Introducción al

Algebra

Ing. Medardo Galindo

“La simplicidad de las cosas no

depende de ellas, sino de la

complicación de las personas”

1. Teoría de Conjuntos

• Conjunto es una colección o listado de

objetos con características bien definidas

que lo hacen pertenecer a un grupo

determinado

• A los conjuntos se les representa con lo

letras Mayúsculas, A, B, C y a los

elementos con letras minúsculas, a, b, c

Ejemplo

• El conjunto A cuyos elementos son los

números en el lanzamiento de un dado

𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Conjunto Elementos

Determinación de un Conjunto

• Por extensión o forma tabular

• Por comprensión o forma constructiva

Por extensión o forma tabular

• Un conjunto es determinado por extensión

o forma tabular cuando se da una lista que

comprende a todos los elementos del

conjunto y solo ellos.

Ejemplo

Carlos

𝐴 = 𝑐, 𝑎, 𝑟, 𝑙, 𝑜, 𝑠

¿Qué pasa cuando se repite

mas de una letra?• Ejemplo 2

• En este caso solo se colocan las letras

una vez cuando se forma el conjunto.

Correspondencia

𝐴 = 𝑐, 𝑜, 𝑟, 𝑒, 𝑠, 𝑝, 𝑛, 𝑑, 𝑖, 𝑎

Por comprensión o forma

constructiva• Un conjunto es determinado por

comprensión cuando en todos los

elementos del conjunto y solo en ellos se

cumple una propiedad.

• Ejemplo

𝐶 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Cuadro Comparativo

Por Extensión Por Comprensión

A = {c, a, r, l, o, s} A = {x|x es una letra de un nombre

de persona}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {x|x es un numero natural

menor que 10}

C = {c, o, r, e, s, p, n, d, i, a} C = {x|x es una letra de la palabra

correspondencia}

Conjunto Finito

• Un conjunto es finito si consta de un cierto

número de elementos distintos, es decir, si

al contar los diferentes elementos del

conjunto el proceso de contar puede

terminar. De lo contario es infinito.

Cuadro Comparativo de

conjuntos finitos e infinitos

Conjunto Finito Conjunto Infinito

A = {x|x es un departamento de

Honduras}

M = {x|x son los números reales}

B = {x|x es un municipio de San

Pedro Sula}

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..}

C = {x|x es una letra del

abecedario}

R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …}

Igualdad de conjuntos

• Se dice que dos conjuntos A y B son

iguales cuando ambos tienen los mismos

elemento, es decir, si cada elemento de A

pertenece a B, y así sucesivamente

• Ejemplo

𝐴 = 𝐵

𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐵 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ………

Conjunto Vacio

• Es un conjunto que carece de elementos,

suele llamarse conjunto nulo y se le

denota por los símbolos {} o ø

• Ejemplos

𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 14 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 , A = {}

𝐵 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 28 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠 , B = {}

Conjunto Unitario

• Es todo conjunto que esta formado por un

solo y único elemento.

• Ejemplos

𝐴 = −13

𝐵 = 𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐵𝑢𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑎 = {𝑆𝑜𝑓𝑖𝑎}

Conjunto Universal

• Es el conjunto que tiene todos los

conjuntos del universo, es un término

relativo y se le denota con la letra U

𝐴 = 𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐵 = 𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠

𝐶 = 𝑥 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐷 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠}

𝑈 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠}

Conjunto Potencia

• Ejemplo

𝑆𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 2𝑁

𝑁 = 1, 3, 9

2𝑁 = 1 , 3 , 9 , 1,3 , 1,9 , 3,9 , 1,3,9 , ∅

1 2 3 4 5 6 7 8

23 = 8

Conjuntos Disjuntos

• Si dos conjuntos A y B no tienen ningún

elemento en común, entonces A y B son

disjuntos

Cuadro Comparativo Conjuntos

Disjuntos y No Disjuntos

Conjunto Disjunto Conjunto No Disjunto

𝐴 ≠ 𝐵 𝐴 = {𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑎, 𝐾𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐿𝑢𝑖𝑠𝑎}𝐵 = {𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠, 𝐴𝑙𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜, 𝐿𝑢𝑖𝑠}

𝑅 = 𝑋 𝑅 = {𝑥|𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠}𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……………… }

𝐻 ≠ 𝑋 𝐻 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, … . }𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … . }

𝐶 = 𝐷 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑕, 𝑖. . ……… . }𝐷 = {𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜}

Operaciones con Conjuntos

• La unión

• La intersección

• La diferencia

• El complemento

La Unión

• La unión de dos conjuntos A y B, da como

resultado un nuevo conjunto C que posee

los elementos de A y B, se denota

• Dados los conjuntos

A = {1, 5, 9, 11} y B = {2, 4, 6, 8, 10}

encontrar

𝐴 ∪ 𝐵

𝐴 ∪ 𝐵

𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}

La Intersección

• La intersección de dos conjuntos A y B, da

como resultado un nuevo conjunto, que

posee los elementos que tienen en común

ambos elementos

• Dados los conjuntos

F = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y G = {1,3,5,10,12}

Encontrar 𝐴 ∩ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3, 5}

La Diferencia

• La diferencia de dos conjuntos A y B, da

como resultado un nuevo conjunto, que

posee los elementos de A, pero quitando

de A los que son comunes entre A y B

• Dado los conjuntos

K = {2,4,6,8,10,12,14,16,18} y

L = {1,2,3,4,5,6,7,8}, encuentre, K-L

𝐾 − 𝐿 = {10, 12, 14, 16, 18}

El Complemento

• Es un nuevo conjunto que tiene todos los

elementos que le hacen falta a A para ser

igual al universo. Se denota como

• Dado U = {a,e,i,o,u} y A = {e,u}

Encontrar

𝐴𝑐

𝐴𝑐

𝐴𝑐 = {𝑎, 𝑖, 𝑜}

Resolver por el Diagrama de

Venn• En un grupo de 165 estudiantes, 8

estudiaran cálculo, psicología y

computación. 33 estudiaran cálculo y

computación. 20 cálculo y psicología. 24

estudiaran psicología y computación.

• 79 están en cálculos, 83 en psicología y

63 en computación.

• ¿Cuántos estudiantes no estudiaran

ningún curso?

4.1 Resolución Sistema

Ecuaciones con dos variables• Resolver sistemas de ecuaciones lineales

mediante graficación

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales

mediante sustitución.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales

mediante el método de la suma

• Con frecuencia es necesario determinar

una solución común a dos o mas

ecuaciones lineales. A este conjunto se le

llama sistema de ecuaciones lineales.

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 1 𝑦 = 3𝑥 + 5 2 𝑦 = 2𝑥 + 4

Resolver sistemas mediante

graficación• Cuando graficamos dos rectas puede

presentarse tres posibilidades.

Un sistema de ecuaciones consistente es

aquel que tiene solución. Cuando dos

rectas se intersecan exactamente en un

punto.

Un sistemas de ecuaciones inconsistente

es aquel que no tiene solución, las rectas

no se intersecan, son paralelas.

Un sistemas de ecuaciones dependiente

es aquel que tienen un numero infinito de

soluciones, también es un sistema

consistente, ya que tiene solución.

Ejemplos

Resolver sin graficar

• Sin graficar las ecuaciones, determine si

el siguiente sistema de ecuaciones es

consistente, inconsistente o dependiente

3𝑥 − 4𝑦 = 8

−6𝑥 + 8𝑦 = −16

3𝑥 − 4𝑦 = 8 −4𝑦 = −3𝑥 + 8

𝑦 =3

4𝑥 − 2

−6𝑥 + 8𝑦 = −16 8𝑦 = 6𝑥 − 16

𝑦 =3

4𝑥 − 2

Resuelva Gráficamente

• Resuelva gráficamente el siguiente

sistema de ecuación

• m1 = 1; Intersección (0, 2)

• m2 = -1; Intersección (0, 4)

𝑦 = 𝑥 + 2

𝑦 = −𝑥 + 4

Resolver Ecuaciones mediante

método sustitución• Despeje una variable en cualquier

ecuación. De preferencia con coeficiente 1

• Sustituya la variable en la otra ecuación,

con esto se obtendrá una ecuación con

una sola variable

• Resuelva la ecuación obtenida en el

paso 2.

• Sustituya la variable en la ecuación del

paso 1, con el valor determinado en el

paso 3

• Compruebe su solución en todas las

ecuaciones del sistema

Resolver por sustitución

5𝑥 − 4𝑦 = −7

𝑥 −35𝑦 = −2

Ecuaciones mediante método

de la suma (eliminación)• En caso necesario reescriba cada

ecuación en la forma general. Es decir, de

modo que los términos con variables

queden al lado izquierdo del signo igual y

la constante al lado derecho

• Si es necesario, multiplique una o ambas

ecuaciones por una constante, para que al

sumarlas, puedan eliminarse

• Sume los lados respectivos de las

ecuaciones. Con esto obtendrá una sola

ecuación con una variable.

• Despeje la variable obtenida en paso

anterior.

• Sustituya la variable en cualquiera de las

ecuaciones originales con el valor

determinado en el paso 4

• Compruebe su solución

Resolver por el método de la

suma

3𝑥 − 4𝑦 = 5

2𝑥 = 5𝑦 − 3

4.2 Resolución sistemas

ecuaciones con tres variables• Resolver sistemas de ecuaciones con tres

variables

• Reconocer sistemas inconsistentes y

dependientes

Resolver por Sustitución

• Resolver utilizando el método de la suma

𝑥 = 11) 2𝑥 − 𝑦 = 4

−3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 1

2)2𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 2

3𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −4 5𝑎 − 2𝑏 − 3𝑐 = 5

Reconocer sistemas

inconsistentes y dependientes• Al resolver un sistema de ecuaciones

lineales con tres variables, si se obtiene

una proposición falsa como 4 = 0, significa

que el sistemas es inconsistente, por lo

tanto no tiene solución.

• Si se obtiene una proposición verdadera

como 0 = 0, significa que el sistema es

dependiente y tiene un numero infinito de

soluciones

Determine si es inconsistente,

dependiente o ninguno

1)

𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = −1 2𝑥 − 10𝑦 − 7𝑧 = 5

−3𝑥 + 12𝑦 + 9𝑧 = 3