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METODOS NUMERICOS

Israel Fernando San Román Tiscareño

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Es una forma de presentar el polinomio que interpola unconjunto de puntos dado.

Se define de la siguiente forma:

Donde :

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A partir del polinomio de Newton:

Se reformula como:

01

0101

)()(, X X

X f X f X X f

10

0

01

101

)()(,

X X X f

X X X f

X X f

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La ecuación anterior se sustituye en la formula de interpolaciónlineal:

Se agrupan términos semejantes:

)()()()( 010

01

01

001 X f

X X X X X f

X X X X X f X f

)()()( 101

00

10

11 X f

X X X X

X f X X X X

X f

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La versión lineal de primer orden es semejante a unainterpolación lineal, por esto se observa un error relativoporcentual muy alto.

Ejemplo #1. Con un polinomio de interpolación de Lagrange deprimer grado, evalúe ln 2

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%33.33%100693147.0

462098.0693147.0 x Error

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Si la versión es de segundo orden, la aproximación tiene unaforma cuadrática, lo cuál logra un error relativo mucho maspequeño y cercano al valor verdadero.

Ejemplo #2. Con un polinomio de interpolación de Lagrange desegundo grado, evalué In 2

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%36.18%100693147.0

565844.0693147.0 x Error

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Se muestra un casode segundo grado.

La suma de lostérminos es el únicopolinomio de segundogrado.

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Estimar la velocidad del paracaidista en T=10s

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La importancia de esta interpolación lineal consiste en laposibilidad de obtener la representación explicita de polinomiosinterpoladores sin necesidad de resolver el sistema deecuaciones que imponen las condiciones de interpolación.

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Este método nos proporciona un polinomio conveniente de lasiguiente forma:

nn X a X a X aa X f ...)(

2210

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Calcule los coeficientes de la parábola de la forma:

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051873.0721463.0

66959.0

2

1

0

aa

a

2

2 )2(051873.0)2(721463.066959.0)2(

f

564844.0)2(2 f

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Debe observarse que el método anterior no es el método deinterpolación más eficiente para determinar los coeficientes de unpolinomio.

Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para ngrandes.

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Para determinar un punto intermedio, emplee la interpolación deNewton o de Lagrange.

Para determinar una ecuación de la forma general, limítese apolinomios de grado menor y verifique los resultados.