Premi ere partie Alg ebre lin eaire...3 On propose ici un vademecum des notions a conna^ tre. Il ne...

Premiere partie

Algebre lineaire

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On propose ici un vademecum des notions a connaıtre. Il ne s’agit en aucun casd’un substitut au cours : aucune des notions n’est developpee ni illustree.

Chapitre I.1

Espaces vectoriels

Dans toute cette partie E est un ensemble dont les elements seront notes x, yvoire e etc. On note K un ensemble qui sera R, C. Le lecteur interesse pourra sedemander ce que deviennent ces enonces si on pose K = Q.

I.1.a Qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?

Dans R on connaıt deux operations : la somme et le produit. Elle satisfont unensemble de proprietes classiques que l’on rappelle ici.

Pour la somme :• commutativite :

∀ (a, b) ∈ R2 a+ b = b+ a

• associativite

∀ (a, b, c) ∈ R3 (a+ b) + c = a+ (b+ c)

• element neutre

∀ a ∈ R3 0 + a = a

• inversion

∀ a ∈ R3∃ b ∈ R, a+ b = b+ a = 0.

Pour le produit :• element neutre

∀ a ∈ R3 1 ∗ a = a ∗ 1 = a

• associativite

∀ (a, b, c) ∈ R3 (ab)c = a(bc)

• distributivites

∀ (a, b, c) ∈ R3 a(b+ c) = ab+ ac.

Ces proprietes s’etendent aux matrices, aux fonctions...

Pour pouvoir ”faire de l’algebre lineaire” sur un probleme, on va d’abord sedemander si, apres modelisation, le probleme a resoudre se ramene a faire des cal-culs sur un ensemble avec des operations qui reprennent les proprietes enoncees

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6 CHAPITRE I.1. ESPACES VECTORIELS

ci-dessus. Il s’agit donc d’abord de formaliser ces proprietes sur un ensemble quel-conque. On commence par proposer les definitions suivantes qui generalisent lesnotions de sommes et de multiplication.

Definition I.1.1. On appelle addition sur E une application s : E × E → E quisatisfait :

i) pour tout x, y dans E on a s(x, y) = s(y, x)

ii) pour tout x, y, z dans E on a s(x, s(y, z)) = s(s(x, y), z)

iii) il existe un element e dans E tel que s(x, e) = s(e, x) = x pour tout x dans E

iv) pour tout x dans E il existe un element y dans E tel que s(x, y) = s(y, x) = e.

La notation s ne sert ici qu’a poser les proprietes caracteristiques de l’operation.En pratique, on notera cette operation + par analogie avec l’operation sur R eton pourra, si necessaire ajouter E en indice pour specifier l’operation. On noteraegalement 0 avec eventuellement E en indice pour signifier l’element neutre pourl’addition sur l’espace E.

Definition I.1.2. On suppose que E est muni d’une addition +E. On appelle mul-tiplication par un element de K une application p : K× E→ E telle que

1. pour tout x dans E on a p(1, x) = x

2. pour tout λ, µ dans K et x dans E on a p(λ, p(µ, x)) = p(λµ, x)

On dira que la multiplication est compatible avec l’addition si, de plus, pour tout λ, µdans K et x, y dans E on a :

p(λ+ µ, x) = p(λ, x) +E p(µ, x) p(λ, x+E y) = p(λ, x) +E p(λ, y).

A nouveau, la notation p ne sert ici qu’a poser les proprietes caracteristiques del’operation. En pratique, on ne met pas de symbole pour signifier cette operation(par analogie avec les notations sur R). Si l’on voulait preciser l’operation, pour ladistinguer d’une veritable multiplication a l’interieur de E on evitera d’utiliser lesymbole ”∗” ou le symbole ”·”. On lui preferera par exemple le symbole ⊥.

Pour manipuler les operations ”abstraites” construites precedemmet, on pourramontrer les quelques proprietes suivantes :

Proposition I.1.3. Soit (E,+E,⊥) un K-espaces vectoriel. Soit x ∈ E et λ ∈ K1. 0K⊥x = 0E.

2. si λ⊥x = 0E alors λ = 0K ou x = 0E

3. si on note −x = (−1)⊥x alors x+ (−x) = 0E

Demonstration. Exercice

Definition I.1.4. On appelle K-espace vectoriel tout ensemble E sur lequel on peutdefinir une addition et une multiplication compatible avec l’addition.

On prendra bien garde que la notion d’espace vectoriel n’est pas vraiment associeea l’ensemble E mais bien aux operations +E et ⊥ que l’on construit sur E. Ainsi, apriori tout ensemble peut devenir un K-espace vecoriel. Ainsi, par souci de precision,on introduit en general un K-espace vectoriel par la locution : ”Soit (E,+E,⊥) unK-espace vectoriel.” Quand on definit une addition et une multiplication par K surun ensemble E on dit que l’on munit E d’une structure d’espace vectoriel.

I.1.B. CONSTRUCTION D’ESPACES VECTORIELS 7

I.1.b Construction d’espaces vectoriels

A partir de R, on sait construire R2, R3 ... qui sont egalement des R espaces vec-toriels. Egalement, si on a une application lineaire f sur R3 alors Kerf est egalementun espace vectoriel. On peut generaliser ces definitions comme suit.

On regarde maintenant une autre famille d’espaces vectoriels :

Definition I.1.5. Soit (E,+E,⊥E) un K-espace vectoriel. Une partie F de E estappelee sous-espace vectoriel de E si :

i) 0E ∈ Fii) pour tout x, y dans F on a x+ y ∈ F

iii) pour tout x dans F et λ dans K, on a λx ∈ F.

Le point fondamental de cette definition est la proposition suivante :

Proposition I.1.6. Soit (E,+E,⊥E) un K-espace vectoriel et F un sous-espacevectoriel de E. Alors (F,+E,⊥E) est un K-espace vectoriel.

Demonstration. Exercice.

Definition I.1.7. Soit K = R ou C. Soit (E,+E,⊥E) et (F,+F ,⊥F ) des espacesvectoriels, on peut munir le produit cartesien Π = E × F d’une structure d’espacevectoriel en posant :

1. pour tout (x1, y1) ∈ E × F et (x2, y2) ∈ E × F

(x1, y1) +Π (x2, y2) = (x1 +E x2, y1 +F y2).

2. pour tout (x, y) ∈ E × F et λ ∈ K :

λ⊥Π(x, y) = (λ⊥Ex, λ⊥Fy).

On remarque qu’on peut iterer la definition. Par exemple, on peut construire R3

comme etant le produit cartesien de R2 avec R. Pour aller plus loin, on rappelleque RN, l’ensembledes suites a valeurs dans R, est egalement un espace vectoriel.On peut le voir comme un produit cartesien d’une ”infinite” de copies du R-espacevectoriel R. En rappellant que RN peut-etre vu comme l’ensemble des applicationsde N a valeurs dans N on peut se convaincre que la meme propriete est vraie si onremplace N par n’importe quel ensemble. Donc si on a K = R ou C (ou Q) et unensemble X on peut constuire KX = {f : K → K} qui est naturellement muni d’uneaddition et d’une multiplication par K qui en font un K-espace vectoriel.

On a les autres operations qui permettent de ”generer” des (sous-)espaces vec-toriels.

Proposition I.1.8. Soit (E,+E,⊥) un K-espace vectoriel et (F,G) des sous-espacesvectoriels de E. Alors

i) F +G est un sous-espace vectoriel de E

8 CHAPITRE I.1. ESPACES VECTORIELS

ii) F ∩G est un sous-espace vectoriel de E

Demonstration. Voir fiche de TD

On prendra garde que F + G est un sous-espace vectoriel mais F ∪ G n’en estpas necessairement un (en general ce n’est pas le cas). Associe a cette propositionon a la definition suivante

Definition I.1.9. Soit F,G des sous-espaces vectoriels de (E,+E,⊥). Si

F ∩G = {0E} F +G = E

on dit que F et G et on note E = F ⊕G.

Chapitre I.2

Familles de vecteurs

Sur Rn, on dispose d’une famille de vecteurs remarquable : la ”base canonique.”On rappelle que celle-ci est formee des n vecteurs dont une seule composante vaut1 et toutes les autres sont nulles. On l’ordonne generalement dans l’ordre croissantdu numero de la composante non nulle et, s’il n’y a pas d’ambiguıte, on la note(e1, . . . , en). Une propriete fondamentale de cette famille de vecteur est que, toutvecteur de Rn se decompose de maniere unique comme une somme de produits devecteurs de cette base canonique par des reels.

Dans tout ce chapitre, E est un K espace vectoriel. On pourra penser que K = Rou C.

I.2.a Combinaisons lineaires, famille generatrice

Dans cette section (E,+E,⊥) est un K-espace vectoriel.

Definition I.2.1. Etant donnes g1, . . . , gm des vecteurs de E, on appelle combinai-son lineaire de g1, . . . , gm tout vecteur x ∈ E de la forme :

x = a1g1 + . . .+ amgm

ou (a1, . . . , am) sont des elements de K.

Reciproquement, avec l’ecriture precedente x = a1g1 + . . .+ amgm, on dit que xse decompose dans la famille (g1, . . . , gm). Si les ai sont definis de maniere unique,on dira que x se decompose de maniere unique dans la famille (g1, . . . , gm).

Definition I.2.2. Etant donnes g1, . . . , gm des vecteurs de E, on appelle espacevectoriel engendre par (g1, . . . , gm) l’ensemble :

{a1g1 + +amgm , (a1, . . . , an) ∈ Kn} .

On utilisera les notations suivantes (classiques) pour noter un sous-espace en-gendre :

Vect(g1, . . . , gm) 〈g1, . . . gm〉.On prendra garde de bien differencier cette seconde notation des notations dejaconnues : {g1, . . . , gm} ou (g1, . . . , gm).

L’appellation sous-espace vectoriel est motivee par la proposition suivante :

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10 CHAPITRE I.2. FAMILLES DE VECTEURS

Proposition I.2.3. Etant donnes g1, . . . , gm des vecteurs de E, l’espace vectorielengendre par g1, . . . , gm est un sous-espace vectoriel de E.

Demonstration. A connaıtre.

Pour se familiariser avec cette definition, on pourra demontrer la propositionsuivante :

Proposition I.2.4. Etant donnes (g1, . . . , gm) des vecteurs de E espace vectoriel.• Vect(g1, . . . , gm−1) ⊂ Vect(g1, . . . , gm).• Pour tout p < m on a

Vect(g1, . . . , gn) = Vect(g1, . . . , gp) + Vect(gp+1, . . . , gm)


La definition ci-dessus fournit a nouveau une methode pour ”construire” desespaces vectoriels (on choisit une famille et on regarde l’espace vectoriel engendre).Pour resoudre un probleme d’algebre lineaire defini sur un espace vectoriel E, onpeut etre tente de partir d’une famille donnee et de chercher une solution commeune combinaison lineaire de cette famille. Il est alors opportun de se demander sitoutes les solutions possibles du probleme sont bien representees sous cette forme.Il s’agit ici de determiner si l’espace vectoriel intial correspond a l’espace vectorielengendre par la famille de vecteur. Pour cela, on a la definition suivante :

Definition I.2.5. Etant donnes E un espace vectoriel et g1, . . . , gm une famille devecteurs de E. On dit que la famille g1, . . . , gm est une famille generatrice de E si

Vect(g1, . . . , gm) = E.

On a la proposition evidente suivante :

Proposition I.2.6. Soit (g1, . . . , gm+1) des vecteurs de E. Si (g1, . . . , gm) est generatricealors (g1, . . . , gm+1) est egalement generatrice.

I.2.b Relation de dependance lineaire, familles libres

Nous avons evoque dans la section precedente la question : est-il possible deecomposer un vecteur dans une famille donnee. Nous envisageons ici l’unicite dela decomposition. Nous remarquons tout d’abord que ceci est une propriete ca-racteristiques de la famille de vecteur :

Proposition I.2.7. Etant donne `1, . . . , `p des vecteurs de E. Les assertions sui-vantes sont equivalentes :

i) Pour tout vecteur x ∈ 〈`1, . . . , `p〉 il existe une unique famille (x1, . . . , xp) ∈ Kp

telle que x = x1`1 + . . .+ xp`p

ii) On a l’implication

∀ (x1, . . . , xp) ∈ Kp) (x1`1 + . . .+ xp`p = 0E ⇒ x1 = . . . = xp = 0K) .

I.2.C. BASES 11

Cette proposition implique les definitions suivantes :

Definition I.2.8. Etant donne `1, . . . , `p des vecteurs de E. On appelle relation dedependance lineaire toute famille λ1, . . . , λp d’elements de K tels que

λ1`1 + . . .+ `pxp = 0.

Au vu de ce qui a ete ecrit precedemment, on a donc que si `1, . . . , `p est libre, toutvecteur x ∈ 〈`1, . . . , `p〉 se decompose de maniere unique dans la famille (`1, . . . , `p).

Definition I.2.9. Etant donne `1, . . . , `p des vecteurs de E, on dit que la famille`1, . . . , `p est libre si sa seule relation de dependance lineaire est la relation triviale.

Pour se familiariser avec la notion de famille libre, on pourra montrer la propo-sition suivante :

Proposition I.2.10. Soit `1, . . . , `p une famille de vecteurs de E.

i) Si (`1, . . . , `p) est libre alors (`1, . . . , `p−1) est libre

ii) Si (`1, . . . , `p) est liee alors il existe un vecteur de la famille qui s’ecrit commeune combinaison des autres.


I.2.c Bases

Finalement, on a la notion fondamentale suivante

Definition I.2.11. Soit e1, . . . , en une famille de vecteurs de E. On dit que (e1, . . . , en)est une base de E si

— (e1, . . . , en) est libre— (e1, . . . , en) est generatrice

On a la propriete fondamentale suivante :

Proposition I.2.12. Etant donnee (e1, . . . , en) base de E et x ∈ E. Il existe uneunique famille (λ1, . . . , λn) telle que

x = λ1e1 + . . .+ λnen.

On a le resultat fondamental suivant :

Theoreme I.2.13 (Theoreme de la base incomplete). Etant donnee (`1, . . . , `p) unefamille libre de E et (g1, . . . , gm) une famille generatrice de E. On peut construireune base (e1, . . . , en) de E qui satisfait :

i) p ≤ n

ii) ei = `i pour i ≤ p

iii) ei ∈ {g1, . . . , gp} pour i > p.

Demonstration. Admis.

12 CHAPITRE I.2. FAMILLES DE VECTEURS

On peut appliquer le theoreme precedent avec (`1, . . . , `p) ⊂ (g1, . . . , gm). Onvient donc de montrer que de toute famille generatrice, on peut extraire une base.Inversement, si on a une famille libre (`1, . . . , `p) et qu’il existe une famille generatricefinie, on a montre qu’on peut construire une base qui contient la famille libre. Onpeut donc completer la famille libre en une base de E. D’ou le nom du theoreme.

Corollaire I.2.14 (Definition de ”espace de dimension finie”). Si E admet une fa-mille generatrice finie, alors E admet une base contenant un nombre fini de vecteurs.Dans ce cas, on dit que E est un espace de dimension finie.

Chapitre I.3

Theorie de la dimension

Dans ce chapitre K = R ou K = C. La theorie de la dimension des espacesvectoriels part du constant suivant :

Proposition I.3.1. Soit E un K espace vectoriel. On suppose que (`1, . . . , `p) estune famille libre de E et que (g1, . . . , gm) est une famille generatice de E. Alorsp ≤ m.

Demonstration. A connaıtre

Corollaire I.3.2 (Definition de la ”dimension d’un espace de dimension finie”). SiE est un espace de dimension finie, alors toute les bases de E contiennent le memenombre de vecteurs. Ce nombre de vecteurs est appele ”dimension” de l’espace E.

On travaille maintenant sur le calcul de la dimension de certains espaces vectorielsparticuliers.

I.3.a Dimension de sous-espaces vectoriels

Dans cette section, E est un K-espace vectoriel de dimension finie. On commencepar un premier resultat a peu pres clair :

Proposition I.3.3. Soit F un sous-espace de E. On a :— F est de dimension finie— dimF ≤ dimE.

De plus, si dimE = dimF alors E = F.


On poursuit avec des operations sur les sous-espaces

Proposition I.3.4. Le sous-ensemble F ∩G est un sous-espace vectoiel de E et

dim(F ∩G) ≤ min(dimF, dimG).


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14 CHAPITRE I.3. THEORIE DE LA DIMENSION

Proposition I.3.5. Le sous-ensemble F +G est un sous-espace vectoriel de E et

dim(F +G) = dimF + dimG− dim(F ∩G)


L’interet d’etudier la somme et l’intersection de sous-espaces reside dans lesdefinition suivante :

Definition I.3.6. Soit F et G des sous-espaces de E. Si, de plus F ∩G = {0} on ditque F et G sont en somme directe et on note F ⊕G la somme de ces deux espaces.

On remarque que, si F et G sont en somme directe alors

dim(F +G) = dimF + dimG.

Definition I.3.7. Soit F et G des sous-espaces de E. On dit que F et G sontsupplementaires si et seulement si :

— F ∩G = {0}— F +G = E.

On remarque que, si F et G sont supplementaires alors

dimE = dimF + dimG.

On notera que ces deux dernieres definition ont un sens que E soit de dimension finieou non. L’interet de telles definition est qu’il permet de decomposer un problemeen plusieurs sous-probleme de taille plus petite. On peut imaginer que le problemed’algebre lineaire a resoudre soit adapter a la decomposition de E = F ⊕G. Alors,resoudre le probleme sur E reviendra a resoudre un plus petit probleme sur F et unplus petit probleme sur G.

I.3.b Produit d’espaces vectoriels et dimension

Soit E et F des K espaces vectoriels. On a deja construit l’espace vectoriel E×F.On a de plus :

Proposition I.3.8. Si E et F sont des espaces de dimension finie alors E × F estde dimension finie et

dim(E × F ) = dimE + dimF.

Demonstration. On pourra l’admettre dans un premier temps.

Chapitre I.4

Determinant d’une famille devecteurs

On s’interesse dans ce chapitre a la question suivante. Dans un espace vectorielE de dimension finie n ∈ N∗, on dispose d’une base E = (e1, . . . , en). Etant donneeune autre famille E = (e1, . . . , en) peut-on determiner si cette nouvelle famille estegalement une base de E ? Nous gardons dans ce chapitre la notation avec des lettrescalligraphiques pour representer des familles des vecteurs.

I.4.a Premiere methode : aspect matriciel

On garde la convention que E est une base de E espace de dimension n et E estune famille de vecteurs de E.

Definition I.4.1. On appelle matrice de E dans la base E la matrice notee MatE [E ] ∈Mn(K) dont les colonnes sont les coordonnees des vecteurs de E dans la base E .

Notons qu’on peut construire cette matrice pour toute famille de vecteurs Equelque soit le nombre de vecteurs qu’elle contient. On obtient alors une matricedont le nombre de colonnes correspond au nombre de vecteurs dans E .

Proposition I.4.2. La famille E est une base si et seulement si M est inversible.

On peut maintenant appliquer les methodes vues precedemment sur les matricesafin de determiner si la matrice de E dans la base E est inversible. Nous proposonsegalement a suivre une nouvelle methode.

I.4.b Deuxieme methode : le determinant

Pour determiner si une famille de vecteurs est inversible on peut egalement avoirrecours a un deuxieme outil : le determinant. On rappelle que En est l’ensemble desn-uplets de vecteurs de E. Par exemple, avec les notations proposees en introduction,la base E satisfait E ∈ En et le probleme se reecrit sous la forme :

Etant donnee E ∈ En peut-on determiner si E est une base ou non ?

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16 CHAPITRE I.4. DETERMINANT D’UNE FAMILLE DE VECTEURS

Le determinant est une application ` : En → K. Pour le preciser on doit definirdeux proprietes caracteristiques sur ces applications.

Definition I.4.3. On dit que ` est lineaire en chacun de ces arguments si ellesatisfait la propriete suivante pour tout i ∈ {1, . . . , n}. Etant donnee une famille devecteur (e1, . . . , en) ∈ En, un vecteur e′i ∈ E et un λ ∈ K, on a

`(e1, . . . , ei + λe′i, . . . , en) = `(e1, . . . , ei, . . . , en) + λ`(e1, . . . , e′i, . . . , en)

Definition I.4.4. On dit que ` est alternee si, pour tout i, j ∈ {1, . . . , n} distinctset (e1, . . . , en) ∈ En, on a

`(e1, . . . , ei, . . . , ej, . . . , en) = −`(e1, . . . , ej, . . . , ei, . . . , en)

Avec ces notations, on a le theoreme/definition suivant (admis) :

Theoreme I.4.5 (Definition du determinant). Il existe une unique application detE :En → K telle que

— detE est lineaire en chacun de ses arguments,— detE est alternee,— detE(E) = 1.

Demonstration. Admis.

L’interet de cette definition reside dans la proposition suivante :

Proposition I.4.6. Etant donne E ∈ En, si detE(E) 6= 0 alors la famille E est unebase de E.

Demonstration. On pourra l’admettre dans un premier temps et se referer au Theo-reme I.4.8 ci-dessous.

I.4.c Troisieme methode : aspect calculatoire du

determinant matriciel

On remarque qu’une fois que la base E est choisie, une autre famille E de En estcompletement caracterisee par sa matrice M dans la base E . Le calcul de detE(E)se ramene donc au calcul d’une quantite fonction de cette matrice. On appelle cettequantite det(M). Ceci nous definit une application det :Mn(K)→ K. On remarquequ’on ne retient plus la base en indice car on observera plus loin que le calcul dudeterminant, une fois vu comme application des matrices, ne depend plus de la baseinitiale choisie.

I.4.c.1 Construction du determinant sur M2(K).

On veut preciser le calcul de :

det

(a bc d

)=

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣

I.4.C. ASPET CALCULATOIRE DU DETERMINANT 17

On remarque tout d’abord que (comme consequent du fait que detE(E) = 1) ona : ∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣ = 1.

Ainsi (en utilisant la propriete que detE) est alternee, il vient :∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣ = −1

Pour toute matrice carree, on obtient donc que :∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = a

∣∣∣∣1 b0 d

∣∣∣∣+ c

∣∣∣∣0 b1 d

∣∣∣∣ (linearite par rapport au premier vecteur colonne)

= a

∣∣∣∣1 00 d

∣∣∣∣+ c

∣∣∣∣0 b1 0

∣∣∣∣ (linearite par rapport au deuxieme vecteur colonne)

= ad

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣+ cb

∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣ (linearite par rapport au deuxieme vecteur colonne)

= ad− bc (antisymetrie).

On retrouve une propriete bien connue de la specialite de terminale S.

I.4.c.2 Construction du determinant sur M3(K).

On veut maintenant preciser le calcul de :

det

a b cd e fg h i

=

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣On commence comme ci-avant en remarquant que∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1.

En utilisant le caractere alterne, il vient que∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣0 0 10 1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −1.

et ∣∣∣∣∣∣0 0 11 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣0 1 00 0 11 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 1

En utilisant la linearite comme dans le cas des matrices 2×2, on peut alors developperpour obtenir que :∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = a

∣∣∣∣∣∣1 0 00 e f0 h i

∣∣∣∣∣∣+ d

∣∣∣∣∣∣0 b c1 0 00 h i

∣∣∣∣∣∣+ g

∣∣∣∣∣∣0 b c0 e f1 0 0

∣∣∣∣∣∣


On dit qu’on a ”developpe le determinant selon la premiere colonne.” En repetantl’operation avec les colonnes qui restent dans chacun des determinants, on obtientpar exemple : ∣∣∣∣∣∣

1 0 00 e f0 h i

∣∣∣∣∣∣ = ei

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣+ fh

∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ = ei− fh.

On remarque ici qu’on a trouve le determinant 2× 2 de la matrice∣∣∣∣e fh i

∣∣∣∣ .En combinant tous les calculs, on obtient finalement :∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = aei+ bfg + dhc− ceg − bdi− afh.

I.4.c.3 Construction du determinant sur Mn(K).

On se donne maintenant un entier n ≥ 3. On ne va pas donner la formulegenerale pour le calcul du determinant d’une matrice M ∈ Mn(K). La formule esttrop compliquee (inapplicable) et necessite d’introduire des outils que nous n’avonspas encore a notre disposition. Nous proposons cependant une famille de proprietes aconnaıtre qui permet de calculer au cas-par-cas des determinants de taille arbitraireavec un peu de pratique.

Propriete 1 : NormalisationSi on note In la matrice identite (qui contient des 1 sur la diagonale et de 0 hors dela diagonale), on a :

det(In) = 1.

Propriete 2 : LineariteSi on note en colonne :

M =(L1|L2| . . . Li| . . . |Ln

)M (a) =

(L1|L2| . . . |L(a)

i | . . . |Ln

)M (b) =

(L1|L2| . . . |L(b)

i | . . . |Ln

)alors det(M) = det(M (a)) + det(M (b)).

Propriete 3 : AntisymetrieSi on choisit deux indices i et j differents et que l’on note, en colonne :

M =(L1|L2| . . . |Li| . . . |Lj| . . . |Ln

)M ′ =

(L1|L2| . . . |Lj| . . . |Li| . . . |Ln

)alors det(M) = − det(M ′).

Propriete 4 : Developpement par rapport a une colonneSi on choisit un indice j et qu’on note

I.4.C. ASPET CALCULATOIRE DU DETERMINANT 19

— mi,j le coefficient de la matrice M a l’intersection de la ligne i et de la colonnej

— Mi,j la matrice obtenue en supprimant de la matrice M la i-ieme ligne et laj-ieme colonne (ce sont toutes des matrices de tailles (n− 1)× (n− 1)),

alors quelque soit le choix de la colonne j ∈ {1, . . . , n} on a :

det(M) =n∑

i=1

(−1)i+jmi,j det(Mi,j).

En plus de ces proprietes, on admettra egalement les deux propositions suivantes(qui se demontrent sur la base de la formule generale pour le determinant qu’on n’apas exprime jusqu’ici) :

Proposition I.4.7. Etant donne M,M ′ deux matrices de tailles n× n on a :— det(M>) = det(M)— det(M ·M ′) = det(M) det(M ′)

Il resulte de ces proprietes que l’on peut transposer toutes les proprietes enonceesprecedemment sur les colonnes en des proprietes satisfaites par les lignes.

I.4.c.4 Application du determinant matriciel

On peut voir le determinant matriciel comme un cas particulier du determinantde famille de vecteurs : il s’agit de considerer les n colonnes de la matrice commeune famille de n vecteurs de Kn que l’on a decompose sur la base canonique.

En particulier, on peut affiner la propriete caracteristique du determinant sousla forme suivante :

Theoreme I.4.8. Soit M ∈Mn(K), la matrice M est inversible si et seulement sidet(M) 6= 0. De plus, si M est inversible alors det(M−1) = 1/ det(M).


Corollaire I.4.9. Soit (x1, . . . ,xn) une famille de vecteurs de Kn. Cette famille estune base si et seulement si la matrice M ∈ Mn(K) dont les colonnes sont les xi

i = 1, . . . , n est de determinant non nul.

On mentionne egalement une application supplementaire du determinant. Pourenoncer cette propriete, il nous faut construire une matrice dans l’esprit de ce qui aete fait a la propriete 4 ci-dessus.

Etant donnee une matrice M ∈Mn(K) on constuit les n2 matrices (Mi,j)1≤i,j≤nde taille (n− 1)× (n− 1) telles que, pour Mi,j est obtenu a partir de M en suppri-mant la i-ıeme ligne et la j-ieme colonne de M. On peut alors la matrice dite ”descofacteurs” de M dont le coefficient a l’intersection de la i-ieme ligne et de la j-iemecolonne s’ecrit :

(−1)i+j det(Mi,j).

Cette matrice est notee Com(M) (pour ”comatrice”).On a alors la


Proposition I.4.10 (Formule de Cramer). Pour toute matrice M ∈Mn(K) on a :

M [Com(M)]> = det(M)In.

En particulier, si M est inversible :

M−1 =1

det(M)[ComM ]>

Par exemple, si on considere le cas d’une matrice 2× 2

M =

(a bc d

)alors

Com(M) =

(d −c−b a

)Ainsi, on peut calculer qu’on a bien :

M [Com(M)]> = (ad− bc)(

1 00 1

).

et on retrouve que, si (ad− bc) 6= 0 on a la formule bien connue des etudiants ayantsuivi la ”specialite mathematiques” en terminale :

M−1 =1

ad− bc

(d −b−c a

).

Chapitre I.5

Applications lineaires

Soit E et F des K-espaces vectoriels, comme dans le cas de Rn, on dit quef : E → F est une application lineaire, si pour tout (x, x′) ∈ E2 et λ ∈ K on a :

f(x+ λx′) = f(x) + λf(x′).

Dans le cas particulier ou F = K on dit que f est une forme lineaire. On noteraL(E,F ) les applications lineaires de E dans F et L(E) les formes lineaires sur E.

On a les proprietes deja vues dans le cas ou E = Kn suivantes :

Proposition I.5.1. Etant donnes (f, g) ∈ L(E,F )2 et λ ∈ K. On a :

f + λg ∈ L(E,F )


Autrement dit, l’ensemble L(E,F ) est un K-espace vectoriel.

Proposition I.5.2. Soit E, E, F des K-espaces vectoriels et h ∈ L(E, E), h ∈L(E, F ). On a :

h ◦ h ∈ L(E,F ).


On rappelle enfin que, dans le cas ou f : E → F est bijective (on dit egalementinversible), on peut construire l’application f−1 : F → E definie par :

∀(x, y) ∈ E × F y = f(x)⇔ x = f−1(y).

Cette application f−1 est appelee la bijection reciproque de f. On a alors la proprietesuivant :

Proposition I.5.3. Etant donne f ∈ L(E,F ) bijective. On a f−1 ∈ L(F,E).


21

22 CHAPITRE I.5. APPLICATIONS LINEAIRES

I.5.a Applications lineaires et sous-espaces vecto-

riels

On s’interesse ici a comment les applications lineaires agissent sur les sous-espacesvectoriels de l’ensemble de depart et d’arrivee ou elles sont definies.

Proposition I.5.4. Soit φ : E → F une application lineaire et E = (e1, . . . , en) unefamille de vecteurs de E. On a alors :

φ(〈e1, . . . en〉) = 〈φ(e1), . . . φ(en)〉.

Proposition I.5.5. Soit f : E → F une application lineaire. Si G est un sous-espace vectoriel de E alors f(G) est un sous-espace vectoriel de F. De plus, si G estde dimension finie, alors f(G) est de dimension finie.


Exemple 1. Si G = E on appelle f(E) l’image de f et on le note Imf. Si Imf estde dimension finie, on appelle rang de f le nombre dim Imf.

Proposition I.5.6. Soit f : E → F une application lineaire. Si G est un sous-espace vectoriel de F alors f−1(G) est un sous-espace vectoriel de E.


Exemple 2. Si F = {0} on appelle f−1({0}) le noyau de f et on le note Kerf.

On rappelle la proposition issue de la resolution des systemes :

Proposition I.5.7. Etant donne f : E → F application lineaire et y ∈ Imf alorspour tout x0 ∈ f−1({y}) on a :

f−1({y}) = x0 + Kerf.

Demonstration. Relire le cours sur la resolution de systemes et adapter.

Enfin, on a le resultat fondamental suivant

Theoreme I.5.8 (Theoreme du rang). Etant donne f : E → F application lineaire.Si E est de dimension finie alors

dimE = dim Imf + dim Kerf.


I.5.B. APPLICATIONS LINEAIRES, BASES ET MATRICES 23

I.5.a.1 Un exemple a connaıtre

On se place dans Mn(K) l’ensemble des matrices carres de taille n× n a coeffi-cients dans K.

Definition I.5.9. Etant donne M = (mi,j)1≤i,j≤n on appelle matrice transposee deM et on note M> la matrice de coefficients (m′i,j)1≤i,j≤n definis par

m′i,j = mj,i ∀ 1 ≤ i, j ≤ n.

Proposition I.5.10. L’application transposition M 7→M> est lineaire sur Mn(K)

Avec cet outil on peut definir

Sn(R) ={M ∈Mn(R) t.q. M = M>}

An(R) ={M ∈Mn(R) t.q. M = −M>}

Proposition I.5.11. Sn(R) est un sous-espace vectoriel de Mn(R) de dimensionn(n+ 1)/2.

Demonstration. A connaıtre dans le cas n = 3.

I.5.b Applications lineaires, bases et matrices

Dans cette section, on suppose que E et F sont des espaces de dimension finie.

Definition I.5.12. Soit f : E → F une application lineaire. Soit (e1, . . . , ep) unebase de E et (e′1, . . . , e

′n) une base de F. On appelle matrice de f dans les bases

(e1, . . . , ep) et (e′1, . . . , e′n) la matrice M ∈Mn,p(K) dont les coefficients de la j−ieme

colonne sont les coordonnes du vecteur f(ej) dans la base (e′1, . . . , e′n).

Si E = F et (e′1, . . . , e′n) = (e1, . . . , ep) on appelle plus simplement M la matrice

de f dans la base (e1, . . . , ep).

Si E = F et f est l’application identique, la matrice M ne depend donc plusque du choix des bases (e1, . . . , ep) et (e′1, . . . , e

′p) (notons que n = p dans ce cas).

La matrice M est alors egalement appele la matrice de changement de la base(e1, . . . , ep) dans la base (e′1, . . . , e

′p). En effet, si on dispose de x ∈ E. Alors il existe

X = (x1, . . . , xn) ∈ Kn et X ′ = (x′1, . . . , x′n) ∈ Kn tels que

x = x1e1 + . . .+ xpep x = x′1e′1 + . . . x′pep

Alors X ′ = MX.

On a la proposition reciproque

Proposition I.5.13. Soit E,F des espaces vectoriels et (e1, . . . , ep), (e′1, . . . , e′n) des

bases de E et F respectivement. Une application lineaire f : E → F est uniquementdeterminee par la donnee de sa matrice M ∈ Mn,p(K) dans les base (e1, . . . , ep) et(e′1, . . . , e

′n).


Il resulte des deux propositions precedentes que les problemes d’applicationlineaires en dimension finie se ramenent a des questions matricielles.

24 CHAPITRE I.5. APPLICATIONS LINEAIRES

I.5.b.1 Representation matricielle et operations

On s’interesse maintenant au lien entre calcul de la matrice d’une applicationlineaire dans des bases donnees et operations sur les applications lineaires. Comme enintroduction, nous avons trois propositions. Dans ces propositions, E, E, F sont desespaces vectoriels de dimensions finies sur lesquels on dispose des bases respectivesE := (e1, . . . , ep) E := (e1, . . . , eq) E ′ := (e′1, . . . , e

′n).

Proposition I.5.14. Soit (f, g) ∈ L(E,F ) de matrices respectives A et B dans lesbases E et E ′. La matrice de f + g dans ces memes bases est A+B.


Proposition I.5.15. Soit h ∈ L(E, E) de matrice M dans les bases E et E . Soith ∈ L(E, F ) de matrice M dans les base E et E ′. La matrice de h ◦ h dans les basesE et E ′ est MM.

Demonstration. Admis. C’est un calcul long et fastidieux.

Proposition I.5.16. Soit f ∈ L(E,F ) de matrice M dans les bases E et E ′. Sif est bijective alors M est inversible et la matrice de f−1 – en tant qu’applicationlineaire de F dans E – dans les bases E ′ et E est M−1.


On remarque que ce resultat contient que si f est inversible alors E et F ontmeme dimension.

I.5.b.2 Changement de bases

On s’interesse maintenant au probleme suivant. Supposons qu’on se soit donnef : E → F une application lineaire. On suppose qu’on dispose sur E de deux basesE et E ainsi que sur F de deux bases E ′ et E ′. On suppose qu’on dispose de la matriceM de f dans les bases E et E ′ et on veut calculer la matrice M de f dans les basesE et E ′. Pour cela, on remarque que f = idF ◦ f ◦ idE. Si on dispose de la matrice Qde idF dans les bases E ′ et E ′ ainsi que de P la matrice de idE dans les bases E et Ealors on peut ecrire que :

M = QMP.

On rappelle que P est la matrice de passage de E dans E . Ainsi, dans le cas particulierou E = F et E = E ′ ainsi que E = E ′, on a

Proposition I.5.17. Etant donne f : E → E une application lineaire. Si on note— M (resp M) la matrice de f dans la base E (resp. dans la base E)— P la matrice de passe de E a E

alors on a :M = P−1MP.

Demonstration. C’est le paragraphe ci-dessus.

Deuxieme partie

Integration

25

Chapitre II.1

Definition de l’integrale

Au lycee il est d’usage d’introduire l’integrale d’une fonction continue f : [a, b]→R+ comme etant l’aire de la portion de plan delimitee par

— le graphe de f (i.e. l’ensemble des points (x, y) de la forme y = f(x))— la droite x = a— la droite x = b— l’axe des abscisses (i.e. lensemble des points (x, y) tels que y = 0).

Cependant, excepte pour des formes simples, il n’est pas facile de donner une valeurpour cette aire. Cette partie du cours a pour objet d’expliquer comment on peuteffectuer ce calcul et ainsi retrouver la definition de l’integrale d’une fonction positiveafin de l’etendre a des fonctions qui n’ont pas necessairement de signe fixe.

Dans ce paragraphe, on fixe l’intervalle [a, b] (pour se donner une idee on pourraposer a = 0 et b = 1).

II.1.a Calculs d’aire ”faciles”

Un cas ”facile” ou l’on sait calculer l’aire d’une fonction sous la courbe est quandcette fonction est constante. Par suite, on peut donc calculer l’aire sous la courbe (etdonc l’integrale) d’une fonction qui est constante sur plusieurs intervalles disjoints.On remarque qu’en prenant en compte une fonction affine (par exemple f(x) = xsur l’intervalle [0, 1]) on retrouve l’aire du triangle sous la courbe en l’approchantpar des fonctions qui sont constantes sur une suite d’intervalles de largeurs de plusen plus petites.

Pour generaliser ce principes, nous devons introduire plusieurs definitions. Toutd’abord :

Definition II.1.1. On appelle subdivision de l’intervalle [a, b] toute suite strictementcroissante finie x0 < x1 < . . . < xn telle que x0 = a et xn = b.

On peut faire des operations ensemblistes. En effet, on peut identifier une sub-division a un sous-ensemble fini [a, b] qui contient les extremites a et b. Ainsi onpeut, au sens ensembliste, faire l’intersection et la reunion de deux subdivisions. Ondira egalement qu’une subdivision a = x0 < . . . < xn = b est ”plus fine” qu’unesubdivision a = x0 < . . . < xn = b si

{xi, i = 0, . . . , n} ⊂ {xi, i = 0, . . . , n}.

27

28 CHAPITRE II.1. DEFINITION DE L’INTEGRALE

Definition II.1.2. On dit que f : [a, b]→ R qu’elle est ”en escalier” s’il existe unesubdivision a = x0 < x1 < . . . < xn = b pour laquelle f est constante sur ]xi, xi+1[pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}. Une telle subdivision est dite ”adaptee” a la fonctionf.

La notion de ”fonction en escalier” est une mathematisation de la notion plusvague de ”fonction constante sur une suite d’intervalle” enoncee plus haut. On pourraremarquer que si une subdivision a = x0 < . . . < xn = b est adaptee alors toutesubdivision plus fine a = x′0 < . . . < x′n′ = b est egalement adaptee. Le contrairen’est pas vrai. Cependant on a la

Proposition II.1.3. Soit f : [a, b] etagee et a = x0 < . . . < xn = b ainsi quea = x′0 < . . . < x′n′ = b des subdivisions adaptees a f alors l’intersection des deuxsubdivisions est egalement adaptee a f.

Demonstration. Sur un exemple

Pour manipuler ces notions, on pourra montrer la proposition suivante (c’estfastidieux, mais on finit par y arriver) :

Proposition II.1.4. Soit

E([a, b]) = {f : [a, b]→ R etagee }.

Cet ensemble, muni des operations usuelles sur les fonctions reelles de la variablerelle, est une espace vectoriel.

Demonstration. A essayer en exo.

L’interet de la formalisation precedente est le theoreme/definition suivant :

Theoreme II.1.5 (Definition de l’integrale d’une fonction etagee). Etant donnef : [a, b] etagee et a = x0 < . . . < xn = b une subdivision adaptee, la quantite

n−1∑i=0

(xi+1 − xi)f(xi + xi+1

2

)ne depend pas du choix de la subdivision. Cette quantite est appele integrale de f etest notee

∫ b

af(t)dt.

Demonstration. Voir cours

On rappelle que l’ensemble E([a, b]) contient les fonctions qui sont constantes surune suite d’intervalle. En particulier, le theoreme precedent definit en une uniqueformule l’aire sous la courbe pour une fonction ”constante sur une suite d’intervalle.”

L’integrale que l’on vient de construire satisfait les proprietes suivantes :

Proposition II.1.6. Soit I[a,b] : E([a, b])→ R definie par

I[a,b](f) =

∫ b

a

f(t)dt.

Cette application satisfait les proprietes suivantes :

II.1.B. FONCTIONS INTEGRABLES 29

1. I[a,b] est une application lineaire

2. Pour tout (f, g) ∈ (E([a, b]))2 on a l’implication :

f ≤ g ⇒ I[a,b](f) ≤ I[a,b](g).

Enfin, on a la relation de chasles classique :

Proposition II.1.7. Etant donne f ∈ E([a, b]), pour tout c ∈ (a, b) on a que, parrestriction f ∈ E([a, c]) et f ∈ E([c, b]). De plus :∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt.

II.1.b Fonctions integrables

Nous avons vu plus haut qu’a l’aide des fonctions etagees on peut retrouver l’airedu triangle en calculant l’aire sous la courbe d’une fonction affine (f(x) = x) parapproximation successive. Nous allons generaliser ce principe ici au calcul de l’airesous legraphe d’une fonction f positive de classe C1 sur [a, b].

Dans ce qui suit, la fonction f ∈ C1([a, b]) est fixee. Etant donne n ∈ N∗ onconstruit les fonctions etagees f (sup) et f (inf) adaptees a la subdivision reguliere an+ 1 points

x0 = a < . . . < xk = a+ kb− an

< . . . < xn = b

et definies par :

f (sup)(x) = max{f(t), t ∈ [xk, xk+1]} ∀x ∈ [xk, xk+1[ ∀ kf (inf)(x) = min{f(t), t ∈ [xk, xk+1]} ∀x ∈ [xk, xk+1[ ∀ k

et f (sup)(b) = f (inf)(b) = f(b). On pose alors

un =

∫ b

a

f (inf)(t)dt vn =

∫ b

a

f (sup)(t)dt ∀n ∈ N∗.

Le point clef du calcul est la proposition suivante :

Proposition II.1.8. Les suites (un)n∈N et (vn)n∈N convergent et ont meme limite`.

Demonstration. On peut se convaincre facilement que un est croissante et vn estdecroissante. Le point clef est de montrer que un − vn → 0. On aura alors que unet vn sont adjacentes. Pour cela, on utiliser que le max et le min sont atteint sur[xk, xk+1] si bien que la difference est plus petite que (b − a)/n. La difference desintegrales est alors plus petite que (b− a)2/n.

On peut alors poser : ∫ b

a

f(t)dt = `.

Pour etendre cette propriete a des fonctions moins ”regulieres” on propose ladefinition suivante :


Definition II.1.9. Soit f : [a, b] → R on dit que f est integrable sur [a, b] si pourtout ε > 0 il existe deux fonctions (u, U) ∈ E([a, b]) telles que• u ≤ f ≤ U•∫ b

a(U − u)(t)dt ≤ ε.

On noteL1([a, b]) = {f : [a, b]→ R integrable }.

On admettra que— toutes les fonctions continues (par morceaux) sont integrables— toutes les fonctions monotones sont integrablesOn a alors

Proposition II.1.10. Etant donnee f ∈ L1([a, b]) on a :

inf{∫ b

a

h(t)dt, h etagee telle que h ≥ f} = sup{∫ b

a

h(t)dt, h etagee telle que h ≤ f}

et on peut donc poser :∫ b

a

f(t)dt = inf{∫ b

a

h(t)dt, h etagee telle que h ≥ f}

= sup{∫ b

a

h(t)dt, h etagee telle que h ≤ f}.

On peut egalement se convaincre que :

Proposition II.1.11. L1([a, b]) muni des operations usuelles sur les fonctions reellesde la variable relle, est une espace vectoriel.

Demonstration. Admis

II.1.c Proprietes de l’integrale

L’integrale que l’on vient de construire satisfait les proprietes suivantes :

Proposition II.1.12. Soit I[a,b] : L1([a, b])→ R definie par

I[a,b](f) =

∫ b

a

f(t)dt.

Cette application satisfait les proprietes suivantes :

1. I[a,b] est une application lineaire

2. Pour tout (f, g) ∈ (L1([a, b]))2 on a l’implication :

f ≤ g ⇒ I[a,b](f) ≤ I[a,b](g).

Demonstration. La linearite se fait comme on montre que c’est un espace vectoriel.La croissance se montre en montrant d’abord que l’integrale d’une fonction positiveest positive et en utilisant ensuite que f − g est etagee et positive.

II.1.C. PROPRIETES DE L’INTEGRALE 31

Une consequence directe du dernier item de cette proposition est le

Corollaire II.1.13. Etant donnee f ∈ C([a, b]) et (m,M) ∈ R2

1. on a l’implication :

(f(t) ≤M, ∀ t ∈ [a, b]) =⇒∫ b

a

f(t)dt ≤M(b− a)

2. on a l’implication :

(m ≤ f(t), ∀ t ∈ [a, b]) =⇒ m(b− a) ≤∫ b

a

f(t)dt

3. on a l’inegalite : ∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(t)|dt .

Enfin, on a la relation de chasles classique :

Proposition II.1.14. Etant donne f ∈ L1([a, b]), pour tout c ∈ (a, b) on a que, parrestriction f ∈ L1([a, c]) et f ∈ L1([c, b]). De plus :∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt.

En pratique, on n’utilisera ces proprietes qu’avec des fonctions continues. Onremarque que l’on peut etendre cette identite sans imposer d’order entre a, b et cquitte a poser que, pour tout (a, b) ∈ R2

∫ b

a

f(t)dt = −∫ a

b

f(t)dt ,

∫ a

a

f(t)dt = 0.

On utilisera cette convention par la suite et donc on a la relation de Chasles :∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt.

quelque soit l’ordre de a, b et c.

Chapitre II.2

Calculs d’integrales

Maintenant que nous avons construit l’integrale, nous allons verifier que les pro-prietes calculatoires classiques (deja connues) sont bien effectives.

II.2.a Integrales et primitives

On commence par observer que le calcul d’integrale est relie a l’operation reciproquede la derivation. Cette operation est formalisee par la definition suivante :

Definition II.2.1. Soit I intervalle et f : I → R continue. On dit que F est uneprimitive de f sur I si

i) F est continue-derivable sur I

ii) F ′(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Nous allons voir que la notion de primitive est fortement reliee au calcul d’integraleau sens que l’un permet de calculer l’autre et reciproquement. C’est le contenu desdeux prochaines proposition.

Proposition II.2.2. Soit I intervalle et f : I → R continue. Pour tout a ∈ I lafonction F : I → R definie par

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt, ∀x ∈ I,

est une primitive de f.

Demonstration. La fonction F est bien definie sur I car, puisque I est un intervalle,on a que [a, x] ⊂ I si x > a et [x, a] ⊂ I si x < a, et donc f est continue surl’intervalle qui joint a a x dans les deux cas. Il s’agit maintenant de demontrer queF est derivable sur I de derivee f. Pour cela, on fixe x0 ∈ I et on veut montrer quel’on peut construire ε0 : I \ {x0} → R telle que :

F (x) = F (x0) + f(x)(x− x0) + ε0(x)(x− x0)

avec ε0(x)→ 0 quand x→ x0. On remarque que, pour x ∈ I \ {x0} on a, d’apres laregle de Chasles :

ε0(x) =1

x− x0

∫ x

x0

(f(t)− f(x0))dt.

33

34 CHAPITRE II.2. CALCULS D’INTEGRALES

Or, puisque f est continue en x0, etant donne ε > 0 on peut trouver α > 0 tel que,pour tout t ∈]x0 − α, x0 + α[∩I, on a :

|f(t)− f(x0)| ≤ ε.

Par suite, etant donne x ∈]x0 − α, x0 + α[∩I (qui est un intervalle) on a [x, x0] ⊂]x0 − α, x0 + α[∩I si x < x0 ou [x0, x] ⊂]x0 − α, x0 + α[∩I si x0 < x. Considerons lepremier cas pour simplifier. On a donc :

|f(t)− f(x0)| ≤ ε ∀ t ∈ [x, x0]

Par integration, il vient donc :

|ε0(x)| =∣∣∣∣ 1

x− x0

∫ x

x0

(f(t)− f(x0))dt

∣∣∣∣≤ 1

|x− x0|

∫ x

x0

|f(t)− f(x0)|dt

≤ |ε|

Autrement dit, pour tout ε > 0, on a trouver un α > 0 tel que, pour tout x ∈]x0 − α, x0 + α[∩I on a |ε0(x)| < ε. On vient de montrer que

limx→x0

ε0(x) = 0.

Ceci termine la preuve.

On rappelle qu’on sait qu’une fonction continue sur un intervalle [a, x] admetune integrale. Cette proposition nous dit donc en passant que toute fonction conti-nue admet une primitive. Il s’agit dans beaucoup de cas de savoir la calculer.Reciproquement, on a la proposition :

Proposition II.2.3. Soit f : [a, b]→ R et F primitive de f sur [a, b]. Alors, on a :∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

Demonstration. On sait que

Fa(x) =

∫ x

a

f(t)dt ∀x ∈ [a, b].

est une primitive de f sur [a, b]. En particulier F ′a(x) = f(x) sur [a, b] et Fa s’annuleen a. De meme l’application Fa : x → F (x) − F (a) est une primitive de f ets’annule en a. Par difference on trouve donc que x → Fa − Fa est de derivee nullesur l’intervalle [a, b] (et donc constante) et s’annule en a. Elle est donc nulle. Enparticulier en b, on obtient Fa(b) = F (b), c’est-a-dire :∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

II.2.B. QUELQUES REGLES ALGEBRIQUES 35

On notera que l’on a ecrit la proposition pour une fonction f : [a, b]→ R ce quipermet de fixer les bornes d’integration. Cependant, on peut ecrire une propositionanalogue si on suppose f : I → R avec I intervalle, et (a, b) ∈ I2. Ceci se ramenea la proposition precedente puisqu’alors f est continue par restriction sur [a, b] ⊂ I(si a ≤ b) ou [b, a] ⊂ I (si b < a).

II.2.b Quelques regles algebriques

L’operation de primitivation ayant ete identifiee comme la reciproque de laderivation. On va en deduire un certain nombre de methodes pour calculer desintegrales ou primitives. Avant de commencer on decide d’utiliser la notation

F =

∫f(t)dt ou F (x) =

∫ x

f(t)dt

pour designer une primitive de f. On rappelle que cette ecriture ne doit pas etrecomprise comme une egalite car il n’y a pas unicite de la primitive. Il faut donccomprendre la formule comme : une primitive de f est F. En particulier, si ontravaille sur un intervalle, on peut se convaincre (comme precedemment) que cecifournit une identite ”a une constante pres”.

II.2.b.1 Primitives usuelles

Tout d’abord on a un catalogue de derivees usuelles (voir HLMA101). On peutdonc dire que les fonctions que l’on derive sont les primitives de leur derivee.

Exemple 3.— puissances t→ tn

— cosinus, sinus,— cosh, sinh— exp— t→ 1/(t2 + 1)

II.2.b.2 Integration par parties

Ensuite, on peut adapter certaines regles algebriques sur le calcul de derivee. Enparticulier, on rappelle que, pour deux fonctionsderivables u et v, on peut calculerla derivee du produit :

(uv)′ = u′v + uv′.

On a donc

uv =

∫(u′(t)v(t) + u(t)v′(t))dt

En utilisant que la somme de la derivee est la derivee de la somme, on obtient :

uv =

∫u′(t)v(t)dt+

∫u(t)v′(t)dt


soit ∫u(t)v′(t)dt = uv −

∫u′(t)v(t)dt.

Exemple 4.— primitive de t→ tn ln(t)— primitive de t→ arctan t

II.2.b.3 Changement de variables

On s’interesse maintenant a une autre regle, celle de la derivee d’une fonctioncomposee :

(G ◦ u)′(x) = u′(x)G′(u(x)).

Si on a G′ = g ceci se reecrit

(G ◦ u)′ = u′ ∗ g ◦ u

Reciproquement, on a donc :

G ◦ u =

∫u′(t)g(u(t))dt.

Avec les hypotheses, ceci donne la proposition suivante :

Proposition II.2.4. Etant donne u : [a, b] → R derivable sur [a, b] et g : Dg → Rcontinue sur Dg. Si u([a, b]) ⊂ Dg on a :∫ x

u′(t)g(u(t))dt =

∫ u(x)

g(s)ds. (II.2.1)

En pratique, il peut etre difficile de reconnaıtre u a l’interieur de la formule f(t)Dans ce cas, on peut etre tente de poser u(t) a priori afin de voir ce que donnele changement de variable. Il faut faire attention dans ce cas que la relation estunivoque.

Supposons que l’on veut faire le changement de variable t→ u(t) dans l’integrandet → f(t) defini sur I. On doit alors se garantir que t → u(t) definit une fonctionderivable strictement monotone sur I telle que u′ ne s’annule pas. On sait alors(theoreme de la bijection) que u(I) = J est un intervalle de meme nature que I etqu’on dispose de u−1 : J → I. On peut alors poser :

g(s) = [u−1]′(s)f(u−1(s)) ∀ s ∈ J.

et la formule (II.2.1) reste vraie. En effet, on a alors bien que, sur I

f(t) = f(u−1(u(t))) =1

[u−1]′(u(t))g(u(t)) = u′(t)g(u(t)).

Meme si cette methode marche ”a tous les coups” (elle ne necessite pas de reconnaıtrea priori la formule f(t) sous sa forme decomposee u′(t)g(u(t))) on remarque cepen-dant qu’elle est plus ”dangereuse”. En effet

— Elle necessite de rajouter des hypotheses sur u— Elle necessite un calcul de g relativement complique.

On lui preferera donc plutot la premiere methode

II.2.B. QUELQUES REGLES ALGEBRIQUES 37

II.2.b.4 Quelques exemples usuels

A l’aide des principes precedents et des calculs de primitives usuels, on peutcalculer les primitives de toutes les fractions de la forme :

f(x) =P (x)

Q(x)

avec P et Q deux polynomes.

Troisieme partie

Developpements limites

39

Chapitre III.1

Formules de Taylor

Dans ce chapitre I est un intervalle de R. On rappelle que pour n ∈ N on appellefonction de classe Cn sur I une fonction qui est

— continue sur I si n = 0— derivable sur I et telle que f est Cn−1(I) si n ≥ 1.

Ce processus recurrent permet de dire qu’une fonction de classe Cn

— admet des derivees f (k) jusqu’a l’ordre k = n,— que toutes ces derivees sont continues.

Quand n augmente on peut calculer des derivees d’odre de plus en plus eleve. Ainsion note C∞ les fonctions qui admettent des derivee de tout ordre. On rappelleegalement la propriete vue en HLMA101 (avec des formules que l’on ne rappelle paspar souci de concision) :

Proposition III.1.1. Pour n ∈ N∪ {∞}, etant donnee f et g de classe Cn sur unintervalle I ainsi que h de classe Cn sur I :

1. f + g est Cn sur I

2. fg est Cn sur I

3. si f(I) ⊂ I , h ◦ f est Cn sur I.

On sait que, pour une fonction f : I → R derivable en a ∈ I, on peut ecrire

f(t) = f(a) + f ′(a)(t− a) + (t− a)ε(t)) avec ε(t)→ 0 quand t→ a

Pour t proche de a le comportement de f est bien rendu par la fonction

f(t) = f(a) + f ′(a)(t− a).

Cependant, ce type de renseignement n’est parfois pas suffisant pour l’analyse. Parexemple, si on veut situer f par rapport au graphe de f (qui est ici la tangente augraphe de f and (a, f(a))), il faut pouvoir avoir une representation plus detaillee def.

C’est le sens des formules suivantes :

Proposition III.1.2 (Formule de Taylor avec reste integral). Soit f : I → R ainsique a ∈ I et n ∈ N∗. On suppose que f est de classe Cn sur I, alors, pour tout t ∈ I,on a :

f(t) =n−1∑k=0

(t− a)k

k!f (k)(a) +

∫ t

a

(t− s)n−1

(n− 1)!f (n)(s)ds.

41

42 CHAPITRE III.1. FORMULES DE TAYLOR

Demonstration. Voir cours.

On prendra garde a bien appliquer cette formule— Pour une fonction n fois derivable— Pour une fonction derivable sur un intervalle contenant les points a et t.Cette proposition a la consequence suivante :

Proposition III.1.3 (Formule de Taylor avec reste integral). Soit f : I → R ainsique a ∈ I et n ∈ N∗. On suppose que f est de classe Cn sur I, alors, il existe unefonction ε : I → R telle que :

1. ε(t)→ 0 quand t→ 0

2. pour tout t ∈ I \ {a} on a :

f(t) =n∑

k=0

(t− a)k

k!f (k)(a) + (t− a)nε(t)

Demonstration. Sous les hypotheses de l’enonce, on pose

ε(t) =1

(t− a)n

(f(t)−

n∑k=0

(t− a)k

k!f (k)(a)

)∀ t ∈ I \ {a}.

Ceci est possible car (t − a)n 6= 0. En appliquant la formule de Taylor avec resteintegale, on remarque que

ε(t) =1

(t− a)n

(∫ t

a

(t− s)n−1

(n− 1)!f (n)(s)ds− (t− a)n

n!f (n)(a)

)=

1

(t− a)n

∫ t

a

(t− s)n

n!(f (n)(s)− f (n)(a))ds

Or f (n) est continue en a on peut donc, pour ε > 0 donne, trouver η > 0 tel que, si|t− a| < η on a :

|f (n)(s)− f (n)(a)| ≤ η ∀ |s− a| < |t− a| < η.

En particulier, pour de tels t on a :

|ε(t)| = 1

(t− a)n

∣∣∣∣∫ t

a

(t− s)n−1

(n− 1)!ηds

∣∣∣∣ ≤ η.

Comme pour les fonctions derivables, on obtient avec le developpement de Tay-lor une description locale de la fonction f autour du point a. Avec la derivee, onobtient une fonction proche affine, avec le developpement de Taylor, on observe quela generalisation est une fonction polynomiale. Ici il faut voir les fonctions affinescomme des polynomes de degre 1.

Pour aller plus loin, on peut (au lieu d’une integrale ou d’une fonction tendantvers 0) comparer le terme de reste aux derivees de f. C’est le sens de la propositionsuivante :

43

Proposition III.1.4 (Formule de Taylor-Lagrange). Soit f : I → R ainsi que a ∈ Iet n ∈ N∗. On suppose que f est de classe Cn sur I et que f (n) est derivable sur Ialors, pour tout t ∈ I \ {a}, il existe θ compris entre a et t (strictement) tel que :

f(t) =n∑

k=0

(t− a)k

k!f (k)(a) +

(t− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(θ).

Demonstration. Je pense qu’on peut l’admettre.

44 CHAPITRE III.1. FORMULES DE TAYLOR

Chapitre III.2

Developpement limites

Les formules de Taylor etudiees dans le chapitre precedent permettent en par-ticulier (via la formule de Taylor-Young notamment) de preciser le comportementd’une fonction au voisinage d’un point. Nous verrons que ceci a plusieurs interets :resolution de formes indeterminees pour le calcul de limite, positionnement d’ungraphe par rapport a ses tangentes/asymptotes. Cependant, l’utilisation de la for-mule de Taylor necessite le calcul intermediaire des derivees successives de la fonc-tion consideree. Ceci peut representer un calcul fastidieux. Nous developpons dansce chapitre des outils de calculs permettant notamment de retrouver la formule deTaylor-Young sans passer par le calcul de derivees successives. Il s’agit dans unpremier temps de definir un cadre pour ce type de formule.

III.2.a Notion de developpement limite

Pour fournir un cadre aux formules de Taylor-Young, placons nous tout d’aborden a = 0. Nous proposons alors la definition suivante :

Definition III.2.1 (DL en 0). Soit I un intervalle contenant 0 et f : I → R. Etantdonne n un entier positif, on dit que f admet un developpement limite a l’ordre nen 0 si il existe des reels a0, a1, . . . , an pour lesquels :

limx→0

f(x)− (a0 + a1x+ . . .+ anxn)

xn= 0.

Dans la definition ci-dessus, on reconnaıt dans la partie a0 + a1x + . . . + anxn

un polynome de degre inferieur ou egal a n. La condition exprimee par la definitionpeut se reecrire comme suit :

Proposition III.2.2. Soit I un intervalle contenant 0 et f : I → R Etant donne nun entier positif, f le polynome P (x) = a0 + a1x+ . . .+ anx

n est un developpementlimite de la fonction f en 0 si et seulement s’il existe une fonction ε : I \ {0} → Rtelle que :

— limx→0 ε(x) = 0— f(x) = P (x) + xnε(x) pour x ∈ I.


45

46 CHAPITRE III.2. DEVELOPPEMENT LIMITES

Le developpement limite de f a l’ordre n en 0 est alors l’”expression” :

f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn + xnε(x).

Autrement, dit, ecrire un developpement limite a l’ordre n c’est decomposer la fonc-tion f comme la somme d’un polynome de degre n et d’un reste qui tend vers 0 plusvite que x→ xn. En effet, pour x 6= 0 on a :

f(x)− P (x)

xn= ε(x)

Pour comprendre l’interete d’ecrire des developpements limites a tout ordre, onpourra remarquer que, quand x se rapproche de 0 plus n est grand, plus x 7→ xn

converge rapidement vers 0. Ainsi, si on dispose d’un DL a l’ordre 2 d’une fonctionf , on peut considerer g(x) = f(x) + 10000x3 et g aura le meme DL a l’ordre 2 quef . On ne peut distinguer ces deux fonctions via leur DL a l’ordre 2. Ceci ne seraplus le cas, si on considere leur DL a l’ordre 3. Ainsi, plus on augmente le degre dudeveloppement limite, plus on affine la connaissance de la fonction consideree et enparticulier de son comportement au voisinage de 0.

Dans la pratique, on ecrit donc en general un DL sous la forme :

f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn + o(xn).

La notation o(xn)(dite ”de Landau”) correspond une fonction de la forme xnε(x)avec ε(x)→ 0 quand x→ 0. Il faut faire attention ici que cette notation o(·) cachela fonction ε qui depend de la fonction avec laquelle en travaille et le point autourduquel on travaille.

La notion de developpement limite se generalise en un point a ∈ R avec ladefinition suivante :

Definition III.2.3 (DL en a). Soit a ∈ R, I un intervalle contenant a et f : I → R.Etant donne n un entier positif, on dit que f admet un developpement limite a l’ordren en a si la fonction x 7→ f(a+ x) admet une dedveloppement limite a l’ordre n en0.

III.2.b Developpements limites usuels

Avant d’ecrire et de calculer des developpements limites, nous avons besoin deremarquer que cette notion n’est pas ambigue.

Proposition III.2.4. Soit a ∈ R, I intervalle de R non reduit a un point contenanta et f : I → R. Si f admet un DL a l’ordre n ∈ N en a alors ce DL est unique.


La proposition ci-dessus legitime l’appelation ”Le DL de f” puisque celui-ciest unique s’il existe. Il implique egalement que ”tous les moyens sont bons” pourle calcul d’un developpement limite : tant que nous serons capables de dire que

III.2.B. DEVELOPPEMENTS LIMITES USUELS 47

f = P (x) + xnε(x) avec P ∈ Rn[x] et ε(x)→ 0, nous pourrons dire que c’est Le DLde f au point 0 a l’ordre n, quel que soit le moyen par lequel nous avons calcule P(et montre que ε→ 0).

A l’aide de l’unicite du DL, on peut en particulier prouver le corollaire suivant :

Corollaire III.2.5. Soit I intervalle symetrique, non reduit a un point, contenant0 et f : I → R. On suppose que f(x) = P (x) + xnε(x) a l’ordre n en 0, nous avonsalors les implications suivantes :

i) si f est paire, alors P est paire,

ii) si f est impaire, alors P est impaire.

Comme nous l’avons indique en introduction de ce chapitre, une facon de calculerle DL de f a l’ordre n en a est de calculer sa formule de Taylor-Young. Nous avonsdonc

Proposition III.2.6. Soit a ∈ R, I intervalle de R non reduit a un point contenanta et f : I → R. Etant donne n ∈ N, si f est de classe Cn sur I alors f admet pourDL a l’ordre n la ”formule de Taylor d’ordre n” :

f(x) =n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k + xnε(x).


Ce resultat permet :

1. de calculer les DL a tout ordre des fonctions usuelles :— fonctions puissances,— fonctions circulaires,— exponentielles, logarithmes ...

2. de calculer le DL de n’importe quelle fonction suffisamment reguliere (en der-nier recours)

Vu l’unicite du DL d’une fonction, nous pouvons egalement inverser le point devue dans la proposition precedente pour obtenir le resultat suivant.

Proposition III.2.7. Soit a ∈ R, I intervalle de R non reduit a un point contenanta et f : I → R de classe Cn sur I. Si f admet pour DL a l’ordre n en a :

f(x) =n∑

k=0

ak(x− a)k + (x− a)nε(x).

alorsf (k)(a) = k! ∗ ak ∀ k ≤ n.


Attention, la proposition precedente demande comme hypothese que f est declasse Cn. On n’a pas en general l’implication

f admet un DL a l’ordre n en a =⇒ f est n fois derivable en a.

Le seul n pour lequel cette implication est toujours vraie est n = 1.

48 CHAPITRE III.2. DEVELOPPEMENT LIMITES

Chapitre III.3

Calcul des developpements limites

Dans cette scetion, nous allons utiliser le principe enonce precedemment : pourcalculer un developpement limite (en l’origine a l’ordre n), il suffit d’arriver a uneexpression du type :

f(x) = P (x) + xnε(x)

avec

— P de degre ≤ n— ε(x)→ 0 quand x→ 0.

On sait alors par unicite que P est le developpement limite a l’ordre n de f enl’origine

Par exemple, prenons f de degre m ≥ n et cherchons le developpement limite deP a l’ordre n. On peut ecrire :

f(x) = a0 + a1x+ . . .+ amxn = a0 + a1 + . . .+ anx

n + (an+1x+ . . .+ amxn−m)xn

Ainsi, posant ε(x) = (an+1x+ . . .+ amxn−m) on trouve bien

— f(x) = a0 + a1 + . . .+ anxn + ε(x)xn

— ε(x)→ 0 quand x→ 0.

On peut donc en conclure que le DL a l’odre nde f est la ”troncature a l’ordre n”(i.e. le polynome obtenu en ne gardant que les monome de degre plus petit que n)de f . Dans la suite on note

Tn :⋃m∈N

Rm[x]→ Rn[x]

cet operateur de troncature.

Pour le cas general, on va reprendre cette idee en rajoutant les ε(x) dans lescalculs. Dans toute la suite, on presente les calculs de DL d’une fonction f enl’origine. On pourra adapter les calculs pour la recherche d’un DL de f en a 6= 0ou se ramener a un calcul de DL en l’origine par le changement de variable fa(x) =f(x+a). En particulier, dans toute la suite les fonctions sont definies sur un intervalleI non reduit a un point et contenant l’origine.

49

50 CHAPITRE III.3. CALCUL DES DEVELOPPEMENTS LIMITES

III.3.a Developpement limite d’une combinaison

lineaire

Dans cette section, on se donne une fonction f. On suppose que f se decomposesous la forme f = λ1f1 + λ2f2 avec deux fonctions f1 et f2 et λ1, λ2 deux reels. Onveut calculer le DL de f a l’odre n ∈ N.

Proposition III.3.1. Si f1 admet pour DL a l’ordre n en l’origine f1(x) = P1(x) +xnε1(x) et f2 admet pour DL a l’ordre n en l’origine f2(x) = P2(x) + xnε2(x) alorsf admet pour DL a l’ordre n en l’origine :

f(x) = λ1P1(x) + λ2P2(x) + xnε(x).

Au lieu d’un preuve on ecrit le principe de calcul. Par hypothese on a :

f1(x) = P1(x) + xnε1(x) f2(x) = P2(x) + xnε2(x),

avec P1 et P2 de degre au plus n et

limx→0

ε1(x) = limx→0

ε2(x) = 0.

Par combinaison on a donc :

f(x) = λ1P1(x) + λ2P2(x) + xnε(x)

avec— λ1P1 + λ2P2 ∈ Rn[x]— ε(x) = λ1ε1(x) + λ2ε2(x)→ 0 quand x→ 0.

III.3.b Developpement limite d’un produit

Dans cette section, on se donne une fonction f. On suppose que f se decomposesous la forme f = f1 ∗ f2. On veut calculer le DL de f a l’odre n ∈ N.

Proposition III.3.2. Si f1 admet pour DL a l’ordre n en l’origine f1(x) = P1(x) +ε1(x) et f2 admet pour DL a l’ordre n en l’origine f2(x) = P2(x) + xnε2(x) alors fadmet pour DL a l’ordre n en l’origine f(x) = Tn[P1 ∗ P2](x) + xnε(x).

On rappelle que si P1 et P2 sont des polynomes de degre au plusn alors P1P2

est a priori un polynome de degre au plus 2n. Puisqu’on veut a la fin un polynomede degre n il est donc naturel de tronquer avec l’operateur de troncature Tn pourtrouver un polynome de degre n in fine.

A nouveau, on explique le calcul plutot que de donner une preuve. Par hypotheseon a :

f1(x) = P1(x) + xnε1(x) f2(x) = P2(x) + xnε2(x),

avec P1 et P2 de degres ≤ n

limx→0

ε1(x) = limx→0

ε2(x) = 0.

III.3.C. DEVELOPPEMENT LIMITE D’UNE COMPOSE. 51

Par combinaison on a donc :

f(x) = P1(x)λ2P2(x) + xn(P1(x)ε2(x) + P2(x)ε1(x) + ε1(x)ε2(x)).

Ensuite, par definition de l’operateur Tn, on peut ecrire que P1P2 = Tn[P1P2] + Qavec Q qui contient tous les monomes de P1P2 de degre strictement plus grand quen. Comme P1P2 est de degre 2n, on peut donc trouver des coefficients a1, . . . , an telsque

Q(x) = a1xn+1 + . . .+ anx

2n.

Ainsi, on a finalement :f(x) = Tn[P1P2] + xnε(x)

avec— Tn[P1P2] ∈ Rn[x]— ε(x) = a1x+. . .+anx

n+P1(x)ε2(x)+P2(x)ε1(x)+ε1(x)ε2(x) et donc ε(x)→ 0quand x→ 0.

L’operateur de troncature qui apparaıt ici fait qu’en pratique on ne tentera pasde calculer P1P2 entiement mais qu’on se contentera d’ecrire les termes produitsqui font apparaıtre un terme de degre pertinent. Il s’agit donc de bien organiser sescalculs pour eviter les calculs inutiles et eviter les erreurs algebriques.

III.3.c Developpement limite d’une compose.

Dans cette section, on se donne une fonction f . On suppose que f se decomposesous la forme f1 ◦ f2. On veut calculer le DL de f a l’ordre n ∈ N en l’origine.

Proposition III.3.3. Si f1 admet pour DL a l’ordre n en l’origine f1(x) = P1(x) +ε1(x) et f2 admet pour DL a l’ordre n en a = f(0) f2(x) = P2(x) + (x − a)nε2(x)alors f admet pour DL a l’ordre n en l’origine f(x) = Tn[P1 ◦ P2](x) + xnε(x).

On ne donne pas la preuve ni le calcul associe de ce resultat general mais on secontente du cas particulier ou f1 est l’inversion.

Supposons donc que l’on cherche a calculer le DL a l’ordre n en l’origine de lafonction f qui s’ecrit sous la forme f(x) = 1/g(x). Pour que cette fonction soitbien definie on a donc que g(x) ne s’annule pas pour x pour x proche de l’origine.Supposons que g admet un DL a l’ordre n en l’origine. On a donc :

g(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn + xnεg(x).

Notons qu’en particulier a0 6= 0 (car c’est g(0) 6= 0). Ainsi :

f(x) =1

a0 + a1x+ . . .+ anxn + xnεg(x)=

1

a0

1

1 +(

a1a0x+ a2

a0x2 + . . . an

a0xn + xnεg(x)

) =1

a0

1

1 + h

avec h = a1a0x+ a2

a0x2 + . . . an

a0xn + xnεg(x) est ”petit” pour x ”petit.” On peut donc

exploiter le DL de 1/(1 + h) a l’ordre n en 1.

f(x) =n∑

k=0

(−h)k + hnεf (h).

52 CHAPITRE III.3. CALCUL DES DEVELOPPEMENTS LIMITES

On note ici que h contient a minima du degre 1 en x donc hn est une combinaisonde monome qui sont au minimum de degre n. On peut donc ecrire

hnε(h) = xnε(x) avecε(x)→ 0.

De meme, par substitution, (−h)k est un polynome. En remplacant h par sa valeur,on retrouve un polynome (de degre nn), dont on peut ne garder que les termes dedegre ≤ n, plus des termes en facteur de εg(x) qui ont tous du xn. Finalement, enregroupant tous ces termes, on obtient :

f(x) = Tn[n∑

k=0

(−(a1

a0

x+a2

a0

x2 + . . .ana0

xn))k] + xnε(x)

avec ε(x)→ 0 quand x→ 0.

Chapitre III.4

Application des developpementslimites

III.4.a Calcul de limite

Pour resoudre des formes indeterminees qui fait intervenir une limite egale a 0,l’apparition de la forme indeterminee est souvent due au fait qu’on doit pouvoirquantifier la vitesse a laquelle la/les quantites tendent vers 0. Les DL limites sontparticulierement adaptes pour resoudre ce type de probeme.

Exemple. Soit

f(x) =

(2

1x + 3

1x

2

)x

.

On alimx→∞

f(x) =√

6.

III.4.b Calcul des derivees successives d’une fonc-

tion

Pour calculer les derivees successives d’une fonction f en un point a, on peututiliser l’unicite du developpement limite et inverser la formule de Taylor.

Exempe. Soitf(x) = tan(x)

On af (3)(0) = ...

III.4.c Etude locale d’une fonction

Pour preciser le comportement d’une fonction f au voisinage d’un point on peutegalement utiliser les DL. Pour simplifier, on se place au voisinage du point x = 0

53

54 CHAPITRE III.4. APPLICATION DES DEVELOPPEMENTS LIMITES

pour commencer.

Proposition III.4.1. Soit I intervalle de R non-reduit a un point et contenant 0.On suppose que f admet un DL a n en 0 de la forme

f(x) = a0 + a1x+ +anxn + xnε(x).

On suppose de plus qu’il existe un entier k pair plus petit que n tel que ai = 0 pouri < k. Alors il existe α > 0 tel que f(x) est du signe de ak pour x ∈]− α, α[∩Df


Corollaire III.4.2. Soit I intervalle de R non reduit a un point et 0 ∈ I. Onsuppose que f admet un DL a l’ordre n ≥ 2 en 0 de la forme

f(x) = a0 + a2x2 + +anx

n + xnε(x).

Alors— si a2 > 0, il existe α > 0 tel que f(x) ≥ f(a) pour tout x ∈]− α, α[∩Df . On

dit que f admet un minimum local en a.— si a2 < 0, il existe α > 0 tel que f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈]− α, α[∩Df . On

dit que f admet un maximum local en a.

On peut bien evidemment generaliser ce resultat au cas d’une premiere puissancepaire dans le DL de f a un ordre suffisamment eleve. On peut egalement utiliser cetype de resultat pour placer une fonction par rapport a ses tangentes.

Corollaire III.4.3. Soit I intervalle de R non reduit a un point et 0 ∈ I. Onsuppose que f admet un DL a l’ordre n ≥ 2 en 0 de la forme

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + +anx

n + xnε(x).

Alors f admet pour tangent en a la droite d’equation y = a1 + a1x. De plus,— si a2 > 0, le graphe de f se trouve au-dessus de sa tangente pour x proche de

0.— si a2 < 0, le graphe de f se trouve sous-sa tangente pour x proche de 0 On

dit que f admet un maximum local en a.

Premi ere partie Alg ebre lin eaire...3 On propose ici un vademecum des notions a conna^ tre. Il ne...

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