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TEMA 1:

MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

INDICE DEL TEMA

1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS , DIMENSIN Y ORDEN.2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA.3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES.5. PRODUCTO DE MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES.6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES.7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DE GAUSS.8. RANGO DE UNA MATRIZ. CLCULO DEL RANGO. MTODO DE GAUSS.

1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS, DIMENSIN Y ORDEN.

Def: Se denomina matriz a todo conjunto de nmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS , DIMENSIN Y ORDEN.

Elemento de una matrizCada uno de los nmeros de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.Dimensin de una matrizEl nmero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensin de una matriz. As, una matriz de dimensin mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS , DIMENSIN Y ORDEN.

Orden de una matriz.S la matriz tiene el mismo nmero de filas que de columnas, se dice que es de orden.El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij.

2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA

Distinguimos los siguientes tipos de matrices:

-Matrices igualesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.-Matriz filaUna matriz fila est constituida por una sola fila.


-Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna

-Matriz rectangularLa matriz rectangular tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn.


-Matriz traspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.


Se cumplen las siguientes propiedades:(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(A)t = At

(A B)t = Bt At

-Matriz nulaEn una matriz nula todos los elementos son ceros.


-Matriz cuadradaLa matriz cuadrada tiene el mismo nmero de filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

Los tipos de matrices cuadradas son los siguientes:

-Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

-Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

-Matriz diagonalEn una matriz diagonal todos los elementos que no estn situados en la diagonal principal son nulos.

3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS

-Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

-Matriz identidad o unidadUna matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.


-Matriz regularUna matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

-Matriz singularUna matriz singular no tiene matriz inversa.

-Matriz idempotenteUna matriz, A, es idempotente si:A2 = A.


-Matriz involutivaUna matriz, A, es involutiva si:A2 = I.

-Matriz simtricaUna matriz simtrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At.

-Matriz antisimtrica Una matriz antisimtrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At.


-Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:A At = I.

4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES

Suma de matricesDadas dos matrices de la misma dimensin, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:

A + B = (aij + bij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posicin.


EJ:


Las propiedades de la suma de matrices son:InternaLa suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n.

Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro: A + 0 = ADonde O es la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A.


Elemento opuesto:A + (A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo.

ConmutativaA + B = B + A

5. PRODUCTO DE MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES.

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A = (aij) y un nmero real k , se define el producto de un nmero real por una matriz: a la matriz de la misma dimensin que A, en la que cada elemento est multiplicado por k.

k A = (k aij)


EJ:


Las propiedades que cumple el producto de un escalar por una matriz son:

* a (bA) = (ab)A * a (A + B) = aA + aB* (a + b)A = aA + bA* 1A = A Donde a y b son escalares y A,B matrices de orden mxn

6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES.

Def:Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B.

Am x n x Bn x p = Cm x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumndolos.


EJ:


Las propiedades para el producto entre matrices son las siguientes:Asociativa: A(BC) = (AB)C

Elemento neutro: AI = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

Distributiva del producto respecto de la suma:A(B + C) = AB + AC


No es Conmutativa: AB BA Ej:

Podemos ver que en este caso, AB BA, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensin, pues AB M2x2 y BA M3x3.

7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DE GAUSS

Def: Se define la matriz inversa A-1 de una matriz cuadrada A es aquella que cumple.A A1 = A1 A = ISe cumplen las siguientes propiedades:

* (A B)1 = B1 A1* (A1)1 = A* (k A)1 = k1 A1* (At)1 = (A1)t


Clculo por el mtodo de GaussSea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A1, seguiremos los siguientes pasos:

a) Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.


Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.


b) Utilizando el mtodo Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A1.F2 = F2 F1


F3 = F3 + F2

F2 = F2 F3


F1 = F1 + F2

F2 = (1) F2


La matriz inversa es:

8. RANGO DE UNA MATRIZ. CLCULO DEL RANGO. MTODO DE GAUSS

Def: Se define rango de una matriz como el nmero de filas o columnas (linea) que son linealmente independientes.Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).


Podemos descartar una lnea si:

1 Todos sus coeficientes son ceros.2 Hay dos lneas iguales.3 Es proporcional a otra.4 Una lnea es combinacin lineal de otras.


EJ:F3 = 2F1F4 es nulaF5 = 2F2 + F1

A=

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