MODELO MM1K

Andrea Nathaly Barreto ArgüelloJeimy Natalia Fernández

RodríguezKaren Johana Rivera Rubiano

NOMENCLATURAUn modelo de colas se caracteriza por los siguientes símbolos:

M / M / S / K / NTiempo entre

llegadas, que se asocia a una distribución

exponencial (la tasa de llegada es

poisson)

Tiempo de servicio, que es exponencial

Cantidad de servidores en paralelo

Cantidad admisible en el sistema

(capacidad finita)

Cantidad en la población potencial (población finita)

CARACTERISTICAS

• Población de clientes infinita, llegada de clientes probabilística según Poisson; una línea de espera y un solo servidor. Servicio exponencial.

• Existe un solo servidor• Existe solo una cola• El numero de clientes esperado es infinito, es

decir, no sabemos cuantos clientes llegaran.

Variables• ƛ= número promedio de llegas que entran por unidad de

tiempo• µ = número de clientes que se atienden por unidad de tiempo• Lq = número promedio de clientes que esperan en la cola• Ls = número promedio de clientes en el sistema• Wq = tiempo promedio que pasa un cliente en la cola • Ws = tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema• þ= factor de utilización

• En estas definiciones, todos los promedios son para estado estable donde  ρ=ƛ/µ<1, si ρ>1 es fácil ver porqué no puede existir distribución de estado estable.

• Supongamos ƛ=6 clientes por hora y que µ=4 clientes por hora. Aun si el despachador estuviera trabajando todo el tiempo, sólo podría atender a 4 clientes por hora. Así, el número promedio de clientes en el sistema crecería al menos en 6-4=2 clientes por hora.

• Esto significa que después de mucho tiempo, el número de clientes que hay “explotaría” y no podría existir distribución de estado estable. 

• Entonces para cualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado estable, se cumplen las siguientes ecuaciones

• L=ƛW;             Lq=ƛWq;                     Ls=ƛWs

SISTEMA DE COLAS CON CAPACIDAD FINITA

Con capacidad admisible finita significa que el sistema puede contener como máximo K clientes, por lo tanto se asume que:

l n = 0 si n > K

Existen dos modelos de colas con capacidad finita:

• Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor

• Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo

Un solo servidor y capacidad admisible finita

m m m m

MODELO M / M / 1 / K

0 1 2

l l l

K

0l

.....

• S = 1• n =• n =

m m l l

Ejemplos de modelos M/M/1/K son un médico que atiende con una consulta particular independiente o el taxi colectivo en hora vespertina

MODELO M / M / 1 / K

Pn

l m

n

P0 ; si n K

; si n K0 >

<

P0

l m 1 -

-=

1l m

K+1

Se obtiene por suma de progresión geométrica

MODELO M / M / 1 / K

m

m

m

m l

l

l

l K+1

K+1

1

L =-

-( K+1 )

1 -

Lq = L ( 1 )Como S = 1 P0- -

MODELO M / M / 1 / KEn un modelo de cola con capacidad finita sucede:

l nl 0

si n K

si n K

<>

Por lo tanto, corresponde: W = =L

l Wq

Lq

l donde l =

n=0S

8

l n Pn

K-1S

n=0=l l Pn con S

n=0

K-1Pn = ( 1 - Pk )

MODELO M / M / 1 / K

Luego: donde Pk =l m P0

K

Finalmente: L

KP0m

l ( 1 )-l =W

=l l ( 1 - Pk )

Ejemplo• A un cajero sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora.

Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada clientes es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas.

• a)  ¿ Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío?• b)  ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en

la cola su turno?, se considera que un vehículo que está ocupando el cajero , no está en la cola esperando.

• c) ¿ Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo en el servicio?

• d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático?

Solución

• Identificamos el modelo M/M/1/K ya que no especifica la cantidad de clientes en el sistema ni la población asumimos infinito, y se coloca una disciplina general.

• Identificamos ƛ = 10 vehículos/hora  y µ=4 minutos/hora, lo primero que hay que fijarse es que no están en las misma unidades entonces µ la colocamos en vehículos por hora si atiende 1 vehículo en 4 minutos entonces atenderá 15 en una hora por lo tanto µ=15 vehículos/hora.

• a) La probabilidad de que el cajero se encuentre vació es:

Po = 1- r  

r= l/m=10/15=2/3=0.667, entonces

Po=1-0.667 = 0.33

por lo tanto el cajero estará vació el 33% del tiempo.

• b) Lq=r2/(1-r)=.6672/(1-.667)= 1.33 clientes• Lq=.6672/(1-.667)• Lq=1.33 clientes

• c) Ahora buscamos  W que es el tiempo total de todo el sistema.

• L=r/(1/r)• L=0.667/(1-0.667)=2 clientes• W=L/l = 2/10 = 1/5 hora = 12 minutos.

• e) Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero sabemos que solo esta ocupado 0.67 del tiempo. Así que durante cada hora llegaran 0.67(15)=10 clientes. El valor de 0.67 se obtiene de 1-Po, que es el tiempo que esta ocupado.

Ejemplo 2• En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje,

para ve si trae armas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y una máquina de rayos X para el equipaje . Cuando está trabajando la estación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar un promedio de 12 pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación de verificación, responda las siguientes preguntas.

• a)¿ Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado?

• c)    En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación?

• d)    En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación.

• Primero identificamos el modelo M/M/1/K donde existe un servidor, en el problema puede confundirse pensando que son dos servidores porque hay dos empleados trabajando, pero NO es así ya que un servidor aquí se considera una estación independientemente que se realice en ella y cuantos la atiendan.

• a) ƛ= 10 pasajeros/minuto  • µ= 12 pasajeros/minuto• þ= ƛ/µ = 10/12 = 0.833    • po = 1 - 0.833 = 0.17 (probabilidad de que este vacío) • entonces esta ocupado 1 - 0.17 = 0.833 = 83.33% del tiempo

esto es igual a r.

• b) Lq = ƛWq = ƛ2/(µ(µ-ƛ)) • ƛWq = 102/(12(12-10))• ƛWq = 4.17 personas en la cola.

• c)  Ws=1/(µ-ƛ)• Ws = 1/(12-10)= 0.5 minutos.