanφ
σ′OKoσ′Oσ′a
a
b
ESTADO ACTIVO DE RANKINE ESTADO ACTIVO DE RANKINE
OCAOCD
ACCDsen
+==φ
Pero
CD = radio del círculo de falla =2
ao σσ ′−′
AO = c cot φ
y
2aoOC σσ ′+′
=
Por lo que
2cot
2ao
ao
csen σσφ
σσ
φ ′+′+
′−′
=
De la figura
22cos aoao senc σσφσσφ
′−′=
′+′+o
oφ
φφφσσ
senc
sensen
oa +−
+−′=′
1cos2
11
Pero
σ′o = presión de sobrecarga efectiva vertical = γz
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+−
245tan
11 2 φ
φφ
sensen
y
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+ 245tan
1cos φ
φφ
sen
ESTADO ACTIVO DE RANKINE
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=′
245tan2
245tan2 φφγσ cza
Para suelos sin cohesión, c = 0 y
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −′=′
245tan2 φσσ oa
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
′′
=2
45tan2 φσσ
o
aaK
La razón de σ′a respecto a σ′o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,Ka,o
aKc2−
γc2 tan )
245( φ
+
z
(c)
aa KczK 2−γ
(d)
245 φ
+2
45 φ+
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVADE TIERRA ACTIVA
Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ
σ´h
z
A
B
A´
B´
∆L
σ´O
Estado pasivo de RankineEstado pasivo de Rankine
PresiPresióón pasiva de tierra de Rankinen pasiva de tierra de Rankine
PresiPresióón pasiva de tierra de Rankinen pasiva de tierra de Rankine
Esfuerzo Normal
τ f = c + σ tanφ
Esf
uerz
o N
orm
alσ′o
φφ O
C
D
D′
Aσ′p
b
Koσ′o
a
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +′=′
245tan2
245tan2 φφσσ cop
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=′
245tan2
245tan2 φφγσ czp
La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +′=′
245tan2 φσσ op
o
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
′′
245tan2 φ
σσ
po
p K
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA
o
z
pKc2 pzKγ
(c)
(d)
245 φ
−2
45 φ−
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVADE TIERRA PASIVA
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MUROEFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retenciMuro de retencióón en voladizon en voladizo
245 φ+ 245 φ+
z
C´A
H
A´
B
La∆La
RotaciRotacióón de un muro sin friccin de un muro sin friccióón respecto al fondon respecto al fondo
245 φ
−
H
A
∆Lp
A ″
Lp
C″ 245 φ
−2
45 φ−
RotaciRotacióón de un muro sin friccin de un muro sin friccióón respecto al fondon respecto al fondo
VariaciVariacióón de la magnitud de la presin de la magnitud de la presióón lateral de tierra n lateral de tierra con la inclinacicon la inclinacióón del muron del muro
Presión activa σ′a
Presión en reposo
Presión pasivaσ′p
Pre
sión
de
tierra
Inclinacióndel muro
∆LaH Inclinación
del muro
∆LPH
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIDIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓÓN DE LA PRESIN DE LA PRESIÓÓN LATERAL N LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIDE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓÓN0N0
RELLENO. SUELO SIN COHESIRELLENO. SUELO SIN COHESIÓÓN CONN CONSUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENOSUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
zKaaa γσσ =′= (Nota: c = 0)
HKaa γσ =
2
21 HKP aa γ=
Caso Activo
La fuerza total:
Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno
Cuña defalla
H
245 φ
+
γφ
c = 0
3H
H
KaγH
Pa
σa=σ′a
Caso activo de Rankine
Caso Pasivo
HKppp γσσ =′=
2
21 HKP pp γ=
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIDIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓÓN DE LA PRESIN DE LA PRESIÓÓN LATERAL N LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIDE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓÓN0N0
La fuerza total:
Cuña de falla
H
245 φ
−
γφ
c = 0
KpγH
3H
Pp
Hσp=σ′p
Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno
Caso pasivo de Rankine
RELLENO. SUELO SIN COHESIRELLENO. SUELO SIN COHESIÓÓN PARCIALMENTE N PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGASUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA
Caso Activo
oaa K σσ ′=′
qKaaa =′= σσy
( )1Hqoo γσσ +=′=
( )1HqKaaa γσσ +=′=
y
Donde σ′o y σ′a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0
qoo =′= σσ
A la profundidad z = H1
Donde γ′= γsat - γw. La Variación de σ′a con la profundidad se muestra .
La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,
2Hu wγ=
El diagrama de la presión lateral total σa´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La FuerzaActiva total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,
( ) 2221
21 2
121 HKHHKHkqHKP waaaaa γγγγ +′+++=
( )21 HHqo γγσ ′++=′y
( )21 HHqKaa γγσ ′++=′
A la profundidad z = H
H1
H2
H
45+ φ2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de falla
Sobrecarga = q
γsatφ
DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra un muro de n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciretencióón con relleno de un suelo sin cohesin con relleno de un suelo sin cohesióón parcialmente n parcialmente
sumergido y soportando una sobrecargasumergido y soportando una sobrecarga
+
H1
H2
( )21 HHqKa γγ ′++
qKHK aa +1γ
aσ ′=
2Hwγ
u σa
( )1HqKa γ+ 22 HHK wa γγ +′
qKa
DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra un muro de n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciretencióón con relleno de un suelo sin cohesin con relleno de un suelo sin cohesióón parcialmente n parcialmente
sumergido y soportando una sobrecargasumergido y soportando una sobrecarga
Caso Pasivo
opp K σσ ′=′
( ) 2221
21 2
121 HKHHKHKqHKP wppppp γγγγ +′+++=
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTALRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
Caso Activo
aaa KczK 2−=′ γσ
02 =− aoa KczK γ
ao K
czγ
2=
o
Para la condición no drenada, esto es,φ = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)tenemos
γu
ocz 2
=
Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta unaProfundidad zo
H1
H2
H
45 - φ2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de falla
Sobrecarga = q
γsatφ
(a)
γφ
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido
y soportando una sobrecarga
+
H1
H2
( )21 HHK p γγ ′+
qKHK aa +1γ
pσ ′
=
2Hwγ
u σp
( )1HqK p γ+ 22 HHK wp γγ +′
(b) (c) (d)
qKa
pqK
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido
y soportando una sobrecarga
H
45+ φ2
Cuña de falla
(a)
Z
DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciun muro de retencióón con n con rellenorelleno de un suelo cohesivo de un suelo cohesivo
HKaγ
aKc2−
(d)
aa KcHK 2−γ
H - =
aKc2
zo
H - zo
σa
(c)(b)
DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciun muro de retencióón con n con rellenorelleno de un suelo cohesivo de un suelo cohesivo
La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama depresión total
cHKHKP aaa 221 2 −= γ
Para la condición φ = 0
HcHP ua 221 2 −= γ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
aaaa K
cHcKHKPγ
γ 2221
γγ
22 22
21 ccHKHK aa +−=
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Comono existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(γ √Ka) y , H es la única considerada. En este caso
Para la condición φ = 0,
γγ
22 22
21 u
uacHcHP +−=
Caso Pasivo
Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva deRankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
cKzK ppp 2+=′ γσ
En z = 0,
cK pp 2=σ
Y en z = H,
cKHK ppp 2+= γσ
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un murode retención con relleno de un suelo cohesivo
H
45 - φ2
Cuña de falla
Zσp
pKc2 HK pγ
La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como
cHKHKP ppp 221 2 += γ
Para la condición φ = 0, Kp = 1 y
HcHP up 221 2 += γ
EJEMPLO
Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante
Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos
zKK aoaa γσσ =′=′
31
301301
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensenKa φ
φ
5 mγ = 15.7 KN/m3
φ = 30°c = 0
(a)
5 m
26.2kN/m2
(b)
65.5 KN/m2
1.67 m
1.67 m
5 m
235.5 kN/m2
(c)
588.8 kN/m
El diagrama de la distribución de presión se muestra
Fuerza activa
( )( )2.26521
=aP
mkN /5.65=
La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo delmuro.Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
zKK poppp γσσσ =′==′
35.015.01
11
=−+
=−+
=φφ
sensenK p
En z = 0, σ′p = 0; en z = 5m, σ′p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.
La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
( )( ) mkNPp /8.5885.235521
==
La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.
EJEMPLO 2
Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
( )zKKhh ooo γσσσ =′==′
φsenKo −=1
o
5.0301 =°−= senKo
Y en z = 0, σ′h = 0; en 5m, σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2
El diagrama de distribución de presión total se muestra
( )( ) mkNPo /3.983.39521
==
EJEMPLO 3
Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ = 0) del relleno, determine los siguientes valores:
a. La profundidad máxima de la grieta de tensiónb. Pa antes de que ocurra la grieta de tensiónc. Pa después de que ocurra la grieta de tensión
5 m
39.3 kN/m2
98.3 KN/m
1.67 m
Arcilla blanda saturada
γ = 15.7 kN/m3φ = 0Cu = 17 kN/m2
6 m
(a)
2.17m
3.83m
60.2 kN/m2
(b)
34 kN/m2
Solución Para φ = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos
ua cz 2−= γσ
En z = 0,
( )( ) 2/341722 mkNcua −=−=−=σ
En z = 6m,
( )( ) ( )( ) 2/2.6017267.15 mkNa =−=σ
La variación de σa con la profundidad se muestra
a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a
( )( ) mcz uo 17.2
7.151722
===γ
b. Antes de que ocurra la grieta de tensión
HcHP ua 221 2 −= γ
o
( )( ) ( )( ) mkNPa /6.78617267.1521 2 =−=
c. Después de que ocurre la grieta de tensión,
( )( ) mkNPa /3.1152.6017.2621
=−=
Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación
EJEMPLO 4
Se muestra un muro de retención sin fricción.
a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?
Solución
a. Dado φ = 26°, tenemos
39.0261261
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensenKa φ
φ
De la ecuación
aoaaa KcK 2−′==′ σσσ
153.6 kN/m2
51.2kN/m2
(c)
4 – z = 2.96m
17.31kN/m2
(b)
z=1.04m
-6.09kN/m2
4m
γ = 15kN/m3
φ = 26°
c = 8kN/m2
(a)
q = 10 kN/m2
En z = 0
( )( ) ( )( ) 2/09.699.99.339.0821039.0 mkNaa −=−=−==′ σσ
En z = 4 m
( ) ( )( )[ ] ( )( ) 99.93.2739.0821541039.0 −=−+==′ aa σσ
2/31.17 mkN=
De este diagrama vemos que
zz −=
431.1709.6
o
mz 04.1=
Después de que ocurre la grieta de tensión
( )( ) ( )( ) mkNzPa /62.2531.1796.22131.174
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=
Dado φ = 26°, tenemos
56.25616.04384.1
261261
11
==°−°+
=−+
=sensen
sensenK p φ
φ
De la ecuación
( )( ) ( ) 2/2.516.256.25856.221056.2 mkNpp =+=+==′ σσ
De nuevo, en z = 4m, σo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y
( )( ) ( ) 2/8.204856.227056.2 mkNpp =+==′ σσ
En z = 0, σ′o = 10 Kn/m2 y
cKK poppp 2+′==′ σσσ
La distribución de σp (=σ′p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es
( )( ) ( )( ) mkNPp /5122.3078.2046.15342142.51 =+=+=
EJEMPLO 5
Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución dado c = 0, sabemos que σ′a = Kaσ′o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es
( ) 31
301301
1 =°+°−
==sensenKK aa
1.2mArena
γ1 = 16.5kN/m3, φ1 = 30°, c1= 0
Nivel agua freática6m
(a)
Arena γ2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3
φ2 = 35°C2 = 0
Mur
o si
n fri
cció
n
Para el estrato inferior,
( ) 271.05736.14264.0
351351
2 ==°+°−
==sensenKK aa
En z = 0, σo = σ′o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2
( ) ( ) 21 /6.68.19
31 mkNK oaaa =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=′=′= σσσ
De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y
( ) ( )( ) 22 /37.58.19271.0 mkNK oaaa ==′′= σσσ
En z = 6 m,
( )( ) ( )( ) 2/87.6481.92.198.45.162.1 mkNo =−+′σ
y
( ) ( )( ) 22 /58.1787.64271.0 mkNK oaa ==′=′ σσ
La variación de σ′a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue
En z = 0, u = 0
En z = 1.2m, u = 0
En z = 6m, u = (4.8)(γw) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2
(b) (c)
+
5.371.2
0
617.58 47.1
6
1.2
0σ′a (kN/m2) u (kN/m2)
z (m
)
z (m
)
6.6
1.2
61.8m
64.685.37
6.6
σa (kN/m2)0
z (m
)=
(d)
Pa
1
2
3
La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de σ ( presión activa total) entonces
( )( ) ( )( ) ( )( )37.568.648.42137.58.42.16.6
21
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=aP
mkN /08.17234.14278.2596.3 =++=
La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Asíentonces
( )( ) ( )mz 8.1
08.17238.434.1424.278.25
32.18.496.3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
MURO DE RETENCIMURO DE RETENCIÓÓN CON FRICCIN CON FRICCIÓÓNN
3H
(a) Caso activo (+δ)
C
B
H
A′
DA
(b)
245 φ
+ 245 φ
+
+δ
Pa
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
CasoCaso activoactivo..
3H
(c) Caso activo (-δ)
C
B
H
A′
DA245 φ
+2
45 φ+
-δ
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
(e)
3H
(d) Caso pasivo (+δ)
C
B
H
A′DA2
45 φ−
245 φ
−
+δ
Pp
A′
3H
(f) Caso pasivo (-δ)
C
B
H
A245 φ
−
-δ
245 φ
−A′
CasoCaso pasivopasivo..
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMBTEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo
θH
W
90+ θ- β
90 - θ + α
δ
Pa
β
β - α
D
A
C
φ
F
B
α
(a)
PresiPresióón activa de Coulomb: (a) cun activa de Coulomb: (a) cuñña de falla de prueba; (b) pola de falla de prueba; (b) políígono de fuerzasgono de fuerzas
90 + θ + δ - β + φ
F
β - φ
W
90 - θ - δ
Pa
(b)
La ley de los senos, tenemos
( ) ( )φβφβδθ −=
+−++ senP
senW a
90
o
( )( )W
sensenPa φβδθ
φβ+−++
−=
90
La ecuación precedente se puede escribir en la forma
( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−
−−−=
φβδθαβθφβαθβθγ
90coscoscos
21
22
sensensenHPa
Donde γ = peso especifico del relleno. Los valores de γ, H, θ, α, φ, y δ son constantes, y es la unicaVariable. Para determinar el valor crítico de β para Pa, máxima, tenemos
0=βd
dPa
Después de resolver la Ec., cuando la relación de β se sustituye en la Ec., obtenemos la presiónactiva de tierra de Coulomb como
2
21 HKP aa γ=
Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
22
2
coscos1coscos
cos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
++
−=
αθφδαφφδθδθ
θφ
sensenKa
Caso Pasivo
2
21 HKP pp γ=
Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
22
2
coscos1coscos
cos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−
−−
+=
θαθδαφδφθδθ
θφ
sensenK p
θH
W
90 + θ + β
90 - θ + α
β
A
C
B
α
(a)
Ppδ
φ F
F
[180 - (90 - θ + δ) – (β + φ)]
Pp
90 - θ + δ
β + φ
W
(b)
Presión pasiva de coulomb:
(a) Cuña de falla de prueba
(b) Polígono de fuerzas
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVAANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVASOBRE MUROS DE RETENCISOBRE MUROS DE RETENCIÓÓNN
2
21 HKP aa γ=
Donde
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+−
=2
45tan11 2 φ
φφ
sensenKa
H
Wc
B
3H
δ
Pa (coulomb)
A
(a)
H
Wc
B
A
(o)Wc
3H
Ws
Pa (Rankine)
C1
KaγH
H
Wc
3H
δ
Pa (coulomb)
A
(o)
α
(b)
H
Wc
B
A
Wc
3H ′
Ws
Pa (Rankine)
C2
H′
α
α
AnAnáálisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencilisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencióónnde gravedad con relleno granularde gravedad con relleno granular
α
B
El valor de Pa(Rankine) se da por la relación
2
21 HKP aa ′= γ
Donde 2BCH =′ y
φααφααα
22
22
coscoscoscoscoscoscos
−+
−−=
)2
45(tan11 2 φ
φφ
−=+−
=sensenKa
Donde α = talud de superficie del terreno
=aK Coeficiente de presión activa de Rankine
DIMENSIONAMIENTO DE MUROS DE RETENCIÓN
REVISIREVISIÓÓN DE N DE VOLCAMIENTOVOLCAMIENTO
∑∑=
O
Rvolteo M
MFS )(
vavolteo MHCOSP
MMMMMMFS−′
+++++=
)3/(654321
)( α
0.2~5.1≥FS
FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD POR VOLTEOPOR VOLTEO
REVISIÓN POR DESLIZAMIENTO A LO LARGO DE LA BASE
∑∑
′
′=d
Rntodeslizamie F
FFS )(
22tan ct f +′= φσ
pR PBcVF ++=∑ ∑′ 22tan)( φ
αφcos
tan)( 22)(
a
pntodeslizamie P
PBcVFS
++= ∑
αφcos
)tan()( 2221)(
a
pntodeslizamie P
PcBkkVFS
++= ∑
21Donde k1 y K2 están en el rango de
32a
FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD POR VOLTEOPOR VOLTEO